— Осңовное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):
(2) Это же уравнение в проекциях на касательную в всрмаль в траекто*耳вв точки:
Уравнение динамики точки в неинериальной -системе отсчета, которая врашается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся гоступательно с ускорением :
rде — радиус-вектор точки относительно оси вращения -системы.
1.59. Аэростат массы начал опускаться с постояннем ускорением w. Определить массу балпаста, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же усксрене, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.60. В установке (рис. 1.9) массы тел равны и , массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в б.токе нет. Найти ускорение , с которым опускается тело , и натяжение нити, связывающей тела и , если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен . Исследовать возможные случаи.
Рис. 1.9。
Pnc. 1.10,
1.61. На наклонную плоскость, составляющую угол с горнзонтом, поместили два соприкасәюшихся бруска 1 и 2 (рис. 1.10). Массы брусков равны и , козффициенты трепия между наклонной плоскостью и этими брускамн — соответственно і , причем . Найти:
a) силу взаимодействия между брусками в процессе двикения;
б) минимальное значение угла , при котором начнется скольжение.
1.62. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной п.тоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти коэффицнент трения, если время подъема тела
Рис. 1.11. оказалось в раза меньше времени спуска.
1.63. В установке (рис. 1.11) нзвестны угол наклоной плоскости с горизонтом и коэффицнент трения между телом и наклонной п.лоскостью. Массы блока н нити пренебрежнмо малы, трения в блоке нет. Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, найти отношение масс , при котором тело :
a) начнет опускаться;
б) начнет подниматься;
в) будет оставаться в покое.
1.64. Наклонная плоскость (см. рис. 1.11) составляет угол с горизонтом. Отношение масс тел . Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью . Массы блока и нитей пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела , если система пришла в движение из состояния покоя.
1.65. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы и на ней брусок массы . K бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем по закону , где — постоянная. Найти зависимости от ускорений доски и бруска , если коэффициент трения между доской и бруском равен . Изобразить примерные графики этих зависимостей.
1.66. Небольшое тело начинает
Рис. 1.12.
скользить с вершины клина, основание которого м (рис. 1.12). Коэффициенты трения между телом и поверхностью клииа . При каком значении угла время соскальзывания будет наименьшим? Чему оно равно?
1.67. Брусок массы втаскивают за нить с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом (рис. 1.13). Коэффициент трения равен . Найти угол , который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы натяжение пити было наименьшим. Чему оно равно?
Рис. 1.13.
Рис. 1.14.
1.68. На небольшое тело массы , лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент начала действовать сила, зависящая от времени по закону , где — постоянная. Направление этой силы все время составляет угол с горизонтом (рис. 1.14). Найти:
a) скорость тела в момент отрыва от плоскости;
б) путь, пройденный телом к этому моменту.
1.69. К бруску массы , лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу . В процессе его прямолинейного движения угол между направ лением этой силы и горизонтом меняют по закону , где постоянная, — пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла .
1.70. На горизонтальиой плоскости с коэффициентом трения находятся два тела: брусок и электромотор с батарейкой на подставке. На ось электромотора намотана нить, свободный конец которой соединен с бруском. Расстояние между обоими телами равно . После включения мотора брусок, масса которого в два раза больше массы другого тела, начал двигаться с постоянным ускорением . Через сколько времени оба тела столкнутся?
1.71. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами и . Қабина начинает подниматься с ускорением . Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, найти:
a) ускорения груза относительно шахты лифта и относительно кабины;
б) силу, с которой блок действует на потолок кабины.
1.72. Найти ускорение w тела 2 в системе (рис. 1.15), если его масса в раз больше массы бруска 1 и угол между наклонной плоскостью и горизонтом равен . Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. Исследовать возможные случаи.
Рис. 1.15.
Рис. 1.16.
1.73. В системе рис. 1.16 масоы тел равны , трения нет, массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Найти ускорение тела . Исследовать возможные случаи.
1.74. В установке (рис. 1.17) известны массы стержня и шарика , причем . Шарик имеет отверстие и может скользить по нити с некоторым трением. Масса блока и трение в его оси пренебрежімо малы. В начальный момент шарик находился напротив нижнего конца стержня. После того как систему предоставили самой себе, оба тела стали двигаться с постоянными ускореииями. Найти силу трения между шариком и нитью, если через секунд после начала движения шарик оказался напротив верхнего конца стержня. Длина стержня равна .
1.75. В установке (рис. 1.18) шарик 1 имеет массу в раза больше массы стержня 2. Длина последнего см. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. Шарик установили на одном уровне с нижним концом стержня и отпустили. Через сколько времени он поравняется с верхним концом стержня?
Pис. 1.17.
Рис. 1.18.
Pис. 1.19.
1.76. В системе (рис. 1.19) масса тела 1 в раза больше массы тела 2. Высота см. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. В некоторый момент тело 2 отпустили, и система пришла в движение. На какую максимальную высоту от пола поднимется тело 2?
1.77. Найти ускорения стержня и клина в установке (рис. 1.20), если отношение массы клина к массе стержня равно и трение между всеми соприкасающимися поверхностями пренебрежимо мало.
Рис. 1.20.
Рис. 1.21.
1.78. В системе (рис. 1.21) известны массы клина и тела . Трение имеется только между клином и телом . Соответствующий коэффициент трения равен . Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти ускорение тела относительно горизонтальной поверхности, по которой скользит клин.
1.79. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок (рис. 1.22), чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него? Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами равен . Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения в блоке нет.
1.80. Призме 1 , на которой находится брусок 2 массы , сообщили направленное влево горизонтальное ускорение (рис. 1.23). При каком максимальном значении этого ускорения брусок будет оставаться еще неподвижным относительно призмы, если коэффициент трения между ними ?
Рис. 1.22.
Рис. 1.23.
1.81. На горизонтальной поверхности находится призма 1 массы с углом (см. рис. 1.23) и на ней брусок 2 массы . Пренебрегая трением, найти ускорение призмы.
1.82. В системе (рис. 1.24) известны массы кубика и клина , а также угол клина . Массы блока и нити пренебрежимо малы. Трения нет. Найти ускорение клина .
1.83. Частица массы движется по окружности радиуса . Найти модуль среднего вектора силы, действующей на частицу на пути, равном четверти окружности, если частица движется:
Pис. 1.24.
a) равномерно со скоростью ;
б) с постоянным тангенциальным ускорением без начальной скорости.
1.84. Самолет делает «мертвую петлю радиуса м с постоянной скоростью ч. Найти вес летчика массы кг в нижней, верхней и средней точках петли.
1.85. Небольшой шарик массы , подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти:
a) полное ускорение шарика и натяжение нити в зависимости от — угла отклонения нити от вертикали;
б) натяжение нити в момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна;
в) угол ө между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения шарика направлен горизонтально.
1.86. Шарик, подвешениый на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении.
1.87. Небольшое тело начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса . Найти угол (рис. 1.25), соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость тела в момент отрыва.
1.88. Прибор (рис. 1.26) состоит из гладкого Г-образного стержня, расположенного в горизонтальной плоскости, и муфточки массы , соединенной невесомой пружинкой с точкой B. Жесткость пружинки . Вся система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через точку 0 . Найти относительное удлинение пружинки. Қак зависит результат от направления вращения?
Рис. 1.25.
Рис. 1.26.
1.89. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке, радиус которой , а коэффициент трения зависит только от расстояния до центра площадки по закону , где — постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке , по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?
1.90. Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиуса м. Коэффициент трения скольжения между колесами машины и поверхностью . Қакой путь пройдет машина без скольжения, если в начальный момент ее скорость равна нулю?
1.91. Автомашина движется равномерно по горизо́нтальному пути, имеющему форму синусоиды , где и некоторые постоянные. Коэффициент трения между колесами и дорогой равен . При какой скорости движение автомашины будет происходить без скольжения?
1.92. Ценочка массы , образующая окружность радиуса , надета на гладкий круговой конус с углом полураствора ө. Найти натяжение цепочки, если она вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии конуса.
1.93. Через закрепленный блок перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами и . Между нитью и блоком имеется трение. Оно таково, что нить начинает скользить по блоку, когда отношение . Найти:
a) коэффициент трения;
б) ускорение грузов, если .
1.94. Частица массы движется по внутренней гладкой поверхности вертикального цилиндра радиуса . Найти силу давления частицы на стенку цилиндра, если в начальный момент ее скорость равна и составляет угол с горизонтом.
1.95. Найти модуль и направление вектора силы, действующей на частицу массы при ее движении в плоскости по закону , где — постоянные.
1.96. Тело массы бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
a) приращение импульса р тела за первые секунд движения;
б) модуль приращения импульса p тела за все время движения.
1.97. На покоившуюся частицу массы в момент начала действовать сила, меняющаяся со временем по закону , где постоянный вектор, — время, в течение которого действует данная сила. Найти:
a) импульс частицы после окончания действия силы;
б) путь, пройденный частицей за время действия силы.
1.98. Частица массы в момент начинает двигаться под действием силы , где и — постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от времени . Изобразить примерный график этой зависимости.
1.99. Частица массы в момент начинает двигаться под действием силы , где и — постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?
1.100. Катер массы движется по озеру со скоростью . В момент выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной его скорости , найти:
a) время движения катера с выключенным двигателем;
б) скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки;
в) среднюю скорость катера за время, в течение которого его начальная скорость уменьшится в раз.
1.101. Пуля, пробив доску толщиной , изменила свою скорость от до . Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.
1.102. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути по закону , где — постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и максимальную скорость его на этом пути.
1.103. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения лежит тело массы . В момент нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся со временем по закону ; ге — постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за:первые секунд после начала действия этой силы.
т 1.104. Тело массы бросили вертикально вверх со скоростью . Найти скорость , с которой тело упадет обратно, если сила софротивления воздуха равна , где — постоянная, — скорость тела.
1.105. Частица массы движется в некоторой плоскости под действием постоянной по модулю силы , вектор которой поворачивается в этой плоскости с постоянной угловой скоростью . Считая, что в момент частица покоилась, найти:
a) ее скорость в зависимости от времени;
б) путь, проходимый частицей между двумя последовательными остановками, и среднюю скорость за это время.
1.106. Небольшую шайбу положили на наклонную плоскость, составляющую Pис. 1.27. угол с горизонтом, и сообщили начальную скорость (рис. 1.27). Найти зависимость скорости шайбы от угла , если коэффициент трения и в начальный момент .
1.107. Цепочку длины поместили на гладкую сферическую поверхность радиуса так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. С каким ускорением начнет двигаться каждый элемент цепочки, если ее верхний конец освободить? Предполагается, что длина цепочки .
1.108. Небольшое тело поместили на вершину гладкого ша́ра радиуса . Затем шару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение , и тело начало скользить вниз. Найти:
a) скорость тела относительно шара в момент отрыва;
б) угол между вертикалью и радиус-вектором, проведенным из центра шара в точку, где происходит отрыв; вычислить при .
1.109. Частица массы равномерно движется по окружности с заданной скоростью под действием силы , где и — постоянные, — расстояние от центра окружности. При каких значениях движение по окружности будет устойчивым? Қаков радиус такой окружности?
1.110. Муфточка может свободно скользить вдоль гладкого стержня, изогнутого в форме полукольца радиуса (рис. 1.28). Систему привели
Рис. 1.28.
во вращение с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси . Найти угол , соответствующий устойчивому положению муфточки.
1.111. Винтовку навели на вертикальную черту мишени, находящейся точно в северном направлении, и выстрелили. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на сколько сантиметров и в какую сторону пуля, попав в мишень, отклонится от черты. Выстрел произведен в горизонтальном направлении на широте , скорость пули и расстояние до мишени .
1.112. Горизонтальный диск вращают с постоянной угловой скоростью рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров диска движется небольшое тело массы кг с постоянной относительно диска скоростью . Найти силу, с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии от оси вращения.
1.113. Горизонтально расположенный гладкий стержень: вращают с постоянной угловой скоростью рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец . По стержню свободно скользит муфточка массы , движущаяся из точки с начальной скоростью . Найти действующую на муфточку силу Кориолиса (в системе отсчета, связанной с вращающимся стержнем) в момент, когда муфточка оказялась на расстоянии см от оси вращения.
1.114. Горизонтальный диск радиуса вращают с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его край. По периферии диска равномерно относительно него движется частица массы . В момент, когда она оказывается на максимальном расстоянии от оси вращения, результирующая сил инерции , действующих на частицу в системе отсчета «диск», обращается в нуль. Найти:
a) ускорение частицы относительно диска;
б) зависимость от расстояния до оси вращения.
1.115. С вершины гладкой сферы радиуса м начинает соскальзывать небольшое тело массы кг. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти в системе отсчета, связанной со сферой, центробежную силу инерции и силу Кориолиса в момент отрыва тела от поверхности сферы.
1.116. Поезд массы т движется со скоростью на широте . Определить горизонтальную составляющую силы давления поезда на рельсы, если путь проложен:
a) по меридиану; б) по параллели.
1.117. На экваторе с высоты м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на какое расстояние и в кағ ую сторону отклонится от вертикали тело при падении.