Фазовая скорость электромагннтной волны:
\[
v=c / \sqrt{\varepsilon \mu}, \text { где } c=1 / \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}} .
\]
В бегущей электромагнитной волне:
\[
E \sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0}}=H \sqrt{\mu_{0}} .
\]
Объемная плотность энергии электромагнитного поля:
\[
w=\frac{\mathbf{E D}}{2}+\frac{\mathbf{B H}}{2} .
\]
Плотность потока электромагнитной энергии – вектор Пойнтинга:
\[
\mathbf{S}=[\mathbf{E H}] \text {. }
\]
– Плотность потока энергии излучения диполя в волновой зоне:
\[
S \sim \frac{1}{r^{2}} \sin ^{2} \vartheta,
\]
где $r$-расстояние от диполя, $\vartheta$-угол между раднус-вектором $\boldsymbol{r}$ и осью диполя.
Мощности излучения диполя с электрическим моментом $\mathbf{p}(t)$ и заряда $q$, движущегося с ускореннем w:
\[
P=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 \ddot{\mathbf{p}}^{2}}{3 \boldsymbol{c}^{3}}, \quad P=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{\theta}} \frac{2 q^{2} \mathbf{w}^{2}}{3 \varepsilon^{3}} .
\]
4.189. Электромағнитная волна с частотой $v=3,0$ МГц переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=4,0$. Найти приращение ее длины волны.
4.190. Плоская электромагнитная волна падает нормально на поверхность плоскопараллельного слоя толщины $l$ из немагнитного вещества, диэлектрическая проницаемость которого экспоненциально падает от значения $\varepsilon_{1}$ на передней поверхности до $\varepsilon_{2}$ – на задней. Найти время распространения данной фазы волны через этот слой.
4.191. Плоская электромагнитная волна с частотой $v=10 \mathrm{M}$ Г распространяется в слабо проводящей среде с удельной проводимостью $\sigma=10 \mathrm{mC} /$ м и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=9$. Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения.
4.192. Плоская электромагнитная волна $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{m} \cos (\omega t-\mathbf{k r})$ распространяется в вакууме. Считая векторы $\mathbf{E}_{m}$ и $\mathbf{k}$ известными, найти вектор $\mathbf{H}$ как функцию времени $t$ в точке с радиус-вектором $\mathbf{r}=0$.
4.193. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{m} \cos (\omega t-\mathbf{k r})$, где $\mathbf{E}_{m}=E_{m} \mathbf{e}_{y}, \mathbf{k}=k \mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}-$ орты осей $x, y$. Найти вектор Н в точке с радиус-вектором $\mathbf{r}=x \mathbf{e}_{x}$ в момент: а) $t=0$; б) $t=t_{0}$. Рассмотреть случай, когда $E_{m}=160 \mathrm{~B} / \mathrm{M}$, $k=0,51 \mathrm{~m}^{-1}, x=7,7$ м и $t_{0}=33 \mathrm{нс}$.
4.194. Плоская электромагнитная волна $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{m} \cos (\omega t-k x)$, распространяющаяся в вакууме, наводит э. д. с. индукции $\mathscr{E}_{\text {инд }}$ в квадратном контуре со стороной $l$. Расположение контура показано на рис. 4.37. Найти $\mathscr{E}_{\text {инд }}(t)$, если $E_{m}=50 \mathrm{MB} / \mathrm{M}$, частота $\dot{v}=$ $=100$ МГц и $l=50$ см.
Рис. 4.37.
Рис. 4.38.
4.195. Исходя из уравнений Максвелла, показать, что для плоской электромагнитной волны (рис. 4.38), распространяющейся в вакууме,
\[
\frac{\partial E}{\partial t}=-c^{2} \frac{\partial B}{\partial x}, \quad \frac{\partial B}{\partial t}=-\frac{\partial E}{\partial x} .
\]
4.196. Найти средний вектор Пойнтинга $\langle\mathbf{S}\rangle$ у плоской электромагнитной волны $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{m} \cos (\omega t-\mathbf{k r})$, если волна распространяется в вакууме.
4.197. Плоская гармоническая линейно поляризованная электромагнитная волна распространяется в вакууме. Амплитуда напряженности электрической составляющей волны $E_{m}=50 \mathrm{MB} / \mathrm{M}$, частота $v=100$ МГц. Найти:
a) действующее значение плотности тока смещения;
б) среднюю за период колебания плотность потока энергии.
4.198. Шар радиуса $R=50$ см находится в немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=4,0$. В среде распространяется плоская электромагнитная волна, амплитуда напряженности электрической составляющей которой $E_{m}=200 \mathrm{~B} /$ м. Какая энергия падает на шар за время $t=1,0$ мин?
4.199. В вакууме в направлении оси $x$ установилась стоячая электромагнитная волна, электрическая составляющая которой $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{m} \cos k x \cdot \cos \omega t$. Найти магнитную составляющую волны $\mathbf{B}(x, t)$. Изобразить примерную картину распределения электрической и магнитной составляющих волны (Е и В) в моменты $t=0$ и $t=T / 4$, где $T$ – период колебаний.
4.200. В вакууме вдоль оси $x$ установилась стоячая электромагнитная волна $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{m} \cos k x \cdot \cos \omega t$. Найти $x$-проекцию вектора Пойнтинга $S_{x}(x, t)$ и ее среднее за период колебаний значение.
4.201. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму дисков радиуса $R=6,0$ см, подключен к переменному синусоидальному напряжению частоты $\omega=1000 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$. Найти отношение амплитудных значений магнитной и электрической энергий внутри конденсатора.
4.202. Переменный синусоидальный ток частоты $\omega=1000 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$ течет по обмотке прямого соленоида, радиус сечения которого $R=6,0$ см. Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри соленоида.
4.203. Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора за единицу времени. Рассеянием поля на краях при расчете пренебречь.
4.204. По прямому проводнику круглого сечения течет ток $I$. Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление $R$.
4.205. Нерелятивистские протоны, ускоренные разностью потенциалов $U$, образуют пучок круглого сечения с током I. Найти модуль и направление вектора Пойнтинга вне пучка на расстоянии $r$ от его оси.
4.206. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, достаточно медленно увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.
4.207. На рис. 4.39 показан участок двухпроводной линии передачи постоянного тока, направление которого отмечено стрелками. Имея в виду, что потенциал $\varphi_{2}>\varphi_{1}$, установить с помощью вектора Пойнтинга, где находится генератор тока (слева, справа?).
4.208. Энергия от источника постоянного напряжения $U$ передается к потребителю по длинному прямому коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым активным
Рис. 4.39. сопротивлением. Потребляемый ток равен $I$. Найти поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя проводящая оболочка кабеля предполагается тонкостенной.
4.209. Генератор переменного напряжения $U=U_{0} \cos \omega t$ передает энергию потребителю по длинному прямому коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым активным сопротивлением. Ток в цепи меняется по закону $I=I_{0} \cos (\omega t-\varphi)$. Найти средний по времени поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя оболочка кабеля тонкостенная.
4.210. Показать, что на границе раздела двух сред нормальные составляющие вектора Пойнтинга не терпят разрыва, т. е. $S_{1 n}=S_{2 n}$.
4.211. Доказать, что у замкнутой системы заряженных нерелятивистских частиц с одинаковым удельным зарядом дипольное излучение отсутствует.
4.212. Найти среднюю мощность излучения электрона, совершающего гармонические колебания с амплитудой $a=0,10 \mathrm{HM}$ и частотой $\omega=6,5 \cdot 10^{14}$ рад/с.
4.213. Найти мощность излучения нерелятивистской частицы с зарядом $e$ и массой $m$, движущейся по круговой орбите радиуса $R$ в поле неподвижного точечного заряда $q$.
4.214. Частица с зарядом $e$ и массой $m$ пролетает с нерелятивистской скоростью $v$ на расстоянии $b$ от неподвижной частицы с зарядом $q$. Пренебрегая искривлением траектории движущейся частицы, найти энергию, теряемую этой частицей на излучение за все время пролета.
4.215. Нерелятивистский протон влетел по нормали в полупространство с поперечным однородным магнитным полем, индукция которого $B=1,0 \mathrm{~T}$. Найти отношение энергии, потерянной протоном на излучение за время движения в поле, к его первоначальной кинетической энергии.
4.216. Нерелятивистская заряженная частица движется в поперечном однородном магнитном поле с индукцией $B$. Найти закон убывания (за счет излучения) кинетической энергии частицы во времени. Через сколько времени ее кинетическая энергия уменьшается в е раз? Вычислить это время для электрона и протона.
4.217. Заряженная частица движется вдоль оси $y$ по закону $y=a \cos \omega t$, а точка наблюдения $P$ находится на оси $x$ на расстоянии $l$ от частицы ( $l \geqslant a$ ). Найти отношение плотностей потока электромагнитного излучения $S_{1} / S_{2}$ в точке $P$ в моменты, когда координата частицы $y_{1}=0$ и $y_{2}=a$. Вычислить это отношение, если $\omega=$ $=3,3 \cdot 10^{6}$ рад $/$ с и $l=190 \mathrm{~m}$.
4.218. Заряженная частица движется равномерно со скоростью $v$ по окружности радиуса $R$, лежащей в плоскости $x y$ (рис. 4.40). На оси $x$ в точке $P$, которая отстоит от центра окружности на расстояние, значительно превышающее $R$, находится наблюдатель. Найти:
a) связь между наблюдаемыми значениями $y$-проекции ускорения Рис. 4.40. частицы и ее $y$-координаты;
б) отношение плотностей потока электромағнитного излучения $S_{1} / S_{2}$ в точке $P$ в моменты времени, когда частица для наблюдателя $P$ движется к нему и от него, как показано на рисунке.
4.219. Электромагнитная волна, излучаемая элементарным диполем, распространяется в вакууме так, что в волновой зоне на луче, перпендикулярном к оси диполя, на расстоянии $r$ от него, среднее значение плотности потока энергии равно $S_{0}$. Найти среднюю мощность излучения диполя.
4.220. Средняя мощность, излучаемая элементарным диполем, равна $P_{0}$. Найти среднюю объемную плотность энергии электромагнитного поля в вакууме в волновой зоне на луче, перпендикулярном к оси диполя, на расстоянии $r$ от него.
4.221. Постоянный по модулю электрический диполь с моментом $p$ вращают с постоянной угловой скоростью ю вокруг оси, перпендикулярной к оси диполя и проходящей через его середину. Найти мощность излучения такого диполя.
4.222. Свободный электрон находится в поле плоской электромагнитной волны. Пренебрегая влиянием на его движение магнитной составляющей волны, найти отношение средней энергии, излучаемой осциллирующим электроном в единицу времени, к среднему значению плотности потока энергии падающей волны.
4.223. Плоская электромагнитная волна с частотой $\omega$ падает на упруго связанный электрон, собственная частота которого $\omega_{0}$. Пренебрегая затуханием колебаний, найти отношение средней энергии, рассеянной электроном в единицу времени, к среднему значению плотности потока энергии падающей волны.
4.224. Считая, что частица имеет форму шарика и поглощает весь падающий на нее свет, найти радиус частицы, при котором гравитационное притяжение ее к Солнцу будет компенсироваться силой светового давления. Мощность светового излучения Солнца $P=4 \cdot 10^{26} \mathrm{~B}$, плотность частицы $\rho=1,0 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$.
