К. п. д. тепловой машины:
\[
\eta=\frac{A}{Q_{i}}=1-\frac{Q_{2}^{\prime}}{Q_{1}},
\]

где $Q_{i}$-тепло, получаемое рабочим телом, $Q_{2}^{\prime}$-отдаваемое тепло.
К. п. д. цикла Карио:
\[
0=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}},
\]
rде $T_{1}$ и $T_{2}$-температуры нагревателя и холодильника.

Неравенство Клаузиуса
\[
\oint \frac{\delta Q}{T} \leqslant 0,
\]

где $\delta Q$-элементарное тепло, полученное системой ( $\delta Q$ – величнна алгебраи, пеская).
Приращение энтропии системы:
\[
\Delta S \geqslant \int \frac{\delta Q}{T}
\]

Основное соотнощение термодинамики:
\[
T d S \geqslant d U+p d V .
\]

Связь между энтропией в статистическим весом $\Omega$ јтермодинамической вероятностью)!
\[
S=k \ln \Omega,
\]

где $k$-постоянная Больцмана.
2.113. В каком случае к. п. д. цикла Қарно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на $\Delta T$ или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?
2.114. Водород совершает цикл Қарно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении:
a) объем газа увеличивается в $n=2,0$ раза;
б) давление уменьшается в $n=2,0$ раза.
2.115. Тепловую машину, работавшую по пиклу Қарно с к. п. д. $\eta=10 \%$, используют при тех же тепловых резервуарах как холодильную машину. Найти ее холодильный коэффициент $\varepsilon$.
2.116. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из чередующихся изотерм и адиабат (рис. 2.2). Температуры, при которых происходят изотермические процессы, равны $T_{1}, T_{2}$ и $T_{3}$. Найти к. п. д. такого цикла, если при каждом изотермическом расширении объем газа увеличивается в одно и то же число раз.
Pис. 2.2.
2.117. Найти к. п. д. цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в $n=10$ раз. Рабочим веществом является азот.
2.118. Найти к. п. д. цикла, состоящего из двух изобар и двух адиабат, если в пределах цикла давление изменяется в $n$ раз. Рабочим веществом является идеальный газ с шоказателем адиабаты $\gamma$.
2.119. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Найти к. п. д. такого цикла, если абсолютная температура газа возрастает в $n$ раз как при изохорическом нагреве, так и при изобарическом расширении.
2.120. Идезльный газ совершает цикл, состоящий из:
a) изохоры, адиабаты и изотермы;
б) изобары, адиабаты и изотермы, причем изотермический процесс происходит прн минимальной температуре цикла. Найти к. п. д. каждого цикла, если абсолютная температура в его пределах изменяется в $n$ раз.
2.121. То же, что в предыдущей задаче, только изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла.
2.122. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермы политропы и адиабаты, причем изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла. Найти к. п. д. такого цикла, если абсолютная температура в его пределах изменяется в $n$ раз.
2.123. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ совершает прямой цикл, состоящий из адиабаты, изобары и изохоры. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом процессе объем идеального газа:
a) увеличивается в $n$ раз; б) уменьшается в $n$ раз.
2.124. Вычислить к. п. д. цикла, состоящего из изотермы, изобары и изохоры, если при изотермическом процессе объем идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ :
a) увеличивается в $n$ раз; б) уменьшается в $n$ раз.
2.125. Найти к. п. д. цикла, состоящего из двух изохор и двух изотерм, если в пределах цикла объем изменяется в $v$ раз, а абсолютная температура – в $\tau$ раз. Рабочим веществом является идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$.
2.126. Определить к. п. д. цикла, состоящего из двух изобар и двух изотерм, если в пределах цикла давление изменяется в $n$ раз, а абсолютная температура – в $\tau$ раз. Рабочим веществом является идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$.
2.127. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ совершает цикл (рис. 2.3), в пределах кото рого абсолютная температура изменяется в $\tau$ раз. Найти к. п. д. этого цикла.
2.128. Воспользовавшись неравенством Клау-
Pnc. 2.3,
зиуса, показать, что к. п. д. всех циклов, у которых одинакова максимальная температура $T_{\text {макс }}$ и одинакова минимальная температура $T_{\text {мин }}$, меньше, чем у цикла Карно при $T_{\text {макс }}$ и $T_{\text {мнн }}$.
2.129. Показать с помощью теоремы Карно, что для физически однородного вещества, состояние которого характеризуется параметрами $T$ и $V$,
\[
(\partial U / \partial V)_{T}=T(\partial p / \partial T)_{V}-p,
\]

где $U(T, V)$ – внутренняя энергия вещества.
Указание. Использовать бесконечно малый цикл Карно на диаграмме $p, V$.
2.130. Найти приращение энтропии одного моля углекислого газа при увеличенни его абсолютной температуры в $n=2,0$ раза, если процесс нагревания:

a) изохорический; б) изобарический.

Газ считать идеальным.
2.131. Во сколько раз следует увеличить изотермически объем $v=4,0$ моля идеального газа, чтобы его энтропия испытала приращение $\Delta S=23$ Дж/К?
2.132. Два моля идеального газа сначала изохорически охладили, а затем изобарически расширили так, что температура газа стала равна первоначальной. Найти приращение энтропии газа, если его давление в данном процессе изменилось в $n=3,3$ раза.
2.133. Гелий массы $m=1,7 \mathrm{r}$ адиабатически расширили в $n=3,0$ раза и затем изобарически сжали до первоначального объема. Найти приращение энтропии газа в этом процессе:
2.134. Найти приращение энтропии $v=2,0$ моля идеального газа с показателем адиабаты $\gamma=1,30$, если в результате некоторого процесса объем газа увеличился в $\alpha=2,0$ раза, а давление уменьшилось в $\beta=3,0$ раза.
2.135. В сосудах 1 и 2 находится по $v=1,2$ моля газообразного гелия. Отношение объемов сосудов $V_{2} / V_{1}=\alpha=2,0$, а отношение абсолютных температур гелия в них $T_{1} / T_{2}=\beta=1,5$. Считая газ идеальным, найти разность энтропий гелия в этих сосудах $\left(S_{2}-S_{1}\right)$.
2.136. Один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ совершает политропический процесс, в результате которого абсолютная температура газа увеличивается в $\tau$ раз. Показатель политропы $n$. Найти приращение энтропии газа в данном процессе.
2.137. Процесс расширения $v=2,0$ моля аргона происходит так, что давление газа увеличивается прямо пропорционально его объему. Найти приращение энтропии газа при увеличении его объема в $\alpha=2,0$ раза.
2.138. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ совершает процесс по закону $p=p_{0}-\alpha V$, где $p_{0}$ и $\alpha-$ положительные постоянные, $V$ – объем. При каком значении объема энтропия газа окажется максимальной?
2.139. Один моль идеального газа совершает процесс, при котором энтропия газа изменяется с температурой $T$ по закону $S=a T+$ $+C_{V} \ln T$, где $a$ – положительная постоянная, $C_{V}$ – молярная теплоемкость данного газа при постоянном объеме. Найти, как зависит температура газа от его объема в этом процессе, если при $V=V_{0}$ температура $T=T_{0}$.
2.140. Найти приращение энтропии одного моля ван-дер-ваальсовского газа при изотермическом изменении его объема от $V_{1}$ до $V_{2}$. Поправки Ван-дер-Ваальса считать известными.
2.141. Один моль ван-дер-ваальсовского газа, имевший объем $V_{1}$ и температуру $T_{1}$, переведен в состояние с объемом $V_{2}$ и температурой $T_{2}$. Найти соответствующее приращение энтропии газа, считая его молярную теплоемкость $C_{V}$ известной.
2.142. При очень низких температурах теплоемкость кристаллов $C=a T^{3}$, где $a$ – постоянная. Найти энтропию кристалла как функцию температуры в этой области.
2.143. Найти приращение энтропии алюминиевого бруска массы $m=3,0$ кг при нагревании его от температуры $T_{1}=300 \mathrm{~K}$ до $T_{2}=600 \mathrm{~K}$, если в этом интервале температур удельная теплоемкость алюминия $c=a+b T$, где $a=0,77$ Дж/(г.K), $b=$ $=0,46 \mathrm{~m} ж /\left(r \cdot \mathrm{K}^{2}\right)$.
2.144. В некотором процессе температура вещества зависит от erо энтропии $S$ по закону $T=a S^{n}$, где $a$ и $n-$ постоянные. Найти соответствующую теплоемкость $C$ вещества как функцию $S$. При каком условии $C<0$ ?
2.145. Найти температуру $T$ как функцию энтропии $S$ вещества для политропического процесса, при котором теплоемкость вещества равна $C$. Известно, что при температуре $T_{0}$ энтропия вещества равна $S_{0}$. Изобразить примерные графики зависимости $T(S)$ при $C>0$ и $C<0$.
2.146. Один моль идеального ғаза с известным значением теплоемкости $C_{V}$ совершает процесс, при котором его энтропия $S$ зависит от температуры $T$ как $S=\alpha / T$, где $\alpha$ – постоянная. Температура газа изменилась от $T_{1}$ до $T_{2}$. Найти:
a) молярную теплоемкость газа как функцию его температуры;
б) количество тепла, сообщенное газу;
в) работу, которую совершил газ.
2.147. Рабочее вещество совершает цикл, в пределах которого абсолютная температура изменяется в $n$ раз, а сам цикл имеет вид, показанный:
а) на рис. $2.4, a$; б) на рис. 2.4 , б,
Pnc. 2.4.
где $T$ – абсолютная температура, $\mathcal{S}$ – энтропия. Найти к. п. д. каждого цикла.
2.148. Идеальный газ в количестве $v=2,2$ моля находится в одном из двух теплоизолированных сосудов, соединенных между собой трубкой с краном. В другом сосуде – вакуум. Кран открыли, и газ заполнил оба сосуда, увеличив свой объем в $n=3,0$ раза. Найти приращение энтропии газа.
2.149. Теплоизолированный цилиндр разделен невесомым поршнем на две одинаковые части. По одну сторону поршня находится один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$, а по другую сторону – вакуум. Начальная температура газа $T_{0}$. Поршень отпустили, и газ заполнил весь цилиндр. Затем поршень медленно переместили в первоначальное положение. Найти приращение внутренней энергии и энтропии газа в результате этих двух процессов.
2.150. Идеальный газ, находившийся в некотором состоянии, расширили до объема $V$ без обмена теплом с окружающими телами. Одинаково ли будет установившееся давление газа в конечном состоянии, если процесс расширения а) быстрый; б) очень медленный?
2.151. Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две части так, что объем одной из них в $n=2,0$ раза больше объема другой. В меньшей части находится $v_{1}=0,30$ моля азота, а в большей части $v_{2}=0,70$ моля кислорода. Температура газов одииакова. В перегородке открыли отверстие, и газы перемешались. Найти соответствующее приращение энтропии системы, считая газы идеальными.
2.152. Кусок меди массы $m_{1}=300 \mathrm{r}$ при температуре $t_{1}=97^{\circ} \mathrm{C}$ поместили в калориметр, где находится вода массы $m_{2}=100 \mathrm{r}$ при температуре $t_{2}=7^{\circ} \mathrm{C}$. Найти приращение энтропии системы к моменту выравнивания температур. Теплоемкость калориметра пренебрежимо мала.
2.153. Два одинаковые теплоизолированные сосуда, соединенные трубкой с краном, содержат по одному молю одного и того же идеального газа. Температура газа в одном сосуде $T_{1}$, в другом $T_{2}$. Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме равна $C_{V}$. После открывания крана газ пришел в новое состояние равновесия. Найти $\Delta S$ – приращение энтропии газа. Показать, что $\Delta S>0$.
2.154. $N$ атомов газообразного гелия находятся при комнатной температуре в кубическом сосуде, объем которого равен $1,0 \mathrm{~cm}^{3}$. Найти:
a) вероятность того, что все атомы соберутся в одной половине сосуда;
б) примерное числовое значение $N$, при котором это событие можно ожидать на протяжении времени $t \approx 10^{10}$ лет (возраст Вселенной).
2.155. Найти статистический вес наиболее вероятного распределения $N=10$ одинаковых молекул по двум одинаковым половинам сосуда. Определить также вероятность такого распределения?
2.156. $N$ молекул идеального газа находятся в некотором сосуде. Разделим мысленно сосуд на две одинаковые половины $A$ и $B$. Найти вероятность того, что в половине $A$ сосуда окажется $n$ молекул. Рассмотреть случаи, когда $N=5$ и $n=0,1,2$, $3,4,5$.
2.157. В сосуде объемом $V_{0}$ находится $N$ молекул идеального газа. Найти вероятность того, что в некоторой выделенной части этого сосуда, имеющей объем $V$, окажется $n$ молекул. Рассмотреть, в частности, случай $V=V_{0} / 2$.
2.158. Идеальный газ находится при нормальных условиях. Найти диаметр сферы, в объеме которой относительная флуктуация числа молекул $\eta=1,0 \cdot 10^{-3}$. Каково среднее число молекул внутри такой сферы?
2.159. Один моль идеального газа, состоящего из одноатомных молекул, находится в сосуде при температуре $T_{0}=300 \mathrm{~K}$. Қак и во сколько раз изменится статистический вес этой системы (газа), если ее нагреть изохорически на $\Delta T=1,0 \mathrm{~K}$ ?