Уравнение гармонических колебаний и его решение:
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=0, \quad x=a \cos \left(\omega_{0} t+\alpha\right),
\]

где $\omega_{0}$-собственная частота колебаний.
– Уравнение затухающих колебаний и его рещение:
\[
\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0, \quad x=a_{0} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos (\omega t+\alpha) .
\]

где $\beta$-коэффициент затухания, $\omega$ – частота затухающих колебаний:
\[
\omega=\sqrt{\omega_{0}^{s}-\beta^{2}} .
\]

Логарифмический декремент затухания $\lambda$ и добротность $Q$ :
\[
\lambda=\beta T, Q=\pi / \lambda,
\]

где $T=2 \pi / \omega$.
– Уравнение вынужденных колебаний и его установившееся решение:
\[
\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=f_{0} \cos \omega t, \quad x=a \cos (\omega t-\varphi) .
\]

где
\[
a=\frac{f_{0}}{\sqrt{\left(\omega_{\theta}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}}}, \quad \operatorname{tg} \varphi=\frac{2 \beta \omega}{\omega_{\theta}^{2}-\omega^{2}} .
\]

Максимум амплитуды смещения достигается при
\[
\omega_{\text {pe } 3}=\sqrt{\omega_{0}^{z}-2 \beta^{2}} .
\]
4.1. Точка совершает колебания вдоль оси $x$ по закону $x=$ $=a \cos (\omega t-\pi / 4)$. Построить примерные графики:
a) смещения $x$, проекции скорости $v_{x}$ и проёкции ускорения $w_{x}$ как функций времени $t$;
б) проекции скорости $v_{x}$ и проекции ускорения $w_{x}$ как функций координаты $x$.
4.2. Некоторая точка движется вдоль оси $x$ по закону $x=$ $=a \sin ^{2}(\omega t-\pi / 4)$. Найти:
a) амплитуду и период колебаний; изобразить график $x(t)$;
б) проекцию скорости $v_{x}$ как функцию координаты $x$; изобразить график $v_{x}(x)$.
4.3. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси $\boldsymbol{x}$ около положения равновесия $x=0$. Частота колебаний $\omega \rightleftharpoons$ $=4,00$ рад/с. В некоторый момент координата частицы $x_{0}=25,0$ см и ее скорость $v_{x 0}=100 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Найти координату $x$ и скорость $v_{s}$ частицы через $t=2,40$ с после этого момента.
4.4. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических коле баний частицы, если на расстояниях $x_{1}$ и $x_{2}$ от положения равновесия ее скорость равна соответственно $v_{1}$ и $v_{2}$.
4.5. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом $T=0,60$ с и амплитудой $a=10,0$ см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь $a / 2$ :
a) из крайнего положения;
б) из положения равновесия.
4.6. В момент $t=0$ точка начинает совершать колебания вдоль оси $x$ по закону $x=a \sin \omega t$. Найти за первые $3 / 8$ периода поеле начала движения:
a) среднее значение проекции ее вектора скорости $\left\langle v_{x}\right\rangle$;
б) модуль среднего вектора скорости $|\langle\mathbf{v}\rangle|$;
в) среднее значение модуля скорости $\langle v\rangle$.
4.7. Частица движется вдоль оси $x$ по закону $x=a \cos \omega t$. Найти путь, который она пройдет за промежуток времени от $t=0$ до $t$.
4.8. В момент $t=0$ частица начинает двигаться вдоль оси $x$ так, что проекция ее скорости меняется по закону $v_{x}=35 \cos \pi t \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$, где $t$ в секундах. Найти путь, который пройдет эта частица за первые $t=2,80$ с после начала движения.
4.9. Частица совершает гармонические колєбания вдоль оси $x$ по закону $x=a \cos \omega t$. Считая вероятность $P$ нахождения частицы в интервале от $-a$ до $+a$ равной единице, найти зависимость от $x$ плотности вероятности $d P / d x$, где $d P$ – вероятность нахождения частицы в интервале от $x$ до $x+d x$. Изобразить график $d P / d x$ в зависимости от $x$.
4.10. Найти графически амплитуду $a$ колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления:
а) $x_{1}=3,0 \cos (\omega t+\pi / 3), x_{2}=8,0 \sin (\omega t+\pi / 6)$;
б) $x_{1}=3,0 \cos \omega t, x_{2}=5,0 \cos (\omega t+\pi / 4), x_{3}=6,0 \sin \omega t$.
4.11. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам $x_{1}=a \cos \omega t$ и $x_{2}=$ $=a \cos 2 \omega t$. Найти максимальную скорость точки.
4.12. При сложении двух гармонических колебаний одного иаправления результирующее колебание точки имеет вид $x=$ $=a \cos 2,1 t \cdot \cos 50,0 t$, где $t$ в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период биений результирующего колебания.
4.13. Точка $A$ колеблется по определенному гармөническому закону в $K^{\prime}$-системе отсчета, которая в свою очередь совершает
гармоническне колебания по отношению к $K$-системе. Оба колебания происходят вдоль одного и того же направления. При частоте колебаний $K^{\prime}$-системы 20 или 24 Гц частота возникающих биений точки $A$ в $K$-системе оказывается равной v. При какой частоте колебаний $K^{\prime}$-системы частота биений точки $A$ станет равной $2 v$ ?
4.14. Точка движется в плоскости $x y$ по закону $x=a \sin \omega t$, $y=b \cos \omega t$, где $a, \quad b$ и $\omega$ – положительные постоянные. Найти:
a) уравнение траектории точки $y(x)$ и направление ее движения по этой траектории;
б) ускорение точки w в зависимости от ее радиус-вектора $\mathbf{r}$ относителыно начала координат.
4.15. Найти уравнения траектории точки $y(x)$, если она движется по законам:
a) $x=a \sin \omega t, y=a \sin 2 \omega t$;
б) $x=a \sin \omega t, y=a \cos 2 \omega t$.
Изобразить графики этих траекторий.
4.16. Частица массы $m$ находится в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты $x$ как $U(x)=U_{0}(1-\cos a x), \quad U_{0}$ и $a$ – некоторые постоянные. Найти период малых колебаннй частицы около положения равновесия.
4.17. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но потенциальная энергия имеет вид $U(x)=a / x^{2}-b / x$, где $a$ и $b-$ некоторые положительные постоянные.
4.18. Найти период малых вертикальных колебаний шарика массы $m=40$ г, укрепленного на середине горизонтально натянутой струны длины $l=1,0$ м. Натяжение струны считать постоянным и равным $F=10 \mathrm{H}$.
4.19. Определить период малых колебаний математического маятника – шарика, подвешенного на нити длины $l=20 \mathrm{~cm}$, если он находится в жидкости, плотность которой в $\eta=3,0$ раза меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.
4.20. Шарик подвесили на нити длины $l$ к точке $O$ стенки, составляющей небольшой угол $\alpha$ с вертикалью (рис. 4.1). Затем нить с шаРис. 4.1. риком отклонили на небольшой угол $\beta(\beta>\alpha)$ и отпустили. Считая удар шарнка о стенку абсолютно упругим, найти период колебаний такого маятника.
4.21. Маятниковые часы установили в кабине лифта, которая начала подниматься с постоянным ускорением $w$, причем $w<g$. На высоте $h$ ускорение кабины изменило свое направление на противоположное, оставшись по модулю тем же. Через сколько времени после начала движения показания часов окажутся верными?
4.22. Вычислить период малых колебаний ареометра (рис. 4.2), которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении: Масса ареометра $m=50 \mathrm{r}$, радиус его трубки $r=3,2$ мм, плотность жидкости $\rho=1,00 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.
4.23. Имеется недеформированная пружина жесткости $x=13 \mathrm{H} / \mathrm{M}$, концы которой закреплены. В точке, отстоящей от одного из концов пружины на $\eta=1 / 3$ ее длины, укрепили небольшое тело массы $m=25$ г. Пренебрегая массой пружины, найти период малых продольных колебаний данного тела. Силы тяжести нет.
4.24. Определить период малых продольных Рис. 4.2. колебаний тела массы $m$ в системе (рис. 4.3), если жесткости пружинок равны $x_{1}$ и $x_{2}$, а их массы и трение пренебрежимо малы.
4.25. Найти период малых вертикальных колебаний тела массы $m$ в системе (рис. 4.4). Жесткости пружинок равны $x_{1}$ и $x_{2}$, а их массы пренебрежимо малы.
4.26. Небольшое тело массы $m$ закреплено на середине натянутой струны
Рис. 4.3.
Рис. 4.4.
Pис. 4.5.

длины $2 l$. Натяжение струны в положении равновесия равно $T_{0}$. Найти угловую частоту малых колебаний тела в поперечном напгавлении. Масса струны пренебрежимо мала, поле тяжести отсутствует.
4.27. Определить период колебаний ртути массы $m=200$ г, налитой в изогнутую трубку (рис. 4.5), правое колено которой составляет угол $\hat{\boldsymbol{v}}=30^{\circ}$ с в вертикалью. Площадь сечения канала трубки $S=0,50 \mathrm{~cm}^{2}$. Вязкостью ртути пренебречь.
4.28. Однородный стержень положили на два быстро вращающих-
Рис. 4.6.

ся блока, как показано на рис. 4.6. Расстояние между осями блоков $l=20 \mathrm{~cm}$, коэффициент трения между стержнем и блоками $k=0,18$. Показать, что стержень будет совершать гармонические колебания. Найти их период.
4.29. Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
a) закон движения тела, упавшего в шахту;
б) сколько времени понадобится этому телу, чтобы достигнуть противоположного конца шахты;
в) скорость тела в центре Земли.
4.30. Найти период малых колебаний математического маятника длины $l$, если его точка подвеса $O$ движется относительно поверхности Земли в произвольном направлении с постоянным ускорением w (рис. 4.7). Вычислить этот период, если $l=21$ см, $w=g / 2$ и угол между векторами $\mathbf{~}$ и $g$ $\beta=120^{\circ}$.
Pис. 4.7.
Рис. 4.8.
4.31. В установке (рис. 48) муфта $M$ массы $m=0,20$ кг закреплена между двумя одинаковыми пружинками, общая жесткость которых $x=20 \mathrm{H} /$ м. Муфта без трения может скользить по горизонтальному стержню $A B$. Установка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega=4,4$ рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти период малых колебаний муфты. При каком значении $\omega$ колебаний муфты не будет?
4.32. Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой $a=10$ см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если последний начинает скользить по доске, когда ее период колебания меньше $T=1,0$ c.
4.33. Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины $80 \mathrm{cм}$, если в начальный момент маятник:
a) отклонили на угол $3,0^{\circ}$ и без толчка отпустили;
б) находился в состоянии равновесия и его нижнему концу сообщили горизонтальную скорость $0,22 \mathrm{M} / \mathrm{c}$;
в) отклонили на $3,0^{\circ}$ и его нижнему концу сообщи́ли скорость $0,22 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, направленную
Рис. 4.9. к положению равновесия.
4.34. Тело $A$ массы $m_{1}=1,00$ кг и тело $B$ массы $m_{2}=4,10 \mathrm{кг}$ соединены между собой пружиной, как показано на рис. 4.9. Тело $A$ совершает свободные вертикальные гармонические колебания с амплитудой $a=1,6$ см и частотой $\omega=25 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$. Пренебрегая массой пружины, найти наибольшее и наименьшее значения силы давления этой системы на опорную плоскость.
4.35. Доска, на которой лежит тело массы $m$, начииает двигаться вертикально вверх по закону $y=a(1-\cos \omega t)$, где $y$ – смещение из начального положения, $\omega=11$ рад/с. Найти:
a) силу давления тела на доску в зависимости от времени, если $a=4,0$ см; изобразить график этой зависимости;
б) минимальную амплитуду колебания доски, при которой тело начнет отставать от нее;
в) амплитуду колебания доски, при которой тело подскочит на высоту $h=50$ см относительно начального положения (в момент $t=0$ ).
4.36. К нерастянутой пружине, верхний конец которой закреплен, подвесили и без толчка отпустили тело массы $m$. Жесткость пружины $x$. Пренебрегая ее массой, найти:
a) закон движения тела $y(t)$, где $y$ – его смещение из начального положения;
б) максимальное и минимальное натяжения пружины в процессе движения.
4.37. Частица массы $m$ движется под действием силы $\mathbf{F}=-\alpha m r$, где $\alpha$ – положительная постоянная, $\mathbf{r}$ – радиус-вектор частицы относительно начала координат. Найти траекторию ее движения, если в начальный момент $\mathbf{r}=r_{0} \mathbf{i}$ и скорость $\mathbf{v}=v_{0} \mathbf{j}$, где $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ орты осей $x$ и $y$.
4.38. Тело массы $m$ висит на пружине, прикрепленной к потолку кабины лифта. Жесткость пружины $\chi$. В момент $t=0$ кабина начала подниматься с ускорением $w$. Пренебрегая массой пружины, найти закон движения груза $y(t)$ относительно кабины лифта, если $y(0)=0$ и $\dot{y}(0)=0$. Рассмотреть два случая:
а) $w=$ const;
б) $w=\alpha t$, где $\alpha-$ постоянная.
4.39. Тело массы $m=0,50$ кг висит на резиновом шнуре с коэффициентом упругости $k=50 \mathrm{H} / \mathrm{м}$. Найти максимальное расстояние, на которое можно оттянуть вниз тело, чтобы его колебания еще носили гармонический характер. Какова при этом энергия колебаний тела?
4.40. Тело массы $m$ упало с высоты $h$ на чашку пружинных весов (рис. 4:10). Массы чашки и пружины пренебрежимо малы, жесткость послед-
Pис. 4.10.
ней $x$. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и их энергию.
4.41. В условиях предыдущей задачи масса чашки равна $M$. Найти амплитуду колебаний в этом случае.
4.42. Частица массы $m$ движется в плоскости $x y$ под действием силы, зависящей от скорости по закону $\mathbf{F}=a(y \mathbf{i}-x \mathbf{j})$, где $a-$ положительиая постоянная, $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ – орты осей $x$ и $y$. В начальный момент $t=0$ частица находилась в точке $x=y=0$ и имела скорость $\mathrm{v}_{0}$ в направлении орта $\mathbf{j}$. Найти закон движения частицы $x(t)$, $y(t)$, а также уравнение ее траектории.
4.43. Маятник представляет собой легкий тонкостенный сферический сосуд радиуса $R$, который целиком заполнен водой. Сосуд укреплен на легком жестком стержне (рис. 4.11). Расстояние между точкой подвеса $O$ и центром сосуда равно $l$. Во сколько раз изменится период малых колебаний такого маятника после того, как вода замерзнет? Вязкостью воды и изменением ее объема при замерзании пренебречь.
4.44. Найти частоту малых колебаний тонкого Pис. 4.11. однородного вертикального стержня массы $m$ и длины $l$, который шарнирно укреплен в точке $O$ (рис. 4.12). Суммарная жесткость пружин $ж$. Массы пружин пренебрежимо малы.
4.45. Однородный стержень массы $m=1,5 \mathrm{kr}$, висящий на двух одинаковых нитях длины $l=90$ см (рис. 4.13), повернули на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину $C$. При этом нити отклонились на угол $\alpha=5,0^{\circ}$. Затем стержеиь отпустили, и он начал совершать малые колебания. Найти:
a) период колебаний;
б) энергию колебаний стержня.
Pис. 4.12.
Pис. 4.13.
Рис. 4.14.
4.46. Система (рис. 4.14) состоит из горизонтального однородного диска $D$ массы $m$ и радиуса $R$ и тонкого, стержня $A O$, коэффициент кручения которого $k$. Найти амплитуду малых крутильных колебаний и их энергию, если в начальный момент диск отклонили на угол $\varphi_{0}$ из положения равновесия и сообщили ему угловую скорость $\dot{\varphi}_{0}$.
4.47. Однородный стержень массы $m$ и длины $l$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти среднюю за период колебания кинетическую энергию стержня, если в начальный момент его отклонили от вертикали на угол $\vartheta_{0}$ и сообщили ему угловую скорость $\dot{\vartheta}_{0}$.
4.48: Физический маятник установили так,\” что его центр тяжести оказался над точкой подвеса. Из этого положения маятник начал двигаться к положению устойчивого равновесия; которое он прошел с угловой скоростью $\omega$. Пренебрегая трением, найти период малых колебаний этого маятника.
4.49. Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси с частотой $\omega_{1}=15,0$ рад/с. Если к нему прикрепить небольше тело массы $m=50$ г на расстоянии $l=20$ см ниже оси, то частота колебаний становится $\omega_{2}=10,0$ рад/с. Найти момент инерции этого маятника относительно оси качания.
4.50. Два физических маятника совершают малые колебания вокруг одной и той же горизонтальной оси с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Их моменты инерции отнссительно данной оси равны соответственно $I_{1}$ и $I_{2}$. Маятники привели в состояние устойчивого равновесия и скрепили друг с другом. Қакова будет частота малых колебаний составного маятника?
4.51. Однородный стержень длины $l$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси $O O^{\prime}$, перпендикуля рной к стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром инерции стержня и осью $O O^{\prime}$, при котором период колебаний будет наименьшим. Чему он равен?
4.52. Тонкая однородная пластинка в форме равностороннего треугольника с высотой $h$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. Найти период колебаний и приведенную длину данного маятника.
4.53. Гладкий горизонтальный диск вращают вокруг вертикальной оси $O$ (рис. 4.15) с постоянной угловой скоростью $\omega$. На нем находится тонкий однородный стержень $A B$ длины $l$, который совершает малые колебания вокруг вертикальной оси $A$, укрепленной на диске на расстоянии $a$ от оси $O$. Найти частоту $\omega_{0}$ этих колебаний.
Pис. 4.15.
Рис. 4.16.
4.54. Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 4.16. Известны радиус блока $R$, его момент инерции $I$ стносительно оси вращения, масса тела $m$ и жесткость пружины $\chi$. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.
4.55. Однородный цилиндрический блок массы $M$ и радиуса $R$ может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси $O$ (рис. 4.17). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз $A$. Этот груз уравновешивает точечнсе тело массы $m$, укрепленное на ободе блока, при определенном значении угла $\alpha$. Найти частоту малых колебаний системы.
4.56. Сплошной однородный цилиндр радиуса $r$ катается без скольжения по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса $R$, совершая малые колебания. Найти их период.
Pис. 4.17.
Рис. 4.18.
4.57. Сплошной однородный цилиндр массы $m$ совершает малые колебания под действием двух пружин, общая жесткость котсрых х (рис. 4.18). Найти период этих колебаний в отсутствие скольжения.
4.58. Два кубика, массы которых равны $m_{1}$ и $m_{2}$, соединили невессмой пружинкой жесткости $x$ и положили на гладкую горизонтальную плоскость. Затем кубики немного сблизили и одновременно отпустили. Найти собственную частоту колебаний системы.
4.59. Два шара с массами $m_{1}=$
Pис. 4.19.
тонкий гладкий горизонтальный стерс жесткостью $x=24 \mathrm{H} / \mathrm{M}$. Левому шару сообщили начальную скорость $v_{1}=12 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Найти:
a) частоту колебаний системы в процессе движения;
б) энергию и амплитуду колебаний.
4.60. Найти период малых крутильных колебаний системы, состоящей из двух дисков, насаженных на тонкий стержень с ксэффициентом кручения $k$. Моменты инерции дисков относительно оси стержня равны $I_{1}$ и $I_{2}$.
4.61. Модель молекулы $\mathrm{CO}_{2}$ – три шарика, соединенные одинаковыми легкими пружинками и расположенные в положении равновесия вдоль одной прямой. Такая система может совершать продольные колебания двух типов, как показано стрелками на рис. 4.20. Зная массы атомов, найти отношение частот этих колебаний.
4.62. В закрытом с обоих қонцов цилиндре, заполненном идеальным газом, находится поршень массы $m$ и площадью $S$ (рис. 4.21).
В состоянии равновесия поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом $V_{0}$. Давление газа $p_{0}$. Поршень немного сместили из положения равновесия и отпустили. Найти частоту его колебаний, считая процессы в газе адиабатическими, а трение ничтожно малым.
Рис. 4.20.
Pис. 4.21.
4.63. Небольшой шарик массы $m=21$ г, подвешенный на изолирующей нити на высоте $h=12$ см от большой горизонтальной проводящей плоскости, совершает малые колебания (рис. 4.22). После того как ему сообщили некоторый заряд $q$, период колебаний изменился в $\eta=2,0$ раза. Найти $q$.
4.64. Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля. При изменении индукции поля период колебаний стрелки уменьшился в $\eta=5,0$ раза. Во сколько раз и как изменилась иңдукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало.
Рис. 4.22.
Рис. 4.23.
4.65. Контур (рис. 4.23) образован двумя параллельными проводниками, замыкающим их соленоидом с индуктивностью $L$ и проводящим стержнем массы $m$, который может свободно (без трения) скользить по проводникам. Проводники находятся в горизонтальной плоскости в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $B$. Расстояние между проводниками $l$. В момент $t=0$ стержню сообщили вправо начальную скорость $v_{0}$. Найти закон его движения $x(t)$, если сопротивление контура пренебрежимо мало.
4.66. Қатушка индуктивности $L$ соединяет верхние концы двух вертикальных медных шин, отстоящих друг от друга на расстояние $l$. Вдоль шин падает без начальной скорости горизонтальный проводник-перемычка массы $m$-без нарушения контакта с шинами. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярном плоскости шин. Найти закон движения проводника $x(t)$.
4.67. Затухающие колебания точки происходят по закону $x=$ $=a_{0} \mathrm{e}^{-\beta t} \sin \omega t$. Найти:
a) амплитуду колебаний и скорость точки в момент $t=0$;
б) моменты времени, когда точка достигает крайних положений.
4.68. Тело совершает крутильные колебания по закону $\varphi=$ $=\varphi_{0} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos \omega t$. Найти:
a) угловую скорость $\dot{\varphi}$ и угловое ускорение $\ddot{\varphi}$ тела в момент $\boldsymbol{t}=0$;
б) моменты времени, когда угловая скорость становится максимальной.
4.69. Точка совершает затухающие колебания с частотой $\omega$ и коэффициентом затухания $\beta$ по закону (4.16). Найти начальную амплитуду $a_{0}$ и начальную фазу $\alpha$, если в момент $t=0$ смещение точки и проекция ее скорости равны:
а) $x(0)=0$ и $v_{x}(0)=\dot{x}_{0} ;$ б) $x(0)=x_{0}$ и $v_{x}(0)=0$.
4.70. Некоторая точка совершает затухающие колебания с частотой $\omega=25$ рад/с. Найти коэффициент затухания $\beta$; если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в $\eta=1,020$ раза меньше амплитуды в этот момент.
4.71. Точка совершает затухающие колебания с частотой $\omega$ и коэффициентом затухания $\beta$. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени $t$, если в момент $t=0$ :
a) амплитуда ее смещения равна $a_{0}$;
б) смещение точки $x(0)=0$ и проекция ее скорости $v_{x}(0)=\dot{x}_{0}$.
4.72. Имеются два затухающих колебания с известными периодами $T$ и коэффициентами затухания $\beta: T_{1}=0,10 \mathrm{mс,} \beta_{1}=100 \mathrm{c}^{-1}$ и $T_{2}=10 \mathrm{mc}, \beta_{2}=10 \mathrm{c}^{-1}$. Қакое из них затухает быстрее?
4.73. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания $\lambda_{0}=1,50$. Каким будет логарифмический декремент затухания, если сопротивление среды увеличить в $n=2,00$ раза? Во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?
4.74. К невесомой пружине подвесили грузик, в результате чего она растянулась на $\Delta x=9,8$ см. С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания $\lambda=3,1$.
4.75. Найти добротность осциллятора, у которого амплитуда смещения уменьшается в $\eta=2,0$ раза через каждые $n=110$ колебаний.
4.76. Частицу сместили из положения равновесия на расстояние $l=1,0$ см и предоставили самой себе. Қакой путь пройдет, колеблясь, эта частица до полной остановки, если логарифмический декремент затухания $\lambda=0,020$ ?
4.77. Найти добротность математического маятника длины $t=$ – $50 \mathrm{~cm}$, если залромежуток времени $\tau=5,2$ мин его полная механическая энергия уменьшилась в $\eta=4,0 \cdot 10^{4}$ раз.
4.78. Однородный диск радиуса $R=13$ см может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через край диска. Найти период малых колебаний этого диска, если логарифмический декремент затухания $\lambda=1,00$.
4.79. Тонкий однородный диск массы $m$ и радиуса $R$, подвешенный в горизонтальном положении к упругой нити, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент упругих сил со стороны нити $N=\alpha \varphi$, где $\alpha$ – постоянная, $\varphi$ – угол поворота из положения равновесия. Сила сопротивления, действующая на единицу поверхности диска, $F_{1}=\eta v, \quad$ где $\eta$ – постоянная, $v$ – ског рссть данного элемента диска относительно жидкости. Найти частоту малых колебаний.
4.80. Диск $A$ радиуса $R$, подвешенный на упругой нити между двумя неподвижными плоскостями (рис. 4.24), совершает крутильные колебания вокруг своей оси $O O^{\prime}$. Момент инерции диска относительно
Pис. 4.24.
этой оси $I$, зазор между диском и каждой

Рис. 4.24. из плоскостей $h$, причем $h \ll R$. Найти вязкость газа, окружающего диск $\Lambda$, если период колебаний диска $T$ и логарифмический декремент затухания $\lambda$.
4.81. Проводник в форме квадратной рамки со стороной $a$, подвешенный на упругой нити, находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией $B$. В положении равновесия плоскость рамки параллельна вектору В (рис. 4.25). Будучи выведена из положения равновесия, рамка совершает малые колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Момент инерции рамки относительно этой оси I, ее электрическое сопротивление $R$. Пренебрегая индуктивностью рамки, найти время, через которое амплитуда ее углового поворота уменьшится в е раз.
4.82. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k=0,10$ лежит брусок массы $m=0,50$ кг, соединенный горизонтальной недеформированной пружинкой со стенкой. Жесткость пружинки $x=2,45 \mathrm{H} / \mathrm{cм}$, а ее масса пренебрежимо мала. Брусок сместили так, что пружинка растянулась на $x_{0}=3,0$ см, а затем отпустили. Найти:
a) период колебаний бруска;
б) число колебаний, которые совершит брусок до остановки.
4.83. Шарик массы $m$ может совершать незатухающие гармонические колебания около точки $x=0$ с собственной частотой $\omega_{0}$.
В момент $t=0$, когда шарик находился в состоянии равновесия, к нему приложили вынуждающую силу $F=F_{0} \cos \omega t$, совпадающую по направлению с осью $x$. Найти уравнение вынужденных колебаний шарика $x(t)$
4.84. Частица массы $m$ может совершать незатухающие гармонические колебания под действием упругой силы с коэффициентом $k$. Когда частица находилась в состоянии равновесия, к ней приложили постоянную силу $F$, которая действовала в течение $\tau$ секунд. Найти амплитуду колебаний частицы после окончания действия этой силы. Изобразить примерный график колебаний $x(t)$. Исследовать возможные случаи.
4.85. Шарик массы $m$, подвешенный к пружинке, удлиняет последнюю на величину $\Delta l$. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по гармоническому закону с амплитудой $F_{0}$, шарик совершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания равен $\lambda$. Пренебрегая массой пружинки, найти круговую частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда смещения шарика максимальна. Қаково значение этой амплитуды?
4.86. Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах $\omega_{1}=400$ рад/с и $\omega_{2}=600$ рад/с равны между собой. Найти частоту, при которой амплитуда смещения максимальна.
4.87. При частотах вынуждающей гармонической силы $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ амплитуда скорости частицы равна половине максимального значения. Найти:
a) частоту, соответствующую резонансу скорости;
б) коэффициент затухания $\beta$ и частоту затухающих колебаний $\omega$ частицы.
4.88. Некоторая резонансная кривая соответствует механической колебательной системе с логарифмическим декрементом затухания $\lambda=1,60$. Найти для этой кривой отношение максимальной амплитуды смещения к амплитуде смещения при очень малой частоте.
4.89. Под действием внешней вертикальной силы $F=F_{0} \cos \omega t$ тело, подвешенное на пружинке, совершает установившиеся вынужденные колебания по закону $x=a \cos (\omega t-\varphi)$. Найти работу силы $F$ за период колебания.
4.90. Шарик массы $m=50,0$ г подвешен на невесомой пружинке жесткости $x=20,0 \mathrm{H} /$. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с частотой $\omega=25,0$ рад/с шарик совершает установившиеся колебания с амплитудой $a=1,3$ см. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на $\varphi=3 / 4 \pi$. Найти:
a) добротность данного осциллятора;
б) работу вынуждающей силы за период колебания.
4.91. Шарик массы $m$, подвешенный на невесомой пружинке, может совершать вертикальные колебания с коэффициентом затухания $\beta$. Собственная частота колебаний равна $\omega_{0}$. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по закону $F=F_{0} \cos \omega t$, шарик совершает установившиеся гармонические колебания. Найти:
a) среднюю за период колебания мощность $\langle P\rangle$ силы $F$;
б) частоту $\omega$ силы $F$, при которой $\langle P\rangle$ максимальна; чему равна $\langle P\rangle_{\text {манс }}$ ?
4.92. Вынужденная гармоническая сила $F$, частоту которой можно менять, не изменяя ее амплитуды, действует в вертикальном направлении на шарик, висящий на невесомой пружине. Коэффициент затухания в $\eta$ раз меньше собственной частоты $\omega_{0}$ колебаний шарика. На сколько процентов отличается средняя за период колебания мощность $\langle P\rangle$ силы $F$ при частоте, соответствующей резонансу смещения, от максимальной средней мощности $\langle P\rangle_{\text {макс }}$ этой силы?
4.93. Однородный горизонтальный диск, укрепленный в центре на упругом вертикальном стержне, совершает вынужденные крутильные колебания под действием момента сил $N \Rightarrow N_{m} \cos \omega t$. Колебания происходят по закону $\varphi=\varphi_{m} \cos (\omega t-\alpha)$. Найти:
a) работу сил трения, действующих на диск, за период колебания;
б) добротность данного осциллятора, если момент инерции диска относительно его оси равеи I.