2. Шар в однородном поле
а) Массивный шар. Пусть задано основное однородное поле в воздухе 
Его потенциал
В это поле вносится шар радиуса а с проницаемостью 
центр этого шара находится в начале координат; пусть полярные координаты относительно этой точки будут 
и 
При этом пограничные условия для функций 
принимают следующий вид: при 
При этом естественно искать решение в том же виде, как и в задачах гл. XV § 2, 3 для электрического поля, в которые наша задача переходит,
когда 
следовательно, с помощью разложения по шаровым функциям. Для однородного основного поля, согласно (14), мы имеем:
Разложим функции 
в ряды по шаровым функциям, — следовательно, полежим:
где 
означают постоянные, которые имеют различные значения во внутренней и внешней области. Условия (15) должны быть удовлетворены независимо от 8, следовательно каждым отдельным слагаемым суммы (16). То же можно сказать относительно условия регулярности на бесконечности. В таком случае мы видим, что для всех значков, исключая значок 
условия (15) однородны, и поэтому, как доказано в предыдущем номере, имеют решения только при равенстве нулю 
Остается, следовательно, член с 
и если принять в расчет условие регулярности, то
При этом условия (15) дают:
Следовательно
и наконец
В случае парамагнитных тел 
решение означает ослабление иоля внутри тел, так что при 
ноле обращается в 0. Наоборот, индукция 
усиливается до значения 
при 
по сравнению с Но при 
Во внешней области (вдоль средней плоскости 
поле и индукция при 
ослаблены. Следовательно, магнитные силовые линии сгущаются в парамагнитных телах. Наоборот, внутри диамагнитных тел поле усиливается до значения 
при 
тогда как индукция ослабляется и при 
становится равной нулю. Внешнее ноле и индукция при этом усиливаются, следовательно, силовые линии отталкиваются диамагнитным телом.
b) Полый шар в однородном магнитном поле. Случай парамагнитного (или диамагнитного) шара в магнитном поле интересен тем, что этот шар оказывает экранирующее действие на внутреннюю область. Пусть внешний радиус шара равеп а, внутренний равен 
проницаемость шара равна 
в то время как во внешнем и внутреннем пространстве мы примем проницаемость равной единице. Положим опять
и напишем:
Те же соображения, как и в 
приводят к формулам:
причем пограничные условия на обеих поверхностях шара имеют вид;
Отсюда вытекают последовательные уравнения:
Для их решения положим 
комбинируя сначала 
и 
получим:
а комбинируя 
Отсюда
наконец, из 
и (8)
мы получим:
и (а):
следовательно, для напряжения поля мы получаем после простого вычисления:
а замечательный результат: 
всегда меньше 
следовательно получается экранирование, как при 
так и при 
причем мера экранирования остается неизменной, если вместо проницаемости 
ввести проницаемость 
Во внутренней области поле остается однородным.
