– Связь между относительным удлинением (сжатнем) \& и напряжением $\sigma$ :
\[
\varepsilon=\sigma / E \text {, }
\]

где $E$-модуль Юнга.
Связь между относительиым поперечным сжатием (растяженнем) $\varepsilon^{\prime}$ и относительным продольным растяжением (сжатием) $\varepsilon$ :
\[
\mathbf{e}^{\prime}=-\mu \varepsilon,
\]

где $\mu$-коэффицнент $\overline{\text { Пуассона. }}$
Связь между относительным сдвигом $\gamma$ и таигенднальным напряжением $\tau$ :
\[

u=\tau / G,
\]

где $G$-модуль сдвига.
Коэффициент сжимаемости (модуль всесторониего сжатия)!
\[
\boldsymbol{\beta}=-\frac{1}{V} \frac{d V}{d p} .
\]
– Объемная плотность энергии упрутой деформацииз
\[
u=E \varepsilon^{2} / 2, \quad u=G \gamma^{2} / 2 .
\]
1.290. Қакое давление необходимо приложить к тордам стального цилиндра, чтобы длина его не изменилась при повышении температуры на $100^{\circ} \mathrm{C}$ ?
1.291. Какое давление изнутри (при отсутствии наружного давления) может выдержать:
a) стеклянная трубка; б) стеклянная сферическая колба, у которых радиус $r=25$ мм и толщина стенок $\Delta r=1,0$ мм?
1.292. Горизонтально расположенный медный стержень длины $l=1,0$ м вращают вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. При какой частоте оборотов он может разорваться?
1.293. Кольцо радиуса $r=25 \mathrm{~cm}$, сделанное из свинцовой проволоки, вращают вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к плоскости кольца. При какой частоте оборотов данное кольцо может разорваться?
1.294. Стальная проволока диаметра $d=1,0$ мм натянута в горизонтальном положении между двумя зажимами, находящимися на расстоянии $l=2,0$ м друг от друга. К середине проволоки точке $O$ – подвесили груз массы $m=0,25 \mathrm{kr}$. На сколько сантиметров опустится точка $O$ ?
1.295. Однородный упругий брусок движется по гладкой горизонтальной плоскости под действием постоянной силы $F_{0}$, равномерно распределенной по торцу. Площадь торца равна $\mathcal{S}$, модуль Юнга материала – $E$. Найти относительное сжатие бруска в направлении действия данной силы.
1.296. Тонкий однородный медный стержень длины $l$ и массы $m$ равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$ в горизонтальной
плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти силу натяжения в стержне в зависимости от расстояния $r$ до оси вращения, а также удлинеиие стержня.
1.297. Сплошной медный цилиндр длины $l=65$ см поставили на горизонтальную поверхность и сверху приложили вертикальную сжимающую силу $F=1000 \mathrm{H}$, которая равномерно распределена по его торцу. На сколько кубических миллиметров изменился при этом объем цилиндра?
1.298. Медный стержень длины $l$ подвесили за один конец к потолку. Найти:
a) удлинение стержня $\Delta l$ под действием его собственного веса;
б) относительное приращение его объема $\Delta V / V$.
1.299. Брусок из материала с модулем Юнга $E$ и коэффициентом Пуассона $\mu$ подвергли всестороннему сжатию давлением $p$. Найти:
a) относительное уменьшение его объема;
б) связь между коэффициентом сжимаемости $\beta$ и упругими постоянными $E$ и $\mu$.
Показать, что коэффициент Пуассона $\mu$ не может превышать $1 / 2$.
1.300. Стальная балка прямоугольного сечения вмонтирована одним концом в стену (рис. 1.74). Под действием силы тяжести она испытывает некоторый небольшой изгиб. Найти радиус кривизны нейтрального слоя (см. пунктир на рисунке) вблизи точки $O$, если длина выступающего конца балки $l=6,0$ м и ее толщина $h=10 \mathrm{~cm}$.
1.301. Изгиб упругого стержня ха-
Рис. 1.74. рактеризуется формой упругой линии, проходящей через центры тяжести поперечных сечений стержня. Уравнение для определения этой линии при малых изгибах имеет вид
\[
N(x)=E I \frac{d^{2} y}{d x^{2}},
\]

где $N(x)$ – изгибающий момент упругих сил в сечении с координатой $x, E$ – модуль Юнга, $I$ – момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через нейтральный слой ( $I=\int z^{2} d S$, рис. 1.75$)$.
Рис. 1.75.
Рис. 1.76.
Пусть стальной стержень квадратного сечения со стороной $a$ вмонтирован одним концом в стенку так, что выступающий конец его имеет длину $l$ (рис. 1.76). Пренебрегая массой стержня, найти форму упругой линии и стрелу прогиба $\lambda$, если на его конец $A$ действует:
a) изгибающий момент пары сил $N_{0}$;
б) сила $F$, направленная вдоль оси $y$.
1.302. Стальная балка длины $l$ свободно опирается своими концами на два упора (рис. 1.77). Момент инерции ее поперечного сечения равен I (см. предыдущую задачу). Пренебрегая массой балки и считая прогибы малыми, найти стрелу прогиба $\lambda$ под действием
Рис, 1.77. силы $F$, приложенной к ее середине.
1.303. Стальная балка имеет прямоугольное сечение, высота которого равна $h$. Воспользовавшись уравнением из задачи 1.301, найти стрелу прогиба $\lambda$, которая обусловлена собственным весом балки, в двух случаях:
a) балка вмонтирована одним концом в стену так, что длина ее выступающего конца равна $l$ (рис. $1.78, a$ );
б). балка длины $2 l$ своими концами свободно опирается на две опоры (рис. 1.78, б).
Pис. 1.78.
Рис. 1.79.
1.304. Стальная пластинка толщины $h$ имеет форму квадрата со стороной $l$, причем $h \ll l$. Пластинка жестко скреплена с вертикальной осью $O O$, которую вращают с постоянным угловым ускорением $\beta$ (рис. 1.79). Найти стрелу прогиба $\lambda$, считая изгиб малым. 1.305. Установить связь между крутящим моментом $N$ и углом закручивания $\varphi$ для:
a) трубы, у которой толщина стенок $\Delta r$ значительно меньше радиуса трубы;
б) сплошного стержня круглого сечения.

Предполагается, что их длина $l$, радиус $r$ и модуль сдвига $G$ известны.
1.306. Вычислить момент сил $N$, которые вызывают закручивание стальной трубы длины $l=3,0$ м на угол $\varphi=2,0^{\circ}$ вокруг ее оси, если внутренний и внешний диаметры трубы равны $d_{1}=30$ мм и $d_{2}=50$. мм.
1.307. Найти наибольшую мощность, которую можно передать с помощью стального вала, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega=120$ рад/с, если его длина $l=200 \mathrm{~cm}$, радиус $r=1,50 \mathrm{cм}$ и допустимый угол закручивания $\varphi=2,5^{\circ}$.
1.308. Однородное кольцо массы $m$, имеющее внешний радиус $r_{2}$, плотно насажено на вал радиуса $r_{1}$. Вал вращают с постоянным угловым ускорением $\beta$ вокруг его оси. Найти момент упругих сил в кольце в зависимости от расстояния $r$ до оси вращения.
1.309. Найти энергию упругой деформации стального стержня массы $m=3,1 \mathrm{kr}$, который растянут так, что его относительное удлинение $\varepsilon=1,0 \cdot 10^{-3}$.
1.310. Стальной цилиндрический стержень длины $l$ и радиуса $r$ подвесили одним концом к потолку.
a) Найти энергию $U$ упругой деформации стержня.
б) Выразить $U$ через относительное удлинение стержня $\Delta l / l$.
1.311. Қакую работу необходимо совершить, чтобы стальную полосу длины $l=2,0 \mathrm{~m}$, ширины $h=6,0$ см и толщины $\delta=2,0$ мм согнуть в круглый обруч? Предполагается, что процесс происходит в пределах упругой деформации.
1.312. Найти энергию упругой деформации стального стержня, у которого один конец закреплен, а другой закручен на угол $\varphi=$ $=6,0^{\circ}$. Длина стержня $l=1,0 \mathrm{~m}$, его радиус $r=10$ мм.
1.313. Найти распределение объемной плотности энергии упругой деформации в стальном стержне в зависимости от расстояния $r$ до его оси. Длина стержня $l$, угол закручивания $\varphi$.
1.314. Определить объемную плотность энергии упругой деформации в пресной воде на глубине $h=1000$ м.