– Основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости (уравнеиие Эйлера):
\[
\rho \frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{f}-
abla p,
\]

где $\rho$-плотность жидкости, $\mathbf{f}$-объемная плотиость массовых сил (в случае силы тяжести $\mathbf{f}=\rho \mathrm{g}$ ), $
abla p$-градиент давления.
– Уравнение Бернулли. В стационариом потоке идеальиой жидкости вдоль любой лииии тока:
\[
\frac{\rho v^{2}}{2}+\rho g h+p=\text { const. }
\]

Число Рейнольдса, определяющее характер течения вязкой жидкостия
\[
\mathbf{R e}=\rho v l / \eta,
\]

где $l$-иекоторый характерный размер, $\eta$-вязкость жидкости.
Формула Пуазейля. Поток жидкости через поперечное сечение трубы (в $\mathrm{M}^{3} / \mathrm{C}$ ):
\[
Q=\frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \frac{p_{1}-p_{2}}{l},
\]

где $R$ и $l$-радиус и длииа \”трубы, p $_{i}-p_{2}$-разность Ідавлений иа ее көнцах.

Формула Стокса. Сила сопротивления движению шарика раднусом $r$ в вязкой жидкости:
\[
F=6 \pi \eta r v .
\]
1.315. Идеальная жидкость течет по плоской трубе одинакового сечения, расположенной в горизонтальной плоскости и изогнутой, как показано на рис. 1.80 (вид сверху). Поток стационарный. Одинаковы ли давления и скорости жидкости в точках 1 и 2? Какой вид имеют линии тока?
Рис, 4,80.
Pис. 1.81.
1.316. Две манометрические трубки установлены на горизонтальной трубе переменного сечения в местах, где сечения трубы равны $S_{1}$ и $S_{2}$ (рис. 1.81). По трубе течет вода. Найти объем воды, протекающей в единицу времени через сечение трубы, если разность уровней воды в манометрических трубках равна $\Delta h$.
1.317. Трубка Пито (рис. 1.82) установлена по оси газопровода, площадь внутреннего сечения которого равна $S$. Пренебрегая вязкостью, найти объем газа, проходящего через сечение трубы в единицу времени, если разность уровРис. 1.82. ней в жидкостном манометре равна $\Delta h$, а плотности жидкости и газа – соответственно $\rho_{0}$ и $\rho$.
1.318. Широкий сосуд с небольшим отверстием в дне наполнен водой и керосином. Пренебрегая вязкостью, найти скорость вытекающей воды, если толщина слоя воды $h_{1}=30 \mathrm{~cm}$, а слоя керосина $h_{2}=20 \mathrm{~cm}$.
1.319. На столе стоит широкий цилиндрический сосуд высотой 50 см. Сосуд наполнен водой. Пренебрегая вязкостью, найти, на какой высоте от дна сосуда следует сделать небольшое отверстие, чтобы струя из него била в поверхность стола на максимальное расстояние $l_{\text {max }}$ от сосуда. Чему равно $l_{\text {maxc }}$ ?
1.320. Изогнутую трубку опустили в поток воды, как показано на рис. 1.83. Скорость потока относительно трубки $v=2,5 \mathrm{M} / \mathrm{c}$. Закрытый верхний конец трубки имеет небольшое отверстие и находится на высоте $h_{0}=12 \mathrm{~cm}$. На какую высоту $h$ будет подниматься струя воды, вытекающая из отверстия?
1.321. На горизонтальном дне широкого сосуда с идеальной жидкостью имеется круглое отверстие радиуса $R_{1}$, а над ним укреплен круглый закрытый цилиндр радиуса $R_{2}>R_{1}$ (рис. 1.84). Зазор между цилиндром и дном сосуда очень мал, плотность жидкости $\rho$. Найти статическое давление жидкости в зазоре как функцию расстояния $r$ от оси отверстия и цилиндра, если высота жидкости равна $h$.
Pис. 1.83,
Рис. 1.85.
1.322. Қакую работу необходимо совершить, чтобы, действуя постоянной силой на поршень (рис. 1.85), выдавить из горизонтально расположенного цилиндра всю воду за время $t$ ? Объем воды в цилиндре равен $V$, площадь сечения отверстия $-s$, причем $s$ значительно меньше площади поршня. Трение и вязкость пренебрежимо малы.
1.323. Цилиндрический сосуд высоты $h$ и площадью основания $\mathcal{S}$ наполнен водой. В дне сосуда открыли отверстие с площадью $s \ll S$. Пренебрегая вязкостью воды, определить, через сколько времени вся вода вытечет из сосуда.
1.324. Горизонтально расположенная трубка $A B$ длины $l$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг ненодвижной вертикальной оси $O O^{\prime}$, прохоРис. 1.86. дящей через конец $A$ (рис. 1.86). В трубке находится идеальная жидкость. Конец $A$ трубки открыт, а в закрытом конце $B$ имеется очень малое отверстие. Найти, с какой скоростью относительно трубки будет вытекать жидкость в зависимости от «высоты» ее столба $h$.
1.325. Показать, что в случае стационарного потока идеальной жидкости уравнение (1.7a) приводит к уравнению Бернулли.
1.326. С противоположных сторон широкого вертикального сосуда, наполненного водой, открыли два одинаковых отверстия, каждое пліощадью $S=0,50 \mathrm{~cm}^{2}$. Расстояние между ними по высоте $\Delta h=$ $=51$ см. Найти результирующую силу реакции вытекающей воды.
1.327. В боковой стенке широкого цилиндрического вертикального сосуда высоты $h=75$ см сделана узкая вертикальная щель, нижний конец которой упирается в дно сосуда. Длина щели $l=$ $=50$ см, ширина $b=1,0$ мм. Закрыв щель, сосуд наполнили водой.: Найти результирующую силу реакции вытекающей воды непосредственно после того, как щель открыли.
1.328. Вода вытекает из большого бака по изогнутой под прямым углом трубке, внутренний радиус которой $r=0,50$ см (рис. 1.87). Длина горизонтальной части трубки $l=22$ см. Расход воды $Q=0,50 \mathrm{л} / \mathrm{c}$. Найти момент сил реакции воды на стенки этой трубки относительно точки $O$, обусловленный течением воды.
Рис. 1.87.
Рис. 1.88.
1.329. В боковой стенке широкого открытого бака вмонтирована суживающаяся трубка (рис. 1.88), через которую вытекает вода. Площадь сечения трубки уменьшается от $S=3,0 \mathrm{~cm}^{2}$ до $s=1,0 \mathrm{~cm}^{2}$. Уровень воды в баке на $h=4,6$ м выше уровня в трубке. Пренебрегая вязкостью воды, найти горизонтальную составляющую силы, вырывающей трубку из бака.
1.330. Цилиндрический сосуд с водой вращают вокруг его вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Найти:
a) форму свободной поверхности воды;
б) распределение давления воды на дне сосуда вдоль его радиуса, если давление в центре дна равно $p_{0}$.
1.331. Тонкий горизонтальный
Рис. 1.89. диск радиуса $R=10$ см расположен в цилиндрической полости с маслом, вязкость которого $\eta=0,08 \Pi$ (рие.
1.89). Зазоры между диском и горизонтальными торцами полости одинаковы и равны $h=1,0$ мм. Найти мощность, которую развивают силы вязкости, действующие на диск, при вращении его с угловой скоростью $\omega=60$ рад/с. Краевыми эффектами пренебречь
1.332. Длинный цилиндр радиуса $R_{1}$ перемещают вдоль его оси с постоянной скоростью $v_{0}$ внутри коаксиального с ним неподвижного цилиндра радиуса $R_{2}$. Пространство между цилиндрами заполнено вязкой жидкостью. Найти скорость жидкости в зависимости от расстояния $r$ до оси цилиндров. Течение ламинарное.
1.333. Жидкость с вязкостью $\eta$ находится между двумя длинными коаксиальными цилиндрами с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$, причем $R_{1}<R_{2}$. Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращают с постоянной угловой скоростью $\omega_{2}$. Движение жидкости ламинарное. Имея в виду, что сила трения, действующая на единицу площади цилиндрической поверхности радиуса $r$, определяется формулой $\sigma=\eta r(\partial \omega / \partial r)$, найти:
a) угловую скорость вращающейся жидкости в зависимости от радиуса $r$ :
б) момент сил трения, действующих на единицу длины внешнего цилиндра.
1.334. По трубке длины $l$ и радиуса $R$ течет стационарный поток жидкости, плотность которой $\rho$ и вязкость $\eta$. Скорость течения жидкости зависит от расстояния $r$ до оси трубки по закону $v=$ $=v_{0}\left(1-r^{2} / R^{2}\right)$. Найти:
a) объем жидкости, протекающей через сечение трубки в единицу времени;
б) кинетическую энергию жидкости в объеме трубки;
в) силу трения, которую испытывает трубка со стороны жидкости;
г) разность давлений на концах трубки.
1.335. В системе (рис. 1.90) из широкого сосуда $A$ по трубке вытекает вязкая жидкость, плотность которой $\rho=1,0 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$. Найти скорость вытекающей жидкости, если $h_{1}=10 \mathrm{cм}$, $h_{2}=20$ см и $h_{3}=35 \mathrm{~cm}$. Расстояния $l$ одинаковы.
1.336. Радиус сечения трубопровода монотонно уменьшается по закону $r=r_{0} \mathrm{e}^{-\alpha x}$, где $\alpha=0,50 \mathrm{~m}^{-1}$, $x$ – расстояние от начала трубопровода. Найти отношение чисел Рейнольдса в сечения х, отстоящих друг Рис. 1.90. от друга иа $\Delta x=3,2$ м.
1.337. При движении шарика радиуса $r_{1}=1,2$ мм в глицерине ламинарное обтекание наблюдается при скорости шарика, не превышающей $v_{1}=23 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. При какой минимальной скорости $v_{2}$ шара радиуса $r_{2}=5,5$ см в воде обтекание станет турбулентным? Вязкости глицерина и воды равны соответственно $\eta_{1}=13,9$ и $\eta_{2}=$ $=0,011$ П.
1.338. Свинцовый шарик равномерно опускается в глицерине, вязкость которого $\eta=13,9$ П. При каком наибольшем диаметре шарика его обтекание еще остается ламинарным? Известно, что переход к турбулентному обтеканию соответствует числу $\operatorname{Re}=0,5$ (это значение числа $\mathrm{Re}$, при котором за характерный размер взят диаметр шарика).
1.339. Стальной шарик диаметра $d=3,0$ мм опускается с нулевой начальной скоростью в прованском масле, вязкость которого $\eta=0,90 П$. Через сколько времени после начала движения скорость шарика будет отличаться оr установившегося значения на $n=$ $=1,0 \%$ ?