– Согласно элементарной теории дисперсии диэлектрическая проницаемость вещества:
\[
\varepsilon=1+\sum_{k} \frac{n_{k} e^{2} / m \varepsilon_{0}}{\omega_{v k}^{2}-\omega^{2}},
\]
где $n_{k}$-концентрация электронов с собственной частотой $\omega_{0 k}$.
Связь между показателем преломления и диэлектрической проницаемостью вещества:
\[
n=\sqrt{\varepsilon} .
\]
Фазовая $v$ и групповая $u$ скорости:
\[
v=\frac{\omega}{k}, \quad u=\frac{d \omega}{d \bar{k}} .
\]
Формула Рэлея:
\[
u=v-\lambda \frac{d v}{d \bar{\lambda}} .
\]
Закон ослабления узкого пучка электромагнитного излучения:
\[
I=I_{0} \mathrm{e}^{-\mu d},
\]
где $\mu=x+x^{\prime}, \mu, x, x^{\prime}$-линейные показатели ослабления, поглощения и рассеяния.
5.200. Свободный электрон находится в поле монохроматической световой волны. Интенсивность света $I=150 \mathrm{Bт} / \mathrm{m}^{2}$, его частота $\omega=3,4 \cdot 10^{15}$ рад/с. Найти:
a) амплитуду колебаний электрона и амплитуду его скорости;
б) отношение $F_{\mathrm{s}} / F_{9}$, где $F_{\mathrm{s}}$ и $F_{9}$ – амплитудные значения сил, действующих на электрон со стороны магнитной и электрической составляющих поля световой волны; показать также, что это отношение равно $1 / 2 \mathrm{v} / c$, где $v$ – амплитуда скорости электрона, $c$ скорость света.
Ук аз ани е. В уравнении движения электрона можно не учитывать действие магнитной составляющей поля (как будет видно из расчета, оно пренебрежимо мало).
5.201. Электромагнитная волна с частотой $\omega$ распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме равна $n_{0}$. Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы, найти зависимость:
a) диэлектрической проницаемости плазмы от частоты;
б) фазовой скорости электромагнитной волны от ее длины волны $\lambda$ в плазме.
5.202. Найти концентрацию свободных электронов ионосферы, если для радиоволн с частотой $v=100$ МГц ее показатель преломления $n=0,90$.
5.203. Имея в виду, что для достаточно жестких рентгеновских лучей электроны вещества можно считать свободными, определить, на сколько отличается от единицы показатель преломления графита для рентгеновских лучей с длиной волны в вакууме $\lambda=50$ пм.
5.204. Электрон, на который действует квазиупругая сила $k x$ и «сила трения» $\gamma \dot{x}$, находится в поле электромагнитного излучения. $E$-составляющая поля – меняется во времени по закону $E=E_{0} \cos \omega t$. Пренебрегая действием магнитной составляющей поля, найти:
a) уравнение движения электрона;
б) среднюю мощность, поглощаемую электроном; частоту, при которой она будет максимальна, и выражение для максимальной средней мощности.
5.205. В ряде случаев диэлектрическая проницаемость вещества оказывается величиной комплексной или отрицательной и показатель преломления – соответственно комплексным ( $n^{\prime}=n+i x$ ) или чисто мнимым ( $n^{\prime}=i \chi$ ). Написать для этих случаев уравнение плоской волны и выяснить физический смысл таких показателей преломления.
5.206. При зондировании разреженной плазмы радиоволнами различных частот обнаружили, что радиоволны с $\lambda>\lambda_{0}=0,75 \mathrm{~m}$ испытывают полное внутреннее отражение. Найти концентрацию сво-
Рис. 5.36. бодных электронов в этой плазме.
5.207. Исходя из определения групповой скорости $u$, получить формулу Рэлея (5.5г). Показать также, что $u$ вблизи $\lambda=\lambda^{\prime}$ равна отрезку $v^{\prime}$, отсекаемому касательной к кривой $v(\lambda)$ в точке $\lambda^{\prime}$ (рис. 5.36).
5.208. Найти зависимость между групповой $u$ и фазовой $v$ скоростями для следующих законов дисперсии:
а) $v \sim 1 / \sqrt{\lambda}$
б) $v \sim k$
в) $v \sim 1 / \omega^{2}$.
Здесь $\lambda, k$ и $\omega$ – длина волны, волновое число и круговая частота.
5.209. В некоторой среде связь между групповой и фазовой скоростями электромагнитной волны имеет вид $u v=c^{2}$, где $c$ – скорость света в вакууме. Найти зависимость диэлектрической проницаемости этой среды от частоты волны, $\varepsilon(\omega)$.
5.210. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами волн 509,534 и 589 нм равен соответственно $1,647,1,640$ и 1,630 . Вычислить фазовую и групповую скорости света вблизи $\lambda=534 \mathrm{нм}$.
5.211. Плоский световой импульс распространяется в среде, где фазовая скорость $v$ линейно зависит от длины волны $\lambda$ по закону $v=a+b \lambda, a$ и $b$ – некоторые положительные постоянные. Показать, что в такой среде форма произвольного светового импульса будет восстанавливаться через промежуток времени $\tau=1 / b$.
5.212. Пучок естественного света интенсивности $I_{0}$ падает на систему из двух скрещенных николей, между которыми находится трубка с некоторым раствором в продольном магнитном поле напряженности $H$. Длина трубки $l$, линейный показатель поглощения раствора $x$ и постоянная Верде $V$. Найти интеисивность света, прошедшего через эту систему.
5.213. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на плоскопараллельную пластинку, коэффициент отражения каждой поверхности которой равен $\rho$. Учтя многократные отражения, найти интенсивность прошедшего света, если:
a) пластинка идеально прозрачная (поглощение отсутствует);
б) линейный показатель поглощения равен $x$, а толщина пластинки $d$.
5.214. Из некоторого вещества изготовили две пластинки: одну толщиной $d_{1}=3,8 \mathrm{Mm}$, другую – $d_{2}=9,0$ мм. Введя поочередно эти пластинки в пучок монохроматического света, обнаружнли, что первая пластинка пропускает $\tau_{1}=0,84$ светового потока, вторая $-\tau_{2}=0,70$. Найти линейный показатель поглощения этого вещества. Свет падает нормально. Вторичными отражениями пренебречь.
5.215. Монохроматический пучок проходит через стопу из $N=5$ одинаковых плоскопараллельных стеклянных пластинок каждая толщиной $l=0,50$ см. Коэффициент отражения на каждой поверхности пластинок $\rho=0,050$. Отношение интенсивности света, прошедшего через эту стопу пластинок, к интенсивности падающего света $\tau=0,55$. Пренебрегая вторичными отражениями света, определить показатель поглощения данного стекла.
5.216. Монохроматический пучок света падает нормально на поверхность плоскопараллельной пластины толщины $l$. Показатель поглощения вещества пластины лннейно изменяется вдоль нормали к ее поверхности от значения $x_{1}$ до $x_{2}$. Коэффициент отражения от каждой поверхности пластины равен $\rho$. Пренебрегая вторичными отражениями, определить коэффициент пропускания такой пластины.
5.217. Пучок света интенсивности $I_{0}$ падает нормально на плоскопараллельную прозрачную пластинку толщины $l$. Пучок содержит все длины волн в диапазоне от $\lambda_{1}$ до $\lambda_{2}$ одинаковой спектральной интенсивности. Определить интенсивность прошедшего через пластинку пучка, если в этом диапазоне длин волн показатель поглощения линейно зависит от $\lambda$ в пределах от $x_{1}$ до $x_{2}$ и коэффициент отражения каждой поверхности равен $\rho$. Вторичными отражениями пренебречь.
5.218. Светофильтр представляет собой пластинку толщины $d$ с показателем поглощения, зависящим от длины волны $\lambda$ по формуле
\[
x(\lambda)=\alpha\left(1-\lambda / \lambda_{0}\right)^{2} \mathrm{~cm}^{-1},
\]
где $\alpha$ и $\lambda_{0}$ – некоторые постоянные. Найти ширину полосы пропускания этого светофильтра $\Delta \lambda$ – ширину, при которой ослабление света на краях полосы в $\eta$ раз больше, чем ослабление при $\lambda_{0}$. Коэффициент отражения от поверхностей светофильтра считать одинаковым для всех длин волн.
5.219. Точечный монохроматический источник, испускающий световой поток $Ф$, находится в центре сферического слоя вещества, внутренний радиус которого равен $a$, наружный – $b$. Линейный показатель поглощения вещества равен $x$, коэффициент отражения поверхностей – $\rho$. Пренебрегая вторичными отражениями, найти интенсивность света на выходе из этого вещества.
5.220. Во. сколько раз уменьшится интенсивность узкого пучка рентгеновского излучения с длиной волны 20 пм при прохождении свинцовой пластинки толщины $d=1,0$ мм, если массовый показатель ослабления для данной длины волны излучения $\mu / \rho=3,6 \mathrm{~cm}^{2} / r$ ?
5.221. Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны 62 пм проходит через алюминиевый экран толщины 2,6 см. Какой толщины надо взять свинцовый экран, чтобы он ослаблял данный пучок в такой же степени? Массовые показатели ослабления алюминия и свинца для этого излучения равны соответственно 3,48 и $72,0 \mathrm{~cm}^{2} /$ г.
5.222. Найти для алюминия толщину слоя половинного ослабления узкого пучка монохроматического рентгеновского излучения, если соответствующий массовый показатель ослабления $\mu / \rho=0,32 \mathrm{~cm}^{2} /$ г.
5.223. Сколько слоев половинного ослабления в пластинке, которая уменьшает интенсивность узкого пучка рентгеновского излучения в $\eta=50$ раз?
