Закон всемирного тяготення:
\[
F=\gamma \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}
\]

Қвадраты периодов обращения планет вокруг Солнца \”относятся как губы, бөльших полуосей их орбит (Кеплер):
\[
T^{2} \sim a^{3} .
\]

Напряженность $\mathbf{G}$ и потенциал $\varphi$ гравитационного поля точечной массы:
\[
\mathbf{G}=-\gamma \frac{m}{r^{3}} \mathbf{r}, \quad \varphi=-\gamma \frac{m}{r} .
\]

Первая и вторая космические скорости:
\[
v_{1}=\sqrt{g R}, \quad v_{2}=\sqrt{2 v_{i}} .
\]
1.200. Некоторая планета массы $M$ движется по окружности вокруг Солнца со скоростью $v=34,9 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$ (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Найти период обращения этой планеты вокруг Солнца.
1.201. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз сольше соответствующего периода для Земли. Считая орбиты планет круговыми, найти:
a) во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца;
б) скорость и ускорение Юпитера в гелиоцентрической системе отсчета.
1.202. Некоторая планета массы $M$ движется вокруг Солнца по эллипсу так, что минимальное расстояние между ней и Солнцем равно $r$, а максимальное – $R$. Найти с помощью законов Кеплера период обращения ее вокруг Солнца.
1.203. Небольшое тело начинает падать на Солнце с расстояния, равного радиусу земной орбиты. Начальная скорость тела
в гелиоцентрической системе отсчета равна нулю. Найти с помощью законов Кеплера, сколько времени будет продолжаться падение.
1.204. Представим себе, что мы создали модель Солнечной системы в $\eta$ раз меньше натуральной величины, но из материалов той же самой средней плотности, что у Солнца и планет. Қак изменятся при этом периоды обращения моделей планет по своим орбитам?
1.205. Двойная звезда – это система из двух звезд, движущихся под действием притяжения вокруг центра инерции системы. Найти расстояние между компонентами двойной звезды, если ее суммарная масса $M$ и период обращения $T$.
1.206. Найти потенциальную энергию гравитационного взаимодействия:
a) двух материальных точек с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга;
б) материальной точки массы $m$ и тонкого однородного стержня массы $M$ и длины $l$, если они находятся на одной прямой на расстоянии $a$ друг от друга; определить также силу их взаимодействия.
1.207. Планета массы $m$ движется по эллипсу вокруг Солнца так, что наибольшее и наименьшее расстояния ее от Солнца равны соответственно $r_{1}$ и $r_{2}$. Найти момент импульса $M$ этой планеты относительно центра Солнца.
1.208. Доказать с помощью законов сохранения, что полная мехапическая энергия планеты массы $m$, движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси $a$. Найти формулу зависимости этой энергии от $a$.
1.209. Планета $A$ движется по эллиптической орбите вокруг Солнца. В момент, когда она находилась на расстоянии $r_{0}$ от Солнца, ее скорость равнялась $v_{0}$ и угол между радиус-вектором $\mathbf{r}_{0}$ и вектором скорости $\mathbf{v}_{0}$ составлял $\alpha$. Найти наибольшее и наименьшее расстояния, на котөрые удаляется от Солнца эта планета при своем движении.
1.210. Космическое тело $A$ движется к Солнцу, имея вдали от него скорость $v_{0}$ и прицельный параметр
Рис. 1.51.
$l$ – плечо вектора $\mathrm{v}_{0}$ относительно центра Солнца (рис. 1.51). Найти наименьшее расстояние, на которое это тело приблизится к Солнцу.
1.211. Частица массы $m$ находится вне однородного шара массы $M$ на расстоянии $r$ от его центра. Найти:
a) потенциальную энергию гравитационного взаимодействия частицы и шара;
б) силу тяготения, с которой шар действует на частицу.
1.212. Доказать, что сила тяготения, действующая на частицу $A$ внутриж: однородного сферического слоя вещества, равна нулю.
1.213. Частицу массы $m$ переместили из центра основания однородного полушара массы $M$ и радиуса $R$ на бесконечность. Қакую работу совершила при этом гравитационная сила, действующая на частицу со стороны полушара?
1.214. Имеется однородный шар массы $M$ и радиуса $R$. Найти напряженность $\mathbf{G}$ и потенциал $\varphi$ гравитационного поля этого шара как функции расстояния $r$ от его центра (при $r<R$ и $r>R$ ). Изобразить примерные графики зависимостей $G(r)$ и $\varphi(r)$.
1.215. Внутри однородного шара с плотностью $\rho$ имеется сферическая полость, центр которой находится на расстоянии 1 от центра шара. Найти напряженность $\mathbf{G}$ поля тяготения внутри полости.
1.216. Однородный шар имеет массу $M$ и радиус $R$. Найти давление $p$ внутри шара, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния $r$ от его центра. Оценить $p$ в центре Земли, считая, что Земля является однородным шаром.
1.217. Найти собственную потенциальную энергию гравитационного взаимодействия вещества, образующего:
a) тонкий однородный сферический слой массы $m$ и радиуса $R$;
б) однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ (воспользоваться ответом к задаче 1.214).
1.218. Два спутника Земли движутся в одной плоскости по круговым орбитам. Радиус орбиты одного спутника $r=7000 \mathrm{kм}$, радиус орбиты другого – на $\Delta r=70$ км меньше. Через какой промежуток времени спутники будут периодически сближаться на минимальное расстояние?
1.219. Вычислить отношение следующих ускорений: ускорения $w_{1}$, вызываемого силой тяготения на поверхности Земли, ускорения $w_{2}$, обусловленного центробежной силой инерции на экваторе Земли, и ускорения $w_{3}$, сообщаемого телам на Земле Солнцем.
1.220. На какой высоте над полюсом Земли ускорение свободного падения убывает на один процеит; в два раза?
1.221. Телу сообщили на полюсе Земли скорость $v_{0}$, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности, найти высоту, на которую поднимется тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.222. Искусственный спутник вывели на круговую орбиту вокруг Земли со скоростью $v$ – относительно поступательно движущейся системы отсчета, связанной с осью вращения Земли. Найти расстояние от спутника до поверхности Земли. Радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности считать известными.
1.223. Вычислить радиус круговой орбиты стационарного спутника Земли, который остается неподвижным относительно ее поверхности. Қаковы его скорость и ускорение в инерциальной системе отсчета, связанной в данный момент с центром Земли?
1.224. Спутник, движущийся по круговой орбите радиуса $R=$ $=2,00 \cdot 10^{1}$ км в экваториальной плоскости Земли с Запада на Восток, появляется над некоторым пунктом на экваторе через каждые \tau=11,6$ ч. Вычислить на основании этих данных массу Земли. Гравитационная постоянная предполагается известной.
1.225. Спутник движется в экваториальной плоскости Земли с Востока на Запад по круговой орбите радиуса $R=1,00 \cdot 10^{4}$ км. Найти в системе отсчета, связанной с Землей, его скорость и ускорение.
1.226. Спутник должен двигаться в экваториальной плоскости Земли вблизи ее поверхности по или против направления вращения Земли. Найти в системе отсчета, связанной с Землей, во сколько раз кинетическая энергия спутника во втором случае будет больше, чем в первом.
1.227. Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите, радиус которой в $\eta$ раз больше радиуса Луны. При своем движении спутник испытывает слабое сопротивление со стороны космической пыли. Считая, что сила сопротивления зависит от скорости спутника по закону $F=\alpha v^{2}$, где $\alpha$ – постоянная, найти время движения спутника до падения на поверхность Луны.
1.228. Вычислить первую и вторую космические скорости для Луны. Сравнить полученные результаты с соответствующими скоростями для Земли.
1.229. Қосмический корабль подлетает к Луне по параболической траектории, почти касающейся поверхности Луны. В момент максимального сближения с Луной на короткое время был включен тормозной двигатель, и корабль перешел на круговую орбиту спутника Луны. Найти приращение модуля скорости корабля при торможении.
1.230. Космический корабль вывели на круговую орбиту вблизи поверхности Земли. Какую дополнительную скорость необходимо сообщить кораблю, чтобы он смог преодолеть земное тяготение?
1.231. На каком расстоянии от центра Луны находится точка, в которой напряженность результирующего поля тяготения Земли и Луны равна нулю? Считать, что масса Земли в $\eta=81$ раз больше массы Луны, а расстояние между центрами этих планет в $n=60$ раз больше радиуса Земли $R$.
1.232. Қакую наименьшую работу надо совершить, чтобы доставить космический корабль массы $m=2,0 \cdot 10^{3}$ кг с поверхности Земли на Луну?
1.233. Найти приближенно третью космическую скорость $v_{3}$, т. е. наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу относительно поверхности Земли, чтобы оно смогло покинуть Солнечную систему. Вращением Земли вокруг собственной оси пренебречь.