Сила Лоренца:
\[
\overline{\mathbf{F}}=q \overline{\mathbf{E}}+q[\mathbf{v} \overline{\mathbf{B}} \mathrm{j} .
\]

Уравнение движения релятивистской частицы:
\[
\frac{d}{d t} \frac{m_{0} \mathbf{v}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}=\mathrm{F} .
\]

Период обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле:
\[
T=\frac{2 \pi m}{q B},
\]

где $m$-релятивистская масса частицы, $m=m_{0} / \sqrt{1-(v / c)^{2}}$.
Бетатронное условие – условие движения электрона по круговой орбите в бетатроне:
\[
B_{0}=2 / 2\langle\Delta\rangle,
\]

где $B_{0}$ – индукция магнитного поля на орбите, $\langle B\rangle$ – среднее значение индукции внутри орбиты.
3.372. В момент $t=0$ из одной пластины плоского конденсатора вылетел электрон с пренебрежимо малой скоростью. Между пластинами приложено ускоряющее напряжение, меняющееся во времени по закону $U=a t$, где $a=100 \mathrm{~B} / \mathrm{c}$. Расстояние между пластинами $l=5,0$ см. С какой скоростью электрон подлетит к противоположной пластине?
3.373. Протон, ускоренный разностью потенциалов $U$, попадает в однородное электрическое поле плоского конденсатора, длина пластин которого в направлении движения равна $l$. Напряженность поля меняется во. времени как $E=a t$, где $a$ – постоянная. Считая протон нерелятивистским, найти угол между направлениями его движения до и после пролета конденсатора, если протон попадает в поле в момент $t=0$. Краевыми эффектами пренебречь.
3.374. Частица с удельным зарядом $q / m$ движется прямолинейно под действием электрического поля $E=E_{0}-a x$, где $a$ положительная постоянная, $x$ – расстояние от точки, в которой частица первоначально покоилась. Найти:
a) расстояние, пройденное частицей до точки, где она остановилась;
б) ускорение частицы в этой точке.
3.375. Электрон начинает двигаться в однородном электрическом поле с напряженностью $E=10 \mathrm{kB} / \mathrm{cм}$. Через сколько времени после начала движения кинетическая энергия электрона станет равной его энергии покоя?
3.376. Определить ускорение релятивистского электрона, движущегося вдоль однородного электрического поля напряженности $E$, в момент, когда его кинетическая энергия равна $T$.
3.377. Релятивистский протон в момент $t=0$ влетел со скоростью $\mathbf{v}_{0}$ в область, где имеется поперечное однородное электрическое поле напряженности $\mathrm{E}$, причем $\mathbf{v}_{0} \perp \mathrm{E}$. Найти зависимость от времени:
a) угла $\vartheta$ между вектором скорости $\mathbf{v}$ протона и первоначальным направлением его движения;
б) проекции $v_{x}$ вектора $\mathrm{v}$ на первоначальное направление движения.
3.378. Протон, ускоренный разностью потенциалов $U=500 \mathrm{kB}$, пролетает поперечное однородное магнитРис. 3.99. ное поле с индукцией $B=0,51 \mathrm{~T}$. Толщина области с полем $d=10$ см . (рис. 3.99). Найти угол $\alpha$ отклонения протона от первоначального направления движения.
3.379. Заряженная частица движется по окружности радиуса $r=100$ мм в однородном магнитном поле с индукцией $B=10,0$ мТ . Найти ее скорость и период обращения, если частицей является:
a) нерелятивистский протон;
б) релятивистский электрон.
3.380. Релятивистская частица с зарядом $q$ и массой покоя $m_{0}$ движется по окружности радиуса $r$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$. Найти:
a) модуль вектора импульса частицы;
б) кинетическую энергию частицы;
в) ускорение частицы.
3.381. Для каких значений кинетической энергии период обращения электрона и протона в однородном магнитном поле на $\eta=$ $=1,0 \%$ больше периода их обращения при нерелятивистских скоростях?
3.382. Электрон, ускоренный разностью потенциалов $U=1,0 \mathrm{kB}$, движется в однородном магнитном поле под углом $\alpha=30^{\circ}$ к век-
тору В, модуль которого $B=29$ мТ. Найти шаг винтовой траектории электрона.
3.383. Слабо расходящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $U$, выходит из точки $A$ вдоль оси прямого соленоида. Пучок фокусируется на расстоянии $l$ от точки $A$ при двух последовательных значениях индукции магнитного поля, $B_{1}$ и $B_{2}$. Найти удельный заряд $q / m$ частиц.
3.384. Из точки $A$, лежащей на оси прямого соленоида, вылетает нерелятивистский электрон со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к оси. Индукция магнитного поля $B$. Найти расстояние $r$ от оси до точки попадания электрона на экран, расположенный перпендикулярно к оси на расстоянии $l$ от точки $A$.
3.385. С поверхности цилиндрического провода радиуса $a$, по которому течет постоянный ток $I$, вылетает электрон с начальной скоростью $v_{0}$, перпендикулярной к поверхности провода. Найти, на какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока.
3.386. Нерелятивистская заряженная частица пролетает электрическое поле цилиндрического конденсатора и затем попадает в однородное поперечное магнитное поле с индукцией $B$ (рис. 3.100). В конденсаторе частица движется по дуге окружности, в магнитном поле – по полуокружности радиуса $r$. Разность потенциалов на конденсаторе $U$, радиусы обкладок $a$ и $b$, причем $a<b$. Найти скорость частицы и ее удельный заряд $q / \mathrm{m}$.
Pй. 3.100.
Pис. 3.101.
3.387. Из начала координат $O$ области, где созданы однородные параллельные оси $y$ электрическое и магнитное поля с напряженностью $E$ и индукцией $B$ (рис. 3.101), вылетает в направлении оси $x$ частица с удельным зарядом $q / \mathrm{m}$. Начальная скорость частицы равна $v_{0}$. Найти для нерелятивистского случая:
a) координату $y_{n}$ частицы в момент, когда она $n$-й раз пересечет ось $y$;
б) угол $\alpha$ между вектором скорости частицы и осью $y$ в этот момент.
3.388. Узкий пучок одинаковых ионов с удельным зарядом $q / m$, имеющих различные скорости, входит в точке $O$ (см. рис. 3.101) в область, где созданы однородные параллельные электрическое и магнитное поля с напряженностью $E$ и индукцией $B$. Направление пучка в точке $O$ совпадает с осью $x$. На расстоянии $l$ от точки $O$ находится плоский экран, ориентированный перпендикулярно к оси $x$. Найти уравнение следа ионов на экране. Показать, что при $z \ll l$ – это уравнение параболы.
3.389. Пучок нерелятивистских протонов проходит, не отклоняясь, через область, в которой созданы однородные поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с $E=$ $=120 \mathrm{kB} / \mathrm{M}$ и $B=50 \mathrm{mT}$. Затем пучок попадает на заземленную мишень. Найти силу, с которой пучок действует на мишеиь, если ток в пучке $I=0,80 \mathrm{~mA}$.
3.390. Нерелятивистские протоны движутся прямолинейно в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с $E=4,0 \mathrm{kB} / \mathrm{м}$ и $B=50 \mathrm{mT}$. Траектория протонов лежит в плоскости $x z$ (рис. 3.102) и составляет угол $\varphi=30^{\circ}$ с осью $x$. Найти шаг винтовой линии, по которой будут двигаться протоны после выключеиия электрического поля.
Pис. 3.102.
Рис. 3.103.
3.391. Пучок нерелятивистских заряженных частиц проходит, ие отклоняясь, через область $A$ (рис. 3.103), в которой созданы поперечные взаимно перпендикулярные электрнческое и магинтное поля с напряженностью $E$ и индукцией $B$. Если магнитное поле выключить, след пучка на экране $Э$ смещается на $\Delta x$. Зная расстояния $a$ и $b$, найти удельный заряд $q / m$ частиц.
3.392. Частица с удельным зарядом $q / m$ движется в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью $\mathbf{E}$ и индукцией В (рис. 3.104). В момент $t=0$ частица находилась в точке $O$ и имела нулевую скорость. Найти для нерелятивистского Рис. 3.104. случая:
a) закон движения частицы $x(t)$ и $y(t)$; какой вид имеет траектерия;
б) длину участка траектории между двумя ближайшими точками, в которых скорость частицы обращается в нуль;
в) среднее значение проекции вектора скорости частицы на ось $x$ (дрейфовая скорость).
3.393. Система состоит из длинного цилиндрического анода радиуса $a$ и коаксиального с ним цилиндрического катода радиуса $b$ $(b<a)$. На оси системы имеется нить с током накала $I$, создающим в окружающем пространстве магнитное поле. Найти наименьшую разность потенциалов между катодом и анодом, при которой термоэлектроны, покидающие катод без начальной скорости, начнут достигать анода.
3.394. Магнетрон – это прибор, состоящий из нити накала радиуса $a$ и коаксиального цилиндрического анода радиуса $b$, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциалов $U$. Найти значение индукции магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, будут достигать анода.
3.395. Заряженная частица с удельным зарядом $q / m$ начинает двигаться в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электричєское и магнитное поля. Магнитное поле постоянно и имеет индукцию $B$, электрическое же меняется во времени как $E=E_{m} \cos \omega t$, где $\omega=q B / m$. Найти для нерелятивистского случая закон движения частицы $x(t)$ и $y(t)$, если в момент $t=0$ она находилась в точке $O$ (см. рис. 3.104). Какой примерно вид имеет траектория частицы?
3.396. Частота генератора циклотрона $v=10$ МГц. Найти эффективное ускоряющее напряжение на дуантах этого циклотрона, при котором расстояние между соседними траекториями протонов с радиусом $r=0,5$ м не меньше, чем $\Delta r=1,0$ см.
3.397. Протоны ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус кривизны их траектории $r=50$ см. Найти:
a) кинетическую эшергию протонов в конце ускорения, если индукция магнитного поля в циклотроне $B=1,0 \mathrm{~T}$;
б) минимальную частсту генератора циклотрона, при которой в конце ускорения протоны будут иметь кинетическую энергию $T=20 \mathrm{M
i B}$.
3.398. Однократно ионизованные ионы $\mathrm{He}^{+}$ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус орбиты $r=60$ см. Частота генератора циклотрона $v=10,0$ МГц, эффективное ускоряющее напряжение между дуантами $U=50 \mathrm{kB}$. Пренебрегая зазором между дуантами, найти:
a) полное время процесса ускорения иона;
б) приближенное значение пути, пройденного ионом за весь цикл ускорения.
3.399. Так как период обращения электронов в однородном магнитном поле с ростом энергии быстро увеличивается, циклотрон оказывается непригодным для их ускорения. Этот недостаток устраняется в микротроне (рис. 3.105), где изменение периода обращения электрона $\Delta T$ делают кратиьм периоду ускоряющего поля $T_{0}$.
Сколько раз электрону необходимо пройти через ускоряющий промежуток микротрона, чтобы приобрести энергию $W=4,6 \mathrm{M}$ эВ, если $\Delta T=T_{0}$, индукция магнитного поля $B=107$ мТ и частота ускоряющего поля $v=3000$ МГц?
3.400. Чтобы в циклотроне не возникала расстройка, связанная с изменением периода обращения частицы при возрастании ее энергии, медленно изменяют (модулируют) частоту ускоряющего поля. По какому закону надо изменять эту частоту $\omega(t)$, если индукция магнитного поля равна $B$ и частица приобретает за один оборот энергию $\Delta W$ ?
Pис. 3.105.
Заряд частицы $q$, масса $m$.
3.401. Частица с удельным зарядом $q / m$ находится внутри соленоида круглого сечения на расстоянии $r$ от его оси. В обмотке включили ток, и индукция магнитного поля стала равной $B$. Найти скорость частицы и радиус кривизны ее траектории, считая, что за время нарастания тока в соленоиде ее смещение пренебрежимо мало.
3.402. В бетатроне магнитный поток внутри равновесной орбиты радиуса $r=25 \mathrm{~cm}$ возрастает за время ускорения практически с постоянной скоростью $\dot{\Phi}=5,0$ Вб/с. При этом электроны приобретают энергию $W=25$ МэВ. Найти число оборотов, совершенных электроном за время ускорения, и соответствующее значение пройденного им пути.
3.403. Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по круговой орбите постоянного радиуса при условии, что индукция магнитного поля на орбите равна половине среднего значения индукции поля внутри орбиты (бетатронное условие).
3.404. Найти с помощью бетатронного условия радиус круговой орбиты электрона, зная зависимость индукции магнитного поля от расстояния $r$ до. оси поля. Рассмотреть этот вопрос на примере поля $B=B_{0}$ – $a r^{2}$, где $B_{0}$ и $a$ – положительные постоянные.
3.405. Показать с помощью бетатронного условия, что напряженность вихревого электрического поля в бетатроне имеет экстремум на равновесной орбите.
3.406. В бетатроне индукция магнитного поля на равновесной орбите радиуса $r=20$ см изменяется за время $\Delta t=1,0$ мс практически с постоянной скоростью от нуля до $B=0,40 \mathrm{~T}$. Найти энергию, приобретаемую электроном за каждый оборот.
3.407. Индукция магнитного поля в бетатроне на равновесной орбите радиуса $r$ изменяется за время ускорения от нуля до $B$ практически с постоянной скоростью. Считая начальную скорость электрона равной нулю, найти:
a) энергию, приобретенную электроном за время ускорения;
б) соответствующее значение пройденного электроном пути, если время ускорения равно $\Delta t$.