Затухающие колебания контура
\[
q=q_{m} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos (\omega t+\alpha),
\]

где
\[
\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}, \quad \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L C}}, \quad \beta=\frac{R}{2 L} .
\]

Логарифмический декремент затухания $\lambda$ и добротность $Q$ контура определяются формулами (4.1г). При слабом затухаиии:
\[
\lambda=\pi R \sqrt{\frac{C}{L}}, \quad Q=\frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} .
\]

Установившиеся вынужденные колебания при последовательном включении в контур напряжения $U=U_{m} \cos \omega t$ :
\[
I=I_{m} \cos (\omega t-\varphi) \text {, }
\]

где
\[
\begin{array}{c}
I_{m}=\frac{U_{m}}{\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}}, \\
\operatorname{tg} \varphi=\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R} .
\end{array}
\]

Соответствующая векторная диаграмма наPис. 4.26. пряжений показана на рис. 4.26 .
– Мощиость, выделяемая в цепи переменного тока:
\[
P=U I \cos \varphi,
\]

где $U$ и $I$ – действующие (эффективные) значения напряжения и тока:
\[
U=U_{m} / \sqrt{2}, \quad I=I_{m} / \sqrt{2} .
\]
4.94. Под действием некоторой причины свободные элек̈троны в плоской медной пластине сместились на небольшое расстояние $x$ перпендикулярно к ее поверхности. Вследствие этого возник поверхностный заряд и соответствующая возвращающая сила, что привело к возбуждению так называемых плазменных колебаний. Найти круговую частоту этих колебаний, если концентрация свободных электронов в меди $n=0,85 \cdot 10^{29} \mathrm{M}^{-1}$.
4.95. В колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости $C$ и катушки индуктивности $L$, совершаются свободные незатухающие колебания, при которых амплитуда напряжения на конденсаторе равна $U_{m}$. Найти для произвольного момента-времени связь между током $I$ в контуре и напряжением $U$ на конденсаторе. Решить этот вопрос как с помощью закона Ома, так и энергетически.
4.96. Қолебательный контур состоит из конденсатора емкости $C$, катушки индуктивности $L$ с пренебрежимо малым сопротивлением и ключа. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения $U_{m}$ и затем в момент $t=0$ замкнули ключ. Найти:
a) ток в контуре как функцию времени $I(t)$;
б) э. д. с. самоиндукции в катушке в моменты, когда электрическая энергия конденсатора оказывается равной энергии тока в катушке.
4.97. В колебательном контуре, состоящем із плоского конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением, происходят колебания с энергией $W$. Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в $\eta$ раз. Какую работу совершили при этом?
4.98. В колебательном контуре (рис. 4.27) индуктивность катушки $L=2,5 \mathrm{м \Gamma}$, а емкости конденсаторов $C_{1}=2,0$ мкФ и $C_{2}=$ 3,0 мкФ. Конденсаторы зарядили до напряжения $U=180 \mathrm{~B}$ и замкнули ключ $K$. Найти:
a) период собственных колебаний;
б) амплитудное значение тока через катушку.
Pис. 4.27.
Pис. 4.28.
4.99. Электрическая цепь (рис. 4.28) имеет пренебрежимо малое активное сопротивление. Левый конденсатор зарядили до напряжения $U_{0}$ и затем – в момент $t=0$-замкнули ключ $K$. Найти зависимость от времени $t$ напряжений на левом и правом көнденсаторах.
4.100. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$. Сопротивление катушки и соединительных проводов пренебрежимо мало. Катушка находится в постоянном магнитном поле, так что суммарный поток, пронизывающий все витки катушки, равен $\Phi$. В момент $t=0$ магнитное поле выключили. Считая время выключения очень малым по сравнению с периодом собственных колебаний контура, найти ток в контуре как функцию времени $t$.
4.101. В контуре совершаются свободные затухающие колебания, при ‘которых напряжение на конденсаторе меняется во времени по закону $U=U_{m} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos \omega t$. Найти моменты времени, когда модуль напряжения на конденсаторе достигает:
a) амплитудных значений;
б) максимальных (экстремальных) значений.
4.102. Некоторый колебательный контур содержит конденсатор емкости $C$, катушку с индуктивностью $L$ и активным сопротивлением $R$, а также ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, после чего ключ замкнули, и начались колебания. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в момент непосредственно после замыкания ключа.
4.103. В контуре с емкостью $C$ и индуктивностью $L$ происходят свободные затухающие колебания, при которых ток меняется во времени по закону $I=I_{m} \mathrm{e}^{-\beta t} \sin \omega t$. Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени и, в частности, в момент $t=0$.
4.104. Колебательный контур состоит из конденсатора емкости $C=4,0$ мкФ и катушки с индуктивностью $L=2,0$ мГ и активным сопротивлением $R=10$ Ом. Найти отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в момент максимума тока.
4.105. Некоторый колебательный контур содержит две последовательно соединенные катушки с активными сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$ и индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$, причем взаимная индуктивность их пренебрежимо мала. Эти катушки надо заменить одной так, чтобы частота и добротность контура не изменились. Найти индуктивность и активное сопротивление такой катушки.
4.106. Найти время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью $Q=5000$ уменьшится в $\eta=2,0$ раза, если частота колебаний $v=2,2$ МГц.
4.107. Колебательный контур имеет емкость $C=10$ мкФ, индуктивность $L=25$ мГ и активное сопротивление $R=1,0$ Ом. Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменышится в е раз?
4.108. На сколько процентов отличается частота $\omega$ свободных колебаний контура с добротностью $Q=5,0$ от собственной частоты $\omega_{0}$ колебаний этого контура?
4.109. В схеме (рис. 4.29) э. д. с. элемента $\mathscr{E}=2,0$ В, его внутреннее сопротивление $r=9,0$ Ом, емкость конденсатора $C=10$ мк $Ф$,
индуктивность катушки $L=100 \mathrm{м} \Gamma$ и сопротивление $R=1,0$ Ом. В некоторый момент ключ $K$ разомкнули. Найти энергию колебаний в контуре:
a) непосредственно после размыкания ключа;
б) через $t=0,30 \mathrm{c}$ после размыкания ключа.
4.110. В контуре, добротность которого
Рис. 4.29.
$Q=50$ и ссбственная частота колебаний
$v_{0}=5,5 \mathrm{к}$ ц, возбуждаются затухающие колебания. Через сколько времени энергия, запасенная в контуре, уменышится в $\eta=2,0$ раза?
4.111. Колебательный контур содержит конденсатор с утечкой. Емкость конденсатора $C$, его активное сопротивление $R$. Индуктивность катушки $L$. Сопротивление катушки и проводов пренебрежимо мало. Найти:
a) частоту затухающих колебаний такого контура;
б) его добротность.
4.112. Найти добротность контура с емкостью $C=2,0$ мкФ и индуктивностью $L=5,0$ мГ, если на поддержание в нем незатухающих колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе $U_{m}=1,0$ В необходимо подводить мощность $\langle P\rangle=0,10$ мВт. Затухание колебаний в контуре достаточно мало.
4.113. Какую среднюю мощность должен потреблять колебательный контур с активным сопротивлением $R=0,45$ Ом, чтобы в нем поддерживались незатухающие гармонические колебания с амплитудой тока $I_{m}=30$ мАि?
4.114. Қолебательный контур содержит конденсатор_емксстью $C=1,2$ нФ и катушку с индуктивностью $L=6,0$ мкГ и активным сопротивлением $R=0,50$ Ом. Какую среднюю мощность нужно подводить к контуру, чтобы поддерживать в нем незатухающие гармонические колебания с амплитудой напряжения на кондеисаторе $U_{m}=10 \mathrm{~B}$ ?
4.115. Найти частоту затухающих колебаний контура, показанного на рис. 4.30. Емкость $C$, индуктивность $L$ и активное сопротивление $R$ предполагаются известными. Выяснить, при каком соотношении между $C, L$ и $R$ колебания возможны.
Рис. 4.30.
Рис. 4.31.
4.116. Имеются два колебательных контура (рис. 4.31) с конденсаторами одинаковой емкости. При каком соотношении между индуктивностями и активными сопротивлениями катушек частоты и затухание свободных колебаний в обоих контурах будут одинаковыми? Взаимная индуктивность катушек левого контура пренебрежимо мала.
4.117. Қонтур состоит из последовательно включенных конденсатора емкости $C$, катушки индуктивности $L$, ключа и сопротивления, равного критическому для данного контура. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения $U_{0}$ и в момент $t=0$ ключ замкнули. Найти ток $I$ в контуре как функцию времеии $t$. Чему равен $I_{\text {макс }}$ ?
4.118. Қатушку с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$ подключили в момент $t=0 \mathrm{~K}$ источнику напряжения $U=$ $=U_{m} \cos \omega t$. Найти ток в катушке как функцию времени $t$.
4.119. Цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкости $C$ и сопротивления $R$, подключили к переменному напряжению $U=U_{m} \cos \omega t$ в момент $t=0$. Найти ток в цепи как функцию времени $t$.
4.120. Длинный однослойный соленоид из проволоки с удельным сопротивлением $\rho$ имеет на единицу длины $n$ плотно расположенных витков. Толшина изоляции провода пренебрежимо мала. Радиус сечения соленода равен $a$. Найти разность фаз между током и переменным напряжением с частотой $v$, которое подключено к концам соленоида.
4.121. Концы цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора и активного сопротивления $R=110$ Ом, подсоединили к переменному напряжению с амплитудным значением $U_{m}=$ $=110$ В. При этом амплитуда установившегося тока в цепи $I_{m}=$ $=0,50 \mathrm{~A}$. Найти разность фаз между током и подаваемым напряжением.
4.122. На рис. 4.32 показана простейшая схема сглаживающего фильтра. На левый вход подают напряжение $U=U_{0}(1+\cos \omega t)$. Найти:
a) выходное напряжение $U^{\prime}(t)$;
б) значение величины $R C$, при котором амплитуда переменной составляющей напряжения на выходе будет в $\eta=7,0$ раза меньше постоянной составляющей, если $\omega=314 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$.
Рис. 4.32.
Pис. 4.33.
4.123. Изобразить примерные векторные диаграммы напряжений в электрических цепях, показанных на рис. $4.33, a$, б. Внешнее напряжение $U$ предполагается гармоническим с частотой $\omega$.
4.124. Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости $C=22$ мкФ и катушки с активным сопротивлением $R=20$ Ом и индуктивностью $L=0,35 \mathrm{~F}$, подключена к сети переменного напряжения с амплитудой $U_{m}=180 \mathrm{~B}$ и частотой $\omega=314 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$ : Найти:
a) амплитуду тока в цепи;
б) разность фаз между током и внешним напряжением;
в) амплитуды напряжения на конденсаторе и катушке.
4.125. Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости $C$, сопротивления $R$ и катушки с индуктивностью $L \boldsymbol{U}$ пренебрежимо малым активным сопротивлением подключена к генератору синусоидального напряжения, частоту которого можно менять при постоянной амплитуде. Найти частоту, при которой максимальна амплитуда напряжения:
a) на конденсаторе; б) на катушке.
4.126. Переменное напряжение с частотой $\omega=314 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$ и амплитудным значением $U_{m}=180$ В подключено к концам цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки с активным сопротивлением $R=40$ Ом и индуктивностью $L=$ $=0,36 \Gamma$. При каком значении емкости конденсатора амплитуда напряжения на катушке будет максимальной? Чему равна эта амплитуда и соответствующая амплитуда напряжения на конденcaтope?
4.127. Конденсатор емкости $C$, пространство между обқладками которого заполнено слабо проводящей средой с активным сопротивлением $R$, подключили к источнику. переменного напряжения $U=U_{m} \cos \omega t$. Найти установившийся ток в подводящих проводах в зависимости от времени. Сопротивление проводов пренебрежимо мало.
4.128. Колебательный контур содержит конденсатор емкости $C$ и соленоид с индуктивностью $L_{1}$. Соленоид индуктивно связан с короткозамкнутой катушкой, имеющей индуктивность $L_{2}$ и пренебрежимо малое активное сопротивление. Коэффициент их взаимной индуктивности равен $L_{12}$. Найти собственную частоту данного колебательного контура.
4.129. Найти добротность колебательного контура, в который последовательно включен источник переменной э. д. с., если при резонансе напряжение на конденсаторе в $n$ раз превышает напряжение на источнике.
4.130. Цепь переменного тока, состоящая из последовательно соединенных катушки и конденсатора, подключена к источнику переменной э. д. с., причем индуктивность катушки подобрана так, что ток в цепи максимален. Найти добротность системы, если известно, что при увеличении индуктивности в $n$ раз ток в цепи уменьшается в $\eta$ раз.
4.131. Цепь, содержащая последовательно соединенные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, подключена к источнику гармонического напряжения, частоту которого можно менять;
не изменяя амплитуды напряжения: При частотах $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ амплитуды тока оказались в $n$ раз меньше резонансной амплитуды. Найти:
a) резонансную частоту; б) добротность цепи.
4.132. Показать, что при малом затухании добротность контура, в котором совершаются вынужденные колебания, $Q \approx \omega_{0} / \Delta \omega$, где $\omega_{0}$ – собственная частота колебаний, $\Delta \omega$ – ширина резонансной кривой $I(\omega)$ на «высоте», в $\sqrt{2}$ раз меньшей амплитуды тока при резонансе.
4.133. К концам цепи, состоящей из последовательно соёдиненных конденсатора и катушки, подают два переменных напряжения одинаковой амплитуды, но разной частоты. Частота одного напряжения равна собственной частоте $\left(\omega_{0}\right)$, другого – в $\eta$ раз больше. Найти отношение амплитуд токов $\left(I_{0} / I\right)$, возбуждаемых обоими напряжениями, если добротность системы равна $Q$. Вычислить это отношение для $Q=10$ и 100 , если $\eta=1,10$.
4.134. Для зарядки аккумулятора постоянным током $I_{0}$ требуется $t_{0}$ часов. Сколько времени понадобится для зарядки такого аккумулятора от сети через однополупериодный выпрямитель, если действующее значение тока тоже равно $I_{0}$ ?
4.135. Найти действующее значение тока, если среднее значение его равно $I_{0}$, а сам ток зависит от времени по закону:
a) показанному на рис. 4.34 ;
Рис. 4.34.
б) $I \sim|\sin \omega t|$.
4.136. Соленоид с индуктивностью $L=7$ мГ и активным сопротивлением $R \stackrel{2}{=} 44$ Ом подключили сначала к источнику постоянного напряжения $U_{0}$, а затем к генератору синусоидального напряжения с действующим значением $U=U_{0}$. При какой частоте генератора мощность, потребляемая соленоидом, будет в $\eta=5,0$ раза меньше; чем в первом случае?
4.137. К сети с действующим напряжением $U=100$ В подключили катушку, индуктивное сопротивление которой $X_{L}=30$ Ом и импеданс $Z=50$ Ом. Найти разность фаз между током и напряжением, а также тепловую мощность, выделяемую в катушке.
4.138. Катушка с индуктивностью $L=0,70 \Gamma$ и активным сопротивлением $r=20$ Ом соединена последовательно с безындукционным сопротивлением $R$, и между концами этой цепи приложено переменное напряжение с действующим значением $U=220 \mathrm{~B}$ и частотой $\omega=314$ рад/с. При каком значении сопротивления $R$ в цепи будет выделяться максимальная тепловая мощность? Чему она равна?
4.139. Цепь, состоящая из-посдедовательно соединенных конденсатора и катушки, подключена к сети. Изменив емкость конденсатора, добились увеличения выделяемой тепловой мощности в катушке в $n=1,7$ раза. На сколько процентов изменилось при этом значение $\cos \varphi$ ?
4.140. В колебательный контур с добротностью $Q=100$ включены последовательно источник синусоидальной э. д. с. с постоянной амплитудой напряжения. При некоторой частоте внешнего напряжения тепловая мощность, выделяемая в контуре, оказывается максимальной. На сколько процентов следует изменить эту частоту, цтобы выделяемая мощность уменьшилась в $n=2,0$ раза?
4.141. Цепь, состоящую из последовательно соединенных безындукционного сопротивления $R=0,16$ кОм и катушки с активным сопротивлением, подключили к сети с действующим напряжением $U=220$ В. Найти тепловую мощность, выделяемую на катушке, если действующие напряжения на сопротивлении $R$ и катушке равны соответственно $U_{1}=80 \mathrm{~B}$ и $U_{2}=180 \mathrm{~B}$.
4.142. Катушка и безындукционное сопротивление $R=25$ Ом подключены параллельно к сети переменного напряжения. Найти тепловую мощность, выделяемую в катушке, если из сети потребляется ток $I=0,90 \mathrm{~A}$, а через катушку и сопротивление $R$ текут токи соответственно $I_{1}=0,50 \mathrm{~A}$ и $I_{2}=0,60 \mathrm{~A}$.
4.143. Найти полное сопротивление участка цепи, состоящего из параллельно включенного конденсатора емкости $C=73$ мкФ и активного сопротивления $R=100 \mathrm{Om}$, – для переменного тока частоты $\omega=314 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$.
4.144. Изобразить примерные векторные диаграммы токов в электрических контурах, показанных на рис. 4.35. Предполагается,
Рис. 4.35.

что подаваемое между точками $A$ и $B$ напряжение синусоидальное и параметры каждого контура подобраны так, что суммарный ток $I_{0}$ через контур отстает по фазе от внешнего напряжения на угол $\varphi$.
4.145. Конденсатор емкости $C=1,0$ мкФ и катушку с активным сопротивлением $R=0,10$ Ом и индуктивностью $L=1,0$ мГ подключили параллельно к источнику синусоидального напряжения с действующим значением $U=31 \mathrm{~B}$. Найти:
a) частоту $\omega$, при которой наступает резонанс;
б) действующее значение подводимого тока при резонансе, а также соответствующие токи через катушку и конденсатор.
4.146. К источнику синусоидального напряжения с частотой $\omega$ подключили параллельно конденсатор емкости $C$ и катушку с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$. Найти разность фаз между подводимым к контуру током и напряжением на источиике.
4.147. Участок цепи состоит из параллельно включенных конденсатора емкости $C$ и катушки с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$. Найти полное сопротивление этого участка для переменного напряжения с частотой $\omega$.
4.148. Кольцо из тонкого провода с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$ вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ во внешнем однородном магнитном поле, перпендикулярном к оси вращения. При этом поток магнитной индукции внешнего поля через кольцо изменяется во времени по закону $\Phi=\Phi_{0} \cos \omega t$. Показать, что:
a) индукционный ток в кольце зависит от времени как $I=$ $=I_{m} \sin (\omega t-\varphi)$, где $I_{m}=\omega \Phi_{0} / \sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}$, причем $\operatorname{tg} \varphi=\omega L / R$;
б) средняя механическая мощность, развиваемая внешними силами для поддержания вращения, определяется формулой $P=1 /{ }_{2} \omega^{2} \Phi_{\theta}^{2} R /\left(R^{2}+\omega^{2} L^{2}\right)$.
4.149. На деревянный сердечник (рис. 4.36) надеты две катушки: катушка 1 с индуктивностью $L_{1}$ и замкнутая накоротко катушка 2 с активным Pис. 4.36. сопротивлением $R$ и индуктивностью $L_{2}$. Взаимная индуктивность катушек зависит от расстояния $x$ между ними по закону $L_{12}(x)$. Найти среднее по времени значение силы взаимодействия между катушками, когда по катушке 1 течет переменный ток $I_{1}=I_{0} \cos \omega t$.