Уравнения плоской и сферической воли:
\[
\xi=a \cos (\omega t-k x), \quad \xi=\frac{a_{0}}{r} \cos (\omega t-k r) .
\]

Для однородной поглощающей среды в эти формулы входит множитель соответственио $\mathrm{e}^{-\gamma \boldsymbol{x}}$ и $\mathrm{e}^{-\gamma r}$, где $\gamma$-коэффициент затухания волны.
– Волновое уравнение:
\[
\frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \xi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \xi}{\partial z^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2 \xi}}{\partial t^{2}} .
\]

Фазовая скорость продольных волн в упругой среде ( $v_{\|}$) и поперечных волн в струне $\left(v_{\perp}\right)$ :
\[
v_{\text {fi }}=\sqrt{E / \rho}, \quad v_{\perp}=\sqrt{T / \rho_{1}},
\]

где $E$-модуль Юнга, $\rho$-плотность среды, $T$ – натяжение струны, $\rho_{1}$-ее линейная плотность.
– Объемная плотность энергни упругой волны:
\[
w=\rho a^{2} \omega^{2} \sin ^{2}(\omega t-k x),\langle w\rangle=1 / 2 \rho a^{2} \omega^{2} .
\]

Плотность потока энергии – вектор Умова:
\[
\mathbf{j}=\omega \mathbf{v},\langle\mathbf{j}\rangle=1 / 2 \rho a^{2} \omega^{2} \mathbf{v} .
\]
Уравнение стоячей волиы:
\[
\xi=a \cos k x \cdot \cos \omega t .
\]

Акустический эффект Доплера:
\[
v=v_{0} \frac{v+v_{\text {пp }}}{v-v_{\text {нст }}} .
\]

Уровень громкости звука (в белах):
\[
L=\lg \left(I / I_{0}\right) .
\]
-2 Связь между интенсивностью $I$ звуковой волны и амплитудой колебания давления $(\Delta p)_{m}$ :
\[
I=(\Delta p)_{m}^{2} / 2 \rho v .
\]
4.150. За сколько времени звуковые колебания пройдут расстояние $l$ между точками $A$ и $B$, если температура воздуха между ними меняется линейно от $T_{1}$ до $T_{2}$ ? Скорость звука в воздухе $v=\alpha \sqrt{T}$, где $\alpha$ – постоянная.
4.151. Плоская гармоническая волна с частотой $\omega$ распространяется со скоростью $v$ в направлении, составляющем углы $\alpha$, $\beta, \gamma$ с осями $x, y, z$. Найти разность фаз колебаний в точках среды с координатами $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ и $x_{2}, y_{2}, z_{2}$.
4.152. Плоская волна с частотой $\omega$ распространяется так, что некоторая фаза колебаний перемещается вдоль осей $x, y, z$ со скоростями соответственно $v_{1}, v_{2}, v_{3}$. Найти волновой вектор $\mathbf{k}$, предполагая орты осей координат $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$ заданными.
4.153. В среде $K$ распространяется упругая плоская волна $\xi=$ $=a \cos (\omega t-k x)$. Найти уравнение этой волны в $K^{\prime}$-системе отсчета, движущейся в положительном направлении оси $x$ с постоянной скоростью $V$ по отношению к среде $K$. Исследовать полученное выражение.
4.154. Показать, что любая дифференцируемая функция $f(t+$ $+\alpha x$ ), где $\alpha$ – постоянная, является решением волнового уравнения. Каков физический смысл постоянной $\alpha$ ?
4.155. Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид $\xi=60 \cos (1800 t-5,3 x)$, где $\xi$ в микрометрах, $t$ в секундах, $x$ в метрах. Найти:
a) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебания скорости частиц среды.
4.156. В однородной упругой среде распространяется плоская волна вида $\xi=a \cos (\omega t-k x)$. Изобразить для момента $t=0$ :
a) графики зависимостей от $x$ величин $\xi, \partial \xi / \partial t$ и $\partial \xi / \partial x$;
б) направление скорости частиц среды в точках, где $\xi=0$, для случаев продольной и поперечной волн;
в) примерный график распределения плотности среды $\rho(x)$ для продольной волны.
4.157. В однороднøй среде распространяется плоская упругая волна вида $\xi=a \mathrm{e}^{-\gamma x} \cos (\omega t-k x)$, где $a, \gamma$, $\omega$ и $k$ – постоянные. Найти разность фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц среды отличаются друг от друга на $\eta=1,0 \%$, если $\gamma=$ $=0,42 \mathrm{~m}^{-1}$ и длина волны $\lambda=50 \mathrm{~cm}$.
4.158. Найти радиус-вектор, характеризующий положение точечного источника сферических волн, если известно, что этот источник находится на прямой между точками с радиус-векторами $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$, в которых амплитуды колебаний частиц среды равны $a_{1}$ и $a_{2}$. Затухание волны пренебрежимо мало, среда однородная.
4.159. Точечный изотропный источник испускает звуковые колебания с частотой $v=1,45$ кГц. На расстоянии $r_{0}=5,0$ м от источника амплитуда смещения частиц среды $a_{0}=50$ мкм, а в точке $A$, находящейся на расстоянии $r=10,0$ м от источника, амплитуда смещения в $\eta=3,0$ раза меньше $a_{0}$. Найти:
a) коэффициент затухания волны $\gamma$;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды в точке $A$.
4.160. В упругой однородной среде распространяются две плоские волны, одна – вдоль оси $x$; другая – вдоль оси $y$ : $\xi_{\mathbf{1}}=$ $=a \cos (\omega t-k x), \xi_{2}=a \cos (\omega t-k y)$. Найти характер движения частиц среды в плоскости $x y$, если обе волны:
a) поперечные и направление колебаний одинаково;
б) продольные.
4.161. В среде распространяется незатухающая плоская гармоническая волна. Найти среднюю объемную плотность полной энергии колебаний $\langle w\rangle$, если в любой точке среды объемная плотность энергии равна $w_{0}$ через одну шестую периода колебаний после прохождения максимума смещения.
4.162. Точечный изотропный источник звука находится на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр $O$. Расстояние между точкой $O$ и источником $l=1,00 \mathrm{~m}$, радиус кольца $R=0,50$ м. Найти средний поток энергии через площадь, ограниченную кольцом, если в точке $O$ интенсивность звука $I_{0}=30 \mathrm{мкВ} / \mathrm{m}^{2}$. Затухание волн пренебрежимо мало.
4.163. Изотропный точечный источник, звуковая мощность которого $P=0,10 \mathrm{~B}$, находится в центре круглого полого цилиндра радиуса $R=1,0$ м и высоты $h=2,0$ м. Полагая, что стенки цилиндра полностью поглощают звук, найти средний поток энергии, падающий на боковую поверхность цилиндра.
4.164. В однородной упругой среде установилась плоская стоячая волна вида $\xi=a \cos k x \cdot \cos \omega t$. Изобразить:
a) графики зависимостей от $x$ величин $\xi$ и $\partial \xi / \partial x$ в моменты $t=0$ и $t=T / 2$, где $T$ – период колебаний;
б) графики распределения плотности среды $\rho(x)$ для продольных колебаний в моменты $t=0$ и $t=T / 2$;
в) график распределения скоростей частиц среды в момент $t=T / 4 ;$ указать направления скоростей в этот момент в пучностя хдля продольных и поперечных колебаний.
4.165. В однородной среде с плотностью $\rho$ установилась продольная стоячая волна вида $\xi=a \cos k x \cdot \cos \omega t$. Найти выражения для объемной плотности:
a) потенциальной энергии $w_{p}(x, t)$;
б) кинетической энергии $w_{k}(x, t)$.

Изобразить графики распределения объемной плотности полной энергии $w$ в пределах между двумя соседними узлами смещения в моменты $t=0$ и $t=T / 4$, где $T$ – период колебаний.
4.166. На струне длины 120 см образовалась стоячая волна, причем точки струны, для которых амплитуда смещения равна 3,5 мм, отстоят друг от друга на 15,0 см. Найти максимальную амплитуду смещения. Какому обертону соответствуют эти колебания?
4.167. Найти отношение частот основного тона двух одинаковых струн после того, как одну из них растянули на $\eta_{1}=2,0 \%$, а другую-на $\eta_{2}=4,0 \%$. Натяжение считать пропорциональным растяжению.
4.168. Определить, как и во сколько раз изменится частота основного тона натянутой струны, если ее длину укоротить на $35 \%$, а натяжение увеличить на $70 \%$.
4.169. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса используется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Найти скорость звука, если расстояние между соседними положениями поршня, при которых наблюдается резонанс на частоте $v=2000 \Gamma_{ц}$, составляет $l=8,5 \mathrm{~cm}$.
4.170. Найти число возможных собственных колебаний столба воздуха в трубе, частоты которых меньше $v_{0}=1250$ Гц. Длина трубы $l=85 \mathrm{cм}$. Скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Рассмотреть два случая:
a) труба закрыта с одного конца;
б) труба открыта с обоих концов.

Считать, что открытые концы трубы являются пучностями смецения.
4.171. Медный стержень длины $l=50$ см закреплен в середине. Найти число продольных собственных колебаний этого стержня в диапазоне частот от 20 до 50 кГц. Қаковы их частоты?
4.172. Струна массы $m$ закреплена с обоих концов. В ней возбудили колебания основного тона с круговой частотой $\omega$ и максимальной амплитудой смещения $a_{\text {макс }}$. Найти:
a) максимальную кинетическую энергию струны;
б) среднюю за период колебания кинетическую энергию струны.
4.173. В однородном стержне, площадь сечения которого $S$ и плотность $\rho$, установилась стоячая волна вида $\xi=a \sin k x \cdot \cos \omega t$. Найти полную механическую энергию, заключенную между сечениями, которые проходят через соседние узлы смещения.
4.174. Источник звуковых колебаний частоты $v_{0}=1000$ Гц движется по нормали к стенке со скоростью $u=0,17 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. На этой же нормали расположены два неподвижных приемника $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$, причем последовательность расположения этих приемников и источника $И$ такая: $\Pi_{1}-И-\Pi_{2}$ – стенка. Какой приемник регистрирует биения и какова их частота? Скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
4.175. Неподвижный наблюдатель воспринимает звуковые колебания от двух камертонов, один из которых приближается, а другой – с такой же скоростью удаляется. При этом наблюдатель слышит биения с частотой $v=2,0$ Гц. Найти скорость каждого камертона, если их частота колебаний $v_{0}=680$ Гц и скорость звука в воздухе $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
4.176. На оси $x$ находятся приемник и источник звуковых колебаний с частотой $v_{0}=2000$ Гц. Источник совершает гармонические колебания вдоль этой оси с круговой частотой $\omega$ и амплитудой $a=50$ см. При каком значении $\omega$ ширина частотного интервала, воспринимаемого неподвижным приемником, будет составлять $\Delta v=$ $=200$ Гц? Скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
4.177. Источник звуковых колебаний с частотой $v_{0}=1700$ Гц и приемник находятся в одной точке. В момент $t=0$ источник начинает удаляться от приемника с постоянным ускорением $w=$ $=10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$. Считая скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, найти частоту колебаний, воспринимаемых неподвижным приемником через $t=$ $=10,0$ с после начала движения источника.
4.178. Источник звука, собственная частота которого $v_{0}=1,8$ кГц, движется равномерно по прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя на $l=250$ м. Скорость источника составляет $\eta=0,80$ скорости звука. Найти:
a) частоту звука, воспринимаемую наблюдателем в момент, когда источник окажется напротив него;
б) расстояние между источником и наблюдателем в момент, когда воспринимаемая наблюдателем частота $v=v_{0}$.
4.179. Неподвижный источник испускает монохроматический звук. K нему приближается стенка со скоростью $u=33 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Скорость распространения звука в среде $v=330$ м/с. Қак и на сколько процентов изменяется длина волны звука при отражении от стенки?
4.180. На одной и той же нормали к стенке находятся источник звуковых колебаний с частотой $v_{0}=1700$ Гц и приемник. Источник и приемник неподвижны, а стенка удаляется от источника со скоростью $u=6,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Найти частоту биений, которую будет регистрировать приемник. Скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
4.181. Найти коэффициент затухания $\gamma$ звуковой волны, если на расстояниях $r_{1}=10 \mathrm{~m}$ и $r_{2}=20 \mathrm{~m}$ от точечного изотропного источника звука значения интенсивности звуковой волны отличаются друг от друга в $\eta=4,5$ раза.
4.182. Плоская звуковая волна распространяется вдоль оси $x$. Коэффициент затухания волны $\gamma=0,0230 \mathrm{~m}^{-1}$. В точке $x=0$ уровень громкости $L=60$ дБ. Найти:
a) уровень громкости в точке с координатой $x=50$ м;
б) координату $x$ точки, в которой звук уже не слышен.
4.183. На расстоянии $r_{0}=20,0 \mathrm{~m}$ от точечного изотропного источника звука уровень громкости $L_{0}=30,0$ дБ. Пренебрегая затуханием звуковой волны, найти:
a) уровень громкости на расстоянии $r=10,0$ м от источника;
б) расстояние от источника, на котором звук не. слышен.
4.184. Наблюдатель $A$, находящийся на некотором расстоянии от звучащего камертона, отметил исчезновение звука на $\tau=23 \mathrm{c}$ раньше, чем наблюдатель $B$, находящийся в $n=5,0$ раза ближе к камертону. Найти коэффициент затухания $\beta$ колебаний камертона. Затухание звуковых волн в среде пренебрежимо мало.
4.185. В среде с плотностью $\rho$ распространяется плоская продольная гармоническая волна. Скорость волны равна $v$. Считая изменение плотности среды при прохождении волны. $\Delta \rho \ll \rho$, показать, что:
a) приращение давления в среде $\Delta p=-\rho v^{2}(\partial \xi / \partial x)$, где $\partial \xi / \partial x-$ относительная деформация;
б) интенсивность волны определяется формулой (4.3и).
4.186. На пути плоской звуковой волны, распространяющейся в. воздухе, находится шар радиуса $R=50 \mathrm{~cm}$. Длина звуковой волны $\lambda=20 \mathrm{cм}$, частота $v=1700$ Гц, амплитуда колебаний давления в воздухе $(\Delta p)_{m}=3,5$ Па. Найти средний за период колебания поток энергии, падающей на поверхность шара.
4.187. Точка $A$ находится на расстоянии $r=1,5$ м от точечного изотропного источника звука частоты $v=600$ Гц. Звуковая мощность источника $P=0,80$ Вт. Пренебрегая затуханием волн и считая скорость звука в воздухе $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, найти для точки $A$ :
a) амплитуду колебаний давления $(\Delta p)_{m}$ и ее отношение к давлению воздуха;
б) амплитуду колебаний частиц среды; сравнить ее с длиной волны звука.
4.188. На расстоянии $r=100 \mathrm{~m}$ от точечного изотропного источника звука частоты 200 Гц уровень громкости $L=50$ дБ. Порог слышимости на этой частоте соответствует интенсивности звука $I_{0}=0,10 \mathrm{нBт} / \mathrm{m}^{2}$. Коэффициент затухания звуковой волны $\gamma=5,0 \mathrm{~m}^{-1}$. Найти звуковую мощность источника.