2. Шар в однородном поле

а) Массивный шар. Пусть задано основное однородное поле в воздухе

Его потенциал

В это поле вносится шар радиуса а с проницаемостью центр этого шара находится в начале координат; пусть полярные координаты относительно этой точки будут и При этом пограничные условия для функций принимают следующий вид: при

При этом естественно искать решение в том же виде, как и в задачах гл. XV § 2, 3 для электрического поля, в которые наша задача переходит,

когда следовательно, с помощью разложения по шаровым функциям. Для однородного основного поля, согласно (14), мы имеем:

Разложим функции в ряды по шаровым функциям, — следовательно, полежим:

где означают постоянные, которые имеют различные значения во внутренней и внешней области. Условия (15) должны быть удовлетворены независимо от 8, следовательно каждым отдельным слагаемым суммы (16). То же можно сказать относительно условия регулярности на бесконечности. В таком случае мы видим, что для всех значков, исключая значок условия (15) однородны, и поэтому, как доказано в предыдущем номере, имеют решения только при равенстве нулю Остается, следовательно, член с и если принять в расчет условие регулярности, то

При этом условия (15) дают:

Следовательно

и наконец

В случае парамагнитных тел решение означает ослабление иоля внутри тел, так что при ноле обращается в 0. Наоборот, индукция усиливается до значения при по сравнению с Но при Во внешней области (вдоль средней плоскости поле и индукция при ослаблены. Следовательно, магнитные силовые линии сгущаются в парамагнитных телах. Наоборот, внутри диамагнитных тел поле усиливается до значения при тогда как индукция ослабляется и при становится равной нулю. Внешнее ноле и индукция при этом усиливаются, следовательно, силовые линии отталкиваются диамагнитным телом.

b) Полый шар в однородном магнитном поле. Случай парамагнитного (или диамагнитного) шара в магнитном поле интересен тем, что этот шар оказывает экранирующее действие на внутреннюю область. Пусть внешний радиус шара равеп а, внутренний равен проницаемость шара равна в то время как во внешнем и внутреннем пространстве мы примем проницаемость равной единице. Положим опять

и напишем:

Те же соображения, как и в приводят к формулам:

причем пограничные условия на обеих поверхностях шара имеют вид;

Отсюда вытекают последовательные уравнения:

Для их решения положим комбинируя сначала и получим:

а комбинируя

Отсюда

наконец, из и (8)

Решая уравнения мы получим:

где

Следовательно, согласно

и согласно и (а):

Таким образом, поле определено во всех трех областях. Больше всего нас интересует экранирование поля внутри шара. Здесь следовательно, для напряжения поля мы получаем после простого вычисления:

Отсюда следует в связи с соотношением а замечательный результат: всегда меньше следовательно получается экранирование, как при так и при причем мера экранирования остается неизменной, если вместо проницаемости ввести проницаемость Во внутренней области поле остается однородным.