17. Сохранение циркуляции.

Рассмотрим циркуляцию вдоль замкнутой инии, которая движется вместе с жидкостью так, что состоит все время из одних

и тех же частиц. По теореме Томсоиа циркуляция вдоль такой "жидкой линии" не меняется со временем, если только внешние силы консервативны.

Так как при потенциальном движении в односвязной области циркуляция равна нулю, то теорема Томсона содержит, как частный случай, следующее утверждение, высказанное впервые Лагранжем. Если в некоторый момент времени существует потенциал скоростей, то при консервативности внешних сил он будет существовать все время. Иначе говоря, в невязкой жидкости вихри не могут ни появляться ни исчезать.

Вследствие связи циркуляции с потоком вихря, теорема Томсона может служить также основой для знаменитых теорем Гельмгольца о вихревом движении.

Из многочисленных выводов теоремы Томсона мы приведем в дальнейшей один, основанный на веберовском преобразовании уравнений Лагранжа. По Веберу, первое уравнение Лагранжа [уравнение (28), 9]

может быть преобразовано следующим образом:

и соответственно преобразуются два других уравнения, содержащие производные по и с вместо а. Вводя функцию

и проинтегрировав уравнение (47) по мы получим уравнения Вебера (Weber), если только мы йрнмем во внимание, что в момент будет и если мы, для положим Уравнения Вебера будут иметь вид:

Эти уравнения совместно с (48) и уравнением неразрывности (уравнение (29), 9] достаточны для определения как функций от если, как обычно, считать постоянной или известной функцией от давления

Теперь уже легко доказать и теорему Томсона. Для этого умножим уравнения (49) соответственно на и сложим. Заменяя через мы получаем

Заметим, что при составлении дифференциалов мы полагали так что уравнение (50) выполняется для любого, но постоянного времени Интегрируя (50) по незамкнутой "жидкой линии" - что теперь возможно, так как координаты и скорости точки предполагаются функциями от начальных координат мы получаем

Значки 1 и 2 обозначают здесь начальную и конечную точки жидкой линии. Если эти точки совпадают, то если только функциях в нашей области однозначна, для чего, вообще говоря, достаточна однозначность функции Тогда

Рис. 24.

В этой формуле оба интеграла суть циркуляции вдоль жидкой линии; один в момент а другой при Тем самым теорема Томсона доказана.