§ 2. Прохождение тока между землей и металлическими проводниками

1. Граничная задача и интегральное уравнение.

Сделанное в последней задаче § 1 допущение об исчезающе малом сопротивлении металлического проводника (в сравнении с удельным сопротивлением окружающей среды) становится недозволенным, когда металлический проводник имеет форму "линейного" проводника, т. е. его длина значительно больше его поперечных размеров.

Действительно, в этом случае падение напряжения вдоль проводника будет того же порядка, что и падение напряжения в окружающей среде. Рассмотрим здесь следующие задачи

Не принимая в расчет поверхности земли (ее можно без труда принять в расчет с помощью отражения, см. ), предположим, что бесконечно длинная проводящая трубка, имеющая форму кругового цилиндра, помещена в однородную среду — землю. Направим ось х прямоугольной координатной системы вдоль оси трубки и обозначим внешний радиус трубки через а поперечное сечение металла через Пусть на расстоянии по перпендикуляру от этой оси из маленького шарообразного электрода выходит в землю электрический ток спрашивается, каково будет распределение тока в земле и в проводящей трубке. Пусть проводимость вемли равна X, проводимость металла что же касается проводимости вещества, наполняющего внутренность трубки, то ее можно не принимать в расчет, так как она во всяком случае мала по сравнению с А и практически ее можно учесть небольшим изменением сечения Следовательно, сопротивление проводника при равномерном распределении тока на единицу длины проводника равно

Рис. 80.

Часть тока, входящего в землю, переходит в проводник и в дальнейшем опять выходит в землю. Из формул § 1 для этого тока получается следующая граничная задача: надо найти поле тока ванное с ним электростатическое поле которое получается из функции удовлетворяющей потенциональному уравнению Вблизи точки должно вести себя как функция и точно так же на большом расстоянии должно стремиться к нулю, как Вдоль поверхности проводника, которую мы обозначим через должно быть непрерывно, а его нормальная производная должна терпеть разрыв, определяемый уравнением

где означают внешнюю и внутреннюю производные если существует непроводящая среда внутри, то на внутренней границе проводника нужно положить

Эту задачу можно преобразовать в интегральное уравнение, выразив функцию через простое распределение заряда на поверхности а с плотностью это распределение представляет собой одновременно действительное распределение электростатических зарядов. Потенциальная функция при этом получает вид:

суть координаты точки, лежащей на поверхности а). Пограничное условие (1) иожно написать в виде:

Вставляя (2), мы получаем интегральное уравнение

которое имеет место на поверхности проводника.

Формулированная таким обравом граничная задача и интегральное уравнение, решение которых чрезвычайно затруднительно, дают распределение зарядов, напряжений и тока, как в продольном, так и в поперечном направлении проводника. Практическое значение имеет лишь распределение в продольном направлении, а для его вычисления данная нами формулировка мало пригодна. Поэтому чрезвычайно существенно то обстоятельство, что с помощью упрощенной формулировки, которая непосредственно приведет к интегральному уравнению, мы сможем вычислить как раз продольное распределение.

2. Непосредственная формулировка интегрального уравнения.

Из всего тока выходящего в землю, часть проходит в металлический проводник, где он в основном течет параллельно оси. Ток, проходящий через поперечное сечение параллельно оси, представляет собой интеграл продольных составляющих плотности тока по этому поперечному сечению; назовем этот ток в поперечном сечении с абсциссой х через Мы имеем, следовательно:

Вследствие наличия разности потенциалов между трубкой "И окружающими частями земли ток в дальнейшем оцять выходит из проводника. Обозначим суммы входящего и выходящего тока на единицу длины проводника, считая положительным выходящий ток, через Эта сумма равна интегралу нормальной составляющей тока на поверхности по периметру I поперечного сечения:

Здесь означают нормальные составляющие электрического тока внутри и снаружи. Вследствие закона сохранения тока (3) § 1, мы имеем:

Напряжение поля на поверхности терпит разрыв, поэтому поверхность над о считать заряженной электрически, причем заряд на единицу длины представляет собой интеграл плотности заряда введенной в 1, взятый по периметру сечения:

следовательно, согласно (5)

Рассмотрим теперь ивмепепие напряжспия вдоль оси трубки причем обозначим это напряжение черев Заряд, распределенный по поверхности проводника, согласно (7), создает в точке х оси потенциал

где

Первоначальный потенциал, созданный источником тока равен, согласно § 1

где

Следовательно, полный потенциал на оси трубки

Эта формула решала бы задачу, если бы можпо было пренебречь омическим сопротивлением проводника (т. е. если бы было равно бесконечности). Действительно, в этом случае, мы имели бы а именно как и при Следовательно, дело сводится к электростатической задаче о вычислении распределения зарядов которое уравновешивает заданное внешнее потенциальйое поле в смысле гл. XV § 2. Это уравнение:

представляет собой "интегральное уравнение первого рода", определяющее распределение тока в "идеалтвом" проводнике, или, практически говоря, в достаточно коротком отрезке действительного прололвика. 1 Если же мы хотим онрелелить также и обратное выхождение тока в эемлю, то необходимо принять в расчет конечпое значение электрического сопротивления. Падение потенциала вдоль оси, вычисленное по формуле (10), должно совпадать с тем, которое вызывается омическим сопротивлением. Мы должны сделать эдесь приближенное предположение, что это омическое падение напряжения вызывается полным током во всем сечении и сопротивление единицу длины, т. е.

Этим самым мы предполагаем, что ток равномерно распределяется до сечепию и что напряжение, следовательно, тоже постоянно во всем сечении.

Значит мы пренебрегаем поперечными составляющими тока и электрического поля внутри проводника; чтобы быть последовательными, мы пренебрежем также членом в (7), и, следовательно, членом в (7), и поэтому напишем:

Из и (11) следует:

и поэтому мы получаем из (10):

Мы получили неоднородное линейное интегродифференциальное уравнение (2-го рода) для падения напряжения вдоль проводника. Функция называется ядром этого уравнения. Упомянем еще, что вид уравнения не изменяется, если сечение цилиндрического проводника становится не круговым. При этом только вместо появляется соответствующая величина, характеризующая поперечное сечсние (ср. работу, цитированную в начале § 2). Поэтому в этом случае следует говорить не о значении потенциала на оси, о среднем значении потенциала в поперечном сечении.