Емкость плоского конденсатора:
\[
C=8 \varepsilon_{0} S / d .
\]

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов:
\[
W=\mathbf{1} / \mathbf{2} \sum q_{i} \varphi_{i} .
\]

Полная электрическая энергия системы с непрерывным распределением варяда:
\[
W=1 / 2 \int \varphi \rho d V .
\]

Полная электрическая энергия двух заряженных тел 1 и 2 ;
\[
W=W_{i}+W_{2}+W_{i 2} \text {, }
\]

где $W_{1}$ и $W_{2}$-собственные энергни тел, $W_{12}$ – энергия взаимодействия.
Энергия заряженного конденсатора:
\[
W=\frac{q U}{2}=\frac{q^{2}}{2 C}=\frac{C U^{2}}{2} .
\]

Объемная плотность энергии электрического поля:
\[
w=\frac{\mathbf{E D}}{2}=\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} E^{2}}{2} .
\]
3.101. Найти емкость уединеиного шарового проводника радиуса $R_{1}$, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем однородного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$ и наружным радиусом $R_{2}$.
3.102. К источнику сэ. д. с. Еீ подключили последовательно два плоских воздушных конденсатора, каждый емкости $C$. Затем один из конденсаторов заполнили однородным диэлектрнком с проницаемостью $\varepsilon$. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе? Қакой заряд пройдет через источник?
3.103. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами $d_{1}$ и $d_{2}$ и с проницаемостями $\varepsilon_{1}$, и $\varepsilon_{2}$. Площадь каждой обкладки равна $\mathcal{S}$. Найти:
a) емкость конденсатора;
б) плотность $\sigma^{\prime}$ связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоев, если напряжение на конденсаторе равно $U$ и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.
3.104. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость $\varepsilon$ которого изменя ется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от $\varepsilon_{1}$ до $\varepsilon_{2}$, причем $\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}$. Площадь каждой обкладки $S$, расстояние между ними $d$. Найти:
a) емкость конденсатора;
б) объемную плотность связанных зарядов как функцию $\varepsilon$, если заряд конденсатора $q$ и поле $\mathbf{E}$ в нем направлено в сторону возрастания $\varepsilon$.
3.105. Найти емкость сферического конденсатора с радиусами обкладок $R_{1}$ и $R_{2}>R_{1}$, который заполнен изотропным диэлектриком с проницаемостью, изменяющейся по закону $\varepsilon=a / r$, где $a$ постоянная, $r$ – расстояние от центра конденсатора.
3.106. Цилиндрический конденсатор заполнен двумя цилиндрическими слоями диэлектриков с проницаемостями $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$. Внутренние радиусы слоев равны соответственно $R_{1}$ и $R_{2}>R_{1}$. Максимально допустимая напряженность электрического поля для этих диэлектриков равна $E_{1 m}$ и $E_{2 m}$. При каком соотношении между $\varepsilon, R$ и $E_{m}$ напряженность поля при повышении напряжения одновременно достигнет значения, соответствующего пробою того и другого диэлектрика?
3.107. Имеется двухслойный цилиндрический конденсатор, данные которого приведены на рис. 3.16. Предельные значения напряженности
Pис. 3.16. электрического поля, при которых наступает пробой данных диэлектриков, равны соответственно $E_{1}$ и $E_{2}$. При каком напряжении конденсатор будет пробит, если $\varepsilon_{1} R_{1} E_{1}<\varepsilon_{2} R_{2} E_{2}$ ?
3.108. Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения $a$ расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их ссями равно $b$. Найти взаимную емкость проводов на единицу их длины при условии $b \gg a$.
3.109. Длинный прямой провод расположен параллельно безграничной проводящей плоскости. Радиус сечения провода равен $a$, расстояние между осью провода и проводящей плоскостью $b$. Найти взаимную емкость этой системы на единицу длины провода при условии $a \ll b$.
3.110. Найти емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса $a$, расстояние между центрами которых $b$, причем $b \gg a$. Система находится в однородном диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon$.
3.111. Определить емкость системы, которая состоит из металлического шарика рядиуса $a$ и безграничной проводящей плоскости, отстоящей от центра шарика на расстояние $l$, если $l \gg a$.
Рис. 3.17.
3.112. Найти емкость системы одинаковых конденсаторов между точками $A$ и $B$, которая показана:
а) на рис. $3.17, a$; б) на рис. 3.17 , б.
3.113. Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на одинаковом расстоянии $d$ друг от друға. Площадь каждой пластины равна $S$. Найти емкость системы между точками $A$ и $B$, если пластины соединены так, как показано:
а) на рис. $3.18, a$; б) на рис. 3.18 , 6 . 3.114. Конденсатор емкости $C_{1}=$ $=1,0$ мкФ выдерживает напряжение не более $U_{1}=6,0 \mathrm{~K}$, а конденсатор емкости $C_{2}=2,0$ мк $\Phi$ – не более $U_{2}=4,0 \mathrm{кB}$. Какое напряжение может выдержать система из этих двух конденсаторов при последовательном соединении?
Pис. 3.18.
3.115. В схеме (рис. 3.19) найти раз-

ность потенциалов между точками $A$ и $B$, если э. д. с. $\mathscr{E}=$ $=110 \mathrm{~B}$ и отношение емкостей $C_{2} / C_{1}=\eta=2,0$.
Рис. 3.19.
Рис. 3.20.
3.116. Найти емкость бесконечной цепи, которая образована повторением одного и того же звена, состоящего из двух одинаковых конденсаторов, каждый емкости $C$ (рис. 3.20).
3.117. В некоторой цепи имеется участок $A B$, показанный на рис. 3.21. Э. д. с. источника $\mathscr{E}=10 \mathrm{~B}$, емкости конденсаторов $C_{1}=1,0$ мк $\Phi, C_{2}=2,0$ мкФ и разность потенциалов $\varphi_{A}-\varphi_{B}=$ $=5,0$ В. Найти напряжение на каждом конденсаторе.
Рис. 3.2f.
Рис. 3.22.
3.118. В схеме (рис. 3.22) найти разность потенциалов между левой и правой обкладками каждого конденсатора.
3.119. Найти заряд каждого конденсатора в цепи, показанной на рис. 3.22 .
3.120. Определить разность потенциалов $\varphi_{A}-\varphi_{B}$ между точками $A$ и $B$ схемы (рис. 3.23 ). При каком условин она равна нулю?
3.121. Конденсатор емкости $C_{1}=1,0$ мк $\Phi$, заряженный до напряжения $U=110 \mathrm{~B}$, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных незаряженных конденсаторов, емкости которых $C_{2}=2,0$ мкФ и $C_{3}=3,0$ мкФ. Какой заряд протечет при этом по соединительным проводам?
3.122. Какие заряды протекут после за-
Рис. 3.23, мыкания ключа $K$ в схеме (рис. 3.24) через сечения 1 и 2 в направлениях, указанных стрелками?
3.123. В схеме (рис. 3.25) э. д. с. каждой батареи $\mathscr{E}=60$ В, емкости конденсаторов $C_{1}=2,0$ мкФ и $C_{2}=3,0$ мкФ. Найти заряды, которые пройдут после замыкания ключа $K$ через сечения 1,2 и 3 в*направлениях, указанных стрелками.
Рис. 3.24.
Pис. 3.25,
3.124. Найти разность потенциалов $\varphi_{A}-\varphi_{B}$ между точками $A$ и $B$ схемы (рис. 3.26).
Рис, 3.26,
Pис. 3.27,
3.125. Определить потенциал в точке 1 схемы (рис. 3.27), полагая потенциал точки $O$ равным нулю. Написать по аналогии (используя симметрию полученной формулы) выражения для потенциалов в точках 2 и 3.
3.126. Найти емкость схемы (рис. 3.28) между точками $A$ и $B$.
3.127. Определить энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной $a$ в системах, которые показаны на рис. 3.29 .
Рис, 3.28.
Рис. 3.29,
3.128. Имеется бесконечная прямая цепочка чередующихся зарядов $q$ и $-q$. Расстояние между соседними зарядами равно $a$. Найти энергию взаимодействия каждого заряда со всеми остальными.

Ука зание Воспользоваться разложением $\ln (1+\alpha)$ в ряд по $\alpha$.
3.129. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от безграничной проводящей плоскости. Найти энергию взаимодействия этого заряда с зарядами, индуцированными на плоскости.
3.130. Вычислить энергию взаимодействия двух шаров, заряды которых $q_{1}$ и $q_{2}$ распределены сферически симметрично. Расстояние между центрами шаров равно $l$.

Указание. Прежде всего следует определить энергию взаимодействия шара и тонкого сферического слоя.
3.131. Конденсатор емкости $C_{1}=1,0$ мкФ, предварительно заряженный до напряжения $U=300 \mathrm{~B}$, подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкости $C_{2}=2,0$ мкФ. Найти приращение электрической энергии этой системы к моменту установления равновесия. Объяснить полученный результат.
3.132. Қакое количество тепла выделится в цепи (рис. 3.30) после переключения ключа $K$ из положения 1 в положение 2?
Рис. 3.30,
Рис. 3.31.
3.133. Қакое поличество тепла выделится в цепи (рис. 3.31) после переключения ключа $K$ из положения 1 в положение 2?
3.134. Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ с соответствующими зарядами
$q_{1}$ и $q_{2}$. Найти значения собственной энергии каждой оболочки $W_{\text {і и }}$ и $W_{2}$, энергии взаимодействия оболочек $W_{12}$ и полную электрическую энергию $W$ системы.
3.135. Заряд $q$ распределен равномерно по объему шара радиуса $R$. Полагая диэлектрическую проницаемость равной единице, найти:
a) собственную электростатическую энергию шара;
б) отношение энергии $W_{1}$, запасенной внутри шара, к энергии $W_{2}$, заключенной в окружающем пространстве.
3.136. Точечный заряд $q=3,0$ мкКл находится в центре шарового слоя из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon=3,0$. Внутренний радиус слоя $a=250$ мм, внешний $b=500$ мм. Найти электростатическую энергию, заключениую в диэлектрическом слое.
3.137. Сферическую оболочку радиуса $R_{1}$, равномерно заряженную зарядом $q$, расширили до радиуса $R_{2}$. Найти работу, совершенную при этом электрическими силами.
3.138. Имеется сферическая оболочка, равномерно заряженная зарядом $q$, в центре которой расположен точечный заряд $q_{0}$. Найти работу, совершенную электрическими силами при расширении оболочки – увеличении ее радиуса от $R_{1}$ до $R_{2}$.
3.139. Сферическая оболочка заряжена равномерно с поверхностной плотностью $\sigma$. Воспользовавшись законом сохранения энергии, найти модуль вектора электрической силы, которая действует на единицу поверхности оболочки.
3.140. Точечный заряд $q$ находится в центре $O$ сферического незаряженного проводящего слоя с малым отверстием (рис. 3.32). Внутренний и внешний радиусы слоя равны соответственно $a$ и $b$. Какую работу надо Pис. 3.32. затратить, чтобы медленно перенести заряд $q$ из точки $O$ через отверстие на бесконечность?
3.141. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна $S$. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от $x_{1}$ до $x_{2}$, если при этом поддерживать неизменным:
a) заряд конденсатора, равный $q$;
б) напряжение на конденсаторе, равное $U$ ?
3.142. Внутри плоского конденсатора находится параллельная обкладкам пластинка, толщина которой составляет $\eta=0,60$ части зазора между обкладками. Емкость конденсатора в отсутствие пластинки $C=20$ нФ. Конденсатор сначала подключили параллельно к источнику постоянного напряжения $U=200 \mathrm{~B}$, затем отключили и после этого медленно извлекли пластинку из зазора. Найти работу, затраченную на извлечение пластинки, если пластинка:
a) металлическая; б) стеклянная.
3.143. Плоский конденсатор опустили в горизонтальном положении в воду, которая заполнила зазор между пластинами шириной $d=1,0$ мм. Затем конденсатор подключили к постоянному напряжению $U=500$ В. Найти приращение давления воды в зазоре.
3.144. Плоский конденсатор расположен горизонтально так, что одна его пластина находится над поверхностью жидкости, другая – под поверхностью жидкости (рис. 3.33). Диэлектрическая проницаемость жидкости $\varepsilon$, ее плотность $\rho$. На Рис. 3.33. какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе после сообщения его пластинам заряда с поверхностной плотностью $\sigma$ ?
3.145. В цилиндрический конденсатор вводят цилиндрический слой диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$, заполняющий все пространство между обкладками. Средний радиус обкладок равен $R$, зазор между ними $d$, причем $d \ll R$. Обкладки конденсатора подключены к источнику постоянного напряжения $U$. Найти модуль вектора электрической силы, втягивающей диэлектрик в конденсатор.
3.146. Конденсатор состоит из двух неподвижных пластин, имеющих форму полукруга радиуса $R$, и расположенной между ними подвижной пластины из диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$, которая может свободно поворачиваться вокруг оси $O$ (рис. 3.34). Толщина Рис. 3.34. подвижной пластины $d$, что практически равно расстоянию между неподвижными пластинами. Конденсатору сообщили разность потенциалов $U$. Найти модуль момента сил отиосительно оси $O$, действующих на подвижную пластину в положении, показанном на рисунке.