§ 2. Кручение призматических стержней

1. Дифференциальное уравнение и граничные условия.

Рассмотрим цилиндрический стержень, нижнее основание которого совпадает с плоскостью Ось проведем параллельно образующим, через центры тяжести поперечных сечений, перпендикулярных образующим. Приложим к верхнему концу стержня некоторый момент вращающий вокруг оси Нижний конец стержня мы будем считать закрепленным; весь стержень таким образом подвергается кручению. Положим, что при кручении два поперечных сечения, находящиеся на расстоянии 1 друг от друга, повернулись на некоторый угол друг относительно друга. Тогда сечение, находящееся на высоте поворачивается на угол Мы будем искать такое решение наших основные уравнений, для которых горизонтальные смещения равны

(при малом это обозначает вращение на угол вокруг Смещение в направлении оси в мы будем считать независящим от и положим

Так как при этом предположении

то оба первых уравнения (7), стр. 252, выполняются сами собой. Из последнего мы получаем для уравнение логарифмического потенциала:

К этому следует добавить граничное условие, что на боковой поверхности цилиндра нет никаких напряжений, т. е. там Вычисляя напряжения при сделанных предположениях (1) и (2), получим:

и неравными остаются только

Граничные условия (6) стр. 252 требуют, чтобы на контуре поперечного сечения выполнялось равенство:

Так как нормали к боковой поверхности лежат в плоскости то

где через обозначен элемент длины контура, ограничивающего поперечное сечение; суть его проекции на оси координат. Граничное условие (5) тем самым преобразуется в следующее:

Для упрощения этого выражения мы введем сопряженную с потенциальную функцию которая связана с условиями Коши-Римана:

Функция вместе с функцией образует функцию комплексного переменного

Заменяя в на получаем:

или, интегрируя (по контуру):

Так как тоже удовлетворяет дифференциальному уравнению

то наша вадача сводится к нахождению некоторой функции удовлетворяющей уравнению и принимающей на границе поперечного сечения значение Если мы решим эту задачу, то сможем Определить напряжение, возникающее при заданном угле поворота Останется только найти связь между и крутящим моментом

Если мы проведем какое-либо сечение, перпендикулярное оси то момент скалывающих напряжений (4), приложенных к нему со стороны положительных должен равняться т. е.

Для вычисления этого момента введем функцию

Тогда

Далее

и, следовательно:

Подинтегральное выражение равняется:

Так как на границе то по теореме Гаусса:

В том, что скалывающие напряжения не дают никакой результирующей, а только некоторый момент, можно легко убедиться, если выразить напряжения через Тогда

так как на границе