Вращательная энергия двухатомной молекулы:
\[
E_{J}=\frac{\hbar^{2}}{2 I} J(J+1)
\]
где $I$–момент инерции молекулы.
– Колебательная энергия двухатомной молекулы:
\[
E_{v}=\hbar \omega(v+1 / 2),
\]
где $\omega$ – собственная частота колебаний молекулы.
– Средняя энергия квантового гарионического осциллятора при температype $T$ :
\[
\langle E\rangle=\frac{\hbar \omega}{2}+\frac{\hbar \omega}{\mathrm{e}^{\hbar \omega / k T}-1} .
\]
– Формула Дебая. Молярная колебательная эиергия кристалла:
\[
U=9 R \Theta\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{T}{\Theta}\right)^{4} \int_{0}^{\theta / T} \frac{x^{3} d x}{\mathrm{e}^{x}-1}\right],
\]
где $\Theta$-дебаевская температура,
\[
\theta=\hbar \omega_{\text {макс }} / k .
\]
– Моляриая колебательная теплоемкость кристалла при $T \ll \Theta$ :
\[
C=\frac{12}{5} \pi^{4} R\left(\frac{T}{\Theta}\right)^{3} .
\]
– Распределение свободных электронов в металле вблизи абсолютного нуля:
\[
d n=\frac{\sqrt{2} m^{3 / 2}}{\pi^{2} \hbar^{3}} \sqrt{E} d E
\]
где $d n-$ концентрация электронов с энергиями $E, E+d E$. Энергия $E$ отсчитывается от дна зоны проводимости.
– Уровень Ферми при $T=0$ :
\[
E_{F}=\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(3 \pi^{2} n\right)^{2 / 3},
\]
где $n$-концентрация свободных электронов в металле.
6.167. Определить угловую скорость вращения молекулы $\mathrm{S}_{2}$, находящейся на первом возбужденном вращательном уровне, если расстояние между ее ядрами $d=189$ пм.
6.168. Найти для молекулы $\mathrm{HCl}$ вращательные квантовые числа двух соседних уровней, разность энергий которых 7,86 мэВ. Расстояние между ядрами молекулы 127,5 пм.
6.169. Найти механический момент молекулы кислорода, вращательная энергия которой $E=2,16$ мэ B, а расстояние между ядрами $d=121$ пм.
6.170. Показать, что интервалы частот между соседними спектральными линиями чисто вращательного спектра двухатомной молекулы имеют одинаковую величину. Найти момент инерции и расстояние между ядрами молекулы СН, если интервалы между соседними линиями чисто вращательного спектра этих молекул $\Delta \omega=5,47 \cdot 10^{12}$ рад/с.
6.171. Найти для молекулы HF число вращательных уровней, расположенных между нулевым и первым возбужденным колебательными уровнями, считая вращательные состояния не зависящими от колебательных. Собственная частота колебаний этой молекулы равна $7,79 \cdot 10^{14}$ рад/с, расстояние между ядрами 91,7 пм.
6.172. Оценить, сколько линий содержит чисто вращательный спектр молекул $\mathrm{Br}_{2}$, собственная частота колебаний которых $\omega=$ $=6,08 \cdot 10^{13}$ рад $/$ с и момент инерции $I=3,46 \cdot 10^{-38} \Gamma \cdot \mathrm{cm}^{2}$.
6.173. Найти для двухатомной молекулы $d N / d E$ (число вращательных уровней на единичный интервал энергии) в зависимости от вращательной энергии $E$. Вычислить эту величину для молекулы иода в состоянии с вращательным квантовым числом $J=10$. Расстояние между ядрами этой молекулы равно 267 пм.
6.174. Найти отношение энергий, которье необходимо затратить для возбуждения двухатомной молекулы на первый колебательный и первый вращательный уровни. Вычислить это отношение для следующих молекул:
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline \begin{tabular}{l}
Молекула \\
a) $\mathrm{H}_{2}$ \\
6) $\mathrm{HI}^{2}$ \\
в) $\mathbf{I}_{2}$
\end{tabular} & \begin{tabular}{c}
$\omega, 10^{14} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$ \\
8,3 \\
4,35 \\
0,40
\end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}
Здесь $\omega$ – собственная частота колебаний молекулы, $d$ – расстояние между ее ядрами.
6.175. Собственная частота колебаний молекулы водорода равна $8,25 \cdot 10^{14}$ рад/с, расстояние между ядрами — 74 пм. Найти отношение числа этих молекул на первом возбужденном колебательном уровне $(v=1)$ к числу молекул на первом возбужденном вращательном уровне ( $J=1$ ) при температуре $T=875 \mathrm{~K}$. Иметь в внду, что кратнссть вырождения вращательных уровней равна $2 J+1$.
6.176. Вывести формулу (6.4в), используя распределение Больцмана. Получить с помоцью нее выражение для молярной колебательной теплеемкости $C_{V \text { кол }}$ двухатомного газа. Вычислить $C_{V \text { кол }}$ для газа, состоящего из молекул $\mathrm{Cl}_{2}$, при температуре $300 \mathrm{~K}$. Собственная частота колебаний этих молекул равна $5,63 \cdot 10^{14}$ рад/с.
6.177. В середине колебательно-вращательной полосы спектра испускания молекул $\mathrm{HCl}$, где стсутствует «нулевая» линия, запрещенная правилом отбора, интервал между соседними линиями $\Delta \omega=0,79 \cdot 10^{13}$ рад/с. Вычислить расстояние между ядрами молекулы $\mathrm{HCl}$.
6.178. Вычислить длины волн красного и фиолетового спутников, ближайших к несмещенной линии, в колебательном спектре комбинационного рассеяния молекул $\mathrm{F}_{2}$, если длина волны падающего света $\lambda_{0}=404,7$ нм и собственная частота колебаний молекулы $\omega=2,15 \cdot 10^{14} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$.
6.179. Найти собственную частоту колебаний и коэффициент квазиупругой силы молекулы $\mathrm{S}_{2}$, если в колебательном спектре комбинационного рассеяния света длины волн красного и фиолетового спутников, ближайших к несмещенной линии, равны 346,6 и 330,0 нм.
6.180. Найти отношение интенсивностей фиолетового и красного спутников, ближайших к несмещенной линии, в колебательном спектре комбинационного рассеяния света на молекулах $\mathrm{Cl}_{2}$ при температуре $T=300 \mathrm{~K}$, если собственная частота колебаний этих молекул $\omega=1,06 \cdot 10^{14}$ рад/с. Во сколько раз изменится это отношение при увеличении температуры вдвое?
6.181. Рассмстреть возможные типы колебаний следующих линейных молекул:
a) $\mathrm{CO}_{2}(\mathrm{O}-\mathrm{C}-\mathrm{O})$; б) $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{2}(\mathrm{H}-\mathrm{C}-\mathrm{C}-\mathrm{H})$.
6.182. Определить число собственных поперечных колебаний струны длины $l$ в интервале частот $\omega, \omega+d \omega$, если скорость распространения колебаний равна $v$. Считать, что колебания происходят в одной плоскости.
6.183. Имеется прямоугольная мембрана площадью $S$. Найти число собственных колебаний, перпендикулярных к ее плоскости, в интервале частот $\omega, \omega+d \omega$, если скорость распространения колебаний равна $v$.
6.184. Найти число собственных поперечных колебаний прямоугольного параллелепипеда объемом $V$ в интервале частот $\omega, \omega+d \omega$, если скорость распространения колебаний равна $v$.
6.185. Счнтая, что скорості распространения продольных и поперечих колебаний одинаковы и равны $v$, определить дебаевскую температуру:
a) для одномерного кристалла – цепочки из одннаковых атомов, содержащей $n_{0}$ атомов на единицу длины;
б) для двумерного кристалла — плоской квадратной решетки из одинаковых атомов, содержащей $n_{0}$ атомов на единицу площади;
в) для простой кубической решетки из одинаковых атомов, содержащей $n_{0}$ атомов на единицу объема.
6.186. Вычислить дебаевскую температуру для железа, у которого скорости распространения продольных и поперечных колебаний равны соответственно 5,85 и $3,23 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
6.187. Оценить скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого $\Theta=396 \mathrm{~K}$.
6.188. Получить выражение, определяющее зависимость теплоемкости одномерного кристалла – цепочки одинаковых атомов от температуры $T$, если дебаевская температура цепочки равна $\Theta$. Упростить полученное выражениє для случая $T \gg \Theta$.
6.189. Для цепочки одинаковых атомов частота колебаний $\omega$ зависит от волнового числа $k$ как $\omega=\omega_{\text {макс }} \sin (k a / 2)$, где $\omega_{\text {макс }}-$ максимальная частота колебаний, $k=2 \pi / \lambda$ – волновое число, соответствующее частоте $\omega, a$ – расстояние между соседними атомами. Воспользовавшись этим дисперсионным соотношением, найти зависимость от $\omega$ числа продольных колебаний, приходящихся на единичный интервал частот, т. е. $d N / d \omega$, если длина цепочки равна $l$. Зная $d N / d \omega$, найти полное число $N$ возможных продольных колебаний цепочки.
6.190. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди, дебаевская температура которой $\Theta=$ $=330 \mathrm{~K}$.
6.191. На рис. 6.10 показан график зависимссти теплоемкости кристалла от температуры (по Дебаю). Здесь $C_{\text {кл }}$ – классическая теплоемкость, $\Theta$ – дебаевская температура. Найти с помощью этого графика:
a) дебаевскую температуру для серебра, если при $T=65 \mathrm{~K}$ его молярная теплоемкость равна 15 Дж/(моль $\cdot$ Қ);
б) молярную теплоемкость алюмнния при $T=80 \mathrm{~K}$, если при $T=250 \mathrm{~K}$ она равна 22,4 Дж/(моль $\cdot \mathrm{K})$;
в) максимальную частоту колебаний для меди, у которой при $T=125 \mathrm{~K}$ теплоемкость отличается от классического значения in $25 \%$.
6.192. Показать, гто молярная теплоемкость кристалла при температуре $T \ll \Theta$, где $\Theta$ – дебаевская температура, определяется формулой (6.4е).
6.193. Можно ли считать температуры 20 и $30 \mathrm{~K}$ низкими для железа, теплоемкость которого при этих температурах равна 0,226 и 0,760 Дж/(моль – К)?
6.194. Вычислить среднее значение энергии нулевых колебаний, приходящейся на один осциллятор кристалла в модели Дебая, если дебаевская температура кристалла равна $\Theta$.
Рис. 6.10.
6.195. Изобразить спектр распределения энергии колебаний кристалла по частотам (без учета нулевых колебаний). Рассмотреть два случая: $T=\Theta / 2$ и $T=\Theta / 4$, где $\Theta$ – дебаевская температура.
6.196. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона (звукового кванта) в меди, дебаевская температура которой равна $330 \mathrm{~K}$.
6.197. Воспользовавшись формулой (6.4ж), найти при $T=0$ :
a) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна $n$;
б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если известна их максимальная кинетическая энергия $T_{\text {макс }}$.
6.198. Сколько процентов свободных электронов в металле при $T=0$ имеет кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?
6.199. Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при $T=0$, если уровень Ферми $E_{F}=3,07$ эВ и плотность натрия равна $0,97 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$.
6.200. До какой температуры надо было бы нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии свободных электронов в меди при $T=0$ ? Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.
6.201. Вычислить интервал (в электронвольтах) между соседними уровнями свободных электронов в металле при $T=0$ вблизи уровня Ферми, если концентрация свободных электронов $n=$ $=2,0 \cdot 10^{22} \mathrm{~cm}^{-3}$ и объем металла $V=1,0 \mathrm{~cm}^{3}$.
6.202. Воспользовавшись формулой (6.4ж), найти при $T=0$ :
a) распределение свободных э.тектронов по скоростям;
б) отношение средней скорости свободных электронов к их максимальной скорости.
6.203. Исходя из формулы (6.4ж), найти функцию распределения свободных электронов в металле при $T=0$ по дебройлевским длинам волн.
6.204. Вычислить давление электронного газа в металлическом натрии при $T=0$, если концентрация свободных электронов в нем $n=2,5 \cdot 10^{22} \mathrm{~cm}^{-3}$. Воспользоваться уравнением для давления идеального газа.
6.205. Повышение температуры катода в электронной лампе от значения $T=2000 \mathrm{~K}$ на $\Delta T=1,0 \mathrm{~K}$ увеличивает ток насыщения на $\eta=1,4 \%$. Найти работу выхода электрона из материала катода.
6.206. Найти коэффициент преломления металлического натрия для электронов с кинетической энергией $T=135$ эВ. Считать, что на каждый атом натрия приходится один свободный электрон.
6.207. Найти минимальную энергию образования пары электрон – дырка в чистом беспримесном полупроводнике, электропроводность которого возрастает в $\eta=5,0$ раз при увеличении температуры от $T_{1}=300 \mathrm{~K}$ до $T_{2}=400 \mathrm{~K}$.
6.208. При очень низких температурах красная граница фотопроводимости чистого беспримесного германия $\lambda_{\mathrm{k}}=$ $=1,7$ мкм. Найти температурный коэффициент сопротивления данного германия при комнатной температуре.
6.209. На рис 6.11 показан график зависимости логарифма электропроводности от обратной температуры ( $T$, кК) для некоторого полупровод-
Рис. 6.11. ника $n$-типа. Найти с помощью этого графика ширину запрещенной зоны полупроводника и энергию активации донорных уровней.
6.210. Удельное сопротивление некоторого чистого беспримесного полупроводника при комнатной температуре $\rho=50$ Ом.см. После включения источника света оно стало $\rho_{1}=40$ Ом-см, а через $t=8$ мс после выключения источника света удельное сопротивление оказалось $\rho_{2}=45$ Ом.см. Найти среднее время жизни электронов проводимости и дырок.
6.211. При измерении эффекта Холла пластинку из полупроводника $p$-типа ширины $h=10$ мм и длины $l=50$ мм поместили в магнитное поле с индукцией $B=5,0$ кГс. К концам пластинки приложили разность потенциалов $U=10$ В. При этом холловская разность потенциалов оказалась $U_{H}=50 \mathrm{MB}$ и удельное сопротивление $\rho=2,5$ Ом.см. Найти концентрацию дырок и іх подвижность.
6.212. При измерении эффекта Холла в магнитном поле с индукцией $B=5,0$ кГс поперечная напряженность электрического поля в чистом беспримесном германин оказалась в $\eta=10$ раз меньше продольной напряженности электрического поля. Найти разность подвижностей электронов проводимости и дырок в данном полупроводнике.
6.213. В некотором полупроводнике, у которого подвнжность электронов проводимости в $\eta=2,0$ раза больше подвижности дырок, эффект Холла не наблюдался. Найти отношение концентрацин дырок и электронов проводимости в этом полупроводнике.
