Напряженность электрического поля у поверхности проводника в вакууме:
\[
E_{n}=\sigma / \varepsilon_{0} \text {. }
\]

Поток поляризованности $\mathbf{P}$ через замкнутую поверхность:
\[
\oint \mathbf{P} d \mathbf{S}=-q^{\prime},
\]

где $q^{\prime}$-алгебраическая сумма связанных зарядов внутри этой поверхности.
Вектор D и теорема Гаусса для него:
\[
\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P}, \quad \oint \mathbf{D} d \mathbf{S}=q,
\]

где $q$-алгебраическая сумма сторонних зарядов внутри замкнутой поверхности. Условия иа граиице раздела двух диэлектриков:
\[
P_{2 n}-P_{i n}=-\sigma^{\prime}, \quad D_{2 n}-D_{i n}=\sigma, \quad E_{2 \tau}=E_{i \tau},
\]

где $\boldsymbol{\sigma}^{\prime}$ и $\boldsymbol{\sigma}$-поверхностные плотности связанных и сторонних зарядов, а срт нормали $\mathbf{n}$ направлен из среды 1 в среду 2.

Для изотропных диэлектриков:
\[
\mathbf{P}=x \varepsilon_{0} \mathbf{E}, \quad \mathbf{D}=\varepsilon \varepsilon_{0} \mathbf{E}, \quad \varepsilon=1+x .
\]

В случае изотропного однородного диэлектрнка, заполняющего все простраиство между эквипотенциальными поверхностями:
\[
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0} / \varepsilon
\]
3.54. Небольшой шарик висит над горизонтальной безграничной проводящей плоскостью на изолирующей упругой пити жєсткости $k$. После того как шарик зарядили, он опустился на $x$ см, и его расстояние до проводящей плоскости стало равным $l$. Найти заряд шарика.
3.55. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от безграничной проводящей плоскости. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно удалить этот заряд на очень большое расстояние от плоскости?
3.56. Два точечных заряда, $q$ и $-q$, расположены на расстоянии $l$ друг от друга и на одинаковом расстоянии $l / 2$ от безграничной проводящей плоскости. Найти:
a) модуль вектора электрической силы, действующей на каждый заряд;
б) модуль вектора напряженности электрического поля в точке, расположенной на середине между этими зарядами.
3.57. Точечный заряд $q$ находится между двумя проводящими взаимно перпендикулярными полуплоскостями. Расстояние заряда до каждой полуплоскости равно $l$. Найти модуль вектора силы, действующей на заряд.
3.58. Точечный диполь с электрическим моментом р находится на расстоянии $l$ от бесконечной проводящей плоскости. Найти модуль вектора силы, действующей на диполь, если вектор р перпендикулярен плоскости.
3.59. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от проводящей безграничной плоскости. Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния $r$ от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.
3.60. Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд $\lambda$ на единицу длины и расположена параллельно безграничной проводящей плоскости. Расстояние между нитью и плоскостью равно $l$. Найти:
a) модуль вектора силы, действующей на единицу длины нити;
б) распределение поверхностной плотности заряда $\sigma(x)$ на плоскости, где $x$ – расстояние от плоскости, перпендикулярной к проводящей поверхности и проходящей через нить.
3.61. Очень длинная прямая нить ориентирована перпендикулярно к безграничной проводящей плоскости и не доходит до этой плоскости на расстояние $l$. Нить заряжена равномерно с линейной плотностью $\lambda$. Пусть точка $O$ – след нити на плоскости. Найти поверхностную плотность индуцированного заряда на плоскости:
a) в точке $O$;
б) в зависимости от расстояния $r$ до точки $O$.
3.62. Тонкое проволочное кольцо радиуса $R$ имеет заряд $q$. Кольцо расположено параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии $l$ от последней. Найти:
a) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца;
б) напряженность и потенциал электрического поля в центре кольца.
3.63. Найти потенциал $\varphi$ незаряженной проводящей сферы, вие которой на расстоянии $l$ от ее центра находится точечный заряд $q$.
3.64. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $r$ от центра $O$ незаряженного сферическото слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно $R_{1}$ и $R_{2}$. Найти потенциал в точке $O$, если $r<R_{\mathbf{1}}$.
3.65. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причем на внутренней сфере радиуса $a$ находится положительный заряд $q_{1}$. Какой заряд $q_{2}$ следует поместить на внешнюю сферу радиуса $b$, чтобы потенциал внутренней сферы оказался равным нулю? Как будет зависеть при этом потенциал $\varphi$ от расстояния $r$ до центра системы? Изобразить примерный график этой зависимости.
3.66. Четыре большие металличеРис. 3.8. ские пластины расположены на малом расстоянии $d$ друг от друга, как показано на рис. 3.8. Крайние пластины соединены проводником, а на внутренние пластины подана разность потенциалов $\Delta \varphi$. Найти:
a) значения напряженности электрического поля между соседними пластинами;
б) суммарный заряд, приходящийся на единицу площади каждой пластины.
3.67. Две безграничные проводящие пластины 1 и 2 расположены на расстоянии $l$ друг от друга. Между пластинами на расстоянии $x$ от пластиғы 1 находится точечный заряд $q$. Найти заряды, наведенные на каждой из пластин.
3.68. Найти электрическую силу, которую испытывает заряд, приходящийся на единицу поверхности произвольного проводника, если поверхностная плотность заряда равна $\sigma$.
3.69. Металлический шарик радиуса $R=1,5$ см имеет заряд $q=10$ мкКл. Найти модуль вектора результирующей силы, которая действует на заряд, расположенный на одной половине шарика.
3.70. Незаряженный проводящий шар радиуса $R$ поместили во внешнее однородное электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью $\sigma=\sigma_{0} \cos \vartheta$, где $\sigma_{0}$ – постоянная, $\vartheta$ – полярный угол. Найти модуль вектора результирующей электрической силы, которая действует на индуцированный заряд одного знака.
3.71. В воде электрическше поле напряженности $E=1,0 \mathrm{kB} / \mathrm{cм}$ создает поляризацию, эквивалентную правильной ориентации только одной из $N$ молекул. Найти $N$. Электрический момент молекулы воды $p=0,62 \cdot 10^{-29} \mathrm{Kл} \cdot$ м.
3.72. Неполярная молекула с поляризуемостью $\beta$ находится на большом расстоянии $l$ от полярной молекулы с электрическим моментом р. Найти модуль вектора силы взаимодействия этих молекул, если вектор р ориентирован вдоль прямой, проходящей через обе молекулы.
3.73. На оси төнкого равномерно заряженного кольца радиуса $R$ находится неполярная молекула. На каком расстоянии $x$ от центра кольца модуль вектора силы $F$, действующей на данную молекулу:
a) равен нулю; б) нмеет максимальное значение? Изобразить примерный график зависимости $F_{x}(x)$.
3.74. Точечный заряд $q$ находится в центре шара из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$. Найти поляризованность $\mathbf{P}$ как функцию радиус-вектора $\mathbf{r}$ относительно центра системы, а также заряд $q^{\prime}$ внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.
3.75. Показать, что на границе диэлектрика с проводником поверхностная плотность связанного заряда диэлектрика $\sigma^{\prime}=-\sigma$ ( $\varepsilon-$ $-1) / \varepsilon$, где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость, $\sigma$ – поверхностная плотность заряда на проводнике.
3.76. Проводник произвольной формы,
Рис. 3.9.
имеющий заряд $q$, окружен однородным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$ (рис. 3.9). Найти суммарные поверхностные связанные заряды на внутренней и наружной поверхностях диэлектрика.
3.77. Однородный изотропный диэлектрик имеет вид сферического слоя с радиусами $a$ и $b$. Изобразить примерные графики напряженности электрического поля $E$ и потенциала $\varphi$ как функций расстояния $r$ от центра слоя, если диэлектрик имеет некоторый положительный сторонний заряд, распределенный равномерно:
a) по внутренней поверхности слоя; б) по объему слоя.
3.78. Вблизи точки $A$ (рис. 3.10) границы раздела стекло – вакуум напряженность электрическото поля в вакууме $E_{0}=10,0 \mathrm{~B} / \mathrm{M}$, приРис. 3.10. чем угол между вектором $\mathbf{E}_{0}$ и нормалью $\mathrm{n}$ к границе раздела $\alpha_{0}=30^{\circ}$. Найти напряженность $E$ поля в стекле вблизи точки $A$, угол $\alpha$ между вектором $\mathbf{E}$ и $\mathbf{n}$, а также поверхностную плотность связанных зарядов в точке $A$.
3.79. У плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$ напряженность электрического поля в вакууме равна $E_{0}$, причем вектор $\mathbf{E}_{0}$ составляет угол $\vartheta$ с нормалью к поверхности диэлектрика (рис. 3.11). Считая поле внутри и вне диэлектрика однородным, найти:
a) поток вектора $\mathbf{E}$ через сферу радиуса $R$ с центром на поверхности диэлектрика;
б) циркуляцию вектора D по контуру $\Gamma$ длины $l$ (см. рис. 3.11), плоскость которого перпендикулярна к поверхности диэлектрика и параллельна вектору $\mathbf{E}_{0}$.
Рис. 3.11.
3.80. Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$ заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью $\rho$. Толщина пластины равна $2 d$. Найти:
a) модуль вектора напряженности электрического поля и потенциал как функции расстояния $l$ от середины пластины (потенциал в середине пластины положить равным нулю); взяв координатную ось $x$ перпендикулярно к пластине, изобразить примерные графики зависимостей проекции $E_{x}(x)$ вектора $\mathbf{E}$ и потенциала $\varphi(x)$;
б) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.
3.81. Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью $\rho>0$ по шару радиуса $R$ из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$. Найти:
a) модуль вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния $r$ от центра шара; изобразить примерные графики зависимостей $E(r)$ и $\varphi(r)$;
б) объемную и поверхностную плотности связанных зарядов.
3.82. Круглый диэлектрический диск радиуса $R$ и толщины $d$ поляризован статически так, что поляризованность, равная $\mathbf{P}$, всюду одинакова и вектор Р лежит в плоскости диска. Найти напряженность $\mathbf{E}$ электрического поля в центре диска, если $d \ll R$.
3.83. При некоторых условиях поляризованность безграничной незаряженной пластины из диэлектрика имеет вид $\mathbf{P}=\mathbf{P}_{0}\left(1-x^{2} / d^{2}\right)$, где $\mathbf{P}_{0}$ – вектор, перпендикулярный к пластине, $x$ – расстояние от середины пластины, $d$ – ее полутолщина. Найти напряженность $\mathbf{E}$ электрического поля внутри пластины и разность потенциалов между ее поверхностями.
3.84. Первоначально пространство между обкладками плоского конденса-
Рис. 3.12. тора заполнено воздухом, и напряженность поля в зазоре равна $E_{0}$. Затем половину зазора, как показано на рис. 3.12 , заполнити однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. Найти модули векторов E и D в обеих частях зазора (1 и 2), если при введении диэлектрика:
a) иапряжение между обкладками не менялось;
б) заряды на обкладках оставались неизменными.
3.85. Решить предыдущую задачу с тем отличием, что диэлектриком заполнили половнну зазора, как показано на рис. 3.13.
Рис. 3.13.
Рис. 3.14.
3.86. Половина пространства между двумя концентрическими обкладками сферического конденсатора заполнена, как показано на рис. 3.14, однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. Заряд конденсатора равен $q$. Найти модуль вектора напряженности электрического поля между обкладками как функцию расстояния $r$ от центра кривизны этих обкладок.
3.87. Два одинаковых небольших одноименно заряженных шарика подвешены на изолирующих нитях равной длины к одной точке. При заполнении окружающей среды керосином угол расхождения нитей не изменился. Найти плотность материала шариков.
3.88. Внутри шара из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon=5,00$ создано однородное электрическое поле напряженности $E=100 \mathrm{~B} / \mathrm{m}$. Радиус шара $R=3,0$ см. Найти максимальную поверхностную плотность связанных зарядов и полный связанный заряд одного знака.
3.89. Точечный заряд $q$ находится в вакууме на расстоянии $l$ от плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика, заполняющего все полупространство. Проницаемость диэлектрика равна в. Найти:
a) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния $r$ от точечного заряда $q$; исследовать полученный результат при $l \rightarrow 0$;
б) суммарный связанный заряд на поверхности диэлектрика.
3.90. Воспользовавшись условием и решением предыдущей задачи, найти модуль вектора силы, действующей на заряд $q$ со стороны связанных зарядов на поверхности диэлектрика.
3.91. Точечный заряд $q$ находится на плоскости, отделяющей вакуум от безграничного однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$. Найти модули векторов D и Е и потенциал $\varphi$ как функции расстояния $r$ от заряда $q$.
3.92. Небольшой проводящий шарик, имеющий заряд $q$, находится в однородном изотропном диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon$ на расстоянии $l$ от безграничной плоской границы, отделяющей диэлектрик от вакуума. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе диэлектрик – вакуум как функцию расстояния $r$ от шарика. Исследовать полученный результат при $l \rightarrow 0$.
3.93. Полупространство, заполненное однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$, ограничено проводящей плоскостью. На расстоянии $l$ от этой плоскости в диэлектрике находится небольшой металлический шарик, имеющий заряд $q$. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе с проводящей плоскостью как функцию расстояния $r$ от шарика.
3.94. Пластинка толщины $h$ из однородного статически поляризованного диэлектрика находится внутри плоскогоРис. 3.15. конденсатора, обкладки которого соединены между собой проводником. Поляризованность диэлектрика равна P (рис. 3.15). Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Найти векторы напряженности и индукции электрического поля внутри и вне пластины.
3.95. Длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован так, что вектор $\mathbf{P}=\alpha \mathbf{r}$, где $\alpha$ – положительная постоянная, $\mathbf{r}$ – расстояние от оси. Найти объемную плотность $\rho^{\prime}$ связанных зарядов как функцию расстояния $r$ от оси.
3.96. Диэлектрический шар поляризован однородно и статически. Его поляризованность равна Р. Имея в виду, что так поляризованный шар можно представить как результат малого сдвига всех положительных зарядов диэлектрика относительно всех отрицательных зарядов,
a) найти напряженность $\mathbf{E}$ электрического поля внутри шара;
б) показать, что поле вне шара является полем диполя, расположенного в центре шара, и потенциал этого поля $\varphi=\mathrm{p}_{0} \mathbf{r} / 4 \pi \varepsilon_{0}$, где $\mathbf{p}_{0}$ – электрический момент шара, $\mathbf{r}$ – расстояние от его центра.
3.97. Воспользовавшись результатом решения предыдущей задачи, найти напряженность $\mathbf{E}_{0}$ электрического поля в сферической полости в безграничном однородном диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon$, если вдали от полости напряженность поля равна $\mathbf{E}$.
3.98. В однородное электрическое поле напряженности $\mathbf{E}_{0}$ поместили однородный диэлектрический шар. При этих условиях диэлектрик поляризуется однородно. Найти напряженность Е электрического поля внутри шара и поляризованность $\mathbf{P}$ диэлектрика, проницаемость которого равна $\varepsilon$. При решении воспользоваться результатом задачи 3.96 .
3.99. Бесконечно длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован однородно и статически, причем поляризованность P перпендикулярна к оси цилиндра. Найти напряженность $\mathbf{E}$ электрического поля в диэлектрике.
3.100. Длинный цилиндр круглого сечения из однородного диэлектрика поместили в однородное электрическое поле с напряженностью $\mathrm{E}_{0}$. Ось цилиндра перпендикулярна к вектору $\mathrm{E}_{0}$. При этих условиях диэлектрик поляризуется однородно. Воспользовавшись
результатом решения предыдущей задачи, найти напряженность $\mathbf{E}$ өлектрического поля внутри цилиндра и поляризованность $\mathbf{P}$ диөлектрика, проницаемость которого равна $\varepsilon$.