Энергетическая светимость:
\[
M_{9}=\frac{c}{4} u,
\]
где $u$-объемная плотность энергии теплового излучения.
Формула Вина и закон смещения Вииа:
\[
u_{\omega}=\omega^{3} F(\omega / T), \quad T \lambda_{m}=b,
\]
где $\lambda_{m}$-длина волны, соответствующая максимуму функции $u_{\lambda}$.
Закон Стефана – Больцмана:
\[
M_{9}=\sigma T^{4},
\]
где $\sigma$-постояииая Стефаиа – Больцмана.
Формула Планка:
\[
u_{\omega}=\frac{\hbar \omega^{3}}{\pi^{2} c^{3}} \frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar \omega / k T}-1} .
\]
Формула Эйнштейиа для фотоэффекта:
\[
\hbar \omega=A+\frac{m v_{\text {макс }}^{2}}{2} .
\]
Эффект Комптона:
\[
\Delta \lambda=2 \pi \hbar_{C}(1-\cos \vartheta),
\]
где $\hbar_{C}=\hbar / m c$ – комптоновская длииа волны.
5.246. Показать с помощью формулы Вина, что
a) наиболее вероятная частота излучения $\omega_{\text {вер }} \sim T$;
б) максимальная спектральная плотность теплового излучения $\left(u_{\omega}\right)_{\text {макс }} \sim T^{\mathbf{3}}$;
в) энергетическая светимость $M_{3} \sim T^{4}$.
5.247. Имеется два абсолютно черных источника теплового излучения. Температура одного из них $T_{1}=2500 \mathrm{~K}$. Найти температуру другого источника, если длина волны, отвечающая максимуму его испускательной способности, на $\Delta \lambda=0,50$ мкм больше длины волны, соответствующей максимуму испускательной способности первого источника.
5.248. Энергетическая светимость абсолютно черного тела $M_{9}=$ $=3,0 \mathrm{Bт} / \mathrm{cm}^{2}$. Определить длину волны, отвечающую максимуму испускательной способности этого тела.
5.249. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на $1 \%$.
5.250. Найти температуру полностью ионизованной водородной плазмы плотностью $\rho=0,10 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$, при которой давление теплового излучения равно газокинетическому давлению частиц плазмы.
Иметь в виду, что давление теплового излучения $p=u / 3$, где $u-$ объемная плотность энергии излучения, и что при высоких температурах вещества подчиняются уравнению состояния идеальных газов.
5.251. Медный шарик диаметра $d=1,2$ см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика $T_{0}=$ $=300 \mathrm{~K}$. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в $\eta=2,0$ раза.
б) долю общей мощности излучения, которая приходится на видимую часть спектра ( $0,40-0,76$ мкм) при температуре $5000 \mathrm{~K}$;
в) во сколько раз увеличится мощность излучения в области длин волн $\lambda>0,76$ мкм при возрастании температуры от 3000 до $5000 \mathrm{~K}$.
Pис. 5.40.
5.259. Найти с помощью формулы Планка выражения, определяющие число фотонов в $1 \mathrm{~cm}^{3}$ полости при температуре $T$ в спектральных интервалах $(\omega, \omega+d \omega)$ и $(\lambda, \lambda+d \lambda)$.
5.260. Точечный изотропный источник испускает свет с $\lambda=$ $=589$ нм. Световая мощность источника $P=10$ Вт. Найти:
a) среднюю плотность потока фотонов на расстоянии $r=2,0$ м от источника;
б) расстояние от источника до точки, где средняя концентрация фотонов $n=100 \mathrm{~cm}^{-3}$.
5.261. Показать с помощью корпускулярных представлений, ч’то импульс, переносимый в единицу времени плоским световым потоком, не зависит от его спектрального состава, а определяется только потоком энергии $\Phi_{
i}$.
5.262. Лазер излучил в импульсе длительностью $\tau=0,13$ мс пучок света с энергией $E=10$ Дж. Найти среднее давление такого светового импульса, если его сфокусировать в пятнышко диаметром $d=10$ мкм на поверхность, перпендикулярную к пучку, с коэффицнентом отражения $\rho=0,50$.
5.263. Короткий импульс света с энергией $E=7,5$ Дж в виде узкого почти параллельного пучка падает на зеркальную пластинку с коэффициентом отражения $\rho=0,60$. Угол падения $\boldsymbol{\vartheta}=30^{\circ}$. Определить с помощью корпускулярных представлений импульс, переданный пластинке.
5.264. Плоская световая волна интенсивности $I=0,20 \mathrm{~B} / \mathrm{cm}^{2}$ падает на плоскую зеркальную поверхность с коэффициентом о́тражения $\rho=0,8$. Угол падения $\vartheta=45^{\circ}$. Определить с помощью корпускулярных представлений значение нормального давления, которое оказывает свет на эту поверхность.
5.265. Плоская световая волна интенсивности $I=0,70 \mathrm{Br} / \mathrm{cm}^{2}$ освещает шар с абсолютно зеркальной поверхностью. Радиус шара $R=5,0$ см. Найти с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую шаром.
5.266. На оси круглой абсолютно зеркальной пластинки находится точечный изотропный источник, световая мощность которого $P$. Расстояние между источником и пластинкой в $\eta$ раз больше ее радиуса. Найти с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую пластинкой.
5.267. В $K$-системе отсчета фотон с частотой $\omega$ падает нормально на зеркало, которое движется ему навстречу с релятивистской скоростью $V$. Найти импульс, переданный зеркалу при отражении фотона:
a) в системе отсчета, связанной с зеркалом;
б) в $K$-системе.
5.268. Небольшое идеально отражающее зеркальце массы $m=$ $=10 \mathrm{mr}$ подвешено на невесомой нити длины $l=10$ см. Найти угол, на который отклонится нить, если по нормали к зеркальцу в горизонтальном направлении произвести «выстрел» коротким импульсом лазерного излучения с энергией $E=13$ Дж. За счет чего зеркальце приобретет кинетическую энергию?
5.269. Фотон с частотой $\omega_{0}$ испущен с поверхности звезды, масса которой $M$ и радиус $R$. Найти гравитационное смещение частоты фотона $\Delta \omega / \omega_{0}$ на очень большом расстоянии от звезды.
5.270. При увеличении напряжения на ренттеновской трубке в $\eta=1,5$ раза длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на $\Delta \lambda=26$ пм. Найти первоначальное напряжение на трубке.
5.271. Узкий пучок рентгеновских лучей падает на монокристалл $\mathrm{NaCl}$. Наименьший угол скольжения, при котором еще наблюдается зеркальное отражение от системы кристаллических плоскостей с межплоскостным расстоянием $d=0,28$ нм, равен $\alpha=4,1^{\circ}$. Каково напряжение на рентгеновской трубке?
5.272. Найти длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если скорость электронов, подлетающих к антикатоду трубки, $v=0,85 c$, где $c$ – скорость света.
5.273. Определить красную границу фотоэффекта для цинка и максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с его поверхности электромагнитным излучением с длиной волны 250 нм.
5.274. При поочередном освещении повер хности некоторого металла свегом с длинами волн $\lambda_{1}=0,35$ мкм и $\lambda_{2}=0,54$ мкм обнаружили, ч’то соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в $\eta=2,0$ раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.
5.275. До какого максимального потенциала зарядится удаленный от других тел медный шарик при облучении его электромагнитным излучением с длиной волны $\lambda=140$ нм?
5.276. Найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, вырываемых с поверхности лития электромагнитным излучением, напряженность электрической составляющей которого меняется со временем по закону $E=a(1+\cos \omega t) \cos \omega_{0} t$, где $a$ некоторая постоянная, $\omega=6,0 \cdot 10^{14} \mathrm{paд} /$ с и $\omega_{0}=3,60 \cdot 10^{15} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$.
5.277. Электромагнитное излучение с длиной волны $\lambda=0,30$ мкм падает на фотоэлемент, находящийся в режиме насыщения. Соответствующая спектральная чувствительность фотоэлемента $J=$ $=4,8$ мА/Вт. Найти выход фотоэлектронов, т. е. число фотоэлектронов на каждый падающий фотон.
5.278. Имеется вакуумный фотоэлемент, один из электродов которого цезиевый, другой – медный. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, подлетающих к медному электроду, при освещении цезиевого электрода электромагнитным излучением с длиной волны 0,22 мкм, если электроды замкнуть снаружи накоротко.
5.279. Фототок, возникающий в цепи вакуумного фотоэлемента при освещении цинкового электрода электромагнитным излучением с длиной волны 262 нм, прекращается, если подключить внешнее задерживающее напряжение 1,5 В. Найти величину и полярность внешней контактной разности потенциалов данного фотоэлемента.
5.280. Составить выражение для величины, имеющей размерность длины, используя скорость света $c$, массу частицы $m$ и постоянную Планка $\hbar$. Что это за величина?
5.281. Показать с помощью законов сохранения, что свободный электрон не может полностью поглотить фотон.
5.282. Объяснить следующие особенности комптоновского рассеяния света веществом:
a) независимость смещения $\Delta \lambda$ от природы рассеивающего вещества;
б) увеличение интенсивности смещенной компоненты рассеянного света с уменьшением атомного номера вещества, а также с ростом угла рассеяния;
в) наличие несмещенной компоненты в рассеянном излучении.
5.283. Узкий пучок монохроматического ренттеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длины волн излучения, рассеянного под углами $\vartheta_{1}=60^{\circ}$ и $\vartheta_{2}=120^{\circ}$, отличаются друг от друга в $\eta=2,0$ раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения.
5.284. Фотон с энергией $\hbar \omega=1,00$ МэВ рассеялся на свободном покоившемся электроне. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, если в результате рассеяния длина волны фотона изменилась на $\eta=25 \%$.
5.285. Фотон с длиной волны $\lambda=6,0$ пм рассеялся под прямым углом на покоившемся свободном электроне. Найти:
a) частоту рассеянного фотона;
б) кинетическую энергию электрона отдачи.
5.286. Фотон с энергией $\hbar \omega=250$ кэВ рассеялся под углом $\vartheta=120^{\circ}$ на первоначально покоившемся свободном электроне. Определить энергию рассеянного фотона.
5.287. Фотон с импульсом $p=1,02 \mathrm{M} В / c$, где $c$ – скорость света, рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате чего импульс фотона стал $p^{\prime}=0,255 \mathrm{Mэ} \mathrm{B} / c$. Под каким углом рассеялся фотон?
5.288. Фотон рассеялся под углом $\vartheta=120^{\circ}$ на покоившемся свободном электроне, в результате чего электрон получил кинетическую энергию $T=0,45$ МэВ. Найти энергию фотона до рассеяния.
5.289. Найти длину волны рентгеновского излучения, если йаксимальная кинетическая энергия комптоновских электронов $T_{\text {макс }}=$ $=0,19 \mathrm{M}$ В .
5.290. Фотон с энергией $\hbar \omega=0,15$ МэВ рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате чего его длина волны изменилась на $\Delta \lambda=3,0$ пм. Найти угол, под ко’торым вылетел комптоновский электрон.
5.291. Фотон с энергией, в $\eta=2,0$ раза превышающей энергию покоя электрона, испытал лобовое столкновение с покоившимся свободным электроном. Найти радиус кривизны траектории электрона отдачи в магнитном поле $B=0,12$ Т. Предполагается, что электрон отдачи движется перпендикулярно к направлению поля.
5.292. Фотон, испытав столкновение с релятивистским электроном, рассеялся под углом $\vartheta=60^{\circ}$, а электрон остановился. Найти комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона.
