Эффект Доплера при $v \ll c$ :
\[
\frac{\Delta \omega}{\omega}=\frac{v}{c} \cos \vartheta,
\]

где $v$-скорость источника, $\vartheta$ – угол между направлением движения источника и линией наблюдения.
– Эффект Доплера в общем случае:
\[
\omega=\omega_{0} \frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta \cos \vartheta},
\]

где $\beta=0 / c$.
При $\vartheta=0$ эффект Доплера называют продольным, при $\vartheta=\pi / 2$ – поперечным.
– Эффект Вавилова-Черенкова:
\[
\cos \vartheta=\frac{c}{n v},
\]

где $\vartheta$-угол между направлением распространения излучения и вектором скорости $\mathbf{v}$ частицы.
5.224. В опыте Физо по определению скорости света расстояние между зубчатым колесом и зеркалом $l=7,0 \mathrm{км}$, число зубцов $z=$ $=720$. Два последовательных исчезновения света наблюдали при скоростях вращения колеса $n_{1}=283$ об/с и $n_{2}=313$ об/с. Найти скорость света.
5.225. Источник света движется со скоростью $v$ относительно приемника. Показать, что при $v \leqslant c$ относительное изменение частоты света определяется формулой (5.6a).
5.226. Одна из спектральных линий, испускаемых возбужденными ионами $\mathrm{He}^{+}$, имеет длину волны $\lambda=410$ нм. Найти доплеровское смещение $\Delta \lambda$ этой линии, если ее наблюдать под углом $\vartheta=30^{\circ}$ к пучку движущихся ионов с кинетической энергией $T=10$ МэВ.
5.227. При наблюдении спектральной линии $\lambda=0,59$ мкм в направлениях на противоположные края солнечного диска на его экваторе обнаружили различие в длинах волн на $\delta \lambda=8,0$ пм. Найти период вращения Солнца вокруг собственной оси.
5.228. Эффект Доплера позволил открыть двойные звезды столь удаленные, что разрешение их с помощью телескопа оказалось невозможным. Спектральные линии таких звезд периодически становятся двойными, из чего можно предположить, что источником являются две звезды, обращающиеся вокруг их центра масс. Считая массы обеих звезд одинаковыми, найти расстояние между ними и их массы, если максимальное расщепление спектральных линий равно $(\Delta \lambda / \lambda)_{m}=1,2 \cdot 10^{-4}$, причем оно возникает через каждые $\tau=30$ дней.
5.229. Плоская электромагнитная волна частоты $\omega_{0}$ падает нормально на поверхность зеркала, движущегося навстречу с релятивистской скоростью $V$. Воспользовавшись формулой Доплера, найти частоту отраженной волны. Упростить полученное выраженне для случая $V \ll c$.
5.230. Радиолокатор работает на длине волны $\lambda=50,0$ см. Определить скорость приближающегося самолета, если частота биений между сигналом передатчика и сигналом, отраженным от самолета, в месте расположения локатора равна $\Delta v=1,00$ кГц.
5.231. Имея в виду, что фаза волны $\omega t-k x$ есть инвариант, т. е. не меняется при переходе от одной инерциальной системы к другой, определить, как преобразуются входящие в нее частота $\omega$ и волновое число $k$. Рассмотреть одномерный случай.
5.232. С какой скоростью удаляется от нас некоторая туманность, если известно, что линия водорода $\lambda=434$ нм в ее спектре смещена в красную сторону на 130 нм?
5.233. С какой скоростью должна была бы двигаться автомашина, чтобы красный свет светофора ( $\lambda \approx 0,70$ мкм) превратился в зеленый ( $\lambda^{\prime} \approx 0,55$ мкм)?
5.234. По некоторой прямой движутся в одном направлении наблюдатель со скоростью $v_{1}=1 / 2$ и впереди него источ ник монохроматического света со скоростью $v_{2}=3 / 4$. Собственная частота света равна $\omega_{0}$. Найти частоту света, которую зафиксирует наблюдатель.
5.235. Одна из спектральных линий атомарного водорода имеет длину волны $\lambda=656,3$ нм. Найти доплеровское смещение этой линии $\Delta \lambda$, если ее наблюдать под прямым углом к пучку атомов водорода с кинетической энергией $T=1,0$ МэВ (поперечный доплер-эффект).
5.236. Источник, испускающий электромагнитные сигналы с собственной частотой $\omega_{0}=3,0 \cdot 10^{10} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$, движется с постоян-
Рис. 5.37. ной скоростью $v=0,80 c$ по прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя $P$ на расстоянии $l$ (рис. 5.37). Найти частоту сигналов, воспринимаемых наблюдателем в момент, когда:
a) источник окажется в точке $O$;
б) наблюдатель увидит его в точке $O$.
5.237. Узкий пучок электронов проходит непосредственно над поверхностью металлического зеркала, на котором нанесена дифракционная решетка с периодом $d=2,0$ мкм. Электроны движутся со скоростью $v$, близкой к $c$, перпендикулярно к штрихам решетки. При этом наблюдается видимое излучение – траектория электронов имеет вид полоски, окраска Pис. 5.38. которой меняется в зависимости от угла наблюдения $\vartheta$ (рис. 5.38).

Объяснить это явление. Найти длину волны наблюдаемого излучения при $\vartheta=45^{\circ}$.
5.238. Газ состоит из атомов массы $m$, находящихся в термодинамическом равновесии при температуре $T$. Пусть $\omega_{0}$ – собственная частота излучаемого атомами света.
a) Показать, что спектральное распределение излучаемого света определяется формулой
\[
I_{\omega}=I_{0} \mathrm{e}^{-a\left(\mathrm{I}-\omega / \omega_{0}\right)^{2}},
\]
( $I_{0}$ – спектральная нитенсивность, соответствующая частоте $\omega_{0}$, $\left.a=m c^{2} / 2 k T\right)$.
б) Найти относительную ширину $\Delta \omega / \omega_{0}$ данной спектральной линии, т. е. ширину линии между частотами, при которых $I_{\omega}=I_{0} / 2$.
5.239. В среде, двикущейся с постоянной скоростью $V \ll c$ относительно инерциалыой $K$-системы, распространяется плоская электромагнитная волна. Найти скорость этой волны в $K$-системе, если показатель преломления среды равен $n$ и направление распространения волны совпадает с направлением движения среды.
5.240. Аберрация света заключается в том, что при наблюдении звезды кажутся смещенными от истинного положения на небосводе (из-за движения Земли по орбите). Направление на звезду в плоскости эклиптики периодически меняется, и звезда совершает кажущиеся колебания в пределах угла $\delta \vartheta=41^{\prime \prime}$. Найти скорость Земли на орбите.
5.241. Показать, что преобразование угла $\vartheta$ между направлением распространения света и осью $x$ при переходе от $K$ – к $K^{\prime}$-системе отсчета определяется формулой
\[
\cos \vartheta^{\prime}=\frac{\cos \vartheta-\beta}{1-\beta \cos \vartheta},
\]

где $\beta=V / c, V$ – скорость $K^{\prime}$-системы относительно $K$-системы. Оси $x$ и $x^{\prime}$ обеих систем отсчета совпадают.
5.242. Найти угол полураствора конуса, в котором будут видны звезды, расположенные в полусфере для земного наблюдателя, если двигаться относительно Земли с релятивистской скоростью $V$, отличающейся от скорости света на $1,0 \%$. Воспользоваться формулой из предыдущей задачи.
5.243. Найти условия, при которых заряженная частица, движущаяся равномерно в среде с показателем преломления $n$, будет излучать свет (эффект Вавилова – Черенкова). Найти также направление этого излучения.

Указание. Рассмотреть интерференцию колебаний, возбуждаемых частицей в разные моменты времени.
5.244. Найти наименьшие значения кинетической энергии э.тектрона и протона, при которых возникает черенковское излучение в среде с показателем преломления $n=1,60$. Для каких частиц это значение кинетической энергии $T_{\text {мин }}=29,6$ МэВ?
5.245. Определить кинетическую энергию электронов, которые в среде с показателем преломления $n=1,50$ излучают свет под углом $\mathfrak{\vartheta}=30^{\circ}$ к направлению своего движения.