– Угол $\vartheta$, на который рассеивается заряженная частица кулоновским полем иеподвижного ядра, определяется формулой:
\[
\operatorname{tg} \frac{\vartheta}{2}=\frac{q_{1} q_{2}}{2 b T},
\]

где $q_{1}$ и $q_{2}$-заряды частицы и ядра, $b$-прицетьный параметр, $T$-кинетическая энергия налетающсй частицы.
$/$ Формула Резерфорда. Относительное число частиц, рассеянных в элементарном телесном угле $d \Omega$ под углом $\vartheta$ к первоначальному направлению их движения:
\[
\frac{d N}{N}=n\left(\frac{q_{1} q_{2}}{4 T}\right)^{2} \frac{d \Omega}{\sin ^{4}(\vartheta / 2)},
\]

где $n$-число ядер фольги на единицу ее поверхности, $d \Omega=\sin \vartheta d \vartheta d \varphi$.
– Обобщенная формула Бальмера (рис. 6.1):

Рис. 6.1.
\[
\omega=R Z^{2}\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right), \quad R=\frac{m e^{4}}{2 \hbar^{3}},
\]

где $\omega$-частота перехода (рад/с) между энергетическими уровнями с квантовыми числами $n_{1}$ и $n_{2}, R$-постоянная Ридберга, $Z$-порядковый номер водородоподобиого иона.
6.1. Вычислить согласно модели Томсона радиус атома водорода и длину волны испускаемого им света, если известно, что энергия ионизации атома $E=13,6$ эВ.
6.2. Альфа-частица с кинетической энергией 0,27 МэВ рассеялась золотой фольгой на угол $60^{\circ}$. Найти соответствуюе значение прицельного параметра.
6.3. На какое минимальное расстояние приблизится $\alpha$-частица с кинетической энергией $T \doteq 0,40 \mathrm{M}$ В (при лобовом соударении):
a) к покоящемуся тяжелому ядру атома свинца;
б) к первоначально покоившемуся легкому свободному ядру Li??
*) В этой части все формулы даиы в гауссовой системе.
6.4. Альфа-частица с кинетической энергией $T=0,50$ МэВ рассеялась под углом $\vartheta=90^{\circ}$ на кулоновском поле неподвижного ядра атома ртути. Найти:
a) наименьший радиус кривизны ее траектории;
б) минимальное расстояние, на которое она сблизилась с ядром.
6.5. Протон с кинетической энергией $T$ и прицельным параметром $b$ рассеялся на кулоновском поле неподвижного ядра атома золота. Найти импульс, переданный данному ядру в результате рассеяния.
6.6. Протон с кинетической энергией $T=10$ МэВ пролетает на расстоянии $b=10$ пм от свободного покоившегося электрона. Найти энергию, которую получит электрон, считая, что траектория протона прямолинейная и за время пролета электрон остается практически неподвижным.
6.7. Частица с кинетической энергией $T$ рассенвается на сферической потенциальной яме радиуса $R$ и глубины $U_{0}$, т. е. полем, в котором потенциальная энергия частицы имеет вид
\[
U=\left\{\begin{array}{r}
0 \text { при } r>R, \\
-U_{0} \text { при } r<R,
\end{array}\right.
\]

где $r$ – расстояние о’т центра ямы. Найти связь между прицельным параметром частицы $b$ и углом $\vartheta$, на который она отклонится от первоначального направления движения.
6.8. Неподвижный шар радиуса $R$ облучают параллельным потоком частиц, радиус ко’торых $r$. Считая столкновение частицы с шаром упругим, найти:
a) угол $\vartheta$ отклонения частицы в зависимости от ее прицельного параметра $b$;
б) относительную долю частиц, которые после столкновения с шаром рассеялись в интервале углов от $\vartheta$ до $\vartheta+d \vartheta$;
в) вероятность того, ч’то частица, испытавшая соударение с шаром, рассеется в переднюю полусферу ( $\vartheta<\pi / 2$ ).
6.9. Узкий пучок $\alpha$-частиц с кинетической энергией 1,0 МэВ падает нормально на платиновую фольгу толщины 1,0 мкм. Наблюдение рассеянных частиц ведется под углом $60^{\circ}$ к направлению падающего пучка при помощи счетчика с круглым входным отверстием площади $1,0 \mathrm{~cm}^{2}$, ко’торое расположено на расстоянии $10 \mathrm{~cm}$ от рассеивающего участка фольги. Какая доля рассеянных $\alpha$-частиц падает на отверстие счетчика?
6.10. Узкий пучок $\alpha$-частиц с кинетической энергией $T=$ $=0,50 \mathrm{M}$ В и интенсивностью $I=5,0 \cdot 10^{5}$ част. $/$ с падает нормально на золотую фольгу. Найти ее толщину, если на расстоянии $r=15 \mathrm{cм}$ от рассеивающего участка под углом $\vartheta=60^{\circ}$ к направлению падающего пучка плотность потока рассеянных частиц $J=$ $=40$ част./ $\left(\mathrm{cm}^{2} \cdot \mathrm{c}\right)$.
6.11. Узкий пучок $\alpha$-частиц падает нормально на серебряную фольгу. За ней установлен счетчик, регистрирующий частицы, рассеянные в соответствии с формулой Резерфорда. При замене серебряной фольги на платиновую той же массовой толщины число регистрируемых в единицу времени $\alpha$-частиц возросло в $\eta=1,52$ раза. Найти порядковый номер платины, считая, что порядковый номер серебра и массовые числа обоих элементов известны.
6.12. Узкий пучок $\alpha$-частиц с кинетической энергией $T=$ $=0,50 \mathrm{Mэ}$ В падает нормально на золотую фольгу, массовая толщина которой $\rho d=1,5 \mathrm{mг} / \mathrm{cm}^{2}$. Интенсивность пучка $I_{0}=5,0 \cdot 10^{5}$ част./с. Найти число $\alpha$-чаетиц, рассеянных фольгой за $\tau=30$ мин в интервалах углов:
а) $59-61^{\circ}$; б) свыше $\vartheta_{0}=60^{\circ}$.
6.13. Узкий пучок протонов, имеющих скорость $v=6 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, падает нормально на серебряную фольгу толщины $d=1,0$ мкм. Найти вероятность рассеяния протонов в заднюю полусферу $(\vartheta>$ $>90^{\circ}$ ).
6.14. Узкий пучок $\alpha$-частиц с кинетической энергией $T=$ $=600$ кэВ падает нормально на золотую фольгу, содержащую $n=$ $=1,1 \cdot 10^{19}$ ядер $/$ см $^{2}$. Найти относительное число $\alpha$-частиц, рассеивающихся под углами $\vartheta<\vartheta_{0}=20^{\circ}$.
6.15. Узкий пучок протонов с кинетической энергией $T=$ $=1,4$ МэВ падает нормально на латунную фольгу, массовая толщина которой $\rho d=1,5 \mathrm{mг} / \mathrm{cm}^{2}$. Весовое отношение меди и цинка в фольге равно соответственно $7: 3$. Найти относительное число протонов, рассеивающихся на углы свыше $\vartheta_{0}=30^{\circ}$.
6.16. Найти эффективное сечение ядра атома урана, соответствующее рассеянию $\alpha$-частиц с кинетической энергией $T=1,5$ МэВ в интервале углов свыше $\vartheta_{0}=60^{\circ}$.
6.17. Эффективное сечение ядра атома золота, отвечающее рассеянию моноэнергетических $\alpha$-частиц в интервале углов от 90 до $180^{\circ}$, равно $\Delta \sigma=0,50$ кб. Определить:
a) энергию $\alpha$-частиц;
б) дифференциальное сечение рассеяния $d \sigma / d \Omega$ (кб/ср), соответствующее углу $\vartheta=60^{\circ}$.
6.18. Согласно классической электродинамике электрон, движущийся с ускорением $\mathbf{w}$, теряет энергию на излучение по закону
\[
\frac{d E}{d t}=-\frac{2 e^{2}}{3 c^{3}} \mathbf{w}^{2},
\]

где $e$ – заряд электрона, $c$ – скорость света. Оценить время, за которое энергия электрона, совершающего колебания, близкие к гармоническим с частотой $\omega=5 \cdot 10^{15}$ рад/с, уменьшится в $\eta=$ $=10$ раз.
6.19. Воспользовавшись формулой из предыдущей задачи, оценить время, в течение которого электрон, движущийся в атоме водорода по круговой орбите радиуса $t=50$ пм, упал бы на ядро. Для простоты считать, что вектор w все время направлен к центру атома.
6.20. Показать, что частота $\omega$ фотона, возникающего при переходе электрона между соседними круговыми орбитами водородоподобного иона, удовлетворяет неравенству $\omega_{n}<\omega<\omega_{n+1}$, где $\omega_{n}$ и $\omega_{n+1}$ – частоты обращения электрона вокруг ядра на этих круговых орбитах. Убедиться, что при $n \rightarrow \infty$ частота фотона $\omega \rightarrow \omega_{n}$.
6.21. Частица массы $m$ движется по круговой орбите в центрально-симметричном потенциальном поле $U(r)=k r^{2} / 2$. Найти с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и уровни энергии э’той частицы.
6.22. Вычислить для атома водорода и иона $\mathrm{He}^{+}$:
a) радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на ней;
б) кинетическую энергию и энергию связи электрона в основном состоянии;
в) по’тенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину волны резонансной линии ( $n^{\prime}=2 \rightarrow n=1$ ).
6.23. Вычислить круговую частоту обращения электрона на второй боровской орбите иона $\mathrm{He}^{+}$.
6.24. Найти для водородоподобных систем магнитный момент $\mu_{n}$, соответствующий движению электрона на $n$-й орбите, а также о’тношение магнитного момента к механическому $\mu_{n} / M_{n}$. Вычислить магнитный момент электрона, находящегося на первой боровской орбите.
6.25. Вычислить индукцию магнитного поля в центре атома водорода, обусловленного движением электрона по первой боровской орбите.
6.26. Рассчитать и изобразить в шкале длин волн спектральные интервалы, в которых заключены серии Лаймана, Бальмера и Пашена для атомарного водорода. Выделить на этой шкале видимую область спектра.
6.27. Қакой серии принадлежит спектральная линия атомарного водорода, волновое число которой равно разности волновых чисел следующих двух линий серии Бальмера: 486,1 и 410,2 нм? Какова длина волны этой линии?
6.28. Вычислить для атомарного водорода:
a) длины волн первых трех линий серии Бальмера;
б) минимальную разрешающую способность $\lambda / \delta \lambda$ спектрального прибора, при которой возможно разрешить первые 20 линий серии Бальмера.
6.29. Излучение атомарного водорода падает нормально на дифракционную решетку ширины $l=6,6$ мм. В наблюдаемом спектре под некоторым углом дифракции $\vartheta$ оказалась на пределе разрешения (по критерию Рэлея) 50 -я линия серии Бальмера. Най’ти э’тот угол.
6.30. Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн линий которого в четыре раза короче, чем у атомарного водорода?
6.31. Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают на $n$-й энергетический уровень?
6.32. Қакие линии содержит спектр поглощения атомарного водорода в диапазоне длин волн от 94,5 до 130,0 нм?
6.33. Найти квантовое число $n$, соответствующее возбукденному состоянию нона $\mathrm{He}^{+}$, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 108,5 и 30,4 нм.
6.34. Вычислить постояниую Ридберга $R$, если нзвестно, что для ионов $\mathrm{He}^{+}$разность длин воли между головными линнями серий Бальмера и Лаймана $\Delta \lambda=133,7$ нм.
6.35. У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана равна 59,3 нм?
6.36. Найти длину волны головной линии той спектральной серии ионов $\mathrm{He}^{+}$, у которой интервал между крайними линиями $\Delta \omega=5,18 \cdot 10^{15} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$.
6.37. Найти энергию связи электрона в основном состоянии водородоподобных ионов, в спектре которых длина волны третьей линии серии Бальмера равна 108,5 нм.
6.38. Энергия связи электрона в основном состоянии атома Не равна $E_{0}=24,6$ эВ. Найти энергию, необходимую для удаления обоих электронов из этого атома.
6.39. Найти скорость фотоэлектронов, вырываемых электромагнитным излучением с длиной волны $\lambda=18,0$ нм из ионов $\mathrm{He}^{+}$, которые находятся в основном состоянии и покоятся.
6.40. С какой минимальной кинетической энергией должен двигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударении с другим, покоящимся, атомом водорода один из них оказдылся способным испустить фотон? Предполагается, что до соударения оба атома находятся в основном состоянии.
6.41. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Какую скорость приобрел атом?
6.42. В условиях предыдущей задачи найти, на сколько процентов энергия испущенного фотона отличается от энергии соответствующего перехода в атоме водорода.
6.43. Покоящийся ион $\mathrm{He}^{+}$испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Этот фотон вырвал фотоэлектрон из покоящегося атома водорода, который находился в основном сјстоянии. Найти скорость фотозлектрона.
6.44. Найти скорссть возбужденных атомов водорода, если при наблюдении их излучения под углом $\vartheta=45^{\circ}$ к направлению движения данных атомов длина волны головной линии серии Лаймана оказалась смещенной на $\Delta \lambda=0,20$ нм.
6.45. Согласно постулату Бора – Зоммерфельда при периодическом движении частицы в потенциальном поле должно выполняться следующее правнло квантования:
\[
\oint \mathbf{p} d \mathbf{r}=2 \pi \hbar n,
\]
где $\mathbf{p}$ – импульс частицы, $d \mathbf{r}$ – ее элементарное перемещение, $n$-целые числа. Воспользовавшись этим правилом, найти разрешенные значения энергии частицы массы $m$, которая движется:
a) в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины $l$ с бесконечно высокими стенками;
б) по окружности радиуса $r$;
в) в одномерном по’тенциальном поле $U=\alpha x^{2} / 2$, где $\alpha$ – положительная постоянная;
г) по круговой орбите в центральном поле, где потенциальная энергия частицы $U=-\alpha / r, \alpha$ – положительная постоянная.
6.46. Найти с учетом движения ядра атома водорода выражения для энергии связи электрона в основном состоянии и для постоянной Ридберга. На сколько процентов отличается энергия связі и постоянная Ридберга, полученные без учета движения ядра, от соответствующих у’точненных значений этих величин?
6.47. Найти для атомов легкого и тяжелого водорода ( $H$ и D) разность:
a) энергий связи их электронов в основном состоянии;
б) длин волн головных линий серии Лаймана.
6.48. Вычислить расстояние между частицами системы в основном состоянии, соответствующую энергию связи и длину волны головной линин серии Лаймана, если системой является:
a) мезоатом водорода, ядром которого служнт протон (в мезоатоме вместо элек’трона движется мезон, имеющий то’ же заряд, но массу в 207 раз большую);
б) позитроний, который состоит из электрона и позитрона, движущихся вокруг общего центра масс.