3. Приближенные периоды n-кратно периодических систем.

Начнем опять с исследования -кратно периодической системы — осциллятора, рассмотренного нами в 1. Мы видели, что если отношение — иррационально, т. е. если не существует соотношения с целочисленными то оба "интеграла разделения переменных" § 4, (19а), являются единственными однозначными интегралами и система "двукратно имцримитивна".

Если же соотношение удовлетворяется целочисленными значениями т.е. если система, в смысле "вырождена", то интеграл (1) также однозначен, система трехкратно импримитивна и имеет одномерную "в физическом смысле" фазовую кривую.

Из § 4, (23) следует, что является периодом движения, если

где целые числа.

Если положить, что то из (5) вытекает:

Поэтому период тем продолжительнее, чем больше наибольшее из целых чисел в соотношении, связывающем Это непосредственно следует из рассмотрения рис. 3 и 4. На втором из них, для которого это отношение равно материальная точка должна чаще менять направление движения, прежде, чем она вернется в свое прежнее положение, чем на рис. 3, для которого это отношение равно

Если отношение иррационально, то стремится к бесконечности и материальная точка никогда не сможет возвратиться точно в свое первоначальное положение. Но так как с течением времени материальная точка пройдет мимо всех точек упоминавшегося нами прямоугольника на сколь угодно малом расстоянии, то она приблизится сколь угодно близко к любому исходному положению. Таким образом, мы приходим к понятию "приближенных периодов". Они тем больше, чем больше "требуемая точность". Из уравнения (5) легко видеть, что если отношение иррационально, то равенству (5) можно удовлетворить с любой степенью точности, выбрав достаточно большие значения В самом деле, всякое иррациональное число можно представить в виде отношения двух целых чисел с любой степенью точности, если их выбрать достаточно большими. Уравнение (5) можно написать также в следующем виде:

где через и обозначены периоды колебаний в направлении координатных осей. Если отношение иррационально, то всегда можно наити такие целые числа чтобы удовлетворялось равенство

где при достаточно больших значениях можно сделать сколь угодно малым. Но из (5) и (6) тогда следует, что "приближенный период" будет очень большим по сравнению с периодами в направлении координатных осей. Чем больше требуемая точность, тем больше будут значения а следовательно и

Но утверждение, что отношение — рационально или иррационально, собственно говоря, не имеет физического смысла, так как никакими измерениями нельзя установить, является ли данное число рациональным или иррациональным.

Можно ответить лишь на вопрос: возможно ли определить отношение — с заданной степенью точности как отношение двух малых целых чисел или нет. В нервом случае система называется "физически вырожденной", а во втором "физически невырожденной". Поэтому с физической точки зрения нельзя провести различия между "приближенными периодами" и "математически точными периодами", а можно лишь сказать, что если система физически вырождена, то благодаря малости приближенный период будет по порядку величины равен периодам и Если же система "физически невырождена", то и будут очень большими числами и будет очень велико по сравнению с .

Такие же точно рассуждения можно применить и в случае любой многократно-периодической системы. Если система "невырождена", то кроме и однозначных "интегралов разделения", определяемых постоянными никаких других однозначных интегралов не существует. Такая система -кратно импримитивна. Если же система -кратно вырождена в смысле § 6, 3, то существует еще однозначных интегралов, т. е. однозначных соотношений между координатами Подпространство, заполненное фазовой кривой, имеет только измерений, поэтому система, согласно § 6, 3, будет -кратно периодической и -кратно импримитивиой. В предельном случае она может быть -кратпо вырожденной; в таком

случае она -кратно импримитивна, имеет одномерную (в физическом смысле) фазовую кривую и является, как уже было показано в § 6, 3, однократно периодической.