1.1. $v=l / 2 \tau=3,0 \mathrm{kM} /$.
1.2. $\langle v\rangle=2 v_{0}\left(v_{i}+v_{2}\right) /\left(2 v_{0}+v_{i}+v_{2}\right)$.
1.3. $\Delta t=\tau \sqrt{1-4\langle v\rangle / \omega \tau}=15 \mathrm{c}$.
1.4. а) $10 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$; б) $25 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$; в) $t_{0}=16 \mathrm{c}$; г) 2,5 и $0,7 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$.
1.5. $\left(r_{i}-r_{2}\right) /\left|r_{i}-r_{2}\right|=\left(v_{2}-v_{1}\right) /\left|v_{2}-v_{1}\right|$.
1.6. $v^{\prime}=\sqrt{v_{0}^{2}+v^{2}+2 v_{0} v \cos \varphi} \approx 40 \mathrm{KM} / ч, \varphi^{\prime}=19^{\circ}$.
1.7. $u=\frac{1 v_{0}}{\left(1-v_{0}^{2} / v^{\prime 2}\right)^{-1 / 2}-1}=3,0 \mathrm{~km} / \mathrm{q}$.
1.8. $\tau_{A} / \tau_{B}=\eta / \sqrt{\eta^{2}-1}=1,8$.
1.9. $\vartheta=\arcsin (1 / n)+\pi / 2=120^{\circ}$.
1.10. $l=v_{0} t \sqrt{2(1-\sin \vartheta)}=22 \mathrm{~m}$.
1.11. $l=\left(v_{1}+v_{2}\right) \sqrt{v_{1} u_{2} / g}=2,5 \mathrm{~m}$.
1.12. $t=2 a / 3 v$.
Рис. 1.
1.13. Из рис. $1, a$ видно, что скорость сближения точек ${ }^{+} A$ и $B$ равиа $0-u \cos \alpha$, где угол $\alpha$ зависит от времени. Для встречи точек иеобходимо, чтобы были выполнены два условия:
\[
\int_{0}^{\tau}(v-u \cos \alpha) d t=l, \quad \int_{0}^{\tau} v \cos \alpha d t=u \tau,
\]

где $\tau$-искомое время. Из этих двух выражений следует, что
\[
\tau=v l /\left(v^{2}-u^{2}\right) .
\]
1.14. $x_{i}-x_{2}=l-w \tau(t+\tau / 2)=0,24$ км. Навстречу поезду со скоростью $V=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.15. а) $0,7 \mathrm{c} ;$ б) соответственно 0,7 и $1,3 \mathrm{M}$.
16. $t_{m}=\frac{v_{1} l_{1}+v_{2} l_{2}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}, \quad l_{\text {мин }}=\frac{\left|l_{1} v_{2}-l_{2} v_{1}\right|}{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}$.
1.17. $C D=l / \sqrt{\eta^{2}-1}$.
1.18. См. рис. 1,6 .
1.19. a) $\langle v\rangle=\pi R / \tau=50 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$; б) $|\langle\mathrm{v}\rangle|=2 R / \tau=32 \mathrm{~cm} / \mathrm{c} ;$ в) $|\langle\mathrm{w}\rangle|=2 \pi R / \tau^{2}=$ $=10 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$.
1.20. a) $\mathrm{v}=\mathrm{a}(1-2 \alpha t), \mathrm{w}=-2 \alpha \mathrm{a}=\mathrm{const}$; 6) $\Delta t=1 / \alpha, s=a / 2 \alpha_{\text {, }}$
1.21. а) $x=v_{0} t(1-t / 2 \tau)$; б) $1,1,9$ и 11 с; в) $s=\left\{\begin{array}{c}(1-t / 2 \tau) v_{0} t \text { при } t \leqslant \tau ; \\ {\left[1+(1-t / \tau)^{2}\right] v_{0} t / 2} \\ \text { при } t \geqslant \tau .\end{array}\right.$

Соответственно $24 \mathrm{~cm}$ и $34 \mathrm{~cm}$.
1.22. а) $v=\alpha^{2 t} / 2, w=\alpha^{2} / 2$; б) $\langle v\rangle=\alpha \sqrt{s} / 2$.
1.23. a) $s=(2 / 3 a) v_{0}^{3 / 2}$; б) $t=2 \sqrt{v_{0} / a}$.
1.24. a) $y=-x^{2} b / a^{2}$; б) $\mathrm{v}=a \mathbf{i}-2 b t \mathbf{j}, \quad \mathbf{w}=-2 b \mathbf{j}, v=\sqrt{a^{2}+4 b^{2} t^{2}}, \quad w=2 b$;
в) $\operatorname{tg} \alpha=a / 2 b t ; \mathbf{r})\langle\mathbf{v}\rangle=a \mathbf{i}-b t \mathbf{j},|\langle\mathbf{v}\rangle|=\sqrt{a^{2}+b^{2} t^{2}}$.
1.25. а) $y=x-x^{2} \alpha / a$; б) $v=a \sqrt{1+(1-2 \alpha t)^{2}}, w=2 \alpha a=$ const; в) $t_{0}=1 / \alpha$.
1.26. а) $s=a \omega \tau$; б) $\pi / 2$.
1.27. $v_{0}=\sqrt{\left(1+a^{2}\right) w / 2 b}$.
1.28. a) $\mathrm{r}=\mathrm{v}_{0} t+\mathrm{g} t 2 / 2$; б) $\langle\mathrm{v}\rangle_{t}=\mathrm{v}_{0} \perp \mathrm{g} t / 2,\langle\mathrm{v}\rangle=\mathrm{v}_{0}=\mathrm{g}\left(\mathrm{v}_{0} \mathrm{~g}\right) / \mathrm{g}^{2}$;
1.29) a) $\tau=2\left(v_{0} / g\right) \sin \alpha$;
б) $h=\left(v_{0}^{2} / 2 g\right) \sin ^{2} \alpha, l=\left(v_{0}^{2} / g\right) \sin 2 \alpha, \alpha=76^{\circ}$;
в) $y=x \operatorname{tg} \alpha-\left(g / 2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha\right) x^{2}$;
г) $R_{1}=v_{v}^{2} / g \cos \alpha, R_{2}=\left(v_{0}^{2} / g\right) \cos ^{2} \alpha$.
1.30. См. рис. 2.
1.31. $l=8 h \sin \alpha$.
1.32. Через 0,41 или 0,71 мин в зависимости от начального угла.
Рис. 2.
1.33. $\Delta t=\frac{2 v_{0}}{g} \frac{\sin \left(\vartheta_{i}-\vartheta_{2}\right)}{\cos \vartheta_{1}+\cos \vartheta_{2}}=11 \mathrm{c}$.
(1.34., a) $x=\left(a / 2 v_{0}\right) y^{2}$; б) $w=a v_{0}, w_{\tau}=$
\[
=a^{2} y / \sqrt{1+\left(a y_{/} / v_{0}\right)^{2}}, w_{n}=a r_{0} / \sqrt{1+\left(a y / v_{0}\right)^{2}} .
\]
1.35. a) $y=(b / 2 a) x^{2}$; б) $R=v^{2} / w_{n}=v^{2} / \sqrt{w^{2}-w_{\tau}^{2}}=(a / b)\left[1+(x b / a)^{2}\right]^{3 / 2}$.
1.36. $v=\sqrt{2 a x}$.
1.37. $w=a \sqrt{1+(4 \pi n)^{2}}=0,8 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.38. a) $v=v_{0} /\left(1+v_{0} t / R\right)=v_{0} \mathrm{e}^{-s / R}$; б) $w=\sqrt{2} v_{0} \& R \mathrm{e}^{2 s / R}=\sqrt{2} v^{2} / R$.
1.39) $\operatorname{tg} \alpha=2 \mathrm{~s} / R$.
$\therefore$ T. 40 .
a) $w_{0}=a^{2} \omega^{2} / R=2,6 \mathrm{M} / \mathrm{c}^{2}$,
\[
w_{|a|}=a \omega^{2}=3,2 \mathrm{M} / \mathrm{c}^{2} ;
\]
б) $w_{\text {мй }}=$ $=a \omega^{2} \sqrt{1-(R / 2 a)^{2}}=2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}, l_{m}= \pm a \sqrt{1-R^{2} / 2 a^{2}}= \pm 0,37 \mathrm{~m}$.
1.41: $R=a^{3} / 2 b s, w=a \sqrt{1+\left(4 b s^{2} / a^{3}\right)^{2}}$.
1.42. а) $w=2 a v^{2}, R=1 / 2 a$; б) $w=b v^{2} / a^{2}, R=a^{2} / b$.
1.43. $v=2 R \omega=0,40 \mathrm{~m} / \mathrm{c}, w=4 R \omega^{2}=0,32 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.44 $w=(v / t) \sqrt{1+4 a^{2} t^{4}}=0,7 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.45. $\omega=2 \pi n v / l=2,0 \cdot 10^{3}$ рэд/с.
1.46. а) $\langle\omega\rangle=2 a / 3=4$ рад/c, $\langle\beta\rangle=\sqrt{3 a b}=6$ рад $/ \mathrm{c}^{2} ;$ б) $\beta=2 \sqrt{3 a b}=$ $=12 \mathrm{pad} / \mathrm{c}^{2}$.
1.47. $t=\sqrt[3]{(4 / a) \operatorname{tg} \alpha}=7$ c.
1.48. $\langle\omega\rangle=\omega_{0} / 3$.
1.4.9 a) $\varphi=\left(1-\mathrm{e}^{-a t}\right) \omega_{0} / a$; 6) $\omega=\omega_{0} \mathrm{e}^{-a t}$.
1.50. $\omega_{3}= \pm \sqrt{2 \beta_{0} \sin \phi}$, см. рис. 3 .
1.51. а) $y=v^{2} / \beta x$ (гипербола);
б) $y=\sqrt{2, x} / \omega$ (парабола).
1.5.2. а) $\mathrm{u}_{A}=v^{2} / R=2,0 \mathrm{M} / \mathrm{c}^{2}$, вектор $\mathrm{w}_{A}$

направлен все́ время к центру колеса;
Puc. 3.
б) $\mathrm{s}=8 R=4,0 \mathrm{M}$.
1.53. a) $v_{A}=2 v t=10 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}, \quad v_{B}=\sqrt{2} \omega t=7 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}, \quad v_{O}=0$; O $\quad w_{A}^{\prime}=$ $=2 w \sqrt{1+\left(\omega t^{2} / 2 R\right)^{2}}=5,6 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}, \quad w_{B}=\omega \sqrt{1+\left(1-w t^{2} / R\right)^{2}}=2,5 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}, \quad w_{O}=$ $w^{2 / 2} / R=2,5 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$.
1.54.) $R_{A}=4 r, R_{B}=2 \sqrt{2} r$.
1.55. $\omega=\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}=5 \mathrm{paд} / \mathrm{c}, \beta=\omega_{1} \omega_{2}=12 \mathrm{paд} / \mathrm{c}^{2}$.
1.56) a) $\omega=a t \sqrt{1+(b t / a)^{2}}=8$ рад/с, $\beta=a \sqrt{1+(2 b t / a)^{2}}=1,3$ рад/c2; 6) $17^{\circ}$. 1.57. а) $\omega=v / R \cos \alpha=2,3$ рад/с, $60^{\circ}$; б) $\beta=(v / R)^{2} \operatorname{tg} \alpha=2,3$ рад/c ${ }^{2}$.
1.58. $\omega=\omega_{0} \sqrt{1+\left(\beta_{0} t / \omega_{\jmath}\right)^{2}}=0,6$ рад/с, $\beta=\beta_{J} \sqrt{1+\omega_{3}^{2} t^{2}}=0,2$ рад/c2.
1.59.) $\Delta m=2 m \omega /(g+w)$.
1.60. $\mathrm{w}=\frac{m_{0}-k\left(m_{1}+m_{2}\right)}{m_{0}+m_{1}+m_{2}} \mathbf{g}, \quad T=\frac{(1+k) m_{0}}{m_{0}+m_{1}+m_{2}} m_{2} g$.
1.61. a) $F=\frac{\left(k_{1}-k_{2}\right) m_{1} m_{9} g \cos \alpha}{m_{1}+m_{2}}$; б) $\operatorname{tg} \alpha_{\text {МMH }}=\frac{k_{1} m_{1}+k_{2} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$.
1.62. $k=\left[\left(\eta^{2}-1\right) /\left(\eta^{2}+1\right)\right] \operatorname{tg} \alpha=016$.
1.63. а) $m_{2} / m_{1} \geq \sin \alpha+k \cos \alpha ;$ б) $m / m_{i}<\sin \alpha-k \cos \alpha$; в) $\sin \alpha-k \cos \alpha<$ $<m_{2} / m_{1}<\sin \alpha+k \cos \alpha$.
1.64. $w_{2}=g(\eta-\sin \alpha-k \cos \alpha) /(\eta+1)=0,05 \mathrm{~g}$.
1.65. При $t \leqslant t_{0}$ ускорения $\omega_{1}=w_{2}=a t /\left(m_{1}+m_{2}\right) ;$ при $t \geqslant t_{0} w_{\mathbf{1}}=k g m_{2} / m_{1}$, $w_{2}=\left(a t-k m_{2} g\right) / m_{2} . \quad$ Здесь $\quad t_{0}=k g m_{2}\left(m_{1}+\right.$ $+m_{2}$ )/am: См. рис. 4.
1.66. $\operatorname{tg} 2 \alpha=-1 / k, \quad \alpha=49^{\circ} ; \quad t_{\mathrm{M} ! \mathrm{H}}=$ $=1,0 \mathrm{c}$.
1.67. $\operatorname{tg} \beta=k ; \quad . \quad T_{\text {мин }}=m g(\sin \alpha+$
$+k \cos \alpha) / \sqrt{1+k^{2}}$.
1.68. a) $v=\frac{m g^{2} \cos \alpha}{2} \sin ^{2} \alpha$; $) ~ s=\frac{m^{2} g^{3} \cos \alpha}{6 \alpha^{2} \sin ^{2} \alpha}$.
1.69) $v=\sqrt{(2 g / 3 a) \sin \alpha}$.
Pис. 4.
1.70. $\tau=\sqrt{2 l /(3 w+k g)}$.
1.71. a) $\quad \mathbf{w}_{1}=\frac{\left(m_{1}-m_{2}\right) \mathrm{g}+2 m_{2} \mathbf{w}_{0}}{m_{1}+m_{2}}, \quad \mathbf{w}_{1}^{\prime}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\mathrm{~g}-\mathrm{w}_{0}\right)$;
6) $\mathbf{F}=$ $=\frac{4 m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\mathrm{~g}-\mathrm{w}_{0}\right)$.
1.72. $w=2 g(2 \eta-\sin \alpha) /(4 \eta+1)$.
1.73. $\mathbf{w}_{\mathbf{i}}=\frac{4 m_{1} m_{2}+m_{0}\left(m_{1}-m_{2}\right)}{4 m_{1} m_{2}+m_{0}\left(m_{1}+m_{2}\right)} \mathrm{g}$.
1.74. $F_{\mathrm{rp}}=2 l m M /(M-m) t^{2}$.
1.75. $t=\sqrt{2 l(4+\eta) / 3 g(2-\eta)}=1,4$ c.
1.76. $H=6 h \eta /(\eta+4)=0,6 \mathrm{~m}$.
1.77. $w_{A}=g /\left(1+\eta \operatorname{ctg}^{2} \alpha\right), \omega_{B}=g /(\operatorname{tg} \alpha+\eta \operatorname{ctg} \alpha)$.
1.78. $w=g \sqrt{2} /(2+k+M / m)$.
1.79. $w_{\text {мин }}=g(1-k) /(1+k)$.
1.80. $w_{\text {макс }}=g(1+k \operatorname{ctg} \alpha) /(\operatorname{ctg} \alpha-k)$.
1.81. $w=g \sin \alpha \cos \alpha /\left(\sin ^{2} \alpha+m_{1} / m_{2}\right)$.
1.82. $w=\frac{m g \sin \alpha}{M+2 m(1-\cos \alpha)}$.
1.83. a) $|\langle\mathbf{F}\rangle|=2 \sqrt{2} m v^{2} / \pi R$; б) $|\langle\mathbf{F}\rangle|=m w^{*}$.
1.84.: $2,1,0,7$ и $1,5 \mathrm{kH}$.
1.85. а) $w=g \sqrt{1+3 \cos ^{2} \vartheta}, T=3 m g \cos \vartheta$; б) $T=m g \sqrt{3}$; в) $\cos \vartheta=1 / \sqrt{3}$, $\vartheta=54,7^{\circ}$.
1.86. $\approx 53^{3}$.
1.87. $\vartheta=\arccos (2 / 3) \approx 48^{\circ}, v=\sqrt{2 g R / 3}$.
1.88. $\varepsilon=1 /\left(x / m \omega^{2}-1\right)$. От направления вращения не зависит.
1.89. $r=R / 2, v_{\text {макс }}=1 / 2 \sqrt{k g R}$.
1.90. $s=1 / 2 R \sqrt{\left(k g / w_{\tau}\right)^{2}-1}=60 \mathrm{~m}$.
1.91. $v \leqslant \alpha \sqrt{\mathrm{kg} / \mathrm{a}}$.
1.92. $T=\left(\operatorname{ctg} \vartheta+\omega^{2} R / g\right) m g / 2$.
1.93. a) Рассмотрим малый элемент нити на блоке (рис. 5). Вследствие его невесомости $d T=d F_{\mathrm{тp}}=k d F_{n}$ и $d F_{n}=T d \alpha$. Отсюда $d T / T=k d \alpha$. Проинтегрировав это уравнение, получим $\left.k=\left(\ln \eta_{0}\right) / \pi ; 6\right) w=g\left(\eta-\eta_{0}\right) /\left(\eta+\eta_{0}\right)$. 1.94, $F=\left(m v_{0}^{2} / R\right) \cos ^{2} \alpha$.
Puc. 5.
Pnc. 6.
1.95. $\mathbf{F}=-m \omega^{2} \mathbf{r}$, где $\mathbf{r}-$ радиус-вектор частицы относительно начала координат; $F=m \omega^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
1.96. а) $\Delta \mathrm{p}=m \mathrm{~g} t$; б) $|\Delta \mathrm{p}|=-2 m\left(\mathrm{v}_{0} \mathrm{~g}\right) / g$.
1.97. а) $\mathrm{p}=\mathbf{a} \tau^{3} / 6$; б) $s=a \tau^{4} / 12 \mathrm{~m}$.
1,98. $s=(\omega t-\sin \omega t) F_{0} / m \omega^{2}$, см. рис. 6 .
1.99. $t=\pi / \omega ; s=2 F_{0} / m \omega^{2} ; v_{\text {макс }}=F_{0} / m \omega$.
1.100. а) $v=v_{0} \mathrm{e}^{-t r / m}, t \rightarrow \infty$; б) $v=v_{0}-s r / m_{1} s_{\text {полн }}=\frac{m v_{0}}{r}$; в) $\langle v\rangle=$ $=v_{0} \frac{\eta-1}{\eta \ln \eta}$.
1.101. $t=\frac{h\left(v_{0}-v\right)}{v_{0} v \ln \left(v_{0} / v\right)} \cdot=$
1.102. $s=\frac{2}{a} \operatorname{tg} \alpha, v_{\text {макс }}=\sqrt{\frac{g}{a} \sin \alpha \operatorname{tg} \alpha}$. Ук а зание. Чтобы привести уравнение движения к виду, удобному для интегрирования, надо представить ускореняе как $d v / d t$ и затем произвести замену переменных по формуле $d t=d x / v$.
1.103. $\left.s=1 / 6 a^{t} t-t_{0}\right)^{3} / m$, где $t_{0}=k m g / a$-момент времени, с которого начнется движение. При $t \leqslant t_{0}$ путь $s=0$.
1.104. $v^{\prime}=v_{0} / \sqrt{1+k v_{0}^{2} / m g}$.
1.105. a) $v=(2 F / m \omega) \sin (\omega t / 2)$; б) $\Delta s=8 F / m \omega^{2},\langle v\rangle=4 F / \pi m \omega$.
1.106. $v=v_{0} /(1+\cos \varphi)$. Ука з ание. Здесь $w_{\tau}=-w_{x}$, поэтому $v=$ $=-v_{x}+$ const. Из начального условия следует, чго const $=v_{0}$. Кроме того, $v_{x}=v \cos \varphi$.
1.107. $w=[1-\cos (l / R)] R g / l$.
1.108. а) $v=\sqrt{2 g R / 3} ;$ б) $\cos \vartheta_{0}=\frac{2+\eta \sqrt{5+9 \eta^{2}}}{3\left(1+\eta^{2}\right)}$, где $\eta=\omega_{0} / g, \quad \vartheta_{0} \approx 17^{3}$.
1.109. При $n<1$, включая и отрицательные значения, $r_{\text {уст }}=\left(m v^{2} / a\right)^{1 /(1-n)}$.
1.110. Если $\omega^{2} R>g$, то имеются два положения равновесия: $\vartheta_{i}=0$ и $\vartheta_{2}=$ $=\arccos \left(g / \omega^{2} R\right)$. Если $\omega^{2} R<g$, то положение равновесия только $\vartheta_{i}=0$. Пока существует одно нижнее положение равновесия, оно устойчиво. При появлении же второго положения равновесия (оно всегда устойчиво) нижнее положение становится неустойчивым.
1.111. $h \approx\left(\omega s^{2} / v\right) \sin \varphi=7$ см, где $\omega-$ угловая скорость вращения Земли.
1.112. $F=m \sqrt{g^{2}+\omega^{4} r^{2}+\left(2 v^{\prime} \omega\right)^{2}}=8 \mathrm{H}$.
1.113. $F_{\text {кор }}=2 m \omega^{2} r \sqrt{1+\left(v_{0} / \omega r\right)^{2}}=2,8 \mathrm{H}$.
1.114. за) $\omega^{\prime}=\omega^{2} R$; б) $F_{\text {ин }}=m \omega^{2} r \sqrt{(2 R / r)^{2}-1}$.
1.115. $F_{\text {цб }}=m \omega^{2} R \sqrt{5 / 9}=8 \mathrm{H}, F_{\text {кор }}=2 / 3 m \omega^{2} R \sqrt{5+8 g / 3 \omega^{2} R}=17 \mathrm{H}$.
1.116. а) $F=2 m v \omega \sin \varphi=3,8 \mathrm{\kappa H}$, где $\omega$-угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси; б) $F=m \omega(\omega R \cos \varphi \pm 2 v) \sin \varphi, F_{+}=33 \mathrm{кH}$, $F_{-}=25$ кН, где знак плюс соответствует движению с запада на восток, знак минус-наоборот, $R$ – радиус Земли.
1.117. Отклонитсяя на восток на расстояние $x \approx 2 / 3 \omega h \sqrt{2 h / g}=24$ см. Здесь $\omega$ – угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси.
1.118. $A=\mathrm{F}\left(\mathrm{r}_{2}-\mathrm{r}_{1}\right)=-17$ Дж.
1.119. $A=m a^{4} t^{2} / 8$.
1.120. $F=2 a s \sqrt{1+(s / R)^{2}}$.
1.121. $A=m g(h+k l)$.
1.122. $A=-k m g l /(1-k \operatorname{ctg} \alpha)=-0,05$ Дж.
1.123. $F_{\text {мин }}=\left(m_{1}+m_{2} / 2\right) \mathrm{kg}$.
1.124. $A=-(1-\eta) \eta n g l / 2=-1,3$ Дж.
1.125. $\langle P\rangle=0, \quad P=m g\left(g t-v_{0} \sin \alpha\right)$.
1.126. $P=m$ Rat, $\langle P\rangle=m$ Rat $/ 2$.
1.127. a) $\langle P\rangle=-k m g v_{0} / 2=-2 \mathrm{Br}$; б) $P_{\text {макс }}=-1 / 2 m v_{0}^{2} \sqrt{\alpha g}$.
1.128. $A=1 / 2 m \omega^{2}\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)=20$ Дж.
1.129. $A_{\text {мин }}=1 / 2 k(\Delta l)^{2}$, где $k=k_{1} k_{2} /\left(k_{1}+k_{2}\right)$.
1.130. $A=3 m g / 4 a, \Delta U=m g / 2 a$.
1.131. a) $r_{0}=2 a / b$, устойчиво; б) $F_{\text {макс }}=b^{3} / 27 a^{2}$. См. рис. 7.
Pnc. 7.
1.132. а) Нет; б) эллипсы, отношение полуосей которых $a / b=\sqrt{\beta / \alpha}$; тоже вллипсы, но с $a / b=\beta / \alpha$.
1.133. Потенциальным является второе поле сил.
1.134. ‘ $s=\partial_{0}^{2} / 2 g(\sin \alpha+k \cos \alpha), A=-m v_{0}^{2} k / 2(k+\operatorname{tg} \alpha)$ :
1.135. $h \doteq H / 2 ; s_{\text {маKс }}=H$.
1.136. $v=2 / 3 \sqrt{g h / 3}$.
1.137. $v_{\text {мин }}=\sqrt{5 g l} ; T=3 m g$.
1.138. $t=l_{0}^{2} / 2 v_{0} R$.
1.139. $\Delta l=(1+\sqrt{1+2 k l / m g}) m g / k$.
1.140. $v=\sqrt{19 g l_{0} / 32}=1,7 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.141. $A=\frac{k m g l_{0}}{2} \frac{1-\cos \vartheta}{(\sin \vartheta+k \cos \vartheta) \cos \vartheta}=0,09$ Дж.
1.142. $A=x l_{0}^{2} \eta(1+\eta) / 2(1-\eta)^{2}$, где $\eta=m \omega^{2} / x$.
1.143. $\mathrm{w}_{C}=\mathrm{g}\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2} /\left(m_{i}+m_{2}\right)^{2}$.
1.145. $r=\left(g / \omega^{2}\right) \operatorname{tg} \vartheta=0,8 \mathrm{~cm}, T=m g / \cos \vartheta=5 \mathrm{H}$.
1.146. a) $F_{\mathrm{Tp}}=m g\left[\sin \alpha+\left(\omega^{2} l / g\right) \cos \alpha\right]=6 \mathrm{H}$;
б) $\omega<\sqrt{g(k-\operatorname{tg} \alpha) / l(1+k \operatorname{tg} \alpha)}=2 \mathrm{pag} / \mathrm{c}$.
1.147. a) $\quad \mathbf{V}=\left(m_{1} \mathrm{v}_{1}+m_{2} \mathrm{v}_{2}\right) /\left(m_{1}+m_{2}\right)$; б) $\quad T=\mu\left(\mathrm{v}_{1}-\mathrm{v}_{2}\right)^{2} / 2$, где $\quad \mu=$ $=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.148. $E=\tilde{E}+m V^{2} / 2$.
1.149. $\tilde{E}=\mu\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) / 2$, где $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.150. $\mathrm{p}=\mathrm{p}_{0}+m g t$, где $\mathrm{p}_{0}=m \mathrm{v}_{1}+m_{2} \mathrm{v}_{2}, \quad m=m_{1}+m_{2} ; \mathrm{r}_{C}=\mathrm{v}_{0} t+\mathrm{g}^{t} / 2$, где $\mathbf{v}_{0}=\left(m_{1} \mathrm{v}_{1}+m_{2} \mathrm{v}_{2}\right) /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.151. $v_{C}=x \sqrt{x m_{2}} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.152. a) $l_{\text {макс }}=l_{0}+F / x, l_{\text {мин }}=l_{0}$; б) $l_{\text {макс }}=l_{0}+2 m_{1} F / x\left(m_{i}+m_{2}\right), l_{\text {мин }}=l_{0}$.
1.153. a) $\Delta l>3 m g / x$; 6) $h=(1+x \Delta l / m g) m g / 8 x=8 \mathrm{mg} / \mathrm{x}$.
1.154. $\mathrm{v}_{\mathbf{1}}=-m \mathrm{v} /(M-m), \quad \mathrm{v}_{2}=M \mathrm{v} /(M-m)$.
1.155. $\quad \mathbf{v}_{3 a д H}=\mathbf{v}_{0}-\frac{m}{M+m} \mathbf{u} ; \quad \mathbf{v}_{\text {пер }}=\mathbf{v}_{0}+\frac{m M}{(M+m)^{2}} \mathbf{u}$.
1.156. 1) $\mathbf{v}_{1}=-\frac{2 m}{M+2 m} \mathbf{u}$; 2) $\quad \mathbf{v}_{2}=-\frac{m(2 M+3 m)}{(M+m)(M+2 m)} \mathbf{u}, \quad v_{2} / v_{1}=1+$ $+m / 2(M+m)>1$.
1.157. $p=2 / 3 m \sqrt{2 g l}=3,5 \mathrm{k \Gamma} \cdot \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.158. $\Delta p=m \sqrt{2 g h}(1+\eta) /(1-\eta)=0,2 \mathrm{Kг} \cdot \mathrm{M}_{\prime}^{\prime} \mathbf{c}$.
1.159. а) $\mathbf{1}=-\frac{m}{M+m} \mathbf{1}^{\prime}$; б) $\mathbf{F}=-\frac{m M}{M+m} \frac{d \mathbf{v}^{\prime}}{d t}$.
1.160. $1=m 1^{\prime} / 2 M$.
1.161. $\tau=(p \cos \alpha-M \sqrt{2 g l \sin \alpha}) / M g \sin \alpha$.
1.162. a) $v=(2 M / m) \sqrt{g l} \sin (\vartheta / 2) ;$ 6) $\eta \approx 1-m / M$.
1.163. $h=M v^{2} / 2 g(M+m)$.
1.164. 1) $A=-\mu g h$, где $\mu=m M /(n+M)$; 2) Да.
1.166. $\mathrm{v}=1,0 \mathrm{i}+2,0 \mathrm{j}-4,0 \mathrm{k}, v \approx 4,6 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.167. $\Delta T=-\mu\left(\mathrm{v}_{1}-\mathrm{v}_{2}\right)^{2 / 2}$, где $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.168. а) $\eta=2 m_{1} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$; б) $\eta=4 m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}$.
1.169. а) $m_{1} / m_{2}=1 / 3$; б) $m_{1} / m_{2}=1+2 \cos \theta=2,0$.
1.170. $\eta=1 / 2 \cos ^{2} \alpha=0,25$.
1.171. $v_{\text {макс }}=v(1+\sqrt{2(\eta-1)})=1,0 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
1.172. Будет двигаться в ту, же сторону, но со скоростью $v^{\prime}=$ $=(1-\sqrt{1-2 \eta}) v / 2$. При $\eta \leqslant 1$ скорость $v^{\prime} \approx \eta v / 2=5 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
1.173. $\Delta T / T=(1+m / M) \operatorname{tg}^{2} \vartheta+m / M-1=-40 \%$.
1.174. а) $p=\mu \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}$; б) $T=1 / 2 \mu\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)$. Здесь $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.175. $\sin \vartheta_{\text {макс }}=m_{2} / m_{1}$.
1.176. $\mathrm{v}^{\prime}=-\mathrm{v}\left(2-\eta^{2}\right) /\left(6-\eta^{2}\right)$. Соответственно при $\eta$ меньшем, равном и большем $\sqrt{2}$.
1.178. Пусть в некоторый момент $t$ ракета имела массу $m$ и скорость $\mathbf{v}$ (относительно интересующей нас систеиы отсчета). Рассмотрим инерцнальную систему отсчета, имеющую ту же скорость, что и ракета в данный момент. В этой системе отсчета прирапение импульса системы «ракета – выброшениая порция газа» за время $d t$ есть $d \mathbf{p}=m d \mathbf{v}+\mu d t \cdot \mathbf{u}=\mathrm{F} d t$. Дальнейшее очевидно.
1.179. $\mathbf{v}=-\mathbf{u} \ln \left(m_{0} / m\right)$.
1.180. $m=m_{0} \mathrm{e}^{-w t / u}$.
1.181. $\alpha=\left(u / v_{0}\right) \ln \left(m_{0} / m\right)$.
1.182. $\mathrm{v}=\frac{\mathrm{F}}{\mu} \ln \frac{m_{0}}{m_{0}-\mu t}, \mathbf{w}=\frac{\mathbf{F}}{m_{0}-\mu t}$.
1.183. $\mathbf{v}=\mathbf{F} t / m_{0}\left(1+\mu t / m_{0}\right), \quad \mathbf{w}=\mathbf{F} / m_{0}\left(1+\mu t / m_{0}\right)^{2}$.
1.184. $v=\sqrt{2 g h \ln (l / h)}$.
1.185. $\mathrm{N}=2 \mathrm{~b} \sqrt{a / b}$.
1.186. $M=1 / 2 m g v_{0} t^{2} \cos \alpha ; \quad M=\left(m v_{0}^{3} / 2 g\right) \sin ^{2} \alpha \cos \alpha=57 \mathrm{kr} \cdot \mathrm{M}^{2} / \mathrm{c}$.
1.187. а) Относительно всех точек прямой, перпендикулярной к стенке и проходяшей через точку 0 ; б) $|\Delta \mathbf{M}|=2 m \sigma l \cos \alpha$.
1.188. Относительно центра окружности. $|\Delta M|=2 \sqrt{1-\left(g / \omega^{2} l\right)^{2}} \mathrm{mgl} / \omega$.
1.189. $\mid \Delta \mathbf{M}_{i}=h i n V$.
1.190. $M=m \omega v_{0}^{9} t^{2}$.
1.191. $m=2 k r_{1}^{2} / v_{2}^{2}$.
1.192. $v_{0}=\sqrt{2 g l / \cos \vartheta}$.
1.193. $F=m \omega_{0}^{2} r_{0}^{4} / r^{3}$.
1.194. $M_{z}=$ Rmgt.
1.195. $M=R m g t \sin \alpha$. Не изменится.
1.196. $\boldsymbol{M}^{\prime}=\boldsymbol{M}-\left[\mathrm{r}_{0} \mathrm{p}\right]$. В случаз, когда $\mathrm{p}=0$, т. е. в системе центра инерции.
1.198. $\tilde{M}=1 / 3 l m v_{0}$.
1.199. $\varepsilon_{\text {макс }} \approx m v_{0}^{2} / x l_{0}^{2}$. Решение удобно прозести в системе центра инерции.
1.200. $T=2 \pi \gamma M / v^{3}=225$ суток.
1.201. а) В 5,2 раза; б) $13 \mathrm{~km} / \mathrm{c}, 2,2 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.202. $T=\pi \sqrt{(r+R)^{3} / 2 \gamma M}$. Достаточно рассмотреть движение по окружности, радиус которой равен большой полуоси данного эллипса, т. е. $(r+R) / 2 \rightarrow$ по Кеплеру период обращения будет тем же.
1.203. Падение тела на Солнце можно рассматривать как движение по очень вытянутому (в пределе вырожденному) эллипсу, большая ось которою практически равна радиусу $R$ земной орбиты. Тогда по Кеплеру $(2 \tau / T)^{2}=$ $=[(R / 2) / R]^{3}$, где $\tau$-время падения (время половины оборота по вытянутому эллипсу), $T$-период обращения Земли вокруг Солнца. Стсюда $\tau=T / 4 \sqrt{2}=$ $=65$ сут.
1.204. Не изменятся.
1.205. $l=\sqrt[3]{\gamma M(T / 2 \pi)^{2}}$.
1.206. а) $U=-\gamma m_{1} m_{2} / r$; б) $U=-\gamma(m M / l) \ln (1+l / a), F=\gamma m M / a(a+l)$.
1.207. $M=m \sqrt{2 \gamma m_{\mathrm{C}^{r} r_{1}} r_{2} /\left(r_{1}+r_{2}\right)}$, где $m_{\mathrm{C}}$-масса Солнца.
1.208. $E=T+U=-\gamma m m_{\mathrm{C}} / 2 a$, где $m_{\mathrm{C}}$ – масса Солнца.
1.209. $r_{m}=\frac{r_{0}}{2-\eta}\left[1 \pm \sqrt{1-(2-\eta) \eta \sin ^{2} \alpha}\right]$, где $\eta=r_{0} v_{\overline{0}}^{2} / \gamma m_{\mathrm{C}}, m_{\mathrm{C}}$-масса Солнца.
1.210. $r_{\text {мнн }}=\left(\gamma m_{\mathrm{C}} / v_{0}^{2}\right)\left[\sqrt{1+\left(l v_{0}^{2} / \gamma m_{\mathrm{C}}\right)^{2}}-1\right]$, где $m_{\mathrm{C}}$ – масса Солнца.
1.211. a) Рассмотрим сначала тонкий сферический слой радиуса $\rho$ и массы $\delta M$. Энергия взаимодействия частицы с элементарным поясом $\delta S$ этого слоя есть (рис. 8)
\[
d U=-\gamma(m \delta M / 2 l) \sin \vartheta d \vartheta .
\]

Для треугольника $O A P$ по теореме косинусов $l^{2}=\rho^{2}+r^{2}-2 \rho r \cos \vartheta$. Найдя дифференциал этого выражения, преобразуем формулу (*) к виду, удобному для интегрирования. После
Рис. 8, интегрирования по всему слою найдем $\delta U=-\gamma m \delta M / r$. И наконещ, интегрируя по всем слоям шара, получим $U=-\gamma m M / r$; б) $F_{r}=-\partial U / \partial r=$ $=-\gamma m M / r^{2}$.
1.212. Рассмотрим сначала тонкий сферический слой вещества (рис. 9). Постровм конус с малым углом раствора и вершиной в точке $A$. Площади участков, вырезанных этим конусом в слое, $d S_{1}: d S_{2}=r_{1}^{2}: r_{2}^{2}$. Массы же \”ырезанных участков пропорциональны площадям этих участков. Поэтому силы притяжения к ним частицы $A$ равны по модулю и противоположны по направлению. Дальнейшее очевидно.
Рис. 9.
Pис. $10^{2}$
1.213. $A=-3 / 2 \gamma m M / R$.
1.214. $\mathbf{G}=\left\{\begin{array}{lll}-\left(\gamma M / R^{3}\right) \mathbf{r} & \text { при } \quad r \leqslant R, \\ -\left(\gamma M / r^{3}\right) \mathbf{r} & \text { при } \quad r \geqslant R ;\end{array}\right.$
1.215. $\mathbf{G}=-4 / 3 \pi \gamma \rho l$. Поле внутри полости однородное.
1.216. $p=3 / 8\left(1-r^{2} / R^{2}\right) \gamma M^{2} / \pi R^{4}$. Около $1,8 \cdot 10^{6}$ атм.
1.217. а) Разобьем сферический слой на малые элементы, каждый массы $\delta m$. Тогда энергия взаимодействия каждого элемента со всеми остальными $\delta U=-\gamma m \delta m / R$. Суммируя по всем элементам и учитывая, что каждая пара взаимодействующих элементов войдет в результат дважды, получим $U=-\gamma m^{2} / 2 R$; б) $U=-3 \gamma m^{2} / 5 R$.
1.218. $\Delta t \approx \frac{2 \pi}{\sqrt{\gamma} M} \frac{r^{3 / 2}}{3 \Delta r / 2 r+\delta}=\left\{\begin{array}{ll}4,5 \text { сут } & (\delta=0), \\ 0,84 \text { ч } & (\delta=2) .\end{array}\right.$
1.219. $w_{1}: w_{2}: w_{3}=1: 0,0034: 0,0006$.
1.220. $32 \mathrm{км;} 2650$ км.
1.221. $h=R /\left(2 g R / v_{0}^{2}-1\right)$.
1.222. $h=R\left(g R / v^{2}-1\right)$.
1.223. $r=\sqrt[3]{\gamma M(T / 2 \pi)^{2}}=4,2 \cdot 10^{4}$ км, где $M$ и $T$-масса Земли и ее период обращения вокруг собственной оси; $3,1 \mathrm{~km} / \mathrm{c}, 0,22 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.224. $M=\left(4 \pi^{2} R^{3} / \gamma T^{2}\right)(1+T / \tau)^{2}=6 \cdot 10^{24}$ кг, где $T$-период обращения Земли вокруг собственной оси.
1.225. $v^{\prime}=\frac{2 \pi R}{T}+\sqrt{\frac{\overline{\gamma M}}{R}}=7,0 \mathrm{kм} / \mathrm{c}, \quad \omega^{\prime}=\frac{\gamma M}{R^{2}}\left(1+\frac{2 \pi R}{T} \sqrt{\frac{R}{\gamma M}}\right)=$ $=4,9 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$. Здесь $M$-масса Земли, $T$-ее период обращения вокруг собственной оси.
1.226. В 1,27 раза.
1.227. Уо́ыль полной энергии $E$ спутника за время $d t$ есть $-d E=F v d t$. Представив $E$ и $v$ как функции расстояния $r$ между спутником и центром Луны, преобразуем это уравнение к виду, удобному для интегрировання. В результате получим $\tau \approx(\sqrt{\eta}-1) m_{1}^{\prime} \alpha \sqrt{g R}$.
1.228. $v_{1}=1,67 \mathrm{~km} / \mathrm{c}, v_{2}=2,37 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
1.229. $\Delta v=\sqrt{\gamma M / R}(1-\sqrt{2})=-0,70$. км/с, где $M$ и $R$-мазса и радиус Луны.
1.230. $\Delta v=\sqrt{g R}(\sqrt{2}-1)=3,27$ км/с, где $g$ – нормальное ускорение свободного падения, $R$-радиус Земли.
1.231. $r=n R /(1+\sqrt{\eta})=3,8 \cdot 10^{4}$ км.
1.232. $A \approx \gamma m\left(M_{1} / R_{1}+M_{2} / R_{2}\right)=1,3 \cdot 10^{3}$ кДж, где $M$ и $R$-масса и радиус Земли и Луны.
1.233. $v_{3} \approx \sqrt{2 v_{1}^{2}+\left(\sqrt{2-1)^{2} V_{1}^{2}}\right.} \approx 17$ км/с. Здесь $v_{1}^{2}=\gamma M_{3} / R, M_{3}$ и $R-$ масса и радиус Земли; $V_{1}^{2}=\gamma M_{\mathrm{C}} / r, M_{\mathrm{C}}$-масса Солнца, $r$-радиуе орбйты Земли.
1.234. $l=2 a F_{2} / m w=1,0 \mathrm{M}$.
1.235. $\mathrm{N}=(a B-b A) \mathrm{k}$, где $\mathrm{k}-$ орт оси $z ; l=|a B-b A| / \sqrt{A^{2}+B^{2}}$.
1.236. $l=|a A-b B| / \sqrt{A^{2}+B^{2}}$.
1.237. $F_{\text {равн }}=2 F$. Эта сила параллельна диагоналн $A C$, а точка приложения ее расположена на середине стороны $B C$.
1.238. a) $I=1 / 3 l^{2}$; б) $I=1 / 3 m\left(a^{2}+b^{2}\right)$.
1.239. а) $I=1 / 2 \pi \rho b R^{4}=2,8 \mathrm{r} \cdot \mathrm{m}^{2}$; б) $I=3 / 10^{m} R^{2}$.
1.240. $I=1 / 4 m R^{2}$.
1.241. $I=(37 / 72) m R^{2}=0,15 \mathrm{Kr} \cdot \mathrm{M}^{2}$.
1.242. $I=2 / 3 m R^{2}$.
1.243. a) $\omega=g t / R(1+M / 2 m)$; 6) $T=m g^{2} t^{2} / 2(1+M / 2 m)$.
1.244. $T=1 / 2 m g, w_{0}=g m r^{2} / I$.
1.245. $\omega=\sqrt{6 F \sin \varphi / m l}$.
1.246. $\beta=\frac{\left|m_{2}-m_{1}\right| g}{\left(m_{1}+m_{2}+m / 2\right) R}, \frac{T_{\hat{1}}}{T_{2}}=\frac{m_{1}\left(m+4 m_{2}\right)}{m_{2}\left(m+4 m_{1}\right)}$.
1.247. $A=-\frac{\left(m_{2}-i m_{1}\right) k m_{1} g^{2 t 2}}{m+2\left(m_{1}+m_{2}\right)}$.
1.248. $n=\left(1+k^{2}\right) \omega_{0}^{2} R / 8 \pi k(k+1) g$.
1.249. $t=3 / 4 \omega R / k g$.
1.250. $\langle\omega\rangle=1 / 3 \omega_{0}$.
1.251. $\beta=2 m g x / R l(M+2 m)$.
1.252. a) $k \geqslant 2 / 7 \operatorname{tg} \alpha$; 6) $T=5 / 14 m g^{2 t 2} \sin ^{2} \alpha$.
1.253. a) $T=1 / 6 m g=13 \mathrm{H}, \beta=2 / 3 g / R=5 \cdot 10^{2} \mathrm{paz} / \mathrm{c}^{2}$; 6) $P={ }^{2} ; 3^{\prime} m g^{2 t}$.
1.254. $w^{\prime}=2 / 3\left(g-w_{0}\right), F=1 / 3 m\left(g-w_{0}\right)$.
1.255. $w=g \sin \alpha /\left(1+I / m r^{2}\right)=1,6 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.256. $F_{\text {макс }}=3 \mathrm{kmg} /(2-3 \mathrm{k}) ; w_{\text {макс }}=2 \mathrm{~kg} /(2-3 \mathrm{k})$.
1.257. a) $\omega=\frac{F(\cos \alpha-r / R)}{m(1+\beta)}$;
б) $A=\frac{F^{2} t^{2}(\cos \alpha-r / R)^{2}}{2 m(1+\beta)}$.
1.258. $T=1 / 10 \mathrm{mg}$.
1.259. $\mathrm{w}=3 \xi(M+3 m) /\left(M+9 m+I / R^{2}\right)$.
1.260. a) $w=\frac{F\left(3 m_{1}+2 m_{2}\right)}{m_{1}\left(m_{1}+m_{2}\right)}$;
б) $T=\frac{F^{2} t^{2}\left(3 m_{1}+2 m_{2}\right)}{2 m_{1}\left(m_{1}+m_{2}\right)}$.
1.261. $w_{1}=F /\left(m_{1}+2 / 7 m_{2}\right) ; w_{2}=2 / 7 w_{1}$.
1.262. a) $t=1 / 3 \omega_{0} R / \mathrm{kg}$; 6) $A=-1 / 6 m \omega_{0}^{2} R^{2}$.
1.263. $\omega=\sqrt{\log (R+r) / 17 r^{2}}$.
1.264. $v_{0}=\sqrt{1 / 3 g R(7 \cos \alpha-4)}=1,0 \mathrm{~s} / \mathrm{c}$,
1.265. $v_{0}=\sqrt{8 g R}$.
1.266. $T=m v^{2}$.
1.267. $T=7 / 10^{2} m v^{2}\left(1+2 / 7 r^{2} / R^{2}\right)$.
1.269. $N=1 / 24 m \omega^{2} l^{2} \sin 2 v$.
1.270. $\cos \vartheta=3 / 2 g / \omega^{2} l$.
1.271. $\Delta x=1 / 2 k a$.
1.272. $v^{\prime}=\omega_{0} l / \sqrt{1+3 m / M}$.
1.273. $F=9 / 2 p^{2} / m l=9 \mathrm{H}$.
1.274. а) $\mathbf{v}^{\prime}=\frac{3 m-4 M}{3 m+4 M} \mathbf{v}$; б) $F=\frac{8 M v^{2}}{l(1+4 M / 3 m)^{2}}$.
1.275. а) $v=(M / m) \sqrt{\frac{2 / 3}{g l}} \sin (\alpha / 2)$; б) $\Delta p=M \sqrt{1 / 6 g l} \sin (\alpha / 2)$; в) $x \approx 2 / 3 l$,
1.276. а) $\omega=(1+2 m / M) \omega_{0}$; б) $A=1 / 2 m \omega_{0}^{2} R^{2}(1+2 m / M)$.
1.277. а) $\varphi=-\frac{2 m_{1}}{2 m_{1}+m_{2}} \varphi^{\prime}$; б) $N_{z}=-\frac{m_{1} m_{2} R}{2 m_{1}+m_{2}} \frac{d v^{\prime}}{d t}$.
1.278. а) $\omega=\frac{I_{1} \omega_{1}+I_{2} \omega_{2}}{I_{1}+I_{2}}$; $\quad$ б) $A=-\frac{I_{1} I_{2}}{2\left(I_{1}+I_{2}\right)}\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)^{2}$.
1.279. $\mathbf{v}^{\prime}=\mathrm{v}(4-\eta) /(4+\eta), \omega=12 v / l(4+\eta)$. При $\eta=4$ и $\eta>4$.
1.280. а) $A_{90^{\circ}}=1 / 2 I_{0}^{2} \omega_{0}^{2} /\left(I+I_{0}\right), A_{1 \varepsilon 0^{\circ}}=2 I_{0}^{2} \omega_{0}^{2} / I$; $) N=I_{0}^{2} \omega_{0}^{9} /\left(I+I_{0}\right)$.
1.281. $\omega=\sqrt{2 g / l}=6,0$ рад/c; $F=m g l_{0} / l=25 \mathrm{H}$.
1.282. а) $M=1 / 12 m \omega l^{2} \sin \vartheta, \quad M_{z}=M \sin \vartheta$;
в) $N=1 / 24 m \omega^{2} l^{2} \sin 2 \vartheta$.
б) $|\Delta M|=1 / 12 m \omega l^{2} \sin 2 \theta$;
1.283 .
a) $\omega^{\prime}=m g l / I \omega=0,7$ рад/c;
б) $F=$ $=m \omega^{\prime 2} l \sin \vartheta=10 \mathrm{mH}$. См. рис. 11 .
1.284. $\omega=(g+\omega) l / \pi n R^{2}=3 \cdot 10^{2}$ рад/c.
1.285. $\omega^{\prime}=m l \sqrt{g^{2}+\omega^{2}} / I \omega=0,8$ рад/с. Вектор $\boldsymbol{\omega}^{\prime}$ составляет с вертикалью угол $\boldsymbol{\theta}=$ $=\operatorname{arctg}(w / g)=6^{\circ}$.
1.286. $F^{\prime}=2 / 5 m R^{2} \omega \omega^{\prime} / l=0,30 \mathrm{kH}$.
1.287. $F_{\text {макс }}=\pi m r^{2} \varphi_{m} \omega / l T=0,09 \mathrm{KH}$.
1.288. $N=2 \pi n I v / R=6 \mathrm{KH} \cdot \mathbf{M}$.
1.289. $F_{\text {доб }}=2 \pi n I v / R l=1,4$ кН. На такую величину сила давления на наружный рельс Pис. 11. возрастет, а иа внутренний- уменьшится.
1.290. $p=\alpha E \Delta T=2,2 \cdot 10^{3}$ атм, где $\alpha$ – коэффициент теплового расширения.
1.291. а) $p \approx \sigma_{m} \Delta r / r=20$ атм; б) $p \approx 2 \sigma_{m} \Delta r / r=40$ атм. Здесь $\sigma_{m}$-предел прочности стекла.
1.292. $n=\sqrt{2 \sigma_{m} / \rho} / \pi l=0,8 \cdot 10^{2}$ об/с, где $\sigma_{m}$-предел прочности, $\boldsymbol{p}$ – плотность меди.
1.293. $n=\sqrt{\sigma_{m} / \rho} / 2 \pi R=23$ об/с, где $\sigma_{m}$-предел прочности, $\rho-$ плотность свинца.
1.294. $x \approx l \sqrt[3]{m g / 2 \pi d^{2} E}=2,5 \mathrm{~cm}$.
1.295. $\varepsilon=1 / 2 F_{0} / E S$.
1.297. $\Delta V=(1-2 \mu) F l / E=1,6$ мм $^{3}$, где $\mu$-козффициент Пуассона меди.
1.298. а) $\Delta l=1 / 2 \rho l^{2} / E$; б) $\Delta V / V=(1-2 \mu) \Delta l / l$. Здесь $\rho$-плотность,
$\mu$ – коэффициент Пуассона меди.
1.299. а) $\Delta V / V=-3(1-2 \mu) p / E ;$ б) $\beta=3(1-2 \mu) / E$.
1.300. $R=1 / 6 E h^{2} / \rho g l^{2}=0,12$ км, где $\rho$-плотность стали.
1.301. а) Здесь $N$ не зависит от $x$ и равеи $N_{0}$. Интегрируя дважды исходное уравнение с учетом краевых условий $d y / d x(0)=0$ и $y(0)=0$, получим $y=\left(N_{0} / 2 E I\right) x^{2}$. Это уравнение параболы. Стрела прогиба $\lambda=N_{0} l^{2} / 2 E I$, где $I=a^{4} / 12$.
б) В данном случае $N(x)=F(l-x)$ и $y=(F / 2 E I)(l-x / 3) x^{2} ; \lambda=F l^{3} / 3 E I$, где $I$ то же, что и в предыдущем пункте.
1.302. $\lambda=\mathrm{Fl}^{3} / 48 E I$.
1.303. а) $\lambda=3 / 2 \rho g l 4 / E h^{2}$; б) $\lambda=5 / 2 \rho g l 4 / E h^{2}$. Здесь $\rho$-плотность стали.
1.304. $\lambda=9 / 5 \beta \rho l^{5} / E h^{2}$, где $\rho$-плотность стали.
1.305. а) $\varphi=\left(l / 2 \pi r^{3} \Delta r G\right) \cdot N$; б) $\varphi=\left(2 l / \pi r^{4} G\right) \cdot N$.
1.306. $N=\pi\left(d_{2}^{4}-d_{1}^{4}\right) G \varphi / 32 l=0,5 \mathrm{kH} \cdot \mathrm{M}$.
1.307. $P=1 / 2 \pi r^{4} G \varphi \omega=17 \mathrm{kBT}$.
1.308. $N=1 / 2 \beta m\left(r_{2}^{4}-r^{4}\right) /\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)$.
1.311. $A \approx 1 / 6 \pi^{2} h \delta^{3} E / l=0,08$ кДж.
1.312. $U=1 / 4 \pi r^{4} G \varphi^{2} / l=7$ Дж.
1.313. $u=1 / 2 G \varphi^{2} r^{2} / l^{2}$.
1.314. $u=1 / 2 \beta(\rho g h)^{2}=23,5$ кДж/м $\mathbf{m}^{3}$, где $\beta$ – коэффициент сжимаемости.
1.315. $p_{i}>p_{2}, v_{i}<v_{2}$. Плотность линий тока растет при переходе от точки 1 к точке 2.
1.316. $Q=S_{1} S_{2} \sqrt{2 g \Delta h /\left(S_{2}^{2}-S_{1}^{2}\right)}$.
1.317. $Q=S \sqrt{2 g \Delta h \rho_{0} / \rho}$.
1.318. $v=\sqrt{2 g\left(h_{1}+h_{2} \rho_{2} / \rho_{1}\right)}=3 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, где $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ – плотности воды и керосина.
1.319. $h=25 \mathrm{~cm} ; l_{\text {макс }}=50 \mathrm{~cm}$.
1.320. $h=1 / 2 v^{2} / g-h_{0}=20 \mathrm{~cm}$.
1.321. $p=p_{0}+\rho g h\left(1-R_{1}^{2} / r^{2}\right)$, где $R_{1}<r<R_{2}, p_{0}$-атмосферное давление.
1.322. $A=1 / 2 \mathrm{\rho}^{3} / \mathrm{s}^{2} t^{2}$, где $\rho$ – плотность воды.
1.323. $\tau=\sqrt{2 h / g} S / s$.
1.324. $v=\omega h \sqrt{2 l / h-1}$.
1.326. $F=2 \rho g S \Delta h=0,50 \mathrm{H}$.
1.327. $F=\rho g b l(2 h-l)=5 \mathrm{H}$.
1.328. $N=\rho l Q^{2} / \pi r^{2}=0,7 \mathrm{H} \cdot$. .
1.329. $F=\rho g h(S-s)^{2} / S=6 \mathrm{H}$.
1.330. а) Параболоид вращения: $z=\left(\omega^{2} / 2 g\right) r^{2}$, где $z$-высота от поверх ности жидкости на оси сосуда, $r$-расстояние от оси вращения; б) $p=p_{0}+$ $+1 / 2 \rho \omega^{2} r^{2}$.
1.331. $P=\pi \eta \omega^{2} R^{4} / h=9$ Вт.
1.332. $v=v_{0} \frac{\ln \left(r / R_{2}\right)}{\ln \left(R_{1} / R_{2}\right)}$.
1.333. a) $\omega=\omega_{2} \frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}\left(\frac{1}{R_{1}^{2}}-\frac{1}{r^{2}}\right)$;
б) $N=4 \pi r_{1} \omega_{2} \frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}$.
1.334. а) $Q=1 / 2 \pi v_{0} R^{2}$; б) $T=1 / 6 \pi l R^{2} \rho v_{0}^{2}$; в) $F_{\text {тр }}=4 \pi \eta l v_{0}$; г) $\Delta p=4 \eta l v_{0} / R^{2}$. 1.335. В левом конце трубки дополнительный напор $\Delta h=5$ см сообщает кинетическую энергию жидкости, втекающей в трубку. Из условия $\rho v^{2} / 2=$ $=\rho g \Delta h$ получим $v=\sqrt{2 g \Delta h}=1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.336. Искомое отношение равно $\mathrm{e}^{\alpha \Delta x}=5$.
1.337. $v_{2}=v_{1} \frac{r_{1} \rho_{1} \eta_{2}}{r_{2} \rho_{2} \eta_{1}}=5 \mathrm{MKM} / \mathrm{c}$.
1.338. $d=\sqrt[3]{\frac{18 \operatorname{Re} \eta^{2}}{\left(\rho-\rho_{0}\right) \rho_{0} g}}=5$ мм, где $\rho_{0}$ и $\rho$-плотности глицерина и свинца.
1.339. $t=-\frac{\rho d^{2}}{18 \eta} \ln n=0,20 \mathrm{c}$.
1.340. $v=c \sqrt{\eta(2-\eta)}=0,1 c$, где $c-$ скорость света.
1.341. а) $P=a\left(1+\sqrt{4-3 \beta^{2}}\right)$; б) $P=a\left(\sqrt{1-\beta^{2}}+\sqrt{4-\beta^{2}}\right)$. Здесь $\beta=V / c$.
1.342. $l_{0}=l \sqrt{\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} \vartheta\right) /\left(1-\beta^{2}\right)}=1,08$ м, где $\beta=v / c$.
1.343. а) $\operatorname{tg} \vartheta^{\prime}=\frac{\operatorname{tg} \vartheta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$, отсюда $\vartheta^{\prime}=59^{\circ} ;$ б) $S=S_{0} \sqrt{1-\beta^{2} \cos ^{2} \vartheta}=$ $=3,3 \mathbf{m}^{2}$. Здесь $\beta=v / c$.
1.344. $v=c \sqrt{\left(2-\frac{\Delta t}{t}\right) \frac{\Delta t}{t}}=0,6 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.345. $l_{0}=c \Delta t^{\prime} \sqrt{1-\left(\Delta t / \Delta t^{\prime}\right)^{2}}=4,5 \mathrm{~m}$.
1.346. $s=c \Delta t \sqrt{1-\left(\Delta t_{0} / \Delta t\right)^{2}}=5 \mathrm{~m}$.
1.347. а) $\Delta t_{0}=(l / v) \sqrt{1-(v / c)^{2}}=1,4 \mathrm{mKc} ;$ 6) $l^{\prime}=l \sqrt{1-(v / c)^{2}}=0,42 \mathrm{kM}$,
1.348. $l_{0}=v \Delta t / \sqrt{1-(v / c)^{2}}=17$ м.
1.349. $l_{0}=\sqrt{\Delta x_{1} \Delta x_{2}}=6,0 \mathrm{~m}, v=c \sqrt{1-\Delta x_{1} / \Delta x_{2}}=2,2 \cdot 10^{8} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.350. $v=\frac{2 l_{0} / \Delta t}{1+\left(l_{0} / c \Delta t\right)^{2}}$.
1.351. Частица, двигавшаяся впереди, распалась позже на время $\Delta t=$ $=l \beta / c\left(1-\beta^{2}\right)=20$ мкс, где $\beta=v / c$.
1.352. a) $l_{0}=\frac{x_{A}-x_{B}-v\left(t_{A}-t_{B}\right)}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}$; 6) $t_{A}-t_{B}=\left(1-\sqrt{1-(v / c)^{2}}\right) l_{0} / v$ или $t_{B}-t_{A}=\left(1+\sqrt{1-(v / c)^{2}}\right) l_{0} / v$.
1.353. a) $t(B)=l_{0} / v, \quad t\left(B^{\prime}\right)=\left(l_{0} / v\right) \sqrt{1-(v / c)^{2}} ;$ б) $t(A)=\left(l_{0} / v\right) \sqrt{1-(v / c)^{2}}$, $t\left(A^{\prime}\right)=t_{0} / v$.
i.3E4. С «точки зрения» $К$-часов см. рис. 12.
Рис. 12.
1.355. $\dot{x}=\left(1-\sqrt{1-\beta^{2}}\right) c / \beta$, где $\beta=V / c$.
1.356. Для этого необходимо убедиться в том, что при $\Delta t=t_{2}-t_{i}>0$ и $\Delta t^{\prime}=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}>0$.
1.357. а) 13 нс; б) 4,0 м. Ук а зание. Воспользоваться инвариантностью интервала.
1.358. $v^{\prime}=\frac{\sqrt{\left(v_{x}-V\right)^{2}+v_{y}^{2}\left(1-V^{2} / c^{2}\right)}}{1-v_{x} V / c^{2}}$.
1.359. a) $v=v_{1}+v_{2}=1,25 c ;$; $v=\left(v_{1}+v_{2}\right) /\left(1+v_{1} v_{2} / c^{2}\right)=0,91 c$.
1.360. $l=l_{0}\left(1-\beta^{2}\right) /\left(1+\beta^{2}\right)$, где $\beta=v^{\prime} c$.
1.361. a) $v=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}$; б) $v=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left(v_{1} v_{2} / c\right)^{2}}$.
1.362. $s=\Delta t_{0} \sqrt{\frac{V^{2}+\left(1-\beta^{2}\right) v^{\prime 2}}{\left(1-\beta^{2}\right)\left(1-v^{2} / c^{2}\right)}}$, где $\beta=V / c$.
1.363. $\operatorname{tg} \vartheta^{\prime}=\frac{\sqrt{1-\beta^{2}} \sin \vartheta}{\cos \vartheta-V / v}$, где $\beta=V / c$.
1.364. $\operatorname{tg} \hat{v}=v^{\prime} V / c^{2} \sqrt{1-(V / c)^{2}}$.
1.365. а) $w^{\prime}=w\left(1-\beta^{2}\right)^{3 / 2} /(1-\beta v / c)^{3}$; б) $w^{\prime}=w\left(1-\beta^{2}\right)$. Здесь $\beta=V / c$.
1.366. Воспользуемся связь между ускорением $\omega^{\prime}$ и ускорением в системе отсчета, связанной с Землей:
\[
\omega^{\prime}=\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{-3 / 2} \frac{d v}{d t} .
\]

Эта формула приведена в решении предыдущей задачи (пункт а), где следует положить $V=v$. Проинтегрировав данное уравненне (при $\omega^{\prime}=$ const), получим $v=w^{\prime} t / \sqrt{1+\left(w^{\prime} t / c\right)^{2}}$. Искомый путь $l=\left(\sqrt{1+\left(w^{\prime} t / c\right)^{2}}-1\right) c^{2} / w^{\prime}=0,91$ светового года; $(c-v) / c=1 / 2\left(c / w^{\prime} t\right)^{2}=0,47 \%$.
1.367. Имея в виду, что $v=w^{\prime} t / \sqrt{1+\left(w^{\prime} t / c\right)^{2}}$, получим
\[
\tau_{0}=\int_{0}^{\tau} \frac{d t}{\sqrt{1+\left(\omega^{\prime} t / c\right)^{2}}}=\frac{c}{\omega^{\prime}} \ln \left[\frac{w^{\prime} \tau}{0}+\sqrt{1+\left(\frac{w^{\prime} \tau}{c}\right)^{2}}\right]=3,5 \text { мес }
\]
1.368. $m / m_{0} \approx 1 / \sqrt{2(1-\beta)} \approx 70$, где $\beta=v / c$.
1.369. $v=c \sqrt{\eta(2+\eta)} /(1+\eta)=0,6 c$, где $c$-скорость света. Здесь использовано определение плотности как отношение массы покоя тела к его объему.
1.370. $(c-v) / c=1-\left[1+\left(m_{0} c / p\right)^{2}\right]^{-1 / 2}=0,44 \%$.
1.371. $v=(c / \eta) \sqrt{\eta^{2}-1}=1 / 2 c \sqrt{3}$.
1872. $A=0,42 m_{0} c^{2}$ вместо $0,14 m_{0} c^{2}$.
1.373. $v=1 / 2 c \sqrt{3}=2,6 \cdot 10^{8} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.374. При $\varepsilon \ll 1$ отношение $T / m_{0} c^{2} \leqq 4 / 3 \varepsilon \approx 0,013$.
1.375. $p=\sqrt{T\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)} / c=1,09$ ГэВ/c, где $c$-скорость света.
1.376. $F=(I / e c) \sqrt{T\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)}, P=T I / e$.
1.377. $p=2 n m v^{2} /\left(1-v^{2} / c^{2}\right)$.
1.378. $v=F c t / \sqrt{m_{0}^{2} c^{2}+F^{2} t^{2}}, l=\sqrt{\left(m_{0} c^{2} / F\right)^{2}+c^{2} t^{2}}-m_{0} c^{2} / F$.
1.379. $F=m_{0} c^{2} / a$.
1.380. а) B двух случаях: $F \| v$ и $F \perp v$; б) $\mathbf{F}_{\perp}=m_{0} w / \sqrt{1-\beta^{2}}, \mathbf{F}_{\|}=$ $=m_{0} \mathrm{w} /\left(1-\beta^{2}\right)^{3 / 2}$, где $\beta=v^{\prime} c$.
1.382. $\varepsilon^{\prime}=\varepsilon \sqrt{(1-\beta) /(1+\beta)}$, где $\beta=V / c, V=3 / 5 c$.
1.383. $E^{2}-p^{2} c^{2}=m n_{0}^{2} c^{4}$, где $m_{0}$ – масса покоя частицы.
1.384. a) $\tilde{T}=2 m_{0} c^{2}\left(\sqrt{1+T / 2 m_{0} c^{2}}-1\right)=777 \mathrm{M}
i \mathrm{B}, \tilde{p}=\sqrt{1 / 2 m_{0} T}=940 \mathrm{M} \mathrm{B} / c$;
б) $V=c \sqrt{T /\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)}=2,12 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.385. $M_{0}=\sqrt{2 m_{0}\left(T+2 m_{0} c^{2}\right) /} c, V=c \sqrt{T /\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)}$.
1.386. $T^{\prime}=2 T\left(T+2 m_{0} c^{2}\right) / m m_{0} c^{2}=1,43 \cdot 10^{3} \Gamma
i \mathrm{B}$.
1.387. $E_{1 \text { макс }}=\frac{m_{0}^{2}+m_{1}^{2}-\left(m_{2}+m_{3}\right)^{2}}{2 m_{0}} c^{2}$. Частица $m_{1}^{\prime}$ будет иметь наибольшую энергию в том случае, когда энергия системы двух других частиц $m_{2}$ и $m_{3}$ будет наименьшей, т. е. когда они движутся как единое делое.
1.388. $v / c=\frac{1-\left(m_{i} m_{0}\right)^{2 u / c}}{1+\left(m / m_{0}\right)^{2 u / c}}$. Воспользоваться законом сохранения импульса (подобно решению задачи 1.178) и релятивистской формулой преобразования скорости.
2.1. $m=\rho V \Delta p / p_{0}=30$ г, где $p_{0}$ – нормальное атмосферное давление.
2.2. $p=1 / 2\left(p_{1} T_{2} / T_{1}-\Delta p\right)=0,10$ атм.
2.3. $m_{1} / m_{2}=\left(1-a / M_{2}\right) /\left(a / M_{1}-1\right)=0,50$, где $a=m R T / p V$.
2.4. $\rho=\frac{p_{0}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{R T\left(m_{1} / M_{1}+m_{2} / M_{2}\right)}=1,5 \mathrm{r} / \pi$.
$\checkmark 2.5$. а) $p=\left(v_{1}+v_{2}+v_{3}\right) R T / V=2,0 \mathrm{aTM}$; б) $M=\left(v_{1} M_{1}+v_{2} M_{2}+v_{3} M_{3}\right) /\left(v_{\mathrm{f}}+\right.$ $\left.+v_{2}+v_{3}\right)=36,7$ г/моль.
2.6. $T=T_{0} \eta^{\prime}\left(\eta^{2}-1\right) / \eta\left(\eta^{\prime 2}-1\right)=0,42 \mathrm{kK}$.
2.7. $n=\frac{\ln \eta}{\ln (1+\Delta V / V)}$.
2.8. $p=p_{0} \mathrm{e}^{-C t / V}$.
2.9. $t=(V / \dot{C}) \ln \eta=1,0$ мин.
2.10. $\Delta T=\left(m g+p_{0} \Delta S\right) l / R=0,9 \mathrm{~K}$.
2.11. а) $T_{\text {макс }}=2 / 3\left(p_{0} / R\right) \sqrt{p_{0} / 3 \alpha}$; б) $T_{\text {макс }}=p_{0} / \mathrm{e} \beta R$.
2.12. $p_{\text {мин }}=2 R \sqrt{\alpha T_{0}}$.
2.13. $d T / d h=M g / R=33 \mathrm{mK} / \mathrm{m}$.
2.14. $d T / d h=-M g(n-1) / n R$.
2.15. 0,5 и 2 aтм.
2.16. а) $h=R T / M g=8,0 \mathrm{KM}$; $) h \approx \eta R T / M g=0,08 \mathrm{KM}$,
2.17. $m=\left(1-\mathrm{e}^{-M g h / R T}\right) p_{0} S / g$.
2.18. $h_{C}=\int_{0}^{\infty} h \rho d h / \int_{0}^{\infty} \rho d h=R T / M g$.
2.19. а) $p=p_{0}(1-a h)^{n}, h<1 / a$; б) $p=p_{0} /(1+a h)^{n}$. Здесь $n=M g / a R T_{0}$.
2.20. $p=p_{0} \mathrm{e}^{M \omega^{2} r^{2} / 2 R T}$.
2.21. $p_{\text {ид }}=\rho R T / M=280$ атм; $p=\rho R T /(M-\rho b)-a^{2} / M^{2}=80$ атм.
2.22. a) $T=a(V-b)(1+\eta) / R V(\eta V+b)=133 \mathrm{~K} ; \quad$ б) $\quad p=R T /(V-b)-$ $-a / V^{2}=9,9$ атм.
2.23. $a=V^{2}\left(T_{1} p_{2}-T_{2} p_{1}\right) /\left(T_{2}-T_{1}\right)=185$ атм.л12 моль $^{2} ; \quad b=V-R \times$ $\times\left(T_{2}-T_{1}\right) /\left(p_{2}-p_{1}\right)=0,042 \pi /$ моль.
2.24. $x=V^{2}(V-b)^{2} /\left[R T V^{3}-2 a(V-b)^{2}\right]$.
2.25. $T>a / b R$.
2.26. $U=p V /(\gamma-1)=10$ МДж.
2.27. $\Delta T=1 / 2 M v^{2}(\gamma-1) / R$.
2.28. $T=T_{1} T_{2}\left(p_{1} V_{i}+p_{2} V_{2}\right) /\left(p_{1} V_{1} T_{2}+p_{2} V_{2} T_{1}\right) ; \quad p=\left(p_{1} V_{i}+p_{2} V_{2}\right) /\left(V_{i}+V_{2}\right)$.
2.29. $\Delta U=-p_{0} V \Delta T / T_{0}(\gamma-1)=-0,25$ кДж, $Q^{\prime}=-\Delta U$,
2.30. $Q=A \psi(\gamma-1)=7$ Дж.
2.31. $A=R \Delta T=00,60$ кДж, $\Delta U=Q-R \Delta T=1,00$ кДж; $\gamma=Q /(Q-R \Delta T)=$ $=1,6$.
2.32. $Q=v R T_{0}(1-1 / n)=2,5$ кДж.
2.33. $\gamma=\frac{v_{1} \gamma_{1}\left(\gamma_{2}-1\right)+v_{2} \gamma_{2}\left(\gamma_{1}-1\right)}{\dot{v}_{1}\left(\gamma_{2}-1\right)+v_{2}\left(\gamma_{1}-1\right)}=1,33$.
2.34. $c_{V}=0,42$ Дж/( $\left.\mathrm{r} \cdot \mathrm{K}\right), c_{p}=0,65$ Дж/( $\left.\mathrm{r} \cdot \mathrm{K}\right)$.
2.35. $A=R T(n-1-\ln n)$.
2.36. $A^{\prime}=p_{0} V_{0} \ln \left[(\eta+1)^{2} / 4 \eta\right]$.
2.37. $\gamma=1+(n-1) /\left(Q / v R T_{0}-\ln n\right)=1,4$.
2.38. См. рис. 13 , где $V$-изохорический процесс, $p$-иэобарический, $T$ – изотермический, $S$ – адиабатический.
Рис. 13.
2.39. а) $T=T_{0} \eta^{(\gamma-1) / \gamma}=0,56 \mathrm{kK} ;$
б) $A^{\prime}=R T_{0}\left(\eta^{(\gamma-1) / \gamma}-1\right) /(\gamma-1)=$ $=1,6$ кДж.
2.40. При адиабатическом сжатии фольше в $n=\left(\eta^{\gamma-1}-1\right) /(\gamma-1) \ln \eta=$ $=1,4$ раза.
2.41. $T=T_{0}\left[(\eta+1)^{2 / 4}\right]^{(\gamma-1) / 2}$.
2.42. $v=\sqrt{2 \gamma R T /(\gamma-1) M}=3,3 \mathrm{kM} / \mathrm{c}$.
2.43. $Q=R \Delta T(2-\gamma) /(\gamma-1)$.
2.45. $C_{n}=\dot{R}(n-\gamma) /(n-1)(\gamma-1) ; C_{n}<0$ при $1<n<\gamma$.
2.46. $C=R(n-\gamma) /(n-1)(\gamma-1)=-4,2$ Дж/(К. моль), где $n=\ln \alpha / \ln \beta$.
2.47. а) $Q=R(n-\gamma) \Delta T /(n-1)(\gamma-1)=0,11 \mathrm{\kappa}(ж ; 6) ~ A=-R \Delta T /(n-!)=$ $=0,43$ кДж.
– 2.48. а) $\Delta U=\alpha V_{0}^{2}\left(\eta^{2}-1\right) /(\gamma-1)$; б) $A=1 / 2 \alpha V_{0}^{2}\left(\eta^{2}-1\right)$;
B) $C=1 / 2 R \times$ $\times(\gamma+1) i(\gamma-1)$.
2.49. a) $C=-R /(\gamma-1)$;
б) $T V^{(\gamma-1) / 2}=$ const;
в) $\quad A=2 R T_{0} \times$ $\times\left(1-\eta^{(\gamma-1) / 2}\right) /\left(\gamma^{\prime}-1\right)$.
2.50. a) $A=(1-\alpha) R \Delta T$;
б) $C=R /(\gamma-1)+R(1-\alpha) ; \quad C<0$ при $\quad \&>$ $>\gamma /(\gamma-1)$.
2.51. a) $A=\Delta U(\gamma-1) / \alpha ; Q=\Delta U[1+(\gamma-1) / \alpha] ; \sigma) C=R /(\gamma-1)+R / \alpha$.
2.52. а) $C=C_{V}+R / \alpha V$; б) $C=C_{V}+R /(1+\alpha V)$.
2.53. a) $C=\gamma R /(\gamma-1)+\alpha R / p_{0} V ; \quad$ б) $\quad \Delta U=p_{0}\left(V_{2}-V_{1}\right) /(\gamma-1) ; \quad A=$ $=p_{0}\left(V_{2}-V_{1}\right)+\alpha \ln \left(V_{2} / V_{1}\right) ; Q=\gamma p_{0}\left(V_{2}-V_{1}\right) /(\gamma-1)+\alpha \ln \left(V_{2} / V_{1}\right)$.
2.54. а) $C=C_{p}+R T_{0} / \alpha V$; б) $Q=\alpha C_{p}\left(V_{2}-V_{1}\right)+R T_{0} \ln \left(V_{2} / V_{1}\right)$.
2.55. a) $V \mathrm{e}^{-\alpha T / R}=$ const; б) $T \mathrm{e}^{R / \beta V}=$ const; в) $V-\alpha T=$ const.
2.56. а) $A=\alpha \ln \eta-R T_{0}(\eta-1) /(\gamma-1)$; б) $p V^{\gamma} \mathrm{e}^{\alpha(\gamma-1) / p V}=$ const.
2.57. $A=R T \ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}+a\left(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}}\right)$, где $a$ и $b-$ постоянны Ван-дерВаальса.
2.58. а) $\Delta U=a / V_{i}-a / V_{2}=0,11$ кДж; б) $Q=R T \ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}=3,8$ кДж,
2.59. a) $T(V-b)^{R / C_{V}}=$ const;
б) $C_{p}-C_{V}=\frac{R}{1-2 a(V-b)^{2} / R T V^{3}}$.
2.60. $\Delta T=-\frac{v a V_{2}(\gamma-1)}{R V_{1}\left(V_{1}+V_{2}\right)}=-3,0 \mathrm{~K}$.
2.61. $Q=v^{2} a\left(V_{2}-V_{1}\right) / V_{1} V_{2}=0,33$ кДж.
2.62. $n=p / k T=1 \cdot 105 \mathrm{cM}^{-3} ;\langle l\rangle=0,2 \mathrm{mM}$.
2.63. $p=(1+\eta) m R T / M V=1,9$ атм; где $M$-масса моля азота $\mathrm{N}_{2}$.
2.64. $n=\left(p / k T-\rho / m_{2}\right) /\left(1-m_{1} / m_{2}\right)=1,6 \cdot 10^{19} \mathrm{cм}^{-3}$, где $m_{1}$ и $m_{2}-$ массы молекул гелия и азота.
2.65. $p=2 n m v^{2} \cos ^{2} \vartheta=1,0$ атм, где $m$-масса молекулы азота.
2.66. $i=2 /\left(\rho v^{2} / p-1\right)=5$.
2.67. $v / v_{\mathrm{kB}}=\sqrt{(i+2) / 3 i} ;$ a) 0,75 ; б) 0,68 .
2.68. $\langle\varepsilon\rangle=\left\{\begin{array}{l}(3 N-3) k T \text { для объемных молекул, } \\ (3 N-5 / 2) k T \text { для линейных молекул. }\end{array}\right.$

Соответственно $1 / 2(N-1)$ и $1 /(2 N-5 / 3)$.
2.69. а) $C_{V}=7 / 2 R, \quad \gamma=9 / 7 ; \quad$ б) $C_{V}=\left(3 N-\frac{5}{2}\right) R, \quad \gamma=(6 N-3) /(6 N-5)$;
в) $C_{V}=3(\mathrm{~N}-1) R, \gamma=(\mathrm{N}-2 / 3) /(N-1)$.
2.70. $A / Q=\left\{\begin{array}{l}1 /(3 N-2) \text { для объемных молекул, } \\ 1 /(3 N-3 / 2) \text { для линейных молекул. }\end{array}\right.$

Для одноатомных молекул $A / Q=2 / 5$.
2.71. $M=R /\left(c_{p}-c_{V}\right)=32$ г/моль; $i=2 /\left(c_{p} / c_{V}-1\right)=5$.
.2.72。 а) $i=2\left(C_{p} / R-1\right)=5$; б) $i=2[C / R+1 /(n-1)]=3$, где $n=1 / 2$ – показатель политропы.
2.73. $\gamma=\left(5 v_{i}+7 v_{2}\right) /\left(3 v_{i}+5 v_{2}\right)$.
2.74. Увеличится на $\Delta p / p=M v^{2} / i R T=1,2 \%$, где $i=5$.
2.75. a) $v_{\mathrm{KB}}=\sqrt{3 R T / M}=0,47 \mathrm{~km} / \mathrm{c},\langle\varepsilon\rangle=3 / 2 k T=6,0 \cdot 10^{-21}$ Дж; б) $v_{\mathrm{KB}}=$ $=3 \sqrt{2 k T} / \pi d^{3}=0,15 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
2.76. В $\eta^{i}=7,6$ раза.
2.77. $Q=1 / 2\left(\eta^{2}-1\right) \mathrm{imRT} / M=10$ кДж.
2.78. $\omega_{\text {кв }}=\sqrt{k T / I}=1,4 \cdot 10^{9}$ рад/с.
2.79. $\langle\varepsilon\rangle_{\text {вр }}=k T_{0} \eta^{2 / i}=0,7 \cdot 10^{-20}$ Дж.
2.80. Уменьшится в $\eta^{(i+1) / i}$ раз, где $i=5$.
2.81. Уменьшилась в $\eta^{(i-1) /(i-2)}=2,5$ раза.
2.82. $C=1 / 2 R(i+1)=3 R$.
2.83. $v_{\mathrm{вep}}=\sqrt{2 p / \rho}=0,45 \mathrm{KM} / \mathrm{c},\langle v\rangle=0,51 \mathrm{KM} / \mathrm{c}, v_{\mathrm{kB}}=0,55 \mathrm{KM} / \mathrm{c}$.
2.84. a) $\delta N / N=(8 / \sqrt{\pi}) \mathrm{e}^{-1} \delta \eta=1,66 \%$; $) \delta N / N=12 \sqrt{3 / 2 \pi} \mathrm{e}^{-3 / 2} \delta \eta=1,85 \%$.
2.85. а) $T=\frac{m(\Delta v)^{2}}{k(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}=380 \mathrm{~K}$; б) $T=\frac{m v^{2}}{2 k}=340 \mathrm{~K}$.
2.86. a) $T=\frac{m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right)}{4 k \ln \left(v_{2} / v_{1}\right)}=330 \mathrm{~K}$; б) $v=\sqrt{\frac{3 k T_{0} \frac{\eta \ln \eta}{m}}{\eta-1}}$.
2.87. $T=\frac{m_{\mathrm{N}}(\Delta v)^{2}}{2 k\left(1-\sqrt{m_{\mathrm{N}} / m_{\mathrm{O}}}\right)^{2}}=0,37 \mathrm{KK}$.
2.88. $v=\sqrt{\frac{3 k T \ln \left(m_{2} / m_{1}\right)}{m_{2}-m_{1}}}=1,61 \mathrm{KM} / \mathrm{c}$.
2.89. $T=1 / 3 m v^{2} / k$.
2.90: $d N / N=\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} \mathrm{e}^{-m v^{2} / 2 k T 2 \pi v_{\perp} d v_{\perp} d v_{x}}$.
2.91. $\left\langle v_{x}\right\rangle=0$, $\left\langle\left|v_{x}\right|\right\rangle=\sqrt{2 k T / \pi m}$.
2.92. $\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle=k T / m$.
2.93. $v=1 / 4 n\langle v\rangle$, где $\langle v\rangle=\sqrt{8 k T / \pi m}$.
2.94. $p=\int_{0}^{\infty} 2 m v_{x} \cdot v_{x} d n\left(v_{x}\right)=n k T$, где $d n\left(v_{x}\right)=(m / 2 \pi k T)^{1 / 2} n \cdot \mathrm{e}^{-m v_{x}^{2} / 2 k T} d v_{x}$.
2.95. $\langle 1 / v\rangle=\sqrt{2 m / \pi k T}=4 / \pi\langle v\rangle$.
2.96. $d N / N=2 \pi(\pi k T)^{-3 / 2} \mathrm{e}^{-\varepsilon / k T} \sqrt{\varepsilon} d \varepsilon ; \varepsilon_{\text {вер }}=1 / 2 k T$; нет.
2.97. $\delta N / N=3 \sqrt{6 / \pi} \mathrm{e}^{-3 / 2} \delta \eta=0,9 \%$.
2.98. Искомая величина
\[
\frac{\Delta N}{N}=\frac{2 \pi}{(\pi k T)^{3 / 2}} \int_{\varepsilon_{0}}^{\infty} \sqrt{\varepsilon} \mathrm{e}^{-\varepsilon / k T} d \varepsilon
\]

Главную роль в эначении интеграла играют наименьшие значения $\varepsilon$, а именно $\varepsilon \approx \varepsilon_{0}$. Медленно изменяющийся множитель $\sqrt{\varepsilon}$ можно вынести из-под знака интеграла, взяв его значение при $\varepsilon=\varepsilon_{0}$. Тогда
\[
\Delta N / N=2 \sqrt{\varepsilon_{0} i \pi k T} \mathrm{e}^{-\varepsilon_{0} / k T} .
\]
2.99. а) $\mathrm{o}_{\mathrm{Bep}}=\sqrt{3 k T / m}$;
б) $\varepsilon_{\beta e p}=k T$.
2.100. $d v=\int_{v=0}^{\infty} d n(d \Omega / 4 \pi) v \cos \vartheta=n(2 k T / \pi m)^{1 / 2} \sin \vartheta \cos \vartheta d \vartheta$.
2.101. $d v=\int_{\theta=0}^{\pi / 2} d n(d \Omega / 4 \pi) v \cos \vartheta=\pi(m / 2 \pi k T)^{3 / 2} \mathrm{e}^{-m v^{2} / 2 k T} v^{3} d v$.
2.102. $F=(k T / \Delta h) \ln \eta=0,9 \cdot 10^{-19} \mathrm{H}$.
2.103. $N_{A}=\left(6 R T / \pi d^{3} \Delta \rho g h\right) \ln \eta \approx 6.4 \cdot 10^{25}$ моль $^{-1}$.
2.104. $\eta / \eta_{0}=\mathrm{e}^{\left(M_{2}-M_{1}\right) g h / R 7}=1,39$.
2.105. $h=\frac{k T \ln \left(n_{2} / n_{1}\right)}{\left(m_{2}-m_{1}\right) g}$.
2.106. Не изменится.
2.107. $\langle U\rangle=k T$. Не зависнт.
2.108. $w \approx \eta R T / M l \approx 70 \mathrm{~g}$.
2.109. $M=\frac{2 R T_{\rho} \ln \eta}{\left(\rho-\rho_{0}\right)\left(r_{3}^{2}-r_{1}\right) \omega^{2}}$.
2.110. $\omega=\sqrt{\left(2 R T / M l^{2}\right) \ln \eta}=280$ рад’с.
2.111. a) $d N=n_{0} \mathrm{e}^{-a r^{2} / k T} 4 \pi r^{2} d r$;
б) $r_{\text {нер }}=\sqrt{k T / a}$;
в) $d N / N=(a / \pi k T)^{3 / 2} \mathrm{e}^{-\alpha r^{2} / k T} 4 \pi r^{2} d r$; г) увелииится в $\eta^{3 / 2}$ раза.
2.113. Во втором случае.
2.114. а) $\eta=1-n^{1-\gamma}=0,25$;
б) $\eta=1-n^{1 / \gamma-1}=0,18$.
2.115. $\varepsilon=(1-\eta) / \eta=9$.
2.116. $\eta=1-2 T_{3}\left(T_{1}+T_{2}\right)$.
2.117. $\eta=1-n^{1-\gamma}=60 \%$.
2.118. $\eta=1-n^{-(1-1 / \gamma)}$.
2.119. $\eta=1-(n+\gamma) /(1+\gamma n)$.
2.120. В обонх случаях $\eta=1-\frac{\ln n}{n-1}$.
2.121. В обонх случаях $\eta=1-\frac{n-1}{n \ln n}$.
2.122. $\eta=1-\frac{n-1}{n \ln n}$.
2.123. a) $\eta=1-\gamma \frac{n-1}{n^{\gamma}-1}$; б) $\eta=1-\frac{n^{\gamma}-1}{\gamma(n-1) n^{\gamma-1}}$.
2.124. a) $\eta=1-\frac{\gamma(n-1)}{n-1+(\gamma-1) n \ln n}$;
б) $\eta=1-\frac{n-1+(\gamma-1) \ln n}{\gamma(n-1)}$.
2.125. $\eta=\frac{(\tau-1) \ln v}{\tau \ln v+(\tau-1) /(\gamma-1)}$.
2.126. $\eta=\frac{(\tau-1) \ln n}{\tau \ln n+(\tau-1) \gamma /(\gamma-1)}$.
2.127. $\eta=1-2 \frac{\gamma+\sqrt{\tau}}{(1+\gamma)(1+\sqrt{\tau})}$.
2.128. Неравеиство $\int \frac{\delta Q_{1}}{T_{1}}-\int \frac{\delta Q_{2}^{\prime}}{T_{2}} \leqslant$ $\leqslant 0$ только усилится, если эаменить $T_{1}$ на $T_{\text {макс }}$ и $T_{2}$ – на $T_{\text {мин }}$. Тогда $Q_{1} / T_{\text {макс }}-$ $-Q_{2}^{\prime} / T_{\text {мин }}<0$. Отсюда
$\frac{Q_{1}-Q_{8}^{\prime}}{Q_{1}}<\frac{T_{\text {макс }}-T_{\text {мин }}}{T_{\text {макс }}}$, илн $\eta<\eta_{\text {Карно }}$.
Pис. 14.
2.129. По теореме Қарно $\delta A / \delta Q_{1}=d T / T$. Найдем выражения для $\delta A$ и $\delta Q_{1}$. Для бесконечно малого цикла Қарно (его можно считать параллелограммом 1234, показанным на рнс. 14)
\[
\begin{array}{c}
\delta A=d p \cdot d V=\left(\partial p_{\prime}^{\prime} \partial T\right)_{V} d T \cdot d V, \\
\delta Q_{\mathbf{1}}=d U_{12}+p d V=\left[\left(\partial U_{\prime}^{\prime} \partial V\right)_{T}+p\right] d V .
\end{array}
\]

Остается подставить последние два выражения в первое.
2.130. а) $\Delta S=\frac{R \ln n}{\gamma-1}=19$ Дж/(К.моль); б) $\Delta S=\frac{\gamma R \ln n}{\gamma-1}=25$ Дж/(К$\cdot$моль).
2.131. $n=\mathrm{e}^{\Delta S /
u R}=2,0$.
2.132. $\Delta S=v R \ln n=20$ Дж/K.
2.133. $\Delta S=-\frac{m}{M} \frac{\gamma R}{\gamma-1} \ln n=-10$ Дж/К.
2.134. $\Delta S=(\gamma \ln \alpha-\ln \beta) v R /(\gamma-1)=-11$ Дж/K.
2.135. $S_{2}-S_{1}=v R\left(\ln \alpha-\frac{\ln \beta}{\gamma-1}\right)=0,5$ Дж $/ \mathrm{K}$.
2.136. $\Delta S=\frac{(n-\gamma) R}{(n-1)(\gamma-1)} \ln \tau$.
2.137. $\Delta S=\frac{v(\gamma+1) R}{\gamma-1} \ln \alpha=46$ Дж $/$ К.
2.138. $V_{m}=\gamma p_{0} / \alpha(1+\gamma)$.
2.139. $T=T_{0}+(R / a) \ln \left(V / V_{0}\right)$.
2.140. $\Delta S=R \ln \left[\left(V_{2}-b\right) /\left(V_{1}-b\right)\right]$.
2.141. $\Delta S=C_{V} \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)+R \ln \left[\left(V_{2}-b\right) /\left(V_{1}-b\right)\right]$.
2.142. $S=a T^{3} / 3$.
2.143. $\Delta S=m\left[a \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)+b\left(T_{2}-T_{1}\right)\right]=2,0$ кДж $/ \mathrm{K}$.
2.144. $C=S / n ; \quad C<0$ при $n<0$.
2.145. $T=T_{0} \mathrm{e}^{\left(S-S_{0}\right) / C}$, см. рис. 15 .
2.146. а) $C=-\alpha / T$; б) $Q=\alpha \ln \left(T_{1} / T_{2}\right)$; в) $A=\alpha \ln \left(T_{1} / T_{2}\right)+C_{V}\left(T_{1}-T_{2}\right)$.
2.147. а) $\eta=(n-1) / 2 n$; б) $\eta=(n-1) /(n+1)$.
2.148. $\Delta S=v R \ln n=20$ Дж/K.
2.149. $\Delta U=\left(2^{-1}-1\right) R T_{0} /(\gamma-1), \Delta S=R \ln 2$.
2.150. После быстрого расширения давление будет больше.
2.151. $\Delta S=v_{1} R \ln (1+n)+v_{2} R \ln (1+1 / n)=$ $=5,1$ Дж/K.
2.152. $\Delta S=m_{1} c_{1} \ln \left(T / T_{1}\right)+m_{2} c_{2} \ln \left(T / T_{2}\right)=$ $=4,4$ Дж/К, где $T=\left(m_{1} c_{1} T_{1}+m_{2} c_{2} T_{2}\right) /\left(m_{1} c_{1}+m_{2} c_{2}\right)$, $c_{1}$ и $c_{2}$ – удельные теңлоемкости меди и воды.

Рис. 15.
2.153. $\Delta S=C_{V} \ln \frac{\left(T_{1}+T_{2}\right)^{2}}{4 T_{1} T_{2}}>0$.
2.154. а) $P=1 / 2^{N}$; б) $N=\frac{\lg (t / \tau)}{\lg 2} \approx 80$, где $\tau \sim 10^{-}$c – среднее время пролета атомом гелия расстояния порядка размера сосуда.
2.155. $\Omega_{\text {вер }}=N ! /[(N / 2) !]^{2}=252 . \quad P_{N / 2}=\Omega_{\text {вер }} / 2^{N}=24,6 \%$.
2.156. $P_{n}=\frac{N !}{n !(N-n) ! 2^{N}} ;$ соответственно $1 / 32,5 / 32,20 / 32,20 / 32,5 / 32,1 / 32$.
2.157. $P_{n}=\frac{N !}{n !(N-n) !} p^{n}(1-p)^{N-n}$, где $p=V / V_{0}$.
2.158. $d=\sqrt[3]{6 / \pi n_{0} \eta^{2}}=0,4$ мкм, где $n_{0}$-число Лошмидта; $\langle n\rangle=1 / \eta^{2}=$ $=1,0 \cdot 10^{6}$.
2.159. Увеличится в $\Omega / \Omega_{0}=\left(1+\Delta T / T_{0}\right)^{i N_{A} / 2}=10^{1,31 \cdot 10^{21}}$ раз.
2.160. а) $\Delta p=4 \alpha / d=13$ атм; б) $\Delta p=8 \alpha / d=1,2 \cdot 10^{-3}$ атм.
2.161. $h=4 \alpha / \rho g d=21 \mathrm{~cm}$.
2.162. $\alpha=1 / 8 p_{0} d\left(1-\eta^{3} / n\right) /\left(\eta^{2}-1\right)$.
2.163. $p=p_{0}+\rho g h+4 \alpha / d=2,2$ атм.
2.164. $h=\left[p_{0}\left(n^{3}-1\right)+4 \alpha\left(n^{2}-1\right) / d\right] / \rho g=5$ м. $\quad \Delta h=h_{2}, h_{2}$
2.165. $\Delta h=4 \alpha|\cos \vartheta|\left(d_{2}-d_{1}\right) / d_{1} d_{2} \rho g=11 \mathrm{mM}$.
2.166. $R=2 \alpha / \rho g h=0,6$ мм.
2.167. $x=l /\left(1+p_{0} d / 4 \alpha\right)=1,4 \mathrm{~cm}$.
2.168. $\alpha=\left[\rho g h+p_{0} l /(l-h)\right] d / 4 \cos \vartheta$.
2.169. $h=4 \alpha / \rho g\left(d_{2}-d_{1}\right)=6 \mathrm{~cm}$.
2.170. $h=2 \alpha \cos \vartheta / \rho g x \delta \varphi$.
2.171. $V_{i}=1 / 4 \pi d^{2} \sqrt{\frac{2 g l-4 \alpha(n-1) / \rho d}{n^{4}-1}}=0,9 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{c}$.
2.172. $R_{2}-R_{1} \approx 1 / 8 \rho g h^{3} / \alpha=0,20 \mathrm{mM}$.
2.173. $m \approx 2 \pi R^{2} \alpha|\cos \vartheta|\left(n^{2}-1\right) / g h=0,7 \mathrm{kr}$.
2.174. $F \approx 2 \alpha m / \rho h^{2}=1,0 \mathrm{H}$.
2.175. $F=2 \pi R^{2} \alpha / h=0,6 \mathrm{kH}$.
2.176. $F=2 \alpha^{2} l / \rho g^{2}=13 \mathrm{H}$.
2.177. $t=2 l \eta R^{4} / \alpha r^{4}$.
2.178. $Q=2 \pi \alpha^{2} / \rho g$.
2.179. а) $F=\pi \alpha d^{2}=3$ мкДж; б) $F=2 \pi \alpha d^{2}=10$ мкДж.
2.180. $\Delta F=2 \pi \alpha d^{2}\left(2^{-1 / 3}-1\right)=-1,5$ мкДж.
2.181. $A^{\prime}=F+p V \ln \left(p / p_{0}\right)$, где $F=8 \pi R^{2} \alpha, p=p_{0}+4 \alpha / R, V=4 / 3 \pi R^{3}$.
2.182. $C-C_{p}=1 / 2 R /\left(1+3 / 8 p_{0} r / \alpha\right)$.
2.184. а) $\Delta S=-2(d \alpha / d T) \Delta \sigma$; б) $\Delta U=2(\alpha-T \cdot d \alpha / d T) \Delta \sigma .=\frac{4 \alpha[\cos \theta]\left(d_{2}\right.}{d_{2} \cdot d_{1} \cdot g \beta}$
2.185. $A=\Delta m R T / M=1,2$ Дж.
2.186. $m_{\mathrm{n}}=\left(V-m V_{\text {ж }}^{\prime}\right) /\left(V_{\text {п }}^{\prime}-V_{\text {ж }}^{\prime}\right)=20 \mathrm{r}, V_{\text {п }}=1,0$ л. Здесь $V_{\text {ж }}^{\prime}-$ удельный объем воды.
2.187. $m_{ж} \approx M p_{0}\left(V_{0}-V\right) / R T=2,0$ г, где $p_{0}$ – нормальное атмосферное давление.
2.188. $\eta=(n-1) /(N-1) ; \eta=1 /(N+1)$.
2.189. $Q \approx m(q+R T / M)=2,4$ МДж, где $q$-удельная теплота парообразования. $\Delta T=100 \mathrm{~K}, q$-удельная теплота парообразования воды, $T$-ее температура кипеиия.
2.191. $A=m c\left(T-T_{0}\right) R T / q M=25$ Дж, где $c$ – удельная теплоемкость воды, $T$ – начальная температура пара, равная температуре кипения воды (это видно из условия), $q$-удельная теплота конденсации пара.
2.192. $d \approx 4 \alpha M / \eta \rho R T=0,2$ мкм, где $\rho$ – плотность воды.
2.193. $\mu=\eta \bar{p}_{0} \sqrt{M / 2 \pi R T}=0,35 \mathrm{r} /\left(\mathrm{c} \cdot \mathrm{cм}^{2}\right)$, где $p_{0}$ – нормальное атмосферное давление.
2.194. $p=\mu \sqrt{2 \pi R T / M}=0,9$ нПа.
2.195. $\Delta p=a / V^{2} M=1,7 \cdot 10^{4}$ атм.
2.196. $p_{i} \approx \rho q$. Приблизительно $2 \cdot 10^{4}$ атм.
2.198. $a={ }^{27} / 64 R^{2} T_{\mathrm{кp}}^{2} / p_{\text {кр }}=3,6$ атм $\cdot \pi^{2} /$ моль $^{2}, b=1 / 8 R T_{\text {кр }} / p_{\text {кр }}=0,043 \pi /$ моль. $10^{*}$
2.199. $V_{\mathrm{\kappa p}}^{\prime}=3 / 8 R T_{\mathrm{\kappa p}} / M p_{\mathrm{\kappa p}}=4,7 \mathrm{~cm}^{3} / \Gamma$.
2.200. $\left(\pi+3 / v^{2}\right)(3 v-1)=8 \tau, \quad \tau=1,5$.
2.201. а) $V_{\text {макс }}=3 b m / M=5,0 \mathrm{\pi}$; б) $p_{\text {мокс }}=a / 27 b^{2}=230$ атм.
2.202. $T_{\mathrm{\kappa p}}=8 / 2{ }_{7} a / b R=0,30 \mathrm{\kappa K}, \rho_{\text {кр }}=1 / 3 M / b=0,34 \Gamma / \mathrm{cн}^{3}$.
2.203. $\eta=8 / 3 M p_{\text {кр }} / \rho R T_{\text {кр }}=0,25$, где $\rho-$ плотность эфира при комнатной температуре.
2.204. Применим уравнение (2.4д) к обратимому изотермнческому циклу $1-2-3-4-5-3-1$ :
\[
T \oint d S=\oint d U+\oint p d V .
\]

Так как первье два интеграла равны нулю, то и $\oint p d V=0$. Последиее может быть только при равенстве площадей $I$ и $I I$.

Заметим, что эти рассуждения не применимы, например, к циклу $1-2-3-1$. Он необратнм, ибо включает совершаемый в точке 3 необратимый переход из однофазного состояния в двухфазное.
2.205. $\eta=c|t| / q=0,25$, где $q$-удельная теплота плавления льда; при $t=-80^{\circ} \mathrm{C}$.
2.206. $\Delta T=-\left(T \Delta V^{\prime} / q\right) \Delta p=-7,5$ мK, где $q$ – удельная теплота плавления льда.
2.207. $V_{\text {нп }}^{\prime} \approx q \Delta T / T \Delta p=1,7 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{\kappa г}, q$ – удельная теплота парообразования, $T=373 \mathrm{~K}$.
2.208. $p_{\text {нп }} \approx p_{0}\left(1+q M \Delta T / R T^{2}\right)=1,04$ атм, где $q$ – удельная теплота парообразования, $p_{0}$ – нормальное атмосферное давление, $\Delta T=1,1 \mathrm{~K}$.
2.209. $\Delta m / m=(q M / R T-1) \Delta T / T=5 \%$.
2.210. $p=p_{0} \exp \left[\frac{q M}{R}\left(\frac{1}{T_{0}}-\frac{1}{T}\right)\right]$. Эти упроцения допустимы для не слишком широкого интервала температур, значительно меньших критической.
2.211. $\eta \approx c p T \Delta V^{\prime} / q^{2}=0,03$, где $c$ – удельная теплоемкость льда, $T \approx 273 \mathrm{~K}$, $q$-уде.тьная теплота плавления.
2.212. а) $216 \mathrm{~K}, 5,1$ атм; б) соответственно $0,78,0,57$ и $0,21 \mathrm{k}$ Д $/ \mathrm{r}$.
2.213. $\Delta S \approx m\left[c \operatorname{lin}\left(T_{2} / T_{1}\right)+q / T_{2}+R / M\right]=7,6 \mathrm{\kappa Дж/ \textrm {K }}$.
2.214. $\Delta s \approx q_{1 л} / T_{1}+c \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)+q_{п з p} / T_{2}+R / M=9,0$ Дж/(г.К).
2.215. $\Delta S=m c \ln \left(T / T_{1}\right)=-10$ Дж/K, где $c$-удельная теплоемкость меди, $T=273$ К (при данных условиях лед растает частично).
2.216. а) При $m_{2} c_{2} t_{2}<m_{1} q$ лед растает не весь и
\[
\Delta S=m_{2} c_{2}\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}-1-\ln \frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=9,2 \text { Дж/K; }
\]
б) при $m_{2} c_{2} t_{2}>m_{1} q$ лед растает весь и
\[
\Delta S=\frac{m_{1} q}{T_{1}}+c_{2}\left(m_{1} \ln \frac{T}{T_{1}}-m_{2} \ln \frac{T_{2}}{T}\right)=18 \text { Дж } / \mathrm{K},
\]

где $T=\frac{m_{1} T_{1}+m_{2} T_{2}-m_{1} q / c_{2}}{m_{1}+m_{2}}$.
2.217. $\Delta S=m q\left(\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}\right)+m c\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}-1-1 \Pi \frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=0,48$ Дж $/ \mathrm{K}$.
2.218. $C=C_{p}-q M / T=-74$ Дж $/(\mathrm{K} \cdot$ моль $)$, где $C_{p}=R \gamma /(\gamma-1)$.
2.219. $\Delta S=q M / T_{2}+C_{p} \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)$.
2.220. а) $\eta \approx 0,37$; б) $\eta \approx 0,23$.
2.221. $\lambda=\Delta l / 1 п \eta$.
2.222. а) $P=\mathrm{e}^{-\alpha t}$; б) $\langle t\rangle=1 / \alpha$.
2.223. а) $\lambda=0,06 \mathrm{MKM}, \tau=0,13 \mathrm{нc}$;) $\lambda=6 \mathrm{MM}, \tau=3,8$ ч.
2.224. В 18 раз.
2.225. $\lambda=\left(2 \pi N_{A} / 3 b\right)^{2 / 3}\left(k T_{0} / \sqrt{2} \pi p_{0}\right)=84 \mathrm{нм}$.
2.226. $v=\pi d^{2} p_{0} N_{A} \sqrt{2 \gamma / M R T_{0}}=5,5$ ГГц.
2.227. а) $0,7 \Pi а$; б) $2 \cdot 10^{14} \mathrm{~cm}^{-3}, 0,2$ мкм.
2.228. а) $v=\sqrt{2} \pi d^{2} n\langle v\rangle=0,74 \cdot 10^{10} \mathrm{c}^{-1}$;
б) $v=1 / 2 \sqrt{2} \pi d^{2} n^{2}\langle v\rangle=1,0 \times$ $\times 10^{29} \mathrm{c}^{-1} \cdot \mathrm{cm}^{-3}$, где $n=p_{0} / k T_{0},\langle v\rangle=\sqrt{8 R T / \pi M}$.
2.229. а) $\lambda=\mathrm{const}, \quad v \sim \sqrt{T}$; б) $\lambda \sim T, \quad v \sim 1 / \sqrt{T}$.
2.230. а) $\lambda=$ const, $v$ увеличится в $\sqrt{n}$ раз; б) $\lambda$ уменьшится в $n$ раз $v$ увеличится в $n$ раз.
2.231. а) $\lambda \sim V, v \sim V^{-6 / 5}$; б) $\lambda \sim p^{-5 / 7}, v \sim p^{6 / 7}$; в) $\lambda \sim T^{-5 / 2}, v \sim T^{3}$.
2.232. а) $\lambda \sim V, v \sim V^{-(n+1) / 4}$;) $\lambda \sim p^{-1 / n}, \quad v \sim p^{(n+1) / 2 n}$; в) $\lambda \sim$ $\sim T^{1 /(1-n)}, v \sim T^{(n+1) / 2(n-1)}$.
2.233. а) $C=1 / 4 R(1+2 i)=23 \quad$ Дж $/(\mathrm{K} \cdot$ моль); б) $\quad C=1 / 2 R(i+2)=$ $=29$ Дж/(K$\cdot$моль).
2.234. $n=n_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau}$, где $\tau=4 V / S\langle v\rangle,\langle v\rangle=\sqrt{8 R T / \pi M}$.
2.235. Увеличится в $(1+\eta) /(1+\sqrt{\eta})$ раз.
2.236. Увеличилось в $\alpha^{3} / \beta=2,0$ раза.
2.237. а) $D$ увеличится в $n$ раз, $\eta=$ const; б) $D$ увеличится в $n^{3 / 2}$ раза, $\eta-\mathrm{в} \sqrt{n}$ раз.
2.238. $D$ уменьшится в $n^{4 / 5} \approx 6,3$ раза, $\eta$ увеличится в $n^{1 / 5} \approx 1,6$ раза.
2.239. a) $n=3$;
б) $n=1$;
в) $n=1$.
2.240. $0,18 \mathrm{HM}$.
2.241. $d_{\mathrm{Ar}} / d_{\mathrm{He}}=1,7$.
2.242. $N_{1} \approx 2 \pi \eta \omega R^{3} / \Delta R ; \quad p=\sqrt{2} k T / \pi d^{2} n \Delta R=0,7$ Па.
2.243. $\eta=\left(1 / R_{1}^{2}-1 / R_{2}^{2}\right) N_{1} / 4 \pi \omega$.
2.244. $N=1 / 2 \pi \eta \omega a^{4} / h$.
2.245. $N=1 / 3 \omega a^{4} p \sqrt{\pi M / 2 R T}$.
2.246. $\mu=\frac{\pi a^{4} M}{16 \eta R T} \frac{\left|p_{2}^{2}-p_{1}^{2}\right|}{l}$.
2.247. $T=\left(x_{1} T_{1} / l_{1}+x_{2} T_{2} / l_{2}\right) /\left(x_{1} / l_{1}+x_{2} / l_{2}\right)$.
2.248. $x=\left(l_{1}+l_{2}\right) /\left(l_{1} / x_{1}+l_{2} / x_{2}\right)$.
2.249. $T(x)=T_{1}\left(T_{2} / T_{1}\right)^{x / l} ; q=(\alpha / l)$ ln $\left(T_{2} / T_{1}\right)$.
2.250. $\Delta T=(\Delta T)_{0} \mathrm{e}^{-\alpha t}$, где $\alpha=\left(1 / C_{1}+1 / C_{2}\right) S x / l$.
2.251. $T=T_{1}\left\{1+(x / l)\left[\left(T_{2} / T_{1}\right)^{3 / 2}-1\right]\right\}^{2 / 3}$, где $x$-расстояиие от пластины с температурой $T_{1}$.
2.252. $q=\frac{2 i R^{3 / 2}\left(T_{2}^{3 / 2}-T_{1}^{3 / 2}\right)}{9 \pi^{3 / 2} l d^{2} N_{A} \sqrt{M}}=4,0 \mathrm{Bт} / \mathrm{M}^{2}$, где $i=3, d$-эффективный диаметр атома гелия.
2.253. $\lambda=23$ мм $>l$, следовательио, газ ультраразрежеииый;
\[
\boldsymbol{q}=p\langle v\rangle\left(t_{2}-t_{1}\right) / 6 T(\gamma-1)=22 \mathrm{Bт} / \mathrm{m}^{2}, \text { где }\langle v\rangle=\sqrt{8 R T / \pi M} . \quad T=1 / 2\left(T_{1}+T_{2}\right) .
\]
2.254. $T=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{\ln \left(R_{2} / R_{1}\right)} \ln \frac{r}{R_{1}}$.
2.255. $T=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{1 / R_{1}+1 / R_{2}}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{r}\right)$.
2.256. $T=T_{0}+\left(R^{2}-r^{2}\right) w / 4 x$.
2.257. $T=T_{0}+\left(R^{2}-r^{2}\right) w / 6 x$.
3.1. Отношение $F_{9 л} / F_{\mathrm{rp}}$ равно соответственно $4 \cdot 10^{42}$ и $1 \cdot 10^{36}$; $q / m=0,86 \cdot 10^{-10} \mathrm{Kл/кг.}$
3.2. Около $2 \cdot 10^{15} \mathrm{H}$.
3.3. $d q / d t=3 /{ }_{2} a \sqrt{2 \pi \varepsilon_{0} m g / l}$.
3.4. $q_{3}=-\frac{q_{1} q_{2}}{\left(\sqrt{q_{1}}+\sqrt{q_{2}}\right)^{2}}, \quad r_{3}=\frac{r_{1} \sqrt{q_{2}}+r_{2} \sqrt{q_{i}}}{\sqrt{q_{1}}+\sqrt{q_{2}}}$.
3.5. $\Delta T=\frac{q q_{0}}{8 \pi^{2} \mathbf{E}_{0} r^{2}}$.
3.6. $\mathbf{E}=2,7 \mathbf{i}-3,6 \mathbf{j}, E=4,5 \mathrm{kB} / \mathrm{m}$,
3.7. $E=\frac{q l}{\sqrt{2} \pi \varepsilon_{0}\left(l^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2}}$.
3.8. $E=\frac{q}{2 \pi^{2} \varepsilon_{0} R^{2}}$.
3.9. $E=\frac{q l}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(r^{2}+l^{2}\right)^{3 / 2}} \cdot$ При $l \gg r$ напряненность $E \approx \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} l^{2}}$, как для точечного заряда. $E_{\text {макс }}=\frac{q}{6 \sqrt{3} \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ при $l=r / \sqrt{2}$.
3.10. $E=\frac{3 q R^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} x^{4}}$.
3.11. $F=\frac{q \lambda}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$.
3.12. а) $E=\frac{\lambda_{0}}{4 \varepsilon_{0} R} ;$ б) $E=\frac{\lambda_{\theta} R^{2}}{4 \varepsilon_{0}\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$, при $x \gg R$ напряженность $E \approx \frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} x^{3}}$, где $p=\pi R^{2} \lambda_{0}$.
3.13. а) $E=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r \sqrt{a^{2}+r^{2}}}$; б) $E=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(r^{2}-a^{2}\right)}$. В обоих случаях при $r \gg a$ напряженность $E \approx \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$.
3.14. $E=\frac{\lambda \sqrt{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} y}$. Вектор $\mathbf{E}$ направлен под углом $45^{\circ}$ к иити,
3.15. а) $E=\frac{\lambda \sqrt{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$;) $E=0$.
3.16. $\mathrm{E}=-1 / 3 \mathrm{a} r / \epsilon_{0}$.
3.17. $\mathbf{E}=-1 / 3 \mathbf{k} \sigma_{0} / \varepsilon_{\theta}$, где $\mathbf{k}$ – орт оси $z$, от которой отсчитывается угол $\boldsymbol{\theta}$. Как видно, поле внутри данной сферы однородное.
3.18. $\mathbf{E}=-1 / \mathrm{a}^{\mathrm{a}} R^{2} / \varepsilon_{0}$.
8.19. $|\Phi|=1 / 2 \lambda R / \varepsilon_{0}$. Знак $\Phi$ завшит от выбора направления нормали к кругу.
3.20. $|\Phi|=\frac{q}{\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(R / l)^{2}}}\right)$. Знак $\Phi$ зависит от выбора направления нормали к кругу.
3.21. $|\Phi|=1 / 3 \pi \rho r_{0}\left(R^{2}-r_{0}^{2}\right) / \varepsilon_{0}$.
3.22. $E_{\text {макс }}=\lambda / \pi \varepsilon_{0} l$.
3.23. $E=1 / 2 \sigma_{0} / \varepsilon_{0}$, причем направление вектора $\mathbf{E}$ соответствует углу $\varphi=\pi$,
3.24. $\Phi=4 \pi R a$.
3.25. а) $E=\frac{\rho_{0} r}{3 \varepsilon_{0}}\left(1-\frac{3 r}{4 R}\right)$ при $r \leqslant R, E=\frac{\rho_{0} R^{3}}{12 \varepsilon_{0} r^{2}}$ при $r \geqslant R ;$ б) $E_{\text {макс }}=$ $=1 / 9 \rho_{0} R / \varepsilon_{0}$ при $r_{m}=2 / 3 R$.
3.26. $q=2 \pi R^{2} \alpha, E=1 / 2 \alpha / \varepsilon_{0}$.
3.27. $E=\frac{\rho_{0}}{3 \varepsilon_{0} \alpha r^{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha r^{3}}\right)$. Соответственно $E \approx \frac{\rho_{0} r}{3 \varepsilon_{0}}$ и $E \approx \frac{\rho_{0}}{3 \varepsilon_{0} \alpha r^{2}}$.
3.28. $\mathrm{E}=1 / 3 \mathrm{a} \rho / \varepsilon_{0}$.
3.29. $\mathbf{E}=1 / 2 \mathrm{a} \rho / \varepsilon_{0}$, где вектор а направлен к оси полости.
3.30. $\Delta \varphi=\frac{q}{2 \pi \varepsilon_{0} R}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(a / R)^{2}}}\right)$.
3.31. $\varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \eta=5 \mathrm{kB}$,
3.32. $\varphi=1 / 2 \sigma R / \varepsilon_{0}, E=1 / 4 \sigma / \varepsilon_{0}$.
3.33. $\varphi=\frac{\sigma l}{2 \varepsilon_{0}}\left(\sqrt{1+(R / l)^{2}}-1\right), E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}\left(1-\frac{l}{\sqrt{l^{2}+R^{2}}}\right)$. При $l \rightarrow 0$ потенциал $\varphi=\frac{\sigma R}{2 \varepsilon_{0}}, E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} ;$ при $l \gg R$ потенциал $\varphi \approx \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} l}, E \approx \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} l^{2}}$, где $q=\sigma \pi R^{2}$.
3.34. $\varphi=\sigma R / \pi \varepsilon_{0}$.
3.35. $\mathbf{E}=-\mathbf{a}$, т. е. поле однородное.
3.26. а) $\mathbf{E}=-2 a(x \mathbf{i}-y \mathbf{j})$; б) $\mathbf{E}=-a(y \mathbf{i}+x \mathbf{j})$. Здесь $\mathbf{i}, \mathbf{j}-$ орты осей $x, y$. См. рис. 16 , соответствующий случаю $a>0$.
Рис. 16.
3.37. $\mathbf{E}=-2(a x \mathbf{i}+a y \mathbf{j}+b z \mathbf{k}), \quad E=2 \sqrt{a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+b^{2} z^{2}}$.
a) Эллипсоид вращения с полуосями $\sqrt{\varphi / a}$ и $\sqrt{\varphi / b}$. б) При $\varphi>0$ однополостной гиперболоид вращеџия, при $\varphi=0$ прямой круговой конус, при $\varphi<0$ двуполостной гнперболоид вращения.
3.38. а) $\varphi_{0}=\frac{3 q}{8 \pi \varepsilon_{0} R}$; б) $\varphi=\varphi_{0}\left(1-\frac{r^{2}}{3 R^{2}}\right), r \leqslant R$.
3.39. $E=\sqrt{E_{r}^{ \pm}+E_{\vartheta}^{-}}=\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \sqrt{1+3 \cos ^{2} \vartheta}$, где $E_{r}$ – радиальная, а $E_{0}-$ перпендикулярная к ней составляющие вектора E.
3.40. $E_{z}=\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{3 \cos ^{2} \vartheta-1}{r^{3}}, E_{\perp}=\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{3 \sin \vartheta \cos \vartheta}{r^{3}} ; \mathbf{E} \perp \mathbf{p} \quad$ в точках, лежащих на боковой поверхности конуса с осью вдоль $z$ и углом полураствора $\vartheta$, діл которого $\cos \vartheta=1 / \sqrt{3}\left(\vartheta_{1}=54,7^{\circ}, \vartheta_{2}=123,5^{\circ}\right)$. В этих точках $E=E_{\perp}=$ $=\frac{p \sqrt{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$.
3.41. $R=\sqrt[3]{\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} E_{0}}}$.
3.42. $\varphi \approx \frac{\lambda l}{2 \pi \varepsilon_{0} r} \cos \vartheta, \quad E \approx \frac{\lambda l}{2 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$.
3.43. $\varphi=\frac{q l}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{x}{\left(R^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2}}, E_{x}=-\frac{q l}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{R^{2}-2 x^{2}}{\left(R^{2}+x^{2}\right)^{5 / 2}}$, где $E_{x}-$ проекция вектора $\mathbf{E}$ на ось $x$. Графики этих зависнмостей показаны на рис. 17 . Прн $|x| \gg R$ потенциал $\varphi \approx \frac{q l}{4 \pi \varepsilon_{0} x^{2}}$ и $E_{x} \approx \frac{q l}{2 \pi \varepsilon_{0} x^{3}}$.
Puc. 17.
Pис. 18.
3.44. $\varphi=\frac{\sigma l}{2 \varepsilon_{0}} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}}, E_{x}=-\frac{\sigma l R^{2}}{2 \varepsilon_{0}\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$. См. рис. 18.
3.45. $\varphi \approx \pm \frac{\sigma l}{2 \varepsilon_{0}}\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}}\right), E \approx \frac{\sigma l R^{2}}{2 \varepsilon_{0}\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$. Прн $x \gg R$ потенциал $\varphi \approx$ 上 $\frac{p}{4 \sigma \varepsilon_{0} x^{2}}$ и $E \approx \frac{p}{2 \pi \varepsilon_{0} x^{3}}$, где $p=\pi R^{2} \sigma l$. В формулах для $\varphi$ зак плнос соответствует пространству со стороны по.тожительио заряженной пластины, а знак минус-со стороны отрнцательно заряженной пластины.
3.46. a) $\mathbf{F}=0$;
б) $\mathbf{F}=-\frac{\lambda \mathrm{p}}{2 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$;
в) $\mathbf{F}=\frac{\lambda_{p}}{2 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$.
3.47. $F=\frac{3 p^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0} l^{4}}=2,1 \cdot 10^{-16} \mathrm{H}$.
3.48. $\varphi=-a x y+$ const.
3.49. $\varphi=a y\left(\frac{y^{2}}{3}-x^{2}\right)+$ consì.
3.50. $\varphi=-y(a x+b z)+$ const.
3.51. $\rho=6 \varepsilon_{0} a x$.
3.52. $\rho=2 \varepsilon_{0} \Delta \varphi / d^{2} ; E=\rho d / \varepsilon_{0}$.
3.53. $\rho=-6 \varepsilon_{0} a$.
3.54. $q=4 l \sqrt{\pi \varepsilon_{0} k x}$.
3.55. $A=\frac{q^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0} l}$.
3.56. a) $F=\frac{(2 \sqrt{2}-1) q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} l^{2}}$;
б) $E=2\left(1-\frac{1}{5 \sqrt{5}}\right) \frac{q}{\pi \varepsilon_{0} l^{2}}$.
3.57. $F=\frac{(2 \sqrt{2}-1) q^{2}}{323_{3} !^{2}}$.
3.58. $F=\frac{3 p^{2}}{32 \pi \varepsilon_{0} l^{4}}$.
3.59. $\sigma=-\frac{q l}{2 \pi\left(l^{2}+r^{2}\right)^{3 / 2}}, q_{\mathrm{инд}}=-q$.
3.60. a) $F_{1}=\frac{\lambda^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} l}$;
б) $\sigma=\frac{l \lambda}{\pi\left(l^{2}+x^{2}\right)}$.
3.61. a) $\sigma=\frac{\lambda}{2 \pi l}$;
б) $\sigma(r)=\frac{\lambda}{2 \pi \sqrt{l^{2}+r^{2}}}$.
3.62.
а) $\sigma=\frac{l q}{2 \pi\left(l^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$; б) $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{4 l^{2}\left[1+1 / 4(R / l)^{2}\right]^{3 / 2}}, \varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \times$ $\times-\frac{q}{R}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+4(l / R)^{2}}}\right) \cdot$
3.63. $\varphi=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} l}$.
3.64. $\varphi=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)$.
3.65. $q_{2}=-\frac{b}{a} q_{1} ; \varphi=\frac{q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \times\left\{\begin{array}{ll}1 / r-1 / a & \text { при } a \leqslant r \leqslant b, \\ (1-b / a) / r & \text { при } r \geqslant b .\end{array}\right.$
3.66. a) $E_{23}=\Delta \varphi / d, E_{12}=E_{34}=1 / 2 E_{23} ;$ б) $\left|\sigma_{1}\right|=\sigma_{4}=1 / 2 \varepsilon_{0} \Delta \varphi / d, \sigma_{2}=\left|\sigma_{3}\right|=$ $=3 / 2 \varepsilon_{0} \Delta \varphi / d$.
3.67. $q_{1}=-q(l-x) / l, q_{2}=-q x / l$. Указани е. Если заряд $q$ мысленно «размазать» равномерно по плоскости, проходящей через этот заряд и параллельной пластинам, то ясно, что заряды $\eta_{1}$ и $q_{2}$ не изменятся. Изменнтся только их распределение, и электрическое поле станет простым для pacчera.
1. 3.68. $d F / d S=1 / 2 \sigma^{2} / \varepsilon_{0}$.
3.69. $F=\frac{q^{2}}{32 \pi \varepsilon_{0} R^{2}}=0,5 \mathrm{kH}$.
3.70. $F=1 / 4 \pi R^{2} \sigma_{0}^{2} / \varepsilon_{0}$.
3.71. $N=\frac{n_{0} p}{(\varepsilon-1) \varepsilon_{0} E}=3 \cdot 10^{3}$, где $n_{3}-$ концентрация молекул.
3.72. $F=\frac{3 \beta p^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} l^{7}}$.
3.73. a) $x=R / \sqrt{2}$;
б) $x=\left\{\begin{array}{l}1,1 R \text { (притяжение), } \\ 0,29 R \text { (отталкивание). См. рис. } 19 .\end{array}\right.$
3.74. $\mathrm{P}=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon} \frac{q}{4 \pi r^{3}} \mathrm{r}$,
\[
q^{\prime}=-\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon} q \text {. }
\]
3.76. $q_{\text {внутр }}^{\prime}=-q(\varepsilon-1) / \varepsilon$, $q_{\text {наруж }}^{\prime}=q(\varepsilon-1) / \varepsilon$.

Рис. 19.
3.77. См. рис. 20.
3.78. $E=\frac{E_{0}}{\varepsilon} \sqrt{\cos ^{2} \alpha_{0}+\varepsilon^{2} \sin ^{2} \alpha_{0}}=$
Рис. 20.
3.79. а) $\oint \mathbf{E} d \mathbf{S}=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon} \pi R^{2} E_{0} \cos \vartheta$; б) $\oint \mathbf{D} d \mathbf{r}=-\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) l E_{0} \sin \vartheta$.
3.80. а) $E=\left\{\begin{array}{lll}\rho l / \varepsilon \varepsilon_{0} & \text { при } l<d, \\ \rho d / \varepsilon_{0} & \text { при } l>d,\end{array}\right.$
\[
\varphi=\left\{\begin{array}{l}
-\rho l^{2} / 2 \varepsilon \varepsilon_{0} \text { при } l \leqslant d, \\
-(d / 2 \varepsilon+l-d) \rho d / \varepsilon_{0} \text { при } l \geqslant d .
\end{array}\right.
\]

Графики зависимостей $E_{x}(x)$ и $\varphi(x)$ см. на рис. 21. б) $\sigma^{\prime}=\rho d(\varepsilon-1) / \varepsilon$, $\rho^{\prime}=-\rho(\varepsilon-1) / \varepsilon$.
Pис. 21.
Рис. 22.
3.81. а) $E=\left\{\begin{array}{ll}\rho r / 3 \varepsilon_{0} \varepsilon & \text { при } r<R, \\ \rho R^{3} / 3 \varepsilon_{0} r^{2} & \text { при } r>R\end{array}\right.$
б) $\rho^{\prime}=-\rho(\varepsilon-1) / \varepsilon, \quad \sigma^{\prime}=\rho R \times$ $\times(\varepsilon-1) / 3 \varepsilon$. См. рис. 22
3.82. $\mathbf{E}=-d \mathbf{P} / 4 \varepsilon_{0} R$.
3.83. $\mathbf{E}=-\mathbf{P}_{0}\left(1-x^{2} / d^{2}\right) / \varepsilon_{0}, U=4 d P_{0} / 3 \varepsilon_{0}$.
3.84. a) $E_{1}=2 \varepsilon E_{0} /(\varepsilon+1), \quad E_{2}=2 E_{0} /(\varepsilon+1), \quad D_{1}=D_{2}=2 \varepsilon \varepsilon_{0} E_{0} /(\varepsilon+1)$;
6) $E_{1}=E_{0}, E_{2}=E_{0} / \varepsilon, D_{1}=D_{2}=\varepsilon_{0} E_{0}$.
3.85. a) $E_{1}=E_{2}=E_{0}, \quad D_{1}=\varepsilon_{0} E_{0}, \quad D_{2}=\varepsilon D_{1} ;$ б) $E_{1}=E_{2}=2 E_{0} /(\varepsilon+1), \quad D_{1}=$ $=2 \varepsilon_{0} E_{0} /(\varepsilon+1), D_{2}=\varepsilon D_{1}$.
3.86. $E=q / 2 \pi \varepsilon_{0}(\varepsilon+1) r^{2}$.
3.87. $\rho=\rho_{0} \varepsilon /(\varepsilon-1)=1,6 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$, где $\varepsilon$ и $\rho_{0}$-диэлектрическая проницаемость и плотиость керосина.
3.88. $\sigma_{\text {макс }}^{\prime}=(\varepsilon-1) \varepsilon_{0} E=3,5$ нКл $/ \mathrm{M}^{2}, q^{\prime}=\pi R^{2}(\varepsilon-1) \varepsilon_{0} E=10$ пКл.
3.89. а) Воспользовавшись непрерывностью нормальной составляющей вектора $\mathbf{D}$ на границе диэлектрика, получим $\sigma^{\prime}=-q l(\varepsilon-1) / 2 \pi r^{3}(\varepsilon+1)$, при $l \rightarrow 0 \sigma^{\prime} \rightarrow 0$; б) $q^{\prime}=-q(\varepsilon-1) /(\varepsilon+1)$.
3.90. $F=q^{2}(\varepsilon-1) / 16 \pi \varepsilon_{0} l^{2}(\varepsilon+1)$.
3.91. $D=\left\{\begin{array}{l}q / 2 \pi(1+\varepsilon) r^{2}-\text { в вакууме, } \\ \varepsilon q / 2 \pi(1+\varepsilon) r^{2}-\text { в диэлектрике; }\end{array}\right.$
\[
\left.\begin{array}{l}
E=q / 2 \pi \varepsilon_{0}(1+\varepsilon) r^{2} \\
\varphi=q / 2 \pi \varepsilon_{0}(1+\varepsilon) r
\end{array}\right\} \text {-и в вакууме и в диэлектрине. }
\]
3.92. $\sigma^{\prime}=q l(\varepsilon-1) / 2 \pi r^{3} \varepsilon(\varepsilon+1)$; при $l \rightarrow 0 \sigma^{\prime} \rightarrow 0$.
3.93. $\sigma^{\prime}=q l(\varepsilon-1) / 2 \pi r^{3} \varepsilon$.
3.94. $\mathrm{E}_{1}=\mathrm{P} h / \varepsilon_{0} d$ (в зазоре), $\mathrm{E}_{2}=-(1-h / d) \mathrm{P} / \varepsilon_{0}, \mathbf{D}_{1}=\mathbf{D}_{2}=\mathrm{P} h / d$.
3.95. $\rho^{\prime}=-2 \alpha$, т. е. от $r$ не зависит.
3.96. a) $\mathbf{E}=-\mathbf{P} / 3 \varepsilon_{0}$.
3.97. $\mathrm{E}_{0}=1 / 3(\varepsilon+2) \mathrm{E}$.
3.98. $\mathrm{E}=3 \mathrm{E}_{0} /(\varepsilon+2), \quad \mathrm{P}=3 \varepsilon_{0} \mathrm{E}_{0}(\varepsilon-1) /(\varepsilon+2)$.
3.99. $\mathbf{E}=-\mathbf{P} / 2 \varepsilon_{0}$.
3.100. $\mathbf{E}=2 \mathrm{E}_{0} /(\varepsilon+1) ; \mathbf{P}=2 \varepsilon_{0} \mathbf{E}_{0}(\varepsilon-1) /(\varepsilon+1)$.
3.101. $C=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon R_{1}}{1+(\varepsilon-1) R_{1} / R_{2}}$.
3.102. Напряженность уменышилась в $1 / 2(\varepsilon+1)$ раз; $q=1 / 2 C \mathscr{E}(\varepsilon-1) /(\varepsilon+1)$.
3.103.
a) $C=\frac{\varepsilon_{0} S}{d_{1} / \varepsilon_{1}+d_{2} / \varepsilon_{2}}$;
б) $\sigma^{\prime}=\varepsilon_{0} U \frac{\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}\right)\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-1\right)}{\varepsilon_{1} d_{1}+\varepsilon_{2} d_{2}}$.
3.104. а) $C=\varepsilon_{0}\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}\right) S / d \ln \left(\varepsilon_{2} / \varepsilon_{1}\right)$; б) $\rho^{\prime}=-q\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}\right) / d S \varepsilon^{2}$.
3.105. $C=4 \pi \varepsilon_{0} a / \ln \left(R_{2} / R_{1}\right)$.
3.106. При условии $\varepsilon_{1} R_{1} E_{1 m}=\varepsilon_{2} R_{2} E_{2 m}$.
3.107. $U=R_{1} E_{1}\left[\ln \left(R_{2} / R_{1}\right)+\left(\varepsilon_{1} / \varepsilon_{2}\right) \ln \left(R_{3} / R_{2}\right)\right]$.
3.108. $C \approx \pi \varepsilon_{0} / \ln (b / a)$.
3.109. $C \approx 2 \pi \varepsilon_{0} / \ln (b / a)$.
3.110. $C \approx 2 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon a$. Указание. При $b \gg a$ мюжно счнтать, что заряды распределеиы по поверхности шариков практически равномерно.
3.111. $C \approx 4 \pi \varepsilon_{0} a$.
3.112. а) $C_{\text {общ }}=C_{1}+C_{2}+C_{3}$; б) $C_{\text {общ }}=C$.
3.113. а) $C=2 \varepsilon_{0} S / 3 d$; б) $C=3 \varepsilon_{0} S / 2 d$.
3.114. $U \leqslant U_{1}\left(1+C_{1} / C_{2}\right)=9 \mathrm{kB}$.
3.115: $U=\mathscr{E} /\left(1+3 \eta+\eta^{2}\right)=10 \mathrm{~B}$.
3.116. $C_{x}=C(\sqrt{5}-1) / 2=0,62 C$. Поснольку цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, могут быть заменены емиостью $C_{x}$, равной искомой.
3.117. $U_{1}=q / C_{1}=10 \mathrm{~B}, \quad U_{2}=q / C_{2}=5 \mathrm{~B}, \quad$ где $\quad q=\left(\varphi_{A}-\varphi_{B}+\mathscr{E}\right) \times$ $\times C_{1} C_{2} /\left(C_{1}+C_{2}\right)$.
3.118. $U_{1}=\left(\mathscr{E}_{2}-\mathscr{E}_{1}\right) /\left(1+C_{1} / C_{2}\right), U_{2}=\left(\mathscr{E}_{1}-\mathscr{E}_{2}\right) /\left(1+C_{2} / C_{1}\right)$.
3.119. $q=\left|\mathscr{E}_{1}-\mathscr{E}_{2}\right| C_{1} C_{2} /\left(C_{1}+C_{2}\right)$.
3.120. $\varphi_{A}-\varphi_{B}=\mathscr{E} \frac{C_{2} C_{3}-C_{1} C_{4}}{\left(C_{1}+C_{2}\right)\left(C_{3}+C_{4}\right)}$. При условии $C_{1} / C_{2}=C_{3} / C_{\dot{4}}$.
3.121. $q=\frac{U}{1 / C_{1}+1 / C_{2}+1 / C_{3}}=0,06$ мКл.
3.122. $q_{1}=\mathscr{E} C_{2}, q_{2}=-\mathscr{E} C_{1} C_{2} /\left(C_{1}+C_{2}\right)$.
3.123. $q_{1}=\mathscr{E} C_{1}\left(C_{1}-C_{2}\right) /\left(C_{1}+C_{2}\right)=-24$ мкКл, $q_{2}=\mathscr{E} C_{2}\left(C_{1}-C_{2}\right) /\left(C_{1}+C_{2}\right)=$ $=-36$ мкКл, $q_{3}=\mathscr{E}\left(C_{2}-C_{1}\right)=+60$ мкКл.
3.124. $\varphi_{A}-\varphi_{B}=\left(C_{2} \mathscr{E}_{2}-C_{1} \mathscr{E}_{1}\right) /\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right)$.
3.125. $\varphi_{1}=\frac{\mathscr{E}_{2} C_{2}+\mathscr{E}_{3} C_{3}-\mathscr{E}_{1}\left(C_{2}+C_{3}\right)}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}, \quad \varphi_{2}=\frac{\mathscr{E}_{1} C_{1}+\mathscr{E}_{3} C_{3}-\mathscr{E}_{2}\left(C_{1}+C_{3}\right)}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}$; $\varphi_{3}=\frac{\mathscr{E}_{1} C_{1}+\mathscr{E}_{2} C_{2}-\mathscr{E}_{3}\left(C_{1}+C_{2}\right)}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}$.
3.126. $C_{\text {общ }}=\frac{2 C_{1} C_{2}+C_{3}\left(C_{1}+C_{2}\right)}{C_{1}+C_{2}+2 C_{3}}$.
3.127. a) $W=(\sqrt{2}+4) q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} a$; б) $W=(\sqrt{2}-4) q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} a ; \quad$ в) $W=$ $=-\sqrt{2} q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} a$.
3.128. $W=-\frac{2 \ln 2}{4 \pi \varepsilon_{0}}-\frac{q^{2}}{a}$.
3.129. $W=-q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0} l$.
3.130. $W=q_{1} q_{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} l$.
3.131. $\Delta W=-1 / 2 U^{2} C_{1} C_{2} /\left(C_{1}+C_{2}\right)=-0,03$ мдж.
3.132. $Q=\mathscr{E}^{2} C C_{0} /\left(2 C+C_{0}\right)$.
3.133. $Q=1 / 2 C \mathscr{E}_{2}^{2}$. Интересно, что полученный результат не зависит от $\mathscr{E}_{1}$.
3.134. $W=W_{1}+W_{2}+W_{12}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q_{1}^{2}}{2 R_{1}}+\frac{q_{2}^{2}}{2 R_{2}}+\frac{q_{1} q_{2}}{R_{2}}\right)$.
3.135. а) $W=3 q^{2} / 20 \pi \varepsilon_{0} R$; б) $W_{1} / W_{2}=1 / 5$.
3.136. $W=\left(q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon\right)(1 / a-1 / b)=27$ мДж.
3.137. $A=\left(q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0}\right)\left(1 / R_{1}-1 / R_{2}\right)$.
3.138. $A=\frac{q\left(q_{0}+q / 2\right)}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$.
3.139. $F_{1}=\sigma^{2} / 2 \varepsilon_{0}$.
3.140. $A=\left(q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0}\right)(1 / a-1 / b)$.
3.141. а) $A=q^{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) / 2 \varepsilon_{0} S$; б) $A=\varepsilon_{0} S U^{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) 2 x_{1} x_{2}$.
3.142. а) $A=1 / 2 C U^{2} \eta /(1-\eta)^{2}=1,5$ мДж; б) $A=1 / 2 C U^{2} \eta \varepsilon(\varepsilon-1) /[\varepsilon-\eta \times$ $\times(\varepsilon-1)]^{2}=0,8$ мДж.
3.143. $\Delta p=\varepsilon_{0} \varepsilon(\varepsilon-1) U^{2} / 2 d^{2}=7 \mathrm{\kappa \Pi}=0,07$ атм.
3.144. $h=\left(\varepsilon^{2}-1\right) \sigma^{2} / 2 \varepsilon_{0} \varepsilon^{2} \rho g$.
3.145. $F=\pi R \varepsilon_{0}(\varepsilon-1) U^{2} / d$.
3.146. $N=(\varepsilon-1) \varepsilon_{0} R^{2} U^{2} / 4 d$.
3.147. $I=2 \pi \varepsilon_{0} a E v=0,5$ мкА.
3.148. $I \approx 2 \pi \varepsilon_{0}(\varepsilon-1) r v U / d=0,11$ мкA.
3.149. а) $\alpha=\left(\alpha_{1}+\eta \alpha_{2}\right) /(1+\eta)$; б) $\alpha \approx\left(\alpha_{2}+\eta \alpha_{1}\right) /(1+\eta)$.
3.150. а) $5 / 6 R$; б) $7 / 12 R$; в) $3 / 4 R$.
3.151. $R_{x}=R(\sqrt{3}-1)$.
3.152. $R=\left(1+\sqrt{1+4 R_{2} / R_{1}}\right) R_{1} / 2=6$ Ом. Указание. Поскольку цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, могут быть заменены сопротивлением, равным искомому сопротивлению $R$.
3.153. Подключим мысленно к точкам $A$ и $B$ источник иапряжения $U$. Тогда $U=I R=I_{0} R_{0}$, где $I$-ток в подводящих проводах, $I_{0}$-ток в проводнике $A B$.

Ток $I_{0}$ можно представить как суперпозицию двух токов. Если бы ток $I$ «втекал» в точку $A$ и растекался по сетке на бесконечность, то по проводнику $A B$ – из симметрии – шел ток $I / 4$. Аналогично, если бы ток $I$ поступал в сетку из бесконечности и «вытекал» из точки $B$, то по проводнику $A B$ шел тоже ток $I / 4$. Наложив друг на друга оба эти решения, получим $I_{0}=I / 2$. Поэтому $R=R_{0} / 2$.
3.154. $R=(\rho / 2 \pi l) \ln (b / a)$.
3.155. $R=\rho(b-a) / 4 \pi a b$. При $b \rightarrow \infty \quad R=\rho / 4 \pi a$.
3.156. $\rho=4 \pi \Delta t a b /(b-a) C \ln \eta$.
3.157. $R=\rho / 2 \pi a$.
3.158. а) $j=2 a l U / \rho r^{3}$; б) $R=\rho / 4 \pi a$.
3.159. а) $j=l U / 2 \rho r^{2} \ln (l / a)$; б) $R_{1}=(\rho / \pi) \ln (l / a)$.
3.160. $I=U C / \rho \varepsilon \varepsilon_{0}=1,5$ мкA.
3.161. $R C=\rho \varepsilon \varepsilon_{0}$.
3.162. $\sigma=D_{n}=D \cos \alpha ; j=D \sin \alpha / \varepsilon \varepsilon_{0} \rho$.
3.163. $I=U S\left(\sigma_{2}-\sigma_{1}\right) / d \ln \left(\sigma_{2} / \sigma_{1}\right)=5$ иА.
3.165. $q=\varepsilon_{0}\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right) I$.
3.166. $\sigma=\varepsilon_{0} U\left(\varepsilon_{2} \rho_{2}-\varepsilon_{1} \rho_{1}\right) /\left(\rho_{1} d_{1}+\rho_{2} d_{2}\right), \sigma=0$ при $\varepsilon_{1} \rho_{1}=\varepsilon_{2} \rho_{2}$.
3.167. $q=\varepsilon_{0} I\left(\varepsilon_{2} \rho_{2}-\varepsilon_{1} \rho_{1}\right)$.
3.168. $\rho=2 \varepsilon_{0} U(\eta-1) / d^{2}(\eta+1)$.
3.169. а) $R_{1}=2 \pi \alpha / S^{2} ;$ б) $E=2 \pi \alpha I / S^{2}$.
3.170. $t=-R C \ln \left(1-U / U_{0}\right)=0,6$ мкс.
3.171. $\rho=\tau / \varepsilon_{0} \varepsilon \ln 2=1,4 \cdot 10^{13} \mathrm{OM} \cdot \mathrm{M}$.
3.172. $I=[(\eta-1) \mathscr{E} / R] \mathrm{e}^{-\eta t / R C}$.
3.173. $U=\mathscr{E} /(\eta+1)=2,0$ B.
3.174. $\varphi_{1}-\varphi_{2}=\left(\mathscr{E}_{1}-\mathscr{E}_{2}\right) R_{1} /\left(R_{1}+R_{2}\right)-\mathscr{E}_{1}=-4$ В.
3.175. $R=R_{2}-R_{1}, \Delta \varphi=0$ у источника тока с внутренним сопротивлением $R_{2}$.
3.176. а) $I=\alpha$; б) $\varphi_{A}-\varphi_{B}=0$.
3.177. $\varphi_{A}-\varphi_{B}=\left(\mathscr{E}_{1}-\mathscr{E}_{2}\right) R_{1} /\left(R_{1}+R_{2}\right)=-0,5$ в.
3.178. $I_{1}=\mathscr{E} R_{2} /\left(R R_{1}+R_{1} R_{2}+R_{2} R\right)=1,2 \mathrm{~A}, I_{2}=I_{1} R_{1} / R_{2}=0,8 \mathrm{~A}$.
3.179. $U=U_{0} R x /\left[R l+R_{0}(l-x) x / l\right]$; при $R \gg R_{0} U \approx U_{0} x / l$.
3.180. $\mathscr{E}=\left(\mathscr{E}_{1} R_{2}+\mathscr{E}_{2} R_{1}\right) /\left(R_{1}+R_{2}\right), R_{i}=R_{1} R_{2} /\left(R_{1}+R_{2}\right)$.
3.181. $I=\left(R_{1} \mathscr{E}_{2}-R_{2} \mathscr{E}_{1}\right) /\left(R R_{1}+R_{1} R_{2}+R_{2} R\right)=0,02 \mathrm{~A}$, иаправление тока слева направо (см. рис. 3.44).
$3.182 . \quad$ a) $I_{1}=\left[R_{3}\left(\mathscr{E}_{1}-\mathscr{E}_{2}\right)+R_{2}\left(\mathscr{E}_{1}+\mathscr{E}_{3}\right)\right] /\left(R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}\right)=0,06 \mathrm{~A}$; б) $\varphi_{A}-\varphi_{B}=\mathscr{E}_{1}-I_{1} R_{1}=0,9 \mathrm{~B}$.
3.183. $I=\left[\mathscr{E}\left(R_{2}+R_{3}\right)+\mathscr{E}_{0} R_{3}\right] /\left[R\left(R_{2}+R_{3}\right)+R_{2} R_{3}\right]$.
3.184. $\varphi_{A}-\varphi_{B}=\left[\mathscr{E}_{2} R_{3}\left(R_{1}+R_{2}\right)-\mathscr{E}_{1} R_{1}\left(R_{2}+R_{3}\right)\right] /\left(R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}\right)=$ $=-1,0 \mathrm{~B}$.
3.185. $I_{1}=\left[R_{3}\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+R_{2}\left(\varphi_{1}-\varphi_{3}\right)\right] /\left(R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}\right)=0,2 \mathrm{~A}$.
3.186. $I=\frac{U}{R_{2}}\left(\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}\left[1+R_{2} R_{4}\left(R_{1}+R_{3}\right) / R_{1} R_{3}\left(R_{2}+R_{4}\right)\right]}-1\right)=1,0$
A. ToK идет от точки $C$ к точке $D$.
3.187. $R_{A B}=r(r+3 R) /(R+3 r)$.
3.188. $U=1 / 2 \mathscr{E}(1-\mathrm{e}-2 t / R C)$.
3.189. a) $Q=4 / 3 q^{2} R / \Delta t$; 6) $Q=1 / 2 \ln 2 \cdot q^{2} R / \Delta t$.
3.190. $R=3 R_{0}$.
3.192. $Q=I(\mathscr{E}-U)=0,6 \mathrm{BT}, P=-I U=-2,0 \mathrm{Br}$,
3.193. $I=U / 2 R ; P_{\text {макс }}=U^{2} / 4 R ; \eta=1 / 2$.
3.194. На $2 \eta=2 \%$.
3.195. $T-T_{0}=\left(1-\mathrm{e}^{-k t / C}\right) U^{2} / k R$.
3.196. $R_{x}=R_{1} R_{2} /\left(R_{1}+R_{2}\right)=12$ OM.
3.197. $R=R_{1} R_{2} /\left(R_{1}+R_{2}\right) ; Q_{\text {ма кс }}=\left(\mathscr{E}_{1} R_{2}+\mathscr{E}_{2} R_{1}\right)^{2} / 4 R_{1} R_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)$.
3.198. $n=\sqrt{N r / R}=3$.
3.199. $Q=1 / 2 C \mathscr{E}^{2} R_{1} /\left(R_{1}+R_{2}\right)=60$ мДж.
3.200. а) $\Delta W=-1 / 2 C U^{2} \eta /(1-\eta)=-0,15 \mathrm{мДж;} \mathrm{.6)} A=1 / 2 C U^{2} \eta /(1-\eta)=$ $=0,15$ мДж.
3.201. $\Delta W=-1 / 2(\varepsilon-1) C U^{2}=-0,5$ мДж, $A_{\text {мех }}=1 / 2(\varepsilon-1) C U^{2}=0,5$ мДж.
3.202. $h \approx 1 / 2 \varepsilon_{0}(\varepsilon-1) U^{2} / \rho g d^{2}$, где $\rho-$ плотность воды.
3.203. а) $q=q_{0} \mathrm{e}^{-t / \varepsilon_{0} \varepsilon \rho}$; б) $Q=(1 / a-1 / b) q_{0}^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon$.
3.204. а) $q=q_{0}\left(1-\mathrm{e}^{-\tau / R C}\right)=0,18$ мКл; б) $Q=\left(1-\mathrm{e}^{-2 \tau / R C}\right) q_{0}^{2} / 2 C=82$ мДж.
3.205. a) $I=\left(U_{0} / R\right) \mathrm{e}^{-2 t / R C}$; б) $Q=1 / 4 C U_{0}^{2}$.
3.206. $e / m=l \omega r / q R=1,8 \cdot 10^{11} \mathrm{Kл} / \mathrm{Kr}$.
3.207. $p=$ lI $m / e=0,40 \mathrm{MkH} \cdot$ c.
3.208. $s=e n l\langle v\rangle / j \sim 107$ м, где $n$-концентрация свободных электронов, $\langle v\rangle$-средняя скорость теплового движения электрона.
3.210. $E=\left(I / 2 \pi \varepsilon_{0} r\right) \sqrt{m / 2 e U}=32 \mathrm{~B} / \mathrm{M}, \Delta \varphi=\left(I / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \sqrt{m / 2 e U}=0,80 \mathrm{~B}$.
3.211. а) $\rho(x)=-4 / 9 \varepsilon_{0} a x^{-2 / 3}$; б) $j=4 / 9 \varepsilon_{0} a^{3 / 2} \sqrt{2 e / m}$.
3.212. $n=I d / e\left(u_{0}^{+}+u_{0}^{-}\right) U S=2,3 \cdot 10^{3} \mathrm{~cm}^{-3}$.
3.213. $u_{0}=\omega_{0} l^{2} / 2 U_{0}$.
3.214. а) $\dot{n}_{i}=I_{\mathrm{Hac}} / \mathrm{eV}=6 \cdot 10^{9} \mathrm{cM}^{-3} \cdot \mathrm{c}^{-1}$; 6) $n=\sqrt{\dot{n}_{i} / r}=6 \cdot 10$ ? $\mathrm{cm}^{-3}$,
3.215. $t=(\eta-1) / \sqrt{r \dot{n}_{i}}=13 \mathrm{Mc}$.
3.216. $t=\varepsilon_{0} \eta U / e \dot{n}_{i} d^{2}=4,6$ сут.
3.217. $I=e v_{0} \mathrm{e}^{\alpha d}$.
3.218. $\ddot{j}=\left(\mathrm{e}^{\alpha d}-1\right) e \dot{n}_{i} / \alpha$.
3.219. a) $B=\mu_{0} I / 2 R=6,3$ мкT; 6) $B=\mu_{0} R^{2} I / 2\left(R^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2}=2,3$ мкT.
3.220. $B=n \mu_{0} I \operatorname{tg}(\pi / n) / 2 \pi R$. При $n \rightarrow \infty B=\mu_{0} I / 2 R$.
3.221. $B=4 \mu_{0} I / \pi d \sin \varphi=0,10 \mathrm{mT}$.
3.222. $B=(\pi-\varphi+\operatorname{tg} \varphi) \mu_{0} I / 2 \pi R=28 \mathrm{мкT}$.
3.223. a) $B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi}\left(\frac{2 \pi-\varphi}{a}+\frac{\varphi}{b}\right)$; б) $B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi}\left(\frac{3 \pi}{4 a}+\frac{\sqrt{2}}{b}\right)$.
3.224. $B \approx \mu_{0} h I / 4 \pi^{2} R r$, где $r$-расстояние от прорези.
3.225. $B=\mu_{0} I / \pi^{2} R$.
3.226. а) $B=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right)(\pi I / R)$; б) $B=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right)(1+3 \pi / 2) I / R$; в) $B=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) \times$ $\times(2+\pi) I / R$.
3.227. $B=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) I \sqrt{2} / l=2,0$ мкT.
3.228. а) $B=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) \sqrt{4+\pi^{2}} I / R=0,30$ мкT; б) $B=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) \sqrt{2+2 \pi+\pi^{2}} \times$ $\times I / R=0,34$ мкT; в) $B=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) \sqrt{2} I / R=0,11$ мкT.
3.229. а) $B=\mu_{0} i / 2$; б) $B=\mu_{0} i$ между плоскостями и $B=0$ вие плоскостей.
3.230. $B=\left\{\begin{array}{l}\mu_{0} j x \text { виутри пластииы, } \\ \mu_{0} j d \text { вие пластииы. }\end{array}\right.$.
3.231. В том полупростраистве, где иаходится прямой провод, $B=\mu_{0} I / 2 \pi r$, $r$-расстояиие от провода. В другом полупространстве $B \equiv \mathbf{0}$.
3.232. Даииый иитеграл равеи $\mu_{0} I$.
3.233. $\mathbf{B}=\left\{\begin{array}{l}1 / 2 \mu_{0}[\mathrm{jr}] \quad \text { при } \quad r \leqslant R, \\ 1 / 2 \mu_{0}[\mathrm{jr}] R^{2} / r^{2} \text { при } r \geqslant R .\end{array}\right.$
3.234. $\mathbf{B}=1 / 2 \mu_{0}[j 1]$, т. е. поле в полости одиородиое.
3.235. $j(r)=\left(b / \mu_{0}\right)(1+\alpha) r^{\alpha-1}$,
3.236. $B=\mu_{0} n I / \sqrt{1+(2 R / l)^{2}}$.
3.237. a) $B=1 / 2 \mu_{0} n I\left(1-x / \sqrt{x^{2}+R^{2}}\right)$, где $\boldsymbol{x}>\mathbf{0}$ вие солеиоида и $x<0$ виутри соленоида; см. рис. 23 ; б) $x_{0}=R(1-2 \eta) / 2 \sqrt{\eta(1-\eta)} \approx 5 R$.
3.238. $B=\left\{\begin{array}{ll}\left(\mu_{0} I / h\right) \sqrt{1-(h / 2 R)^{2}}=0,29 \mathrm{MT}, & r<R, \\ \left(\mu_{0} / 4 \pi\right) 2 I / r=0,04 \mathrm{MT}, \quad r>R . & \end{array}\right.$
3.239. $\eta \approx N / \pi=8 \cdot 10^{2}$.
3.240. $\Phi=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) I=1,0$ мкВб/м.
3.241. $\Phi=\Phi_{0} / 2=\mu_{0} n I S / 2$, где $\Phi_{0}$ – поток вектора В через поперечное сечение солеиоида вдали от его торцов.
3.242. $\Phi=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) 2 I N h \ln \eta=8$ мкВб.
3.243. $p_{m}=2 \pi R^{3} B / \mu_{0}=30 \mathrm{MA} \cdot \mathrm{M}^{2}$.
3.244. $p_{m}=1 / 2 N I d^{2}=0,5 \mathrm{~A} \cdot \mathrm{m}^{2}$.
3.245. а) $B=\frac{\mu_{0} I N \ln (b / a)}{2(b-a)}=7 \mathrm{mkT}$; б) $p_{m}=1 / 3 \pi I N\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=15 \mathrm{~mA} \cdot \mathrm{m}^{2}$.
3.246. а) $B=1 / 2 \mu_{0} \sigma \omega R$; б) $p_{m}=1 / 4 \pi \sigma \omega R^{4}$.
3.247. $B=2 / 3 \mu_{0} \sigma \omega R=29 \pi \mathrm{T}$.
3.248. $p_{m}=1 / 5 q R^{2} \omega ; p_{m} / M=q / 2 m$.
3.249. $\mathbf{B}=1 / 2 \mu_{0} \alpha \omega R^{2}$.
3.250. $F_{\mathrm{M}} / F_{\ominus}=\mu_{0} \varepsilon_{0} v^{2}=(v / c)^{2}=1,00 \cdot 10^{-6}$.
3.251. a) $F_{1}=\mu_{0} I^{2} / 4 R=0,20 \mathrm{mH} / \mathrm{s}$; б) $F_{1}=\mu_{0} I^{2} / \pi l=0,13 \mathrm{mH} / \mathrm{m}$.
3.252. $B=\pi d^{2} \sigma_{m} / 4 R I=8 \mathrm{kT}$, где $\sigma_{m}$ – предел прочности меди.
3.253. $B=(2 \rho g S / I) \operatorname{tg} \vartheta=10$ мТ, где $\rho$-плотиость меди.
3.254. $B=\Delta m g l / N I S=0,4 \mathrm{~T}$.
3.255. а) $F=2 \mu_{0} I I_{0} / \pi\left(4 \eta^{2}-1\right)=0,40 \mathrm{MkH}$;
б) $\quad A=\left(\mu_{0} a I I_{0} / \pi\right) \times$ $\times \ln [(2 \eta+1) /(2 \eta-1)]=0,10$ мкДж.
3.256. $R \approx \sqrt{\mu_{0} / \varepsilon_{0}}(\ln \eta) / \pi=0,36$ кОм.
3.257. $F_{1}=\mu_{0} I^{2} / \pi^{2} R$.
3.258. $F_{1}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 I_{1} I_{2}}{b} \ln (1+b / a)$.
3.259. $F_{1}=B^{2} / 2 \mu_{0}$.
3.260. Во всех трех случаях $F_{1}=\left(B_{1}^{2}-B_{2}^{2}\right) / 2 \mu_{0}$. Сила действует вправо.
Ток в листе (проводящей плоскости) направлен за чертеж.
3.261. $\Delta p=I B / a=0,5$ кПа.
3.262. $p=\mu_{0} I^{2} / 8 \pi^{2} R^{2}$.
3.263. $p=1 / 2 \mu_{0} n^{2} I^{2}$.
3.264. $I_{\mathrm{rp}}=\sqrt{2 F_{\mathrm{rp}} / \mu_{0} n R}$.
3.265. $P=v^{2} B^{2} d^{2} R /(R+\rho d / S)^{2}$; при $\quad R=\rho d / S \quad$ мощность $\quad P=P_{\text {макс }} \leftrightharpoons$ $=1 / \mathrm{u}^{
u^{2}} B^{2} d S / \rho$.
3.266. $U=1 / 4 \mu_{0} I^{2} / \pi^{2} R^{2} n e=2 n \mathrm{n}$.
3.267. $n=j B / e E=2,5 \cdot 10^{28} \mathrm{~m}^{-1}$; почти $1: 1$.
3.268. $u_{0}=1 / \eta B=3,2 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}^{2} /(\mathrm{B} \cdot \mathrm{c})$.
3.269. а) $F=0$; б) $F=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) 2 I p_{m} / r^{2}, \quad \mathbf{F} \upharpoonleft \mathbf{B} ; \quad$ в) $F=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) 2 I p_{m} / r^{2}$, $\mathbf{F} \upharpoonleft$ r.
3.270. $F=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) 3 \pi R^{2} I p_{m} /\left(R^{2}+x^{2}\right)^{5 / 2}$.
3.271. $F=3 / 9 \mu_{0} p_{1 m} p_{3 m} / \pi l^{4}=9 \mathrm{HH}$.
3.272. $I^{\prime} \approx 2 B x^{3} / \mu_{0} R^{2}=0,5 \mathrm{kA}$.
3.273. $B^{\prime}=B \sqrt{\mu^{2} \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}$.
3.274. а) $\oint \mathbf{H} d \mathbf{S}=\pi R^{2} B \cos \vartheta \cdot(\mu-1) / \mu \mu_{0}$; б) $\oint \mathbf{B} d \mathbf{r}=\left(1^{*}-\mu\right) B l \sin \vartheta$.
3.275. а) $I_{\text {пов }}^{\prime}=\chi I$;
б) $I_{\text {об }}^{\prime}=\chi I$; противоположные стороны.
3.276. См. рис. 24.
3.277. $B=\frac{\mu_{1} \mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}} \frac{I}{\pi r}$.
3.278. $\mathbf{B}=2 \mathbf{B}_{0} \mu /(1+\mu)$.
3.279. $B=3 B_{0} \mu /(2+\mu)$.
3.280. $H_{c}=N I / l=6 \mathrm{kA} / \mathrm{M}$.
Рис. 24.
3.281. $H \approx b B / \mu_{0} \pi d=0,10 \mathrm{kA} / \mathrm{M}$.
3.282. При $b \ll R$ проницаемость $\mu \approx 2 \pi R B_{i}^{\prime}\left(\mu_{0} N I-b B\right)=3,7 \cdot 10^{3}$.
3.283. $H=0,06 \mathrm{KA} / \mathrm{M}, \mu_{\text {макс }} \approx 1,0 \cdot 104$.
3.284. Из теоремы о циркуляции вектора $\mathbf{H}$ получаем
\[
B \approx \frac{\mu_{0} N I}{b}-\frac{\mu_{0} \pi d}{b} H=1,51-0,987 H(\mathrm{KA} / \mathrm{m}) .
\]

Кроме того, менду $B$ и $H$ имеется зависимость, график которой показан на рис. 3.76. Искомые значения $H$ и $B$ должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям. Решив эту систему уравнений графически, получим $H \approx 0,26 \mathrm{kA} / \mathrm{M}$, $B \approx 1,25$ Т н $\mu=B / \mu_{0} H \approx 4 \cdot 10^{3}$.
3.285. $F \approx 1 / 2{ }^{*} S B^{2} / \mu_{0}$.
3.286. a) $x_{m}=1 / \sqrt{4 a}$;
б) $\chi=\mu_{0} F_{\text {макс }} \sqrt{\mathrm{e}^{\prime} a} / V B_{0}^{2}=3,6 \cdot 10^{-4}$.
3.287. $A \approx 1 / 2 \% V B^{2} / \mu_{0}$.
3.288. $\mathscr{E}_{i}=B y \sqrt{8 w / a}$.
3.289. $I=B v l /\left(R+R_{\mu}\right)$, где $R_{\mu}=R_{1} R_{2} /\left(R_{1}+R_{2}\right)$.
3.290. а) $\Delta \varphi=2^{2} \omega^{2} a^{2} m_{i}^{\prime} e=3,0 \mathrm{HB}$;) $\Delta \varphi \approx{ }_{2}^{\prime} \omega B a^{2}=20 \mathrm{mB}$.
3.291. $\int_{A}^{C} \mathbf{E} d \mathbf{r}=-1 / 2 \omega B d^{2}=-10 \mathrm{MB}$.
3.292. $\mathscr{E}_{i}=1 / 2(-1)^{n} B a \beta t$, где $n=1,2, \ldots$ – иомер полуоборота, которому принадлежит даниый момент $t$. График $\mathscr{E}_{i}(t)$ показан на рис. 25 , где $t_{n} \Rightarrow$ $=\sqrt{2 \pi n / \beta}$.
3.293. $I_{\text {ннд }}=\alpha / r$, где $\alpha=1 / 2 \mu_{0} l v I / \pi R$.
3.294. $\mathscr{E}_{i}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 I a^{2} v}{x(x+a)}$.
3.295. $\mathscr{E}_{i}=1 / 2\left(\omega a^{3} B^{2}+2 m g \sin \omega t\right) / a B$.
3.296. $v=\frac{m g R \sin \alpha}{B^{2} l^{2}}$.
3.297. $w=\frac{g \sin \alpha}{1+l^{2} B^{2} C / m}$.
3.298. $\langle P\rangle=1 / 2\left(\pi \omega a^{2} B\right)^{2 /} R$.
3.299. $B=1 / 2 q R / N S=0,5 \mathrm{~T}$.
Рис. 25.
3.300. $q=\frac{\mu_{0} a I}{2 \pi R} \ln \frac{b+a}{b-a}$, т. е. от $L$ не зависит.
3.301. а) $I=\frac{\mu_{0} I_{0} v}{2 \pi R} \ln \frac{b}{a}$; б) $F=\frac{v}{R}\left(\frac{\mu_{0} I_{0}}{2 \pi} \ln \frac{b}{a}\right)^{2}$.
2.302. a) $s=v_{0} m R / l^{2} B^{2}$;
б) $Q \doteq 1 / 2 m v_{0}^{9}$.
3.303. $v=\frac{F}{\alpha m}\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha^{\prime}}\right)$, где $\alpha=B^{2} l^{2} / m R$.
3.304. а) По круговому проводнику- по часовой стрелке, в перемычке тока нет; б) во внешнем проводнике-по часовой стрелке; в) в обоих круговых проводниках – по часовой стрелке; в перемычке тока нет; г) в левой части «восьмерки» – по часовой стрелке.
3.305. $I=1 / 4 \omega B_{0}(a-b) / \rho=0,5 \mathrm{~A}$.
3.306. $\mathscr{E}_{i m}=1 / 3 \pi a^{2} N \omega B_{0}$.
3.307. $\mathscr{E}_{i}=3 / 2 w l \dot{B} t^{2}=12 \mathrm{mB}$.
3.308. $E=\left\{\begin{array}{ll}1 / 2 \mu_{0} n \dot{I} r & \text { при } r<a, \\ 1 / 2 \mu_{0} n \dot{I} a^{2} / r & \text { при } r>a .\end{array}\right.$
3.309. $I=1 / 4 \mu_{0} n S d i / \rho=2 \mathrm{мA}$, где $\rho$-удельное сопротивление меди.
3.310. $E=1 / 2 a b(\eta-1) /(\eta+1)$.
3.311. $\omega=-\frac{q}{2 m} \mathbf{B}(t)$.
3.312. $F_{\mathrm{i}_{\text {макс }}}=\frac{\mu_{0} a^{2} U^{2}}{4 r R l b^{2}}$.
3.313. $Q=1 / 3 a^{2} \tau^{3} / R$.
3.314. $I=1 / 2\left(b^{2}-a^{2}\right) \beta h / \rho$.
3.315. $l=\sqrt{4 \pi l_{0} L / \mu_{0}}=0,10 \mathrm{км}$.
3.316. $L=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m R}{l \rho_{0}}$, где $\rho$ и $\rho_{0}-$ удельное сопротивление и плотность меди.
3.317. $t=-\frac{L}{R} \ln (1-\eta)=1,5$ c.
3.318. $\tau=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m}{l \rho \rho_{0}}=0,7$ мс, где $\rho$-удельное сопротивление, $\rho_{0}$ – плотность меди.
3.319. $L_{1} \doteq \frac{\mu \mu_{0}}{2 \pi} \ln \eta=0,26$ мк $\Gamma / \mathrm{m}$,
3.320. $L=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \mu N^{2} a \ln \left(1+\frac{a}{b}\right)$.
3.321. $L_{1}=\mu_{0} h / b=25$ в $\Gamma / \mathrm{m}$.
3.322. $L_{1}=\frac{\mu_{0}}{\pi} \ln (\eta-1)$.
3.323. a) $I=\pi a^{2} B / L$;
6) $A=1 / 2 \pi^{2} a^{4} B^{2} / L$.
3.324. $I=I_{0}(1+\eta)=2 \mathrm{~A}$.
3.325. $I=\frac{\pi a B}{\mu_{0}\left(\ln \frac{8 a}{b}-2\right)}=50 \mathrm{~A}$,
3.326. $I=\frac{\mathscr{E}}{R}\left[1+(\eta-1) \mathrm{e}^{-t \eta R / L}\right]$.
3.327. $I=\frac{\mathscr{E}}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-t R / 2 L}\right)$.
3.328. $I_{1}=\frac{\mathscr{E} L_{2}}{R\left(L_{1}+L_{2}\right)}, I_{2}=\frac{\mathscr{E} L_{1}}{R\left(L_{1}+L_{2}\right)}$.
3.329. $L_{i 2}=\frac{\mu_{0} b}{2 \pi} \ln \left(1+\frac{a}{l}\right)$.
3.330. $L_{12}=\frac{\mu_{0} \mu h N}{2 \pi} \ln \frac{b}{a}$.
3.331. a) $L_{i 2} \approx 1 / 2 \mu_{0} \pi a^{2} / b$;
б) $\Phi_{2 i}=1 / 2 \mu_{0} \pi a^{2} / / b$.
3.332. $p_{m}=2 a R q / \mu_{0} N$.
3.333. $L_{12} \approx 1 / 2 \mu_{0} \pi a^{4} / t^{3}$.
3.334. $I_{2}=\frac{\alpha L_{12}}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-t R / L_{2}}\right)$.
3.335. $Q=\frac{L \mathscr{E}^{2}}{2 R^{2}\left(1+R_{0} / R\right)}=3$ мкДж.
3.336. $W=1 / 2 N \Phi I=0,5$ Дж.
3.337. $W=B H \pi^{2} a^{2} b=2,0$ Дж, где $H=1 / 2 N I / \pi b$.
3.338. а) $W_{3} / W_{M} \approx \mu b / \pi d=3,0$;
б) $L \approx \frac{\mu_{0} S N^{2}}{b+\pi d / \mu}=0,15 \Gamma$.
3.339. $W_{1}=\mu_{0} \lambda^{2} \omega^{2} a^{2} / 8 \pi$.
3.340. $E=B / \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}=3 \cdot 10^{8} \mathrm{~B} / \mathrm{M}$.
3.341. $w_{\mathrm{M}} / w_{9}=\varepsilon_{0} \mu_{0} \omega^{2} a^{4} / l^{2}=1,1 \cdot 10^{-15}$. .
3.343. а) $L_{\text {общ }}=2 L$; 6) $L_{\text {общ }}=L / 2$.
3.344. $L_{12}=\sqrt{L_{1} L_{2}}$.
3.346. $W_{12}=\frac{\mu_{0} \pi a^{2}}{2 b} I_{1} I_{2} \cos \vartheta$.
3.347. а) $\mathrm{j}_{\mathrm{CM}}=-\mathrm{j}$; б) $I_{\mathrm{CM}}=q / \varepsilon_{0} \varepsilon \rho$.
3.348. Кроме тока проводимости следует учесть ток смещения.
3.349. $E_{m}=I_{m} / \varepsilon_{0} \omega S=7 \mathrm{~B} / \mathrm{cm}$.
3.350. $H=H_{m} \cos (\omega t+\alpha)$, где $H_{m}=\frac{r U_{m}}{2 d} \sqrt{\sigma^{2}+\left(\varepsilon_{0} \varepsilon \omega\right)^{2}}$, а $\alpha$ определяется формулой $\operatorname{tg} \alpha=\varepsilon_{0} \varepsilon \omega / \sigma$.
3.351. $\ddot{J}_{\mathrm{CM}}=\left\{\begin{array}{ll}1 / 2 \ddot{B} r & \text { при } r<R, \\ 1 / 2 \ddot{B} R^{2} / r & \text { при } r>R .\end{array}\right.$

Здесь $\ddot{B}=\mu_{6} n I_{m} \omega^{2} \sin \omega t$.

3.352. a) $\mathrm{j}_{\mathrm{CM}}=\frac{3 q \mathrm{v}}{4 \pi r^{3}}$;
б) $\mathrm{J}_{\mathrm{cm}}=-\frac{q \mathbf{v}}{4 \pi r^{3}}$.
3.353. $x_{m}=0, j_{\text {см макс }}=\frac{q v}{4 \pi a^{3}}$.
3.354. $\mathrm{H}=\frac{q[\mathrm{vr}]}{4 \pi r^{3}}$.
3.355. а) Если $\mathbf{B}(t)$, то $\boldsymbol{
abla} \times \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t
eq 0$. Не равенство же нулю простраиствеииых производиых $\mathrm{E}$-поля ( $
abla \times \mathrm{E}
eq 0$ ) возможио только при иаличив электрического поля.
б) Если $\mathbf{B}(t)$, то $
abla \times \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t
eq 0$. В однородиом же поле $
abla \times \mathbf{E}=0$.
в) По предположению, $\mathrm{E}=\mathrm{af}(t)$, где $\mathbf{a}-$ вектор, ие зависящий от координат, $f(t)$-произвольиая фуикция времени. Тогда $-\partial \mathbf{B} / \partial t=\mathbf{
abla} \times \mathbf{E}=0$, т. е. В-поле не зависит от времеии. Вообще говоря, это противоречит уравиению $\mathbf{
abla} \times \mathbf{H}=\partial \mathbf{D} / \partial t$, ибо левая часть его в даниом случае оказывается ие зависящей от времеии, правая же часть-зависящей. Исключеиием является случай, когда $f(t)$-линейная функция. В этом случае одиородиое Е-поле может быть перемеииым во времеии.
3.356. Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения $\boldsymbol{
abla} \times \mathrm{H}=\mathrm{J}+\partial \mathrm{D} / \partial t$. Имея в виду, что дивергеиция ротора всегда равиа иулю, получим $0=
abla \cdot \mathbf{j}+$ $+\frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{D})$. Остается учесть, что $\boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{D}=\boldsymbol{\rho}$.
3.357. Возьмем дивергеицию от обеих частей первого уравнения. Так кав дивергеиция ротора всегда равиа иулю, то $
abla \cdot(\partial \mathbf{B} / \partial t)=0$, или $\frac{\partial}{\partial t}(
abla \cdot \mathbf{B})=0$. Отсюда $\boldsymbol{V} \cdot \mathbf{B}=$ const, что действительио ие противоречит второму уравиеиию.
3.358. $
abla \times \mathrm{E}=[\omega \mathrm{B}]$.
3.359. $\mathrm{E}^{\prime}=[\mathrm{vB}]$.
3.360. $\sigma=\varepsilon_{0} v B=0,40 \pi \mathrm{K \pi} / \mathrm{m}^{2}$.
3.362. $\mathrm{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q[\mathrm{vr}]}{r^{3}}$.
3.364. $\mathrm{E}^{\prime}=b r / r^{2}$, ғде $r$-расстояние от оси $z^{\prime}$.
3.365. $\mathrm{B}^{\prime}=\frac{a[\mathrm{rv}]}{c^{2} r^{2}}$, где $r-$ расстояиие от осн $z^{\prime}$.
3.367. а) $E^{\prime}=E \sqrt{\frac{1-\beta^{2} \cos ^{2} \alpha}{1-\beta^{2}}}=9$ кВ/м; $\operatorname{tg} \alpha^{\prime}=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$, откуда $\alpha^{\prime} \approx$ $\approx 51^{\circ}$; б) $B^{\prime}=\frac{\beta E \sin \alpha}{c \sqrt{1-\beta^{2}}}=14$ мкт.
3.368. а) $E^{\prime}=\frac{\beta B \sin \alpha}{c \sqrt{1-\beta^{2}}}=1,4 \quad$ иВ/м; б) $B^{\prime}=B \sqrt{\frac{1-\beta^{2} \cos ^{2} \alpha}{1-\beta^{2}}}=0,9 \mathrm{~T}$, $\alpha^{\prime} \approx 51^{\circ}$.
3.370. $B^{\prime}=B \sqrt{1-(E / C B)^{2}} \approx 0,15 \mathrm{MT}$.
3.371. Пусть заряд $q$ движется в положительном направлеиии оси $i$ $K$-системы отсчета. Перейдем в К’-систему, в иачале коордииат которой этот заряд покоится (оси $x^{\prime}$ и ‘ $x$ обеих систем совпадают, оси $y^{\prime}$ н $y$-параллельиы). В $K^{\prime}$-системе поле заряда имеет иаиболее простой вид: $\mathbf{E}^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{\prime 3}} \mathbf{r}^{\prime}$, н в плоскости $x, y$
\[
E_{x}^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{\prime 3}} x^{\prime}, \quad E_{y}^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}-\frac{q}{r^{\prime 3}} y^{\prime} .
\]

Теперь совершим обратныл переход в исходную $K$-систему. В момент, когда заряд $q$ проходит через начало координат $K$-системы, проекции $x, y$ вектора $\mathbf{r}$ связаны с проекциями $x^{\prime}, y^{\prime}$ вектора $\mathbf{r}^{\prime}$ соотношениями
\[
x=r \cos \vartheta=x^{\prime} \sqrt{1-(v / c)^{2}}, \quad y=r \sin \vartheta=y^{\prime} .
\]

Кроме того, согласно преобразованиям, обратным (3.6н),
\[
E_{x}=E_{\boldsymbol{x}}^{\prime} . \quad E_{y}=E_{y}^{\prime} / \sqrt{1-(v / c)^{2}} .
\]

Решив совместно все эти уравнения, получим
\[
\mathbf{E}=E_{x} \mathbf{i}+E_{y} \mathbf{j}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q \mathbf{r}}{r^{3}} \frac{1-\beta^{2}}{\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} \boldsymbol{\vartheta}\right)^{3 / 2}} .
\]

Следует обратить внимание на то, что в данном случае (v=const) вектор $\mathbf{E}$ коляинеарен вектору $\mathbf{r}$.
3.372. $v=\sqrt[y]{9 / 2 a l e / m}=16 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
3.373. $\operatorname{tg} \alpha=\frac{a l^{2}}{4} \sqrt{\frac{m}{2 e U^{3}}}$.
3.374. а) $x=2 E_{0} / a$; б) $w=q E_{0} / m$.
3.375. $t=\frac{\sqrt{T\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)}}{c e E}=3,0 \mathrm{нс}$.
3.376. $w=\frac{e E}{m_{0}\left(1+T / m_{0} c^{2}\right)^{3}}$.
3.377. а) $\operatorname{tg} \vartheta=\frac{e E t}{m_{0} v_{0}} \sqrt{1-\left(v_{0} / c\right)^{2}}$, где $e$ и $m_{0}$-заряд и масса прстона;
б) $v_{x}=v_{0} / \sqrt{1+\left(1-v_{0}^{2} / c^{2}\right)\left(e E t / m_{0} c^{2}\right)^{2}}$.
3.378. $\alpha=\arcsin \left(d B \sqrt{\frac{q}{2 m U}}\right)=30^{\circ}$.
3.379. a) $\mathrm{J}=\mathrm{reB} / \mathrm{m}=100 \mathrm{kM} / \mathrm{c}, \quad T=2 \pi \mathrm{m} / e B=6,5 \mathrm{мкс}$;
б) $v=c / \sqrt{1+\left(m_{0} c / r e B\right)^{2}}=0,51 c, \quad T=\frac{2 \pi m_{0}}{e B \sqrt{1-\left(v / c^{2}\right)}}=4,1 \mathrm{нc}$.
3.380. а) $p=q r B$; б) $T=m_{0} c^{2}\left(\sqrt{1+\left(q r B / m_{0} c\right)^{2}}-1\right)$; в) $w=\frac{c^{2}}{r\left[1+\left(m_{0} c / q r B\right)^{2}\right]}$.
3.381. $T=\eta m_{0} c^{2}$. Соответственно 5 кэВ и 9 МэВ.
3.382. $\Delta l=2 \pi \sqrt{2 m U / e B^{2}} \cos \alpha=2,0 \mathrm{~cm}$.
3.383. $q / m=\frac{8 \pi^{2} U}{l^{2}\left(B_{2}-B_{1}\right)^{2}}$.
3.384. $r=2 \rho|\sin (\varphi / 2)|$, где $\rho=\frac{m v}{e B} \sin \alpha, \quad \varphi=\frac{l e B}{m v \cos \alpha}$.
3.385. $r_{\text {макс }}=a \mathrm{e}^{v_{0} / b}$, где $b=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{e}{m} I$.
3.386. $v=\frac{U}{r B \ln (b / a)}, \quad q / m=\frac{U}{r^{2} B^{2} \ln (b / a)}$.
3.387. a) $y_{n}=\frac{2 \pi^{2} m E n^{2}}{q B^{2}}$; c) $\operatorname{tg} \alpha=\frac{v_{0} B}{2 \pi E n}$.
3.389. $z=l \operatorname{tg} \sqrt{\frac{q B^{2}}{2 m E} y} ;$ при $z \ll l$ это уравнение упрощается: $\boldsymbol{y}=$ $=\left(2 m E / q l^{2} B^{2}\right) z^{2}$.
3.389. $F=m E I / g B=20$ мкН.
3.390. $\Delta l=\frac{2 \pi m E}{e B^{2}} \operatorname{tg} \varphi=6 \mathrm{~cm}$.
3.391. $q / m=\frac{a(a+2 b) B^{2}}{2 E \Delta x}$.
3.392. а) $x=a^{\prime}(\omega t-\sin \omega t) ; \quad y=a(1-\cos \omega t)$, где $\quad a=m E / q B^{2}, \quad \omega=q B \cdot$. Траекторией является циклоида (рис. 26). Движение частицы представляет собой
Рис. 26.

деижение точки иа ободе круга радиусом $a$, катящегося без ско.ъжения вдо.ть оси $x$ так, что его центр перемецается со скоростьо $v=E_{i}^{\prime} B$; б) $s=8 m E / g B^{2}$; в) $\left\langle v_{x}\right\rangle=E / B$.
3.393. $U=2 \frac{e}{m}\left(\frac{\mu_{0} I}{4 \pi}\right)^{2} \ln \frac{a}{b}$.
3.394. $B \leqslant \frac{2 b}{b^{2}-a^{2}} \sqrt{\frac{2 m}{e} U}$.
.. ‘ 3.395. $y=\frac{a}{2 \omega} t \sin \omega t, \quad x=\frac{a}{2 \omega^{2}}(\sin \omega t-\omega t \cos \omega t)$, где $a=q E_{m} / m$. Траектория имеет вид раскручивающейся спирали.
3.396. $U \gtrless 2 \pi^{2} v^{2} m r \Delta r / e=0,10 \mathrm{MB}$.
3.397. a) $T=\frac{(e r B)^{2}}{2 m}=12 \mathrm{M} \mathrm{B}$;
б) $v_{\text {мнн }}=\frac{1}{\jmath t r} \sqrt{\frac{T}{2 m}}=20$ МГц.
3.398. а) $t=\frac{\pi^{2} v m r^{2}}{e U}=17 \mathrm{MKc}$;
б) $s \approx \frac{4 \pi^{3} v^{2} m r^{2}}{3 e U}=0,74$ км. Указаиие. Здесь $s \sim \sum_{n=1}^{N} v_{n} \sim \sum \sqrt{n}$, где $v_{n}$-скорость часгицы после $n$-го прохождения ускоряющего промежутка. Так как $N$ велико; то $\sum_{1}^{N} \sqrt{n} \approx \int_{0}^{N} \sqrt{n} d n$.
3.399. $n=2 \pi v W / e B c^{2}=9$.
3.400. $\omega=\omega_{0} / \sqrt{1+a t}$, где $\omega_{0}=q B / m, a=q B \Delta W / \pi m^{2} c^{2}$.
3.401. $v=1 / 2 r q B / m, \rho=r^{\prime} / 2$.
3.402. $N=W / e \dot{\Phi}=5 \cdot 10^{6}$ оборотов, $s=2 \pi r N=8 \cdot 10^{3} \mathrm{км}$.
3.403. С одиой стороны,
\[
\frac{d p}{d t}=e E=\frac{e}{2 \pi r} \frac{d \Phi}{d t},
\]

где $p$-импульс электрона, $r$ – радиус орбиты, Ф-магнитный поток внутри нее.

С другой стороны, $d p / d t$ можио иайти, проднфференцировав соотиошение $\boldsymbol{p}=\operatorname{er} B$ при $r=$ const. Из сравнения получеииых выражений следует, что $d B_{0} / d t=1 / 2\langle d B / d t\rangle$. В частиости, это условие будет выполиеио, если $B_{0}=1 / 2\langle B\rangle$. 3.404. $r_{0}=\sqrt{2 B_{0} / 3 a}$.
3.405. $d E / d r=B\left(r_{0}\right)-1 / 2\langle B\rangle=0$.
3.406. $\Delta W=2 \pi r^{2} c B / \Delta t=0,10$ кэВ.
3.407. а) $W=\left(\sqrt{1+\left(r e B / m_{0} c\right)^{2}}-1\right) m_{0} c^{2}$; б) $s=W \Delta t / r e B$.
4.1. а) См. рис. 27 ; б) $\left(v_{x} / \alpha \omega\right)^{2}+(x / a)^{2}=1$ и $w_{x}=-\omega^{2} x$.
Рис. 27.
4.2. a) Амплитуда равиа $a / 2$, период $T=\pi / \omega$, см. рис. $28, a$; б) $v_{x}^{2}=$ $=4 \omega^{2} x(a-x)$, см. рис. 28,6 .
Рис. 28.
4.3. $x=a \cos (\omega t+\alpha)=-29 \mathrm{~cm}, \quad v_{x}=-81 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$, где $a=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(v_{x 0} / \omega\right)^{2}}$, $\boldsymbol{\alpha}=\operatorname{arctg}\left(-v_{x 0} / \omega x_{0}\right)$.
4.4. $\omega=\sqrt{\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right) /\left(x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right)}, \quad a=\sqrt{\left(v_{1}^{2} x_{2}^{2}-v_{2}^{2} x_{1}^{2}\right) /\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)}$.
4.5. а) $\langle v\rangle=3 a / T=0,50 \mathrm{M} / \mathrm{c} ;$ б) $\langle v\rangle=6 a / T=1,0 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
4.6. а) $\left\langle v_{x}\right\rangle=\frac{2 \sqrt{2}}{3 \pi} a \omega ;$ б) $|\langle v\rangle|=\frac{2 \sqrt{2}}{3 \pi} a \omega ;$ в $\langle v\rangle=\frac{2(4-\sqrt{2})}{3 \pi} a \omega$.
4.7. $s=\left\{\begin{array}{ll}a[n+1-\cos (\omega t-n \pi / 2)], & n \text {-четиое, } \\ a[n+\sin (\omega t-n \pi / 2)], & n \text {-нечетиое. }\end{array}\right.$

Здесь $n$-целое число отношения $2 \omega t / \pi$.
4.8. $s=0,6 \mathrm{M}$.
4.9. $d P / d x=1 / \pi \sqrt{a^{2}-x^{2}}$.
4.10. В обоих случаях $a=7$.
4.11. $v_{\text {макс }}=2,73 a \omega$.
4.12. 47,9 и 52,1 рад/с, 1,5 с.
4.13. 18 или 26 Гџ.
4.14. а) $x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1$, по часовой стрелке; б) $\mathbf{w}=-\omega^{2} \mathrm{r}$.
4.15. а) $y^{2}=4 x^{2}\left(1-x^{2} / a^{2}\right)$; б) $y=a\left(1-2 x^{2} / a^{2}\right)$. См. рис. 29 .
Рис 29.
4.16. $T 2=\pi \sqrt{m / a^{2} U_{0}}$.
4.17. $T=4 \pi a \sqrt{m a} / b^{2}$.
4.18. $T=\pi \sqrt{m l / F}=0,2 \mathrm{c}$.
4.19. $T=2 \pi \sqrt{\eta l / g(\eta-1)}=1,1 \mathrm{c}$.
4.20. $T=2 \sqrt{\operatorname{l/g}}[\pi / 2+\arcsin (\alpha / \beta)]$.
4.21. $t=\sqrt{\frac{2 h}{w}} \frac{\sqrt{1+\eta}-\sqrt{1-\eta}}{1-\sqrt{1-\eta}}$, где $\eta=w / g$.
4.22. $T=\sqrt{4 \pi m / \rho g r^{2}}=2,5 \mathrm{c}$.
4.23. $T=2 \pi \sqrt{\eta(1-\eta) m / x}=0,13 \mathrm{c}$.
4.24. $T=2 \pi \sqrt{m /\left(x_{1}+x_{2}\right)}$.
4.25. $T=2 \pi \sqrt{m / x}$, где $x=x_{1} x_{2} /\left(x_{1}+x_{2}\right)$.
4.26. $\omega=\sqrt{2 T_{0} / m l}$.
4.27. $T=2 \pi \sqrt{m / S \rho g(1+\cos \theta)}=0,8 \mathrm{c}$.
4.28. $T=\pi \sqrt{2 l / k g}=1,5 \mathrm{c}$.
4.29. а) $\ddot{x}+(g / R) x=0$, где $x$-смещение тела относительно центра Земли, $R$-ее радиус, $g$-нормальное ускорение свободного падения; б) $\tau=\pi \sqrt{R / g}=$ $=42$ минн; в) $v=\sqrt{g R}=7,9 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
4.30. $T=2 \pi \sqrt{l /|g-w|}=0,8 \mathrm{c}$, где $|g-w|=\sqrt{g^{2}+\omega^{2}-2 g \omega \cos \beta}$.
4.31. $T=2 \pi / \sqrt{\varkappa / m-\omega^{2}}=0,7 \mathrm{c}, \omega \geqslant \sqrt{\varkappa / m}=10$ рад/c.
4.32. $k=4 \pi^{2} a / g T^{2}=0,4$.
4.33. a) $\vartheta=3,0^{\circ} \cos 3,5 t$;
б) $\boldsymbol{\vartheta}=4,5^{\circ} \sin 3,5 t$;
в) $\vartheta=5,4^{\circ} \cos (3,5 t+1,0)$.

Здесь $t$ в секундах.
4.34. $F=\left(m_{1}+m_{2}\right) g \pm m_{1} a \omega^{2}=60$ и $40 \mathrm{H}$.
4.35. a) $F=m g\left(1+\frac{a \omega^{2}}{g} \cos \omega t\right)$, см.+ pис. 30 ;
б) $a_{\text {Mин }}=g / \omega^{2}=8 \mathrm{~cm}$;
Рис. 30.
4.36. а) $y=(1-\cos \omega t) m g / x$, где $\omega=\sqrt{x / m}$;
4.37. $\left(x / r_{0}\right)^{2}+\alpha\left(y_{/} / v_{0}\right)^{2}=1$.
б). $T_{\text {маKс }}=2 m g, T_{\text {мин }}=0$.
4.38. a) $y=(1-\cos \omega t) w / \omega^{2}$;
б) $y=(\omega t-\sin \omega t) \alpha / \omega^{3}$. Здесь $\omega=\sqrt{x / m}$.
4.39. $\Delta h_{\text {макс }}=m g / k=10 \mathrm{~cm}, E=m^{2} g^{2} / 2 k=4,8$ мДж.
4.40. $a=(m g / x) \sqrt{1+2 h x / m g}, E=m g h+m^{2} g^{2} / 2 x$.
4.41. $a=(m g / x) \sqrt{1+2 h x /(m+M) g}$.
4.42. Запишем уравненне двнжения в проекциях на оси $\boldsymbol{x}$ и
\[
\ddot{x}=\omega \dot{y}, \quad \ddot{y}=-\omega \dot{x}, \text { где } \omega=a / \mathrm{m} .
\]

Их интегрнрованне (с учетом начальных условий) дает $x=\left(v_{0} / \omega\right)(1-\cos \omega t)$, $\boldsymbol{y}=\left(v_{0} / \omega\right) \sin \omega t$. Отсюда $\left(x-v_{0} / \omega\right)^{2}+y^{2}=\left(v_{0} / \omega\right)^{2}$. Это уравнение окружности радиуса $v_{0} / \omega$ с центром в точке $x_{0}=v_{0} / \omega, y_{0}=0$.
4.43. Увелнчнтся в $\sqrt{1+2 / 5(R / I)^{2}}$ раз. Здесь учтено, что вода до замерзавия движется поступательно, и система ведет себя как матєлатический маятних.
4.44. $\omega=\sqrt{\frac{3 g}{2 l}\left(1+\frac{2 x l}{m g}\right)}$.
4.45. а) $T=2 \pi \sqrt{l / 3 g}=1,1 \mathrm{c}$;
4.46. $\varphi_{m}=\varphi_{0} \sqrt{1+m R^{-1} \dot{\varphi}^{2} / 2 k\left(\varphi_{0}\right.}$, $)=1 / 2 m g l \alpha^{2}=0,05$ Дж.
4.47. $\langle T\rangle=1 / 8 \mathrm{mgl} \dot{\vartheta}^{*}+1 / 2 \mathrm{~m} \mathrm{~m}^{2}$.
4.48. $T=4{ }^{\prime} m g l \hat{\vartheta}_{0}^{3}+1 / 12 m l^{2} \hat{\vartheta}_{i j}^{2}$.
4:48. $T=4 \pi / \omega$.
4.49. ${ }^{\prime} I=m l^{2}\left(\omega_{2}^{2}-g / l\right) /\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right)=0,8 \Gamma \cdot \mathrm{M}^{2}$.
4.50. $\omega=\sqrt{\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}\right) /\left(I_{1}+I_{2}\right)}$.
4.51. $x=l / 2 \sqrt{3}, T_{\text {мин }}=2 \pi \sqrt{l / g \sqrt{3}}$.
4.52. $T=\pi \sqrt{2 h / g}, \quad l_{\text {пр }}=h / 2$.
4.53. $\omega_{0}=\sqrt{3 a \omega^{2} / 2 l}$.
4.54. $\omega \omega_{0}=\sqrt{x /\left(m+I / R^{2}\right)}$.
4.55. $\omega_{0}=\sqrt{\frac{2 m g \cos \alpha}{M R+2 m R(1+\sin \alpha)}}$.
4.56. $T=2 \pi \sqrt{3(R-r) / 2 g}$.
4.57. $T=\pi \sqrt{3 m / 2 x}$.
4.58:\” $\omega_{0}=\sqrt{\varkappa / \mu}$, где $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
4.59. а) $\omega=\sqrt{x / \mu}=6$ рад/с; б) $E=1 / 2 \mu \sigma_{1}^{2}=5$ мдж, $a=v_{1} / \omega=2 \mathrm{cм}$. Здесь $\boldsymbol{\mu}=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
4.60. $T=2 \pi \sqrt{I^{\prime} / k}$, где $I^{\prime}=I_{1} I_{2} /\left(I_{1}+I_{2}\right)$.
4.61. $\omega_{2} / \omega_{1}=\sqrt{1+2 m_{\mathrm{O}} / m_{\mathrm{C}}} \approx 1,9$, где $m_{\mathrm{O}}$ и $m_{\mathrm{C}}$-массы атомов кислорода च. углерода.
4.62. $\omega=S \sqrt{2 \gamma p_{0} / m V_{0}}$, где $\gamma$-показатель адиабаты.
4.63. $q=4 h \sqrt{\pi \varepsilon_{0} m g\left(\eta^{2}-1\right)}=2,0$ мкКл.
4.64. Инду:ция поля увелнчилась в $\eta^{2}=25$ раз.
4.65. $x=\left(v_{0} / \omega\right) \sin \omega t$, где $\omega=l B \sqrt{ } \mathrm{mL}^{-}$.
4.66. $x=(1-\cos \omega t) g / \omega^{2}$, где $\omega=i B / \sqrt{m L}$.
4.67. а) $a_{0}$ и $a_{0}\left(\right.$; б) $t_{n}=\frac{1}{\omega}\left(\operatorname{arctg} \frac{\omega}{\beta}+n \pi\right)$, где $n=0,1,2, \ldots$
4.68. а) $\dot{\varphi}(0)=-\beta \varphi_{0}, \ddot{\varphi}(0)=\left(\beta^{2}-\omega^{2}\right) \varphi_{0} ;$ б) $t_{n}=\frac{1}{\omega}\left(\operatorname{arctg} \frac{\omega^{2}-\beta^{2}}{2 \beta \omega}+n \pi\right)$,
rде $n=0,1,2, \ldots$
4.69. а) $a_{0}=\frac{\left|\dot{x}_{0}\right|}{\omega}, \alpha=\left\{\begin{array}{l}-\pi / 2, \text { е } л и \dot{x}_{0}>0, \\ +\pi / 2, \text { если } \dot{x}_{0}<0\end{array}\right.$
6) $a_{0}=\left|x_{0}\right| \sqrt{1+(\beta / \omega)^{2}}, \quad \alpha=\operatorname{arctg}(-\beta / \omega)_{2}$ причем $-\pi / 2<\alpha<0$, ссли $\boldsymbol{x}_{0}>0$, и $\pi / 2<\alpha<\pi$, если $x_{0}<0$.
4.70. $\beta=\omega \sqrt{\eta^{2}-1}=5 \mathrm{c}^{-1}$.
4.71. a) $v(t)=a_{\theta} \sqrt{\omega^{2}+\beta^{2}} \mathrm{e}^{-\beta t}$; б) $v(t)=\left|\dot{x}_{0}\right| \sqrt{1+(\beta / \omega)^{2}} \mathrm{e}^{-\beta t}$.
4.72. Ответ зависит от того, какой смысл вкладывать в данный вопрос. Во времени затухает быстрее первое колебание. Если же взять дня каждого колебания его естественный масштаб времени – период $T$, то за это время быстрее затухает второе колебание.
4.73. $\lambda=n \lambda_{0} / \sqrt{1+\left(1-n^{2}\right)\left(\lambda_{0} / 2 \pi\right)^{2}}=3,3, n^{\prime}=\sqrt{1+\left(2 \pi / \lambda_{c}\right)^{2}}=4,3$ раза.
4.74. $T=\sqrt{\left(4 \pi^{2}+\lambda^{2}\right) \Delta x / g}=0,70 \mathrm{c}$.
4.75. $Q=\pi n / \ln \eta=5 \cdot 10^{2}$.
4.76. $s \approx l\left(1+\mathrm{e}^{-\lambda / 2}\right) /\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda / 2}\right)=2 \mathrm{~m}$.
4.77. $Q=1 / 2 \sqrt{\frac{4 g \tau^{2}}{l \ln ^{2} \eta}-1}=1,3 \cdot 10^{2}$.
4.78. $T=\sqrt{3 /\left(4 \pi^{2}+\lambda^{2}\right) R / g}=0,9 \mathrm{c}$.
4.79. $\omega=\sqrt{\frac{2 \alpha}{m R^{2}}-\left(\frac{\pi \eta R^{2}}{m}\right)^{2}}$.
4.80. $\eta=2 \lambda h / / \pi R^{4} T$.
4.81. $\mathrm{\tau}=2 R I / a^{4} B^{2}$.
4.82. а) $T=2 \pi \sqrt{m / x}=0,28$ с; б) $n=\left(x_{0}-\Delta\right) / 4 \Delta=3,5$ колебания, здесь $\Delta=\mathrm{kmg} / \mathrm{x}$.
4.83. $x=\frac{F_{0} / m}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}}\left(\cos \omega_{0} t-\cos \omega t\right)$.
4.84. Уравнения движения и их решения:
\[
\begin{array}{lll}
t \leqslant \tau, & \ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=F / m, & x=\left(1-\cos \omega_{0} t\right) F / k, \\
t \geqslant \tau, & \ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=0, & x=a \cos \left[\omega_{0}(t-\tau)+\alpha\right],
\end{array}
\]
где $\omega_{0}^{2}=k / m, \quad a$ и $\alpha$-произвольные постоянные. Из условия непрерывности $\boldsymbol{x}$ и $\dot{x}$ в момент $t=\tau$ находим искомую амплитуду:
\[
a=(2 F / k)\left|\sin \left(\omega_{0} t / 2\right)\right| .
\]
4.85. $\omega_{\mathrm{pe} 3}=\sqrt{\frac{1-(\lambda / 2 \pi)^{2}}{1+(\lambda / 2 \pi)^{2}} \frac{g}{\Delta l}}, a_{\mathrm{pe} 3}=\frac{\lambda F_{0} \Delta l}{4 \pi m g}\left(1+\frac{4 \pi^{2}}{\lambda^{2}}\right)$.
4.86. $\omega_{\text {рез }}=\sqrt{\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right) / 2}=5,1 \cdot 10^{2} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$.
4.87. а) $\omega_{0}=\sqrt{\omega_{1} \omega_{2}}$; б) $\beta=\left|\omega_{2}-\omega_{1}\right| / 2 \sqrt{3}, \omega=\sqrt{\omega_{1} \omega_{2}-\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right)^{2} / 12}$.
4.88. $\eta=\left(1+\lambda^{2} / 4 \pi^{2}\right) \pi / \lambda=2,1$.
4.89. $A=\pi a F_{0} \sin \varphi$.
4.90. а) $Q=1 / 2 \sqrt{\frac{4 \omega^{2} \omega_{0}^{2}}{\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right) \operatorname{tg}^{2} \varphi}-1}=0,35 ;$ б) $A=\pi m a^{2}\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right) \operatorname{tg} \Phi=$ $=6$ мДж. Здесь $\omega_{0}=\sqrt{x / m}$.
4.91. а) $\langle P\rangle=\frac{F_{1}^{2} \beta \omega^{2} / m}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}}$; б) $\omega=\omega_{0},\langle P\rangle_{\text {maKc }}=F_{0}^{2} / 4 \beta m$.
4.92. $\frac{\langle P\rangle_{\text {MaKC }}-\langle P\rangle}{\langle P\rangle_{\text {maKC }}}=\frac{100}{\eta^{2}-1} \%$.
4.93. а) $A=-\pi \varphi_{m} N_{m} \sin \alpha$; б) $Q=\frac{\sqrt{\left(\cos \alpha+2 \omega^{2} / \varphi_{m} / N_{m}\right)^{2}-1}}{2 \sin \alpha}$.
4.94. $\omega=\sqrt{n e^{2} / \varepsilon_{0} m}=1,65 \cdot 10^{16}$ рад/с.
4.95. $U^{2}+I^{2} L / C=U_{m}^{2}$.
4.96. а) $I=I_{m} \sin \omega_{0} t$, где $I_{m}=U_{m} \sqrt{C / L}, \omega_{0}=1 / \sqrt{L C} ; \quad$ б) $\mathscr{E}_{s}=U_{m} / \sqrt{2}$.
4.97. $A=\left(\eta^{2}-1\right) W$.
4.98. а) $T=2 \pi \sqrt{L\left(C_{1}+C_{2}\right)}=0,7$ мс; б) $I_{m}=U \sqrt{\left(C_{1}+C_{2}\right) / L}=8 \mathrm{~A}$.
4.99. $U=1 / 2(1 \pm \cos \omega t) U_{0}$, где знак плюс-для левого конденсатора, зна́к минус – для правого; $\omega=\sqrt{2 / L C}$.
4.100. $I=\frac{\Phi}{L} \cos (t / \sqrt{L C})$.
4.101. а) $t_{n}=\frac{\pi n}{\omega}$; б) $t_{n}=\frac{1}{\omega} \operatorname{arctg} \frac{\beta}{\omega}+\pi n$. Здесь $n=0,1,2, \ldots$
4.102. $U_{0} / U_{m}=\sqrt{1-\frac{R^{2} C}{4 L}}$.
4.103. $U_{C}=I_{m} \sqrt{L / C} \mathrm{e}^{-\beta t} \sin (\omega t+\alpha)$, причем $\operatorname{tg} \alpha=\omega / \beta ; \quad U_{C}(0)=I_{m} \times$ $\times \sqrt{\frac{L}{C\left(1+\beta^{2} / \omega^{2}\right)}}$.
4.104. $W_{L} / W_{C}=L / C R^{2}=5$.
4.105. $L=L_{1}+L_{2}, R=R_{1}+R_{2}$.
4.106. $t=\frac{Q}{\pi v} \ln \eta=0,5 \mathrm{c}$.
4.107. $n=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4 L}{C R^{2}}-1}=16$.
4.108. $\frac{\omega_{0}-\omega}{\omega_{0}}=1-\frac{1}{\sqrt{1+1 /(2 Q)^{2}}} \approx \frac{1}{8 Q^{2}}=0,5 \%$.
4.109. а) $W_{0}=1 / 2 \mathscr{E}^{2}\left(L+C R^{2}\right) /(r+R)^{2}=2,0 \quad$ мДж; ; б) $\quad W=W_{0} \mathrm{e}^{-t R / L}$ $=0,10$ мДж.
4.110. $t \approx \frac{Q}{2 \pi v_{0}} \ln \eta=1,0 \mathrm{Mc}$.
4.111. a) $\omega=\sqrt{\frac{1}{L C}-\frac{1}{4 R^{2} C^{2}}}$;
б) $Q=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{4 R^{2} C}{L}-1}$. При решенин следует учесть, что $d q / d t=I-I^{\prime}$, где $q$-заряд конденсатора, $I$-ток через катушку, $I^{\prime}$ – ток утечкн ( $I^{\prime}=U / R$ ).
4.112. $Q=\frac{U_{m}^{2}}{2\langle P\rangle} \sqrt{\frac{\bar{C}}{L}}=1,0 \cdot 10^{2}$.
4.113. $\langle P\rangle=R\left\langle I^{2}\right\rangle=1 / 2 R I_{m}^{2}=20 \mathrm{MBT}$.
4.114. $\langle P\rangle=1 / 2 R C U_{m}^{2} / L=5$ мBт.
4.115. $\omega=\sqrt{\frac{1}{L C}-\frac{1}{4 R^{2} C^{2}}} ; R<\frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
4.116. $\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}}=\frac{1}{L}$ н $\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{R}$.
4.117. $I=\frac{U_{0}}{L} t \mathrm{e}^{-t / \sqrt{L C}} ; I=I_{\text {макс }}=\frac{U_{0}}{\mathrm{e}} \sqrt{\frac{\bar{C}}{L}}$ в момент $t_{m}=\sqrt{L C}$.
4.118. $I=\frac{U_{m}}{\sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}}\left[\cos (\omega t-\varphi)-\cos \varphi \cdot \mathrm{e}^{-t R / L}\right], \operatorname{tg} \varphi=\omega L / R$.
4.119. $l=\frac{U_{m}}{\sqrt{R^{2}+1 /(\omega C)^{2}}}\left[\cos (\omega t-\varphi)-\cos \varphi \cdot \mathrm{e}^{-t / R C}\right], \operatorname{tg} \varphi=-\frac{1}{\omega R C}$.
4.120. Ток отстает по фазе от напряжения на угол $\varphi$, определяемый уравнением $\operatorname{tg} \varphi=\frac{\mu_{0} \pi^{2} v a}{4 n \rho}$.
4.121. Ток опережает по фазе напряженне иа угол $\varphi=60^{\circ}$, определяемый уравнением $\operatorname{tg} \varphi=\sqrt{\left(U_{m} / R I_{m}\right)^{2}-1}$.
4.122. а) $U^{\prime}=U_{0}+U_{m} \cos (\omega t-\alpha), \quad$ где $\quad U_{m}=U_{0} / \sqrt{1+(\omega R C)^{2}}, \quad \alpha=$ $=\operatorname{arctg}(\omega R C)$; б) $R C=\sqrt{\eta^{2}-1} / \omega=22 \mathrm{mc}$.
4.123. См. рис. 31 .
Pnc. 31.
4.124. а) $I_{m}=U_{m} / \sqrt{R^{2}+(\omega L-1 / \omega C)^{2}}=4,5 \mathrm{~A}$; 6) $\operatorname{tg} \varphi=\frac{\omega L-1 / \omega C}{R}$, $\Phi=-60^{\circ}$ (ток огережает напряжение); в) $U_{C}=I_{m} / \omega C=0,65$ кВ, $U_{L}=$ $=I_{m} \sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}=0,50 \mathrm{kB}$ :
4.125. а) $\omega=\sqrt{\omega_{0}^{\mathrm{g}}-2 \beta^{2}}$; б) $\omega=\omega_{0}^{2} / \sqrt{\omega_{0}^{2}-2 \beta^{2}}$, где $\omega_{0}^{\mathrm{g}}=1 / L C, \beta=R / 2 L$.
4.126. При $C=\frac{1}{\omega^{2} L}=28$ мкФ; $U_{L}=U_{m} \sqrt{1+(\omega L / R)^{2}}=0,54 \mathrm{kB} ; \quad U_{C}=$ $=U_{m} \omega L / R=0,51 \mathrm{kB}$.
4.127. $I=I_{m} \cos (\omega t+\varphi)$, где $I_{m}=\frac{U_{m}}{R} \sqrt{1+(\omega R C)^{2}}$ и $\operatorname{tg} \varphi=\omega R C$.
4.128. $\omega_{0}=\sqrt{\frac{L_{2}}{C\left(L_{1} L_{2}-L_{19}^{2}\right)}}$.
4.129. $Q=\sqrt{n^{2}-1 / 4}$.
4.130. $Q=\sqrt{\frac{\eta^{2}-1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{4}}$.
4.131. а) $\omega_{v}=\sqrt{\omega_{1} \omega_{2}} ;$ б) $Q=\sqrt{\frac{\omega_{1} \omega_{3}\left(n^{2}-1\right)}{\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right)^{2}}-\frac{1}{4}}$.
4.133. $I_{0} / I=\sqrt{1+\left(Q^{2}+1 / 4\right)\left(\eta^{2}-1\right)^{2} / \eta^{2}}$, соответственно 2,2 и 19.
4.134. $t=1 / 2 \pi t_{0}$.
4.135. a) $I=\frac{2}{\sqrt{3}} I_{0} \approx 1,15 I_{0} ;$ б) $I=\frac{\pi}{\sqrt{8}} I_{0} \approx 1,11 I_{0}$. .
4.136. $v=\frac{R}{2 \pi L} \sqrt{\eta-1}=2$ кГц.
4.137. Ток отстает по фазе от напряжения на $\varphi=\arccos \sqrt{1-\left(X_{L} / Z\right)^{2}} \approx$ $\approx 37^{\circ}, \quad P=\frac{U^{2}}{Z^{2}} \sqrt{Z^{2}-X_{L}^{2}}=0,16 \mathrm{kB}$.
4.138. При $R=\omega L-r=0,20$ кОм; $P_{\text {макс }}=\frac{U^{2}}{2 \omega L}=0,11$ кВт.
4.139. Увелнчнлось на $\sqrt{n}-1 \approx 30 \%$.
4.140. При $Q \gg 1$ отношенне $\Delta \omega / \omega_{0} \approx 1 / 2 \sqrt{n-1} / Q=0,5 \%$.
4.141. $P_{2}=1 / 2\left(U^{2}-U_{1}^{2}-U_{2}^{2}\right) / R=30 \mathrm{Br}$.
4.142. $P_{1}=1 / 2\left(I^{2}-I_{1}^{2}-I_{2}^{2} R=2,5 \mathrm{Br}\right.$.
4.143. $Z=R / \sqrt{1+(\omega C R)^{2}}=40$ Ом,
4.144. См. рнс. 32 .
Рис. 32.
4.145. а) $\omega_{\text {peз }}=\sqrt{\frac{1}{L C}-\frac{R^{2}}{L^{2}}}=3 \cdot 10^{4} \quad$ рад/c;
б) $I=U R C / L=3 \quad \mathrm{MA}$, $I_{L}=U \sqrt{C / L}=1,0 \mathrm{~A}, I_{C}=U \sqrt{\frac{C}{L}-\left(\frac{R C}{L}\right)^{2}}=1,0 \mathrm{~A}$.
4.146. $\operatorname{tg} \varphi=\frac{\omega C\left(R^{2}+\omega^{2} L^{2}\right)-\omega L}{R}$.
4.147. $Z=\sqrt{\frac{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}{(\omega C R)^{2}+\left(1-\omega^{2} C L\right)^{2}}}$.
4.149. $\left\langle F_{x}\right\rangle=\frac{\omega^{2} L_{2} L_{12} I_{11}^{2}}{2\left(R^{2}+\omega^{2} L_{2}^{2}\right)} \frac{\partial L_{12}}{\partial x}$.
4.150. $t=\frac{2 l}{\alpha\left(\sqrt{T_{1}}+\sqrt{T_{2}}\right)}$.
4.151. $\Delta \varphi=\frac{\omega}{v}\left|\left(x_{1}-x_{2}\right) \cos \alpha+\left(y_{1}-y_{2}\right) \cos \beta+\left(z_{1}-z_{2}\right) \cos \gamma\right|$.
4.152. $\mathrm{k}=\omega\left(\frac{\mathbf{e}_{x}}{v_{1}}+\frac{\mathbf{e}_{y}}{v_{2}}+\frac{\mathbf{e}_{z}}{v_{3}}\right)$.
4.153. $\xi=a \cos \left[(1-V / v) \omega t-k x^{\prime}\right]$, где $v=\omega / k$.
4.155. а) $a / \lambda=5,1 \cdot 10^{-5}$; б) $v_{m}=11 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}, 3,2 \cdot 10^{-4}$; в) $(\partial \xi / \partial x)_{m}=3,2 \cdot 10^{-4}$, $\left(\partial_{\varepsilon}^{5} / \partial t\right)_{m}=v\left(\partial_{5}^{3} / \partial x\right)_{m}$, где $v=0,34$ км/с-скорость волны.
4.156. См. рис. 33 .
Рис. 33.
4.157. $\Delta \varphi=-\frac{2 \pi}{\gamma \lambda} \ln (1-\eta) \approx \frac{2 \pi \eta}{\gamma \lambda}=0,3$ рад.
4.158. $\mathrm{r}=\left(a_{1} \mathrm{r}_{1}+a_{2} \mathrm{r}_{2}\right) /\left(a_{1}+a_{2}\right)$.
4.159. а) $\gamma=\frac{\ln \left(\eta r_{0} / r\right)}{r-r_{0}}=0,08 \mathrm{~m}^{-1}$; б) $v_{m}=\frac{2 \pi v a_{0}}{\eta}=15 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
Рис. 34.
4.160. а) См. рис. 34, a. Частицы среды в точках на сплошных прямых $(y=x \pm n \lambda, n=0,1,2, \ldots$ ) колеблются с максилальной амплитудой, на пунктириых же прямых – не колеблются вовсе.
б) См. рис. 34,6 . Частицы среды в точках на прямых $y=x \pm n \lambda, g=x \pm$ $\pm(n \pm 1 / 2) \lambda$ и $y=x \pm(n \pm 1 / 4) \lambda$ колеблются соответственно вдоль этих пря мых, перпендикулярно к ним и движутся по окружностям (здесь $\boldsymbol{n}=\mathbf{0}, \mathbf{1}$, $2, \ldots$… В остальных точках частицы движутся по эллипсам.
4.161. $\langle w\rangle=2 / 3 w_{0}$.
4.162. $\langle\Phi\rangle=2 \pi l^{2} I_{0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(R / l)^{2}}}\right)=20 \mathrm{MKBr}$.
4.163. $\langle\Phi\rangle=P / \sqrt{1+(2 R / h)^{2}}=0,07 \mathrm{Br}$.
4.164. а) и б)-см. рис. 35 ; в)-см. рис. 36.
Рис. 35.
Pис. 36.
Рис. 37.
4.165. 8) $\Phi_{p}=2 / 2 \rho a^{2} \omega^{2} \sin ^{2} k x \cdot \cos ^{2} \omega t$; б) $\omega_{k}=1 / 2 \rho a^{2} \omega^{2} \cos ^{2} k \pi \cdot \sin ^{2} \omega t$. См. рис. 37 .
4.166. $a_{\text {макс }}=5$ мм; третьему обер1ону.
4.167. $\frac{v_{2}}{v_{1}}=\sqrt{\frac{\eta_{2}\left(1+\eta_{1}\right)}{\eta_{1}\left(1+\eta_{2}\right)}}=1,4$.
4.168. Увеличится в $\eta=\frac{\sqrt{1-\Delta T / T}}{1+\Delta l / l}=2$ раза.
4.169. $v=2 l v=0,34 \mathrm{KM} / \mathrm{c}$.
4.170. а) $v_{n}=\frac{v}{4 l}(2 n+1)$, шесть колебаний; б) $v_{n}=-\frac{v}{2 l}(n+1)$, тоже шесть колебаний. Здесь $n=0,1,2, \ldots$
4.171. $\boldsymbol{v}_{n}=\frac{2 n+1}{2 l} \sqrt{\frac{E}{\rho}}=3,8(2 n+1) \mathrm{k \Gamma ц;}$ четыре колебания с частотами $26,6,34,2,41,8$ н 49,4 кГц.
4.172. а) $T_{\text {макс }}=1 / 4 m \omega^{2} a_{\text {макс }}^{2}$; б) $\langle T\rangle=1 / 8 m \omega^{2} a_{\text {макс }}^{\text {s }}$.
4.173. $W=1 / 4 \pi S \rho \omega^{2} a^{2} / k$.
4.174. $v=2 v_{0} v u /\left(v^{2}-u^{2}\right) \approx 2 v_{0} u / v=1,0$ Гц.
4.175. $u=\frac{v v}{v_{0}}\left(\sqrt{1+\left(v / v_{0}\right)^{2}}-1\right) \approx \frac{v v}{2 v_{0}}=0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
4.176. $\omega=\frac{v_{0} v}{a \Delta v}\left(\sqrt{1+\left(\Delta v / v_{0}\right)^{2}}-1\right)=34$ рад/c.
4.177. $v=v_{0} / \sqrt{1+2 w t / v}=1,35 \mathrm{к \Gamma ц}$.
4.178. а) $v=v_{0} /\left(1-\eta^{2}\right)=5$ кГц; б) $r=l \sqrt{1+\eta^{2}}=0,32$ км.
4.179. Уменьшается на $2 u /(v+u)=2,0 \%$.
4.180. $v=2 v_{0} u /(v+u)=0,60$ Гц.
4.181. $\gamma=\frac{\ln \left(\eta r_{1}^{2} / r_{2}^{2}\right)}{2\left(r_{2}-r_{1}\right)}=6 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}^{-1}$.
4.182. а) $L^{\prime}=L-20 \gamma x \lg \mathrm{e}=50$ дБ; б) $x=0,30 \mathrm{kM}$.
4.183. а) $L=L_{0}+20 \lg \left(r_{0} / r\right)=36$ дБ; б) $r>0,63$ км.
4.184. $\beta=(\ln n) / \tau=0,07 \mathrm{c}^{-1}$.
4.185. а) Рассмотрим движение плоского элемента среды толщиной $d x$ с единичной площадью поперечного сечения. Согласно второму закону Ньютона $\rho d x \cdot \vec{\xi}=-d p$, где $d p$-приращение давления на длине $d x$. Учитывая, что $\widetilde{\xi}=v^{2}\left(\partial^{2} \xi / \partial x^{2}\right)$-волновое уравнение, перепишем предыдущее равенство в виде $\rho v^{2} \frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}} d x=-d p$

Проиитегрировав это уравнеиие, получим
\[
\Delta p=-\rho v^{2} \frac{\partial \xi}{\partial x}+\text { const. }
\]

в отсутствие деформации (волны) избыточиое давление $\Delta p=0$. Отсюда const $=0$.
4.186. $\langle\Phi\rangle=\pi R^{2}(\Delta p)_{m}^{8} / 2 \rho v \lambda=11$ мBт.
4.187. а) $(\Delta p)_{m}=\sqrt{\rho v P / 2 \pi r^{2}}=5 \Pi \mathrm{\Pi},(\Delta p)_{m} / p=5 \cdot 10-\mathrm{s} ;$ б) $a=(\Delta p)_{m} / 2 \pi v \rho v=$ $=3 \mathrm{MKM}, a / \lambda=5 \cdot 10^{-6}$.
4.188. $P=4 \pi r^{2} \mathrm{e}^{2 v r} I_{0} \cdot 10^{L}=1,4 \mathrm{BT}$, где $L$ в белах.
4.189. $\Delta \lambda=(1 / \sqrt{\varepsilon}-1) c / v=-50 \mathrm{~m}$.
4.190. $t=2\left(\sqrt{\varepsilon_{1}}-\sqrt{\varepsilon_{2}}\right) l / c \ln \left(\varepsilon_{1} / \varepsilon_{2}\right)$.
4.191. $j / j_{\mathrm{CM}}=\sigma / 2 \pi v \varepsilon \varepsilon_{0}=2$.
4.192. $\mathbf{H}=\frac{1}{k} \sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}}\left[\mathbf{k E}_{m}\right] \cos (c k t)$, где $c$-скорость волны в вакууме.
4.193. а) $\mathbf{H}=\mathbf{e}_{z} E_{m} \sqrt{\overline{\varepsilon_{0} / \mu_{0}}} \cos k x=-0,30 \mathbf{e}_{z}$;
б) $\mathbf{H}=\mathbf{e}_{z} E_{m} \sqrt{\varepsilon_{0} / \mathbf{f}_{\theta}} \times$ $\times \cos \left(c k t_{0}-k x\right)=0,18 \mathrm{e}_{z}$. Здесь $\mathrm{e}_{z}-$ орт оси $z, H$ в А/м.
4.194. $\mathscr{E}_{\text {инд }}=l E_{m}[\cos \omega t-\cos (\omega t-\omega l / c)]=25 \cos (\omega t+\pi / 3)$ мВ.
Здесь
$\omega / / c=\pi / 3$.
4.196. $\langle\mathrm{S}\rangle=1 / 2 \mathrm{k} \varepsilon_{0} c^{2} E_{m}^{\mathrm{g}} / \omega$.
4.197. а) $j_{\mathrm{CM}}=\pi \sqrt{2} \varepsilon_{0} v E_{m}=0,20 \mathrm{MA} / \mathrm{M}^{2}$; б) $\langle S\rangle=1 / 2 \varepsilon_{0} c E_{m}^{9}=3,3 \mathrm{MBT} / \mathrm{M}^{2}$.
4.198. Здесь $t \gg T$, где $T$ – период колебаний, поэтому $W=1 / 2 \sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0} / \mu_{0}} \times$ $\times E_{m}^{2} \pi R^{2} t=5$ кДж.
4.199. $\mathbf{B}=\mathbf{B}_{m} \sin k x \cdot \sin \omega t$, где $\mathbf{B}_{m} \perp \mathbf{E}_{m}$, причем $B_{m}=E_{m} / c$.
4.200. $S_{x}=1 / 4 \varepsilon_{0} c E_{m}^{g} \sin 2 t x \cdot \sin 2 \omega t,\left\langle S_{x}\right\rangle=0$.
4.201. $W_{M} / W_{9}=1 / 8 \varepsilon_{0} \mu_{0} \omega^{2} R^{2}=5,0 \cdot 10^{-15}$.
4.202. $W_{\mathrm{G}} / W_{\mathrm{M}}=1 / 8 \varepsilon_{0} \mu_{0} \omega^{2} R^{2}=5,0 \cdot 10^{-1} \underline{\underline{5}}$.
4.204. $\Phi_{S}=I^{2} R$.
4.205. $S=I^{2} \sqrt{m / 2 e U} / 4 \pi^{2} \varepsilon_{0} r^{2}$.
4.207. Слева.
4.208. $\Phi=U I$.
4.209. $\langle\Phi\rangle=1 / 2 U_{0} I_{0} \cos \varphi$.
4.211. Электриче:кий дипольный момент системы $\mathrm{p}=\sum \mathrm{r}_{i}=(e / m) M \mathrm{r}_{C}$, где $M$-масса системы, $r_{C}$-радиус-вектор ее центра инерции. Так как мощность излучения $P \sim \ddot{\mathbf{p}}^{2} \sim \ddot{\mathrm{r}}_{C}^{2}$, а в нашем случае $\ddot{\mathrm{r}}_{C}=0$, то и $P=0$.
4.212. $\langle P\rangle=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2} a^{2} \omega^{4}}{3 c^{3}}=5 \cdot 10^{-15}$ Вт.
4.213. $P=\frac{1}{\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right)^{3}} \frac{2}{3 c^{3}}\left(\frac{q e^{2}}{m R^{2}}\right)^{2}$.
4.214. $\Delta W \approx \frac{1}{\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right)^{3}} \frac{\pi e^{4} q^{2}}{3 c^{3} m^{2} v b^{3}}$.
4.215. $\Delta W / T=1 / 3^{3} B / \varepsilon_{0} c^{3} m^{2}=2 \cdot 10^{-18}$.
4.216. $T=T_{0} \mathrm{e}^{-\alpha t}$, где $\alpha=1 / 3^{4} B^{2} / \pi \varepsilon_{0} c^{3} m^{3}$. Через
\[
t_{0}=\frac{1}{\alpha}=\left\{\begin{array}{l}
2,5 \text { с для электрона, } \\
1,6 \cdot 10^{10} \mathrm{c}=0,5 \cdot 10^{3} \text { лет д.тя протона. }
\end{array}\right.
\]
4.217. $S_{1} / S_{2}=\operatorname{tg}^{2}(\omega l / c)=3$.
4.218. а) Пусть $t$-момент времени, когда частица находитгя в определеиной точке $x, y$ окружности, а $t^{\prime}$-момент, когда информация об этом доходит до точки $P$. Обозначив наблюдаемые значения $y$-координаты в точке $P$ через $y^{\prime}$ (см. рис. 4.40), запишем
\[
t^{\prime}=t+\frac{t-x(t)}{c}, \quad y^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=y(t) .
\]

Искомое ускорение найдем двукратным дифференцированием $y^{\prime}$ по $t^{\prime}$ :
\[
\frac{d y^{\prime}}{d t^{\prime}}=\frac{d y}{d t^{\prime}}=\frac{d y}{d t} \frac{d t}{d t^{\prime}}, \quad \frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{\prime 2}}=\frac{d t}{d t^{\prime}} \frac{d}{d t}\left(\frac{d y^{\prime}}{d t^{\prime}}\right)=\frac{v^{2}}{R} \cdot \frac{v^{\prime} c-y^{\prime} R}{\left(1-v y_{i}^{\prime} c R\right)^{3}},
\]

где учтено, что $x=R \sin \omega t, y=R \cos \omega t$ и $\omega=v / R$.

6) Плотность потока энергии электромагнитного излучения $S$ пропорциональна квадрату $y$-проекции наблюдаемого ускорения частицы. Отсюда $S_{1} / S_{2}=$ $=(1+v / c)^{4} /(1-v / c)^{4}$.
4.219. $\langle P\rangle=8 / 3 \pi r^{2} S_{0}$.
4.220. $\langle w\rangle=3 / 8 P_{0} / \pi r^{2}$.
4.221. $P=1 / 6 p^{2} \omega^{4} / \pi \varepsilon_{0} c^{3}$.
4.222. $\langle P\rangle /\langle S\rangle=\left(e^{2} / m\right)^{2} \mu_{0}^{2} / 6 \pi$.
4.223. $\langle P\rangle /\langle S\rangle=\frac{\mu_{0}^{2}}{6 \pi} \frac{\left(e^{2} / m\right)^{2} \omega^{4}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}}$.
4.224. $R=3 P / 16 \pi c \gamma \rho M_{C} \approx 0,6$ мкм.
5.1. а) 3 и 9 мВт; б) $\Phi=1 / 2\left(V_{1}+V_{2}\right) \Phi_{9} / A=1,6$ лм, где $A=1,6$ мВг/лм, $V_{1}$ и $V_{2}$-значения относительной с ектральной чувствительностн глаза для данных длин волн.
5.2. $E_{m}^{2}=\sqrt{\mu_{0} / \varepsilon_{0}} A \Phi / 2 \pi r^{2} V_{\lambda}$, отсюда $E_{m}=1,1 \mathrm{~B} / \mathrm{M}, H_{m}=3,0 \mathrm{MA} / \mathrm{M}$. Здесь $A=1,6 \mathrm{mBr} / л$ м,$V_{\lambda}$-относительная спектральная чувствительность глаза для данной длины волны.
5.3. а) $\langle E\rangle=1 / 2 E_{0}$;
б) $\langle E\rangle=\frac{1-\sqrt{1-(R / l)^{2}}}{1-R / l} \frac{I}{R^{2}}=50$ лк.
5.4. $M=2 / 3 \pi L_{0}$.
5.5. a) $\Phi=\pi L \Delta S \sin ^{2} \vartheta$; б) $M=\pi L$.
5.6. $h \approx R, E=L S / 4 R^{2}=40$ лк.
5.7. $I=I_{0} / \cos ^{3} \vartheta, \Phi=\pi I_{0} R^{2} / h^{2}=3 \cdot 10^{2} \pi$.
5.8. $E_{\text {макс }}^{\prime}=(9 / 16 \pi \sqrt{3}) \rho E S / R^{2}=0,21$ лк, на расстоянии $R / \sqrt{3}$ от потолка.
5.9. $E=\pi L$.
5.10. $E=\pi L$.
5.11. $M=E_{0}\left(1+h^{2} / R^{2}\right)=7 \cdot 10^{2}$ лм $/ \mathrm{m}^{2}$,
5.12. $E_{0}=\pi L R^{2} / h^{2}=25$ лк.
5.13. $\mathbf{e}^{\prime}=\mathbf{e}-2$ (en) $\pi$.
5.14. Пусть $\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \Pi_{3}$-орты нормалей к плоскостям данных зеркал, а $\mathbf{e}_{0}$, $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$-орты первичного луча и лучей, отраженных от первого, второго и третьего зеркал. Тогда (см. ответ предыдущей задачи):
\[
e_{1}=e_{0}-2\left(e_{0} n_{1}\right) n_{1}, \quad e_{2}=e_{1}-2\left(e_{1} n_{2}\right) n_{2}, \quad e_{3}=e_{2}-2\left(e_{2} n_{3}\right) \pi_{3} .
\]

Сложив почленно левые и правые части этих выражений, нетрудно показать, что $\mathrm{e}_{3}=-\mathrm{e}_{0}$.
5.15. $\vartheta_{1}=\operatorname{arctg} n=53^{\circ}$.
5.16. $n_{1} / n_{2}=1 \sqrt{\eta^{2}-1}=1,25$.
5.17. $x=\left[1-\sqrt{\left(1-\sin ^{2} \vartheta\right) /\left(n^{2}-\sin ^{2} \vartheta\right)}\right] d \sin \vartheta=3,1$ см.
5.18. $h^{\prime}=\left(h n^{2} \cos ^{3} \vartheta\right) /\left(n^{2}-\sin ^{2} \vartheta\right)^{3 / 2}$.
5.21. $\theta=83^{\circ}$.
5.22. От 37 до $58^{3}$.
5.23. $\alpha=8,7^{\circ}$.
5.24. $\Delta \alpha=\frac{2 \sin (\theta / 2)}{\sqrt{1-n^{2} \sin ^{2}(\theta / 2)}} \Delta n=0,44^{\circ}$.
5.27. а) $f=l \beta /\left(1-\beta^{2}\right)=10 \mathrm{~cm}$; б) $f=l \beta_{1} \beta_{2} /\left(\beta_{2}-\beta_{1}\right)=2,5$ см.
5.28. $I^{\prime}=\rho I_{0} f^{2} /(f-s)^{2}=2,0 \cdot 10^{3}$ кд.
5.29. Пусть $S$-точечный источник света и $S^{\prime}$-его изображение (рис. 38). По принципу Ферма оптические длины всех лучей, вышедших из $S$ и собрав шихся в $S^{\prime}$, одинаковы. Проведем окружиости из центров $S$ и $S^{\prime}$ радиусамд $S O$ и $S^{\prime} M$. Тогда оптические пути ( $D M$ ) и (OB) должны быть равны:
\[
n \cdot D M=n^{\prime} \cdot O B \text {. }
\]

Но для параксиальных лучей $D M \approx A O+O C$, где $A O \approx h^{2} /(-2 s)$ и $O C \approx$ $\approx h^{\prime 2} / 2 R$. Кроме того, $O B=O C-B C \approx h^{\prime 2} / 2 R-h^{\prime 2} / 2 s^{\prime}$. Подставив эти выражения в (*) и имея в виду, что $h^{\prime} \approx h$, получим $n^{\prime} / s^{\prime}-n / s=\left(n^{\prime}-n\right) / R$.
Рис. 38.
5.30. $x=\frac{n f}{n+1}\left(1-\sqrt{1-\frac{(n+1) r^{2}}{(n-1) f^{2}}}\right), r_{\text {wакс }}=f \sqrt{(n-1) /(n+1)}$.
5.31. $6,3 \mathrm{~cm}$.
5.32. а) $\beta=1-d(n-1) / n R=-0,20$; б) $E=\pi n^{2} D^{2} L / 4 d^{2}=42$ лк.
5.33. а) $\Phi=\Phi_{0}\left(n-n_{0}\right) /(n-1)=2,0 \quad$ дп, $f^{\prime}=-f=n_{0} / \Phi=85 \mathrm{cм} ;$ б) $\Phi=$ $=1 / 2 \Phi_{0}\left(2 n-n_{0}-1\right) /(n-1)=6,7$ дn, $f=1 / \Phi \approx 15$ см, $f^{\prime}=n_{0} / \Phi \approx 20$ см. Здесь $n$ и $n_{0}$ – показатели преломления стекла и воды.
5.35. $\Delta x \approx \Delta l f^{2} /(l-f)^{2}=0,5$ мм.
5.36. a) $f=\left[l^{2}-(\Delta l)^{2}\right] / 4 l=20$ см; 6) $f=l \sqrt{\eta} /(1+\sqrt{\eta})^{2}=20$ см.
5.37. $h=\sqrt{h^{\prime} h^{\prime \prime}}=3,0$ мм.
5.38. $E=(1-\alpha) \pi L D^{2} / 4 f^{2}=15 \pi$.
5.39. а) Не зависит от $D$; б) пропорциональна $D^{2}$.
5.40. $f=n_{0} R / 2\left(n_{1}-n_{2}\right)=35$ см, где $n_{0}$ – показатель преломления воды.
5.41. $f=R / 2(2 n-1)=10 \mathrm{cм}$.
5.42. а) Справа от последней линзы на расстояиии 3,3 см от нее; б) $l=$ $=17 \mathrm{~cm}$.
5.43. а) 50 и $5 \mathrm{~cm}$;) отодвинуть на $0,5 \mathrm{~cm}$.
5.44. $\Gamma=D / d$.
5.45. $\psi=\psi^{\prime} / \sqrt{\eta}=0,6^{\prime}$.
5.46. $\Gamma^{\prime}=(\Gamma+1) \frac{n-n_{0}}{n_{0}(n-1)}-1=3,1$, где $n_{0}$-показатель преломлеиия воды.
5.47. $\Gamma \leqslant D / d_{0}=20$.
5.48. $\Gamma=60$.
5.49. а) $\Gamma=2 \alpha l_{0} / d_{0}=15$, где $l_{0}$-расстояние иаилучшего видеиия ( $25 \mathrm{~cm}$ ); б) $\Gamma \leqslant 2 \alpha l_{0} / d_{0}$.
5.50. Главные плоскости совпадают с центром линзы. Фокусные расстояния в воздухе и воде: $f=-1 / \Phi=-11 \mathrm{~cm}, f^{\prime}=n_{0} / \Phi=+15$ см. Здесь $\Phi=$ $=\left(2 n-n_{0}-1\right) / R$, где $n$ и $n_{0}$ – показатели преломления стекла и воды. Узловые точки совпадают и расположены в воде на расстоянии $x=f^{\prime}+f=3,7$ см от линзы.
5.51. См. рис. 39 .
Рис. 39.
5.54. а) Оптическаи сила системы $\Phi=\Phi_{i}+\Phi_{2}-d \Phi_{1} \Phi_{2}=+4$ дп, фокусное расстояние равно $25 \mathrm{cм}$. Обе главные плоскости расположены перед собнрающей линзой: передняя – на расстоянии 10 см ст собирающей линзы, задняя на расстоянии 10 см от рассеивающей линзы ( $x=d \Phi_{2} / \Phi$ и $\left.x^{\prime}=-d \Phi_{1} / \Phi\right)$; б) $d=5$ см; около $4 / 3$.
5.55. Оптическая сила даниой линзы $\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2}-(d / n) \Phi_{1} \Phi_{2}, x=$ $=d \Phi_{2} / n \Phi=5,0 \mathrm{~cm}, x^{\prime}=-d \Phi_{1} / n \Phi=2,5 \mathrm{~cm}$, т. е. обе главиые плоскости расположены вне линзы со стороны ее выпуклой поверхности.
5.56. $f=\frac{f_{1} f_{2}}{f_{1}+f_{2}-d}$. Линзу надо поместить в передней главной плоскости системы, т. е. на расстоянии $x=f_{1} d /\left(f_{1}+f_{2}-d\right)$ от первой линзы.
5.57. $\Phi=2 \Phi^{\prime}-2 \Phi^{\prime 2} l / n_{0}=3,0$ дп, где $\Phi^{\prime}=\left(2 n-n_{0}-1\right) / R, n$ и $n_{0}$ – показатели преломления стекла и воды.
5.58. а) $d=n \Delta R /(n-1)=4,5 \mathrm{~cm} ; 6) d=3,0 \mathrm{~cm}$.
5.59. а) $\Phi=d(n-1)^{2} / n R^{2}>0$, главные плоскости лежат со стороиы выпуклой повер хности иа расстоянии $d$ друг от друга, причем передняя главная плоскость удалена от выпуклой поверхности линзы на расстояние $R /(n-1)$; б) $\Phi=\left(1 / R_{2}-1 / R_{1}\right)(n-1) / n<0$; обе главные плоскости проходят через общий центр кривизны поверхностей лиизы.
5.60. $d={ }^{1} / 2 n\left(R_{i}+R_{2}\right) /(n-1)=9,0 \mathrm{cM}, \Gamma=R_{1} / R_{2}=5,0$.
5.61. $\Phi=2\left(n^{2}-1\right) / n^{2} R=37$. дп.
5.63. $\rho=3 \cdot 10^{7}$ m; $\operatorname{grad} n=1,6 \cdot 10^{-7} \mathrm{M}^{-1}$.
5.65. $1,9 a$.
5.66. Представим $k$-е колебание в комплексном виде
\[
\boldsymbol{\xi}_{k}=a \mathrm{e}^{i[\omega t+(k-1) \varphi]}=a_{k}^{*} \mathrm{e}^{i \omega t},
\]

где $a_{k}^{*}=a \mathrm{e}^{l(k-1) \varphi}-$ комплексиая амплитуда. Тогда комплексиая амплитуда результирующего колебаиия
\[
A^{*}=\sum_{k=1}^{N} a \mathrm{e}^{i(k-1) \varphi}=a\left[1+\mathrm{e}^{i \varphi}+\mathrm{e}^{i 2 \varphi}+\ldots+\mathrm{e}^{i(N-1) \varphi}\right]=a\left(\mathrm{e}^{i \varphi N}-1\right) /\left(\mathrm{e}^{i \varphi}-1\right)
\]
После умножения $A^{*}$ иа комплексно сопряженную величину и извлечеиия квадратного корня получим действительную амплитуду
\[
A=a \sqrt{\frac{1-\cos N \varphi}{1-\cos \varphi}}=a \frac{\sin (N \varphi / 2)}{\sin (\varphi / 2)} .
\]
5.67. a) $\cos \varphi=(k-\varphi / 2 \pi) \lambda / d, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$; б) $\varphi=\pi / 2, d / \lambda=$ $=k+1 / 4, k=0,1,2, \ldots$
5.68. $\Delta \varphi=2 \pi[k-(d / \lambda) \sin (\omega t+\alpha)\}$, где $k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$
5.69. $\lambda=2 \Delta x \Delta h / l(\eta-1)=0,6$ мкм.
5.71. а) $\Delta x=\lambda(b+r) / 2 \alpha r=1,1$ мм, 9 максимумов; б) сдвиг картины $\delta x=$ $=(b / r) \delta l=13$ мм; в) картина будет еще достаточно отчетлива, если $\delta x \leqslant \Delta x / 2$, отсюда $\delta_{\text {макс }}=(1+r / b) \lambda / 4 \alpha=43$ мкм.
‥ 5.72. $\lambda=2 \alpha \Delta x=0,64$ мкм.
5.73. а) $\Delta x=\lambda f / a=0,15$ мм, 13 максимумов; б) полосы будут иаблюдаться еще достаточно отчетливо, если $\delta x \leqslant \Delta x / 2$, где $\delta x-$ сдвиг иитерференциоииых картин от крайних элементов щели, отсюда $\delta_{\text {макс }}=\lambda f^{2} / 2 a b=37$ мкм.
5.74. $\lambda=2 a \theta(n-1) \Delta x /(a+b)=0,6$ мкм.
5.75. $\Delta x \approx \lambda / 2 \theta\left(n-n^{\prime}\right)=0,20 \mathrm{~mm}$.
5.76. Полосы сместятся в сторону перекрытой щели иа расстояиие $\Delta x=$ $=h l(n-1) / d=2,0 \mathrm{mM}$.
5.77. $n^{\prime}=n+N \lambda / l=1,000377$.
5.78. а) Пусть векторы $\mathbf{E}, \mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{E}^{\prime \prime}$ соответствуют падающей, отражеииой и проходящей волнам. Из непрерывности тангенциальной составляющей на границе раздела следует, что
\[
E_{\tau}+E_{\tau}^{\prime}=E_{\tau}^{\prime \prime} .
\]
где $n=\sqrt{\varepsilon}$ – показатель преломления, то $S \sim n E^{2}$ и по закону сохранения энергии
\[
n_{1} E_{\tau}^{2}=n_{1} E_{\tau}^{\prime 2}+n_{2} E_{\tau}^{\prime 2} .
\]

Исключив $E_{\tau}^{\prime}$ из (1) и (2), получим
\[
E_{\tau}^{\prime \prime}=2 E_{\tau} n_{1} /\left(n_{1}+n_{2}\right) .
\]

Отсюда видио, что знаки $E_{\tau}^{\prime \prime}$ и $E_{\tau}$ совпадают, т. е. на граиице раздела колебаиия световых векторов соответствующих волн происходят всегда синфазио.
б) Из (1) и (3) следует, что
\[
E_{\tau}^{\prime}=E_{\tau}\left(n_{1}-n_{2}\right) /\left(n_{1}+n_{2}\right),
\]
т. е. при $n_{2}>n_{1}$ знаки $E_{\tau}^{\prime}$ и $E_{\tau}$ противоположны – на границе раздела происходит скачок фазы отраженной волны иа $\pi$. Если же $n_{2}<n_{1}$, то скачка фазы иет.
5.79. $d=1 / 4 \lambda(1+2 k) / \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \vartheta_{1}}=0,14(1+2 k)$ мкм, где $k=0,1,2, \ldots$
5.80. $d_{\text {мин }}=0,65$ мКм.
5.81. $d=1 / 4 \lambda(1+2 k) / \sqrt{n}$, где $k=0,1,2, \ldots$
5.82. $d=\lambda \frac{\sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta}}{\sin 2 \vartheta \cdot \delta \vartheta}=15$ мкм.
5.83. $\lambda \approx \frac{d\left(r_{i}^{2}-r_{k}^{2}\right)}{4 n l^{2}(i-k)}$.
5.84. $\Delta x=\frac{\lambda \cos \vartheta_{i}}{2 \alpha \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \vartheta_{i}}}$.
5.85. a) $\theta=1 / 2 \lambda / n \Delta x=3^{\prime \prime}$; 6) $\Delta \lambda / \lambda \approx \Delta x / l=0,014$.
5.86. $\Delta r \approx 1 / 4 \lambda R / r$.
5.87. $r^{\prime}=\sqrt{r^{2}-2 R \Delta h}=1,5$ мM.
5.88. $r=\sqrt{r_{0}^{2}+(k-1 / 2) \lambda R}=3,8 \mathrm{мm}$, где $k=6$.
5.89. $\lambda=1 / 4\left(d_{2}^{2}-d_{1}^{2}\right) / R\left(k_{2}-k_{1}\right)=0,50$ мкм, где $k_{1}$ и $k_{2}$ – номера темных колец.
5.90. $\Phi=2(n-1)(2 k-1) \lambda / d^{2}=2,4$ дп, где $k$ – номер светлого кольца.
5.91. а) $r=\sqrt{2 k \lambda(n-1) / \Phi}=3,5 \mathrm{мM}$, где $k=10 ;$ б) $r^{\prime}=r / \sqrt{n_{0}}=3,0 \mathrm{мM}$, где $n_{0}$-показатель преломления воды.
5.92. $r=\sqrt{1 / 2(1+2 k) \lambda R / n_{2}}=1,3 \mathrm{мм}$, где $k=5$.
5.93. $k_{\text {мин }}=1 / 2 \lambda_{1} /\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)=140$.
5.94. Условие перехода от одной четкой картины к следующей:
\[
(k+1) \lambda_{1}=k \lambda_{2} \text {, }
\]

где $k$ – некоторое целіе число. Соответстнющее перемещение $\Delta h$ зеркала определяется уравнением $2 \Delta h=k \lambda_{2}$. Из этих двух уравнений получим
\[
\Delta h=\frac{\lambda_{1} \lambda_{2}}{2\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)} \approx \frac{\lambda^{2}}{2 \Delta \lambda}=0,3 \mathrm{mM} .
\]
5.95. а) Условие максимумов: $2 d \cos \theta=k \lambda$; отсюда следует, что с ростом угла $\vartheta$, т. е. радиуса колец (см. рис. 5.18), порядок интерференции $k$ убывает. б) Взяв дифференциал от обеих частей предыдущего уравнеиия и имея в виду, что при переходе от одного максимума к следующему $k$ изменяется на единицу, получим $\delta \vartheta=1 / 2 \lambda / d \sin \vartheta$; отсюда видно, что угловая ширина полос уменьшается с ростом угла $\vartheta$, т. е. с уменьшением порядка интерференции.
5.96. а) $k_{\text {макс }}=2 d / \lambda=1,0 \cdot 10^{5}$; б) $\Delta \lambda=\lambda / k=\lambda^{2} / 2 d=5 \mathrm{пm}$.
5.97. $I_{0}=\frac{2}{b N \lambda} \int_{0}^{\infty} I(r) r d r$.
5:98. $b=a r^{2} /\left(k \lambda a-r^{2}\right)=2,0 \mathrm{M}$.
5.99. $\lambda=\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)(a+b) / 2 a b=0,60$ мкм.
5.100. a) $I \approx 4 I_{0}, I \approx 2 I_{0}$;
б) $I \approx I_{0}$.
5.101. a) $I \approx 0$; б) $I \approx I_{0} / 2$.
5.102. a) $I_{1} \approx 9 / 16 I_{0}, \quad I_{2}=1 / 4 I_{0}, \quad I_{3}=1 / 16 I_{0}, \quad I_{4}=I_{2}, \quad I \approx(1-\varphi / 2 \pi)^{2} I_{0}$; б) $I_{5} \approx 25 / 16 I_{0}, \quad I_{6} \approx 9 / 4 I_{0}, \quad I_{7} \approx 49 / 16 I_{0}, \quad I_{8}=I_{6}, \quad I \approx(1+\varphi / 2 \pi)^{2} I_{0}$. Здесь $\varphi-$ угол, закрываемый экраном. .
5.103. а) $h=\lambda(k+3 / 8) /(n-1)=1,2(k+3 / 8)$ мкм;
6) $h=1,2(k+7 / 8)$ мкм;
в) $h=1,2 k$ или $1,2(k+3 / 4)$ мкм. Здесь $k=0,1,2, \ldots$
5.104. $h=\lambda(k+3 / 4) /(n-1)$, где $k=0,1,2, \ldots$; 6) $I_{\text {макс }} \approx 8 I_{0}$.
5.105. $h_{\text {мин }} \approx \lambda(k+5 / 8) /(n-1)=2,5$ мкм, где $k=2$.
5.106. $r=\sqrt{k \lambda f b /(b-f)}=0,90 \sqrt{k}$ мм, где $k=1,3,5, \ldots$
5.107. $b^{\prime}=b / \eta^{2}=1,0$ м.
5.108. a) $y^{\prime}=y b / a=9 \mathrm{MM}$;
6) $h_{\text {мин }} \approx a b \lambda / D(a+b)=0,10 \mathrm{~mm}$.
5.109. $f=a b /(a+b)=0,6$ м. Это значение соответствует главному фокусу, помимо которого существуют и другие.
5.110. а) $h=0,60(2 k+1)$ мкм; 6) $h=0,30(2 k+1)$ мкм. Здесь $k=0,1,2, \ldots$
5.111. а) $I_{\text {макс }} / I_{\text {мин }} \approx 1,7$; б) $\lambda=2(\Delta x)^{2} / b\left(v_{2}-v_{1}\right)^{2}=0,6$ мкм, где $v_{i}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ – соответствующие значения параметра на спирали Корню.
5.112. $I_{\text {сер }} / I_{\text {кр }} \approx 2,6$.
5.113. $\lambda=(\Delta h)^{2} / 2 b\left(v_{2}-v_{1}\right)^{2}=0,55$ мкм, где $v_{1}$ н $v_{2}$-соответствующие значення параметра на спирали Корню.
5.114. $h \approx \lambda(k+3 / 4) /(n-1)$, где $k=0,1,2, \ldots$
5.115. $I_{2} / I_{1} \approx 1,9$.
5.116. $I \approx 2,8 I_{0}$.
5.117. $I_{1}: I_{2}: I_{3} \approx 1: 4: 7$.
5.118. $I \approx I_{0}$.
5.119. $I_{\vartheta} \sim\left(\sin ^{2} \alpha\right) / \alpha^{2}$, где $\alpha=(\pi b / \lambda) \sin \vartheta ; \quad b \sin \theta=k \lambda, k=1,2,3, \ldots$
5.120. Условие максимума приводит к трансцендентному уравнению $\operatorname{tg} \alpha=$ $=\alpha$, где $\alpha=(\pi b / \lambda) \sin \theta$. Решение этого уравнения (графически или подбором) дает следующие значения корней: $\alpha_{1}=1,43 \pi, \alpha_{2}=2,46 \pi, \alpha_{3}=3,47 \pi$. Отсюда $b \sin \theta_{1}=1,43 \lambda, b \sin \theta_{2}=2,46 \lambda, b \sin \theta_{3}=3,47 \lambda$.
5.121. $b\left(\sin \theta-\sin \theta_{0}\right)=k \lambda$; для $k=+1$ и $k=-1$ углы $\theta$ равны. соответственно $33^{\circ}$ и $27^{\circ}$.
5.122. а) $\Delta \vartheta=\arcsin (n \sin \theta)-\theta=7,9^{\circ}$; б) из условня $b\left(\sin \vartheta_{i}-n \sin \theta\right)=$ $= \pm \lambda$ получим $\Delta \theta=\theta_{+\overline{1}}-\theta_{-\overline{1}}=7,3^{\circ}$.
5.123. $\lambda \approx\left(\alpha^{2}-\alpha_{0}^{2}\right) d / 2 k=0,6$ мкм,
5.125. $55^{\circ}$.
5.126. $d=2,8$ мкм.
5.127. $\lambda=(d \sin \Delta \theta) / \sqrt{5-4 \cos \Delta \theta}=0,54$ мкм.
5.128. а) $45^{\circ}$; б) $64^{\circ}$.
5.129. $x=2 R /(n-1) \sqrt{(d / \lambda)^{2}-1}=8 \mathrm{~cm}$.
5.130. Из условия $d\left[n \sin \theta-\sin \left(\theta+\theta_{k}\right)\right]=k \lambda \quad$ получим $\quad \theta_{0}=-18,5^{\circ}$, $\theta_{+\bar{i}}=0^{\circ} ; \quad k_{\text {макс }}=+6, \theta_{+6}=+78,5^{\circ}$. См. рис. 40.
5.131. $h_{k}=\lambda(k-1 / 2) /(n-1)$, где $k=1,2, \ldots ; a \sin \theta_{i}=\lambda / 2$.
5.132. $v=\lambda v f / \Delta x=1,5 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
Рис. 40.
Рис. 41.
5.133. Каждая звезда дает в фокальной плоскости объектива свою дифракпионную картину, причем их нулевые максимумы отстоят друг от друга на угол $\psi$ (рис. 41). При уменьіпении ‘расстояния $d$ угол $\theta$ между соседними максимумами в каждой дифракционной картине будет увеличиваться, н когда $\theta$ станет равным $2 \psi$, наступит перве ухудшение видимости: максимумы одной системы полос совпадут с минимумами другой. Таким образом, из условия $\theta=2 \psi$ и формулы $\sin \vartheta=\lambda / d$ получим $\psi \approx \lambda / 2 d=0,06^{\prime \prime}$.
5.134. а) $D=k / d \sqrt{1-(k \lambda / d)^{2}}=6,5 \quad$ угл.мин/нм, где $\quad k=2 ; \quad$ б) $D=$ $=k / d \sqrt{1-\left(k \lambda / d-\sin \vartheta_{0}\right)^{2}}=13$ угл.мин/нм, где $k=4$.
5.135. $d \vartheta / d \lambda=(\operatorname{tg} \vartheta) / \lambda$.
5.136. $\Delta \vartheta=2 \lambda / N d \sqrt{1-(k \lambda / d)^{2}}=11^{\circ}$.
5.139. $\vartheta=46^{\circ}$.
5.140. а) В четвертом;
б) $\delta \lambda_{\text {мин }} \approx \lambda^{2} / t=7$ пм.
5.141. а) $d=0,05 \mathrm{MM}$;
б) $l=6 \mathrm{~cm}$.
5.142. а) 6 и 12 мкм; б) в первом порядке нет, во втором да.
5.143. Согласно критерию Рэлея максимум линии с длиной волны $\lambda$ должен совпадать с первым минимумом линии $\lambda+\delta \lambda$. Запншем оба условня для угла наименьшего отклонения через оптические разности хода крайних лучей (см. рис. 5.28 ):
\[
b n-(D C+C E)=0, \quad b(n+\delta n)-(D C+C E)=\lambda+\delta \lambda .
\]

Отоюда $b \delta n \approx \lambda$. Дальиейшее очевидно.
5.144. а) $\lambda / \delta \lambda=2 b B / \lambda^{3}$; соответственно $1,2 \cdot 10^{4}$ и $0,35 \cdot 10^{4}$; б) $1,0 \mathrm{~cm}$.
5.145. Около $20 \mathrm{~cm}$.
5.146. $R=7 \cdot 10^{4}, \Delta y_{\text {иин }} \approx 4 \mathrm{~cm}$.
5.147. Около $50 \mathrm{~m}$.
5.148. Пусть $\Delta \psi$ и $\Delta \psi^{\prime}$-минимальные угловые расстояния, разрешаемые соответственно объективом трубы и глазом $\left(\Delta \psi=1,22 \lambda / D, \Delta \psi^{\prime}=1,22 \lambda / d_{0}\right)$. Тогда искомое увеличение трубы $\Gamma_{\text {мин }}=\Delta \psi^{\prime} / \Delta \psi=D / d_{0}=13$.
5.149. $d_{\text {мин }}=0,61 \lambda / \sin \alpha=1,4$ мкм.
5.150. Пусть $d_{\text {мин }}$ – наименьшее разрешаемое расстояние для объектива микроскопа, $\Delta \psi$ – угол, под которым виден объект с расстояния наилучшего видения $l_{0}$ (25 см), и $\Delta \psi^{\prime}$-минимальное угловое расстояние, разрешаемое глазом $\left(\Delta \psi^{\prime}=1,22 \lambda / d_{0}\right)$. Тогда искомье увеличение микроскопа $\Gamma_{\text {мин }}=\Delta \psi^{\prime} / \Delta \psi=$ $=2\left(t_{0}
eq d_{0}\right) \sin \alpha=30$.
5.151. $26,60,84,107$ и $134^{\circ}$.
5.152. $a=0,28 \mathrm{нм}, b=0,41 \mathrm{нм}$.
5.153. Пусть $\alpha, \beta$ и $\gamma$-углы между направлением на дифракционный максимум и направлениями решетки вдоль периодов $a, b$ и $c$ соответственно. Тогда значения этих углов определятся из условий: $a(1-\cos \alpha)=k_{1} \lambda, b \cos \beta=$ $=k_{2} \lambda$ и $c \cos \gamma=k_{3} \lambda$. Имея в виду, что $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1$, получим
\[
\lambda=\frac{2 k_{1} / a}{\left(k_{1} / a\right)^{2}+\left(k_{2} / b\right)^{2}+\left(k_{3} / c\right)^{2}} .
\]
5.154. $\lambda=\frac{2}{k} \sqrt[3]{\frac{m}{2 \rho}} \sin \alpha=244$ пм, где $k=2$, $m$-масса молекулы $\mathrm{NaCl}$.
5.155. $d=\frac{\lambda}{2 \sin (\alpha / 2)} \sqrt{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}-2 k_{1} k_{2} \cos (\alpha / 2)}=0,28$ нм, где $k_{1} \quad$ и $k_{2}-$ порядки отражения.
5.156. $r=t \operatorname{tg} 2 \alpha=3,5 \mathrm{~cm}$, где $\alpha$-угол скольжения, определяемый условием $2 d \sin \alpha=k \lambda$.
\[
\text { 5.157. } I_{0} / 4 \text {, }
\]
5.158. a) $I_{0} ;$ б) $2 I_{0}$.
5.159. $E=\pi \Phi_{0} / \omega=0,6 \mathrm{n}$ Дж.
5.160. $\eta=1 / 2(\cos \varphi)^{2(N-1)}=0,12$.
5.161. $I_{0} / I=\frac{2}{\tau^{3} \cos ^{4} \varphi} \approx 60$.
5.162. $I_{\text {пол }} / I_{\text {ест }}=P /(1-P)=0,3$.
5.163. $P=(\eta-1) /(1-\eta \cos 2 \varphi)=0,8$.
5.164. а) Представим естественный свет в виде двух взаимно нерпендикулярных составляющих с интенсивностями $I_{0}$. Пусть каждый поляризатор пропускает в своени плоскости долю $\alpha_{1}$ света с плоскостью колебаний, параллельной плоскости поляризатора, и долю $\alpha_{2}$-в перпендикулярной плоскости. Тогда при параллельных и перпендикулярных плоскостях поляризаторөв системы интенсивность прошедшего через нее света будет равна соответственно
\[
I_{1 \mid}=\alpha_{1}^{*} I_{0}+\alpha_{2}^{*} I_{0}, \quad I_{\perp}=\alpha_{1} \alpha_{2} I_{0}+\alpha_{2} \alpha_{1} I_{0},
\]

причем по – условию $I_{\| /} I_{\perp}=\eta$.
С другой стороны, степень поляризации, создаваемая каждым поляризатором в отдельности,
\[
P_{0}=\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) /\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)
\]

Исключив $\alpha_{i}$ и $\alpha_{2}$ из этих формул, получим
\[
P_{0}=\sqrt{(\eta-1) /(\eta+1)}=0,905 .
\]
6) $P=\sqrt{1-1 / \eta^{2}}=0,995$.
5.165. Относительные изменения интенсивностей обоих пучков в слунаях $A$ и $B$ равны
\[
(\Delta I / I)_{A}=4 \operatorname{ctg}(\varphi / 2) \cdot \delta \varphi, \quad(\Delta I / I)_{B}=4 \operatorname{tg}(\varphi / 2) \cdot \delta \varphi .
\]

Отсюда $\eta=(\Delta I / I)_{A} /(\Delta I / I)_{B}=\operatorname{ctg}^{2}(\varphi / 2), \varphi=11,5^{\circ}$.
5.166. $90^{\circ}$.
5.167. а) $\rho=1 / 2\left(n^{2}-1\right)^{2} /\left(n^{2}+1\right)^{2}=0,074 ;$ б) $P=\rho /(1-\rho)=\frac{\left(1+n^{2}\right)^{2}-4 n^{2}}{\left(1+n^{2}\right)^{2}+4 n^{2}}=$ $=0,080$. Здесь $n$-показатель преломления стекла.
5.168. $I=I_{0}(1-\rho) / n=0,72 I_{0}$, где $n$ – показатель прсломления воды.
5.169. $\rho=\left[\left(n^{2}-1\right) /\left(n^{2}+1\right)\right] \sin ^{2} \varphi=0,038$, где $n$-показатель преломления воды.
5.170. $P_{1}=P_{3}=1, P_{2}=\frac{\rho}{1-\rho}=0,087, \quad P_{4}=\frac{2 \rho(1-\rho)}{1-2 \rho(1-\rho)}=0,17$.
5.171. а) В этом случае коэффициент отражения от каждой поверхности пластинки $\rho=\left(n^{2}-1\right)^{2} /\left(n^{2}+1\right)^{2}$, поэтому
\[
I_{4}=I_{0}(1-\rho)^{2}=16 I_{0} n^{4} /\left(1+n^{2}\right)^{2}=0,725 I_{0} ;
\]
б) $P=\frac{1-\left(1-\rho^{\prime}\right)^{2}}{1+\left(1-\rho^{\prime}\right)^{2}}=\frac{\left(1+n^{2}\right)^{4}-16 n^{4}}{\left(1+n^{2}\right)^{4}+16 n^{4}} \approx 0,16$, где $\rho^{\prime}-$ коэффициент отражения той составляющей света, световой вектор которой колеблется перпендйкулярно к плоскости падения.
5.172. а) $P=\left(1-\alpha^{4 N}\right) /\left(1+\alpha^{4 N}\right)$, где. $\alpha=2 n /\left(1+n^{2}\right), \quad n$ – показатель преломления стекла; б) соответетвенно $0,16,0,31,0,67$ и 0,92 .
5.173. а) $\rho=(n-1)^{2} /(n+1)^{2}=0,040$; б) $\Delta \Phi / \Phi=1-(1-\rho)^{2 N}=0,34$, где
5.175. а) 0,$83 ; 6$; 0,044 .
5.176. См. рис. 42, где о и $е$-обыкновенный и необыкновенный лучи.
Рис. 42.
5.177. $\delta \approx 11^{\circ}$.
5.178. Для правой системы координат:
1) круговая, против часовой стрелки, если смотреть навстрсчу волне;
2) эллиптическая, по часовой стрелке, если смотреть навстречу вӧлне; большая ось эллипса совпадает с прямой $y=x$;
3) плоская поляризация, вдоль прямой $y=-x$.
5.179. а) $0,490 \mathrm{mм;}$ б) 0,475 мм.
5.180. $\lambda=4 d \Delta n /(2 k+1) ; 0,58,0,55$ и 0,51 мкм соответственно при $k=15$, 16 и 17.
5.181. Четыре.
5.182. 0,69 и 0,43 мкм:
5.183. $d=(k-1 / 2) \lambda_{1} / \Delta n=0,25$ мм, где $k=4$.
5.184. $\Delta n \doteq \lambda / \theta \Delta x=0,009$.
5.185. Обозначим интенсивность прошедшего света при скрещенных поляроидах $I_{\perp}$, а при параллельных $-I_{[\text {] }}$, тогда:
\[
\begin{array}{l}
I_{\perp}=1 / 2 I_{0} \cdot \sin ^{2} 2 \varphi \cdot \sin ^{2}(\delta / 2), \\
I_{\|}=1 / 2 I_{0}\left[1-\sin ^{2} 2 \varphi \cdot \sin ^{2}(\delta / 2)\right] .
\end{array}
\]

Условия максимума и минимума:

Здесь $\Delta$-оптическая разность хода обыкновенного и необыкновеиного лучей, $k=0,1,2, \ldots$
5.187. а) Если свет правополяризованный по кругу (для наблюдателя), то за пластинкой в четверть волны оп становится линейно поляризованным, причем направление колебаний светового вектора составляет угол $+45^{\circ}$ с осью кристалла $O O^{\prime}$ (рис. 43, a); для левополяризованного света этот угол будет равен $-45^{\circ}$ (рис. 43,6 ).
б) Если при вращении поляроида (расположенного за пластинкой) при любом положении пластинки интенсивность прошедшего света не меняется – свет естественный, если меняется и падает до нуля, то свет поляризован по кругу; еслв
Рис. 43.

меняется, но не падает до нуля, то свет-смесь естественного и поляризованного по кругу.
5.188. а) $\Delta x=1 / 2 \lambda\left(n_{e}-n_{o}\right) \theta$, 6) $d\left(n_{o}^{\prime}-n_{e}^{\prime}\right)=-2\left(n_{e}-n_{o}\right) \theta \delta x<0$.
5.189. $\Delta n=\alpha \lambda / \pi=0,71 \cdot 10^{-4}$, где $\alpha$ – постоянная вращения.
5.190. $\alpha=\pi / \Delta x \operatorname{tg} \theta=21$ угл.град/мм, $I(x) \sim \cos ^{2}(\pi x / \Delta x)$, где $x$-расстояч ние от максимума.
5.191. $d_{\text {мин }}=(1 / \alpha) \arcsin \sqrt{2 \eta}=3,0$ мM.
5.192. 8,7 мм.
5.193. $[\alpha]=72$ угл.град/(дм $\cdot г /$ м $\left.^{3}\right)$.
5.194. а) $E_{\text {мин }}=1 / \sqrt{4 B l}=10,6$ кВ/см; б) $2,2 \cdot 10^{8}$ прерываний в секунду.
5.195. $\Delta n=2 c H V / \omega$, где $c$-скорость света в вакууме.
5.196. $V=1 / 2\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) / l H=0,015$ угл. мин/А.
5.197. Если смотреть навстречу вышедшему лучу и положительное направление отсчитывать по часовой стрелке, то $\varphi=(\alpha-V N H) / l$, где $N-$ число прохождений луча через вещество (на рис. 5.35 число $N=5$ ).
5.198. $H_{\text {мия }}=\pi / 4 V l=4,0 \mathrm{kA} / \mathrm{M}$, где $V$-постоянная Верде. Направление, в котором пропускается свет, изменится на противоположное.
5.199. $t=m c \omega_{0} / \lambda I=12$ ч. Несмотря на чрезвычайную малость этого эффекта, его наблюдали как для видимого света, так и для сантиметровых волн.
5.200. а) $a=e E_{0} / m \omega^{2}=5 \cdot 10^{-16} \quad$ см, где $E_{0}=\sqrt{2 I / \varepsilon_{0} c}, \quad \boldsymbol{v}=a \omega=1,7 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$; б) $F_{u} / F_{9}=2,9 \cdot 10^{-11}$.
5.201. a) $\varepsilon=1-n_{0} e^{2} / \varepsilon_{0} m \omega^{2}, \quad \boldsymbol{v}=c \sqrt{1+\left(n_{0} e^{2} / 4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m c^{2}\right) \lambda^{2}}$.
5.202. $n_{0}=\left(4 \pi^{2} v^{2} m \varepsilon_{0} / e^{2}\right)\left(1-n^{2}\right)=2,4 \cdot 10^{7} \mathrm{~cm}^{-3}$.
5.203. $n-1=-n_{0} e^{2} \lambda^{2} / 8 \pi^{2} \varepsilon_{0} m c^{2}=-5,4 \cdot 10^{-7}$, где $n_{0}$ – концентрация элект ронов в углероде.
5.204. а) $x=a \cos (\omega t+\varphi)$, где $a$ и $\varphi$ определяются формулами
\[
a=\frac{e E_{0} / m}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}}}, \quad \operatorname{tg} \varphi=\frac{2 \beta \omega}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}} .
\]

Здесь $\beta=\gamma / 2 m, \omega_{0}^{2}=k / m, \quad m$-масса электрона, б) $\langle P\rangle=\frac{m \beta\left(e E_{0} / m\right)^{2} \omega^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}}$, $\langle P\rangle_{\text {макс }}=\frac{m}{4 \beta}\left(\frac{e E_{0}}{m}\right)^{2}$ при $\omega=\omega_{0}$.
5.205. Запишем уравнение волны в форме $A=A_{0} \mathrm{e}^{i(\omega t-k x)}$, где $k=2 \pi / \lambda$. Если $n^{\prime}=n+i x$, то $k=\left(2 \pi / \lambda_{0}\right) n^{\prime}$ и
\[
A=A_{0} \mathrm{e}^{2 \pi x x / \lambda_{0}} \mathrm{e}^{i\left(\omega t-2 \pi n x / \lambda_{0}\right)} .
\]

или в вещественной форме
\[
A=A_{0} \mathrm{e}^{x^{\prime} x} \cos \left(\omega t-k^{\prime} x\right),
\]
т. е. свет распространяется в виде плоской волны, амплитуда которой зависит от $x$. При $x<0$ амплитуда убывает (затухание волны за счет поглощения). Если $n^{\prime}=i x$, то
\[
A=A_{0} \mathrm{e}^{x^{\prime} x} \cos \omega t
\]

Это стоячая волна с экспоненциально убывающей (при $x<0$ ) амплитудой. В этом случае свет испытывает полное внутреннее отражение в среде (без поглощения).
5.206. $n_{0}=4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m c^{2} / e^{2} \lambda_{0}^{2}=2,0 \cdot 10^{0} \mathrm{~cm}^{-3}$.
5.208. а) $u=3 / 2 v$; б) $u=2 v$; B) $u=1 / 3 v$ :
5.209. $\varepsilon=1+A / \omega^{2}$, где $A$ – постоянная.
5.210. $0=c / n=1,83 \cdot 10^{8} \mathrm{M} / \mathrm{c}, \quad u=[1+(\lambda / n)(d n / d \lambda)] c / n=1,70 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
5.211. Достаточно провести рассуждение для трех гармонических составляющих волнового импульса (проще всего с помощью графика).
5.212. $I=1 / 2 I_{0} \mathrm{e}^{-\gamma l} \sin ^{2} \varphi$, где $\varphi=V l H$.
5.213. а) $I=I_{0}(1-\rho)^{2}\left(1+\rho^{2}+\rho^{4}+\ldots\right)=I_{0}(1-\rho)^{2} /\left(1-\rho^{2}\right)$; $=I_{0}(1-\rho)^{2} \sigma\left(1+\sigma^{2} \rho^{2}+\sigma^{4} \rho^{4}+\ldots\right)=I_{0} \sigma(1-\rho)^{2} /\left(1-\sigma^{2} \rho^{2}\right)$, где $\sigma=\exp (-\varkappa d)$.
5.214. $x=\frac{\ln \left(\tau_{1} / \tau_{2}\right)}{d_{2}-d_{1}}=0,35 \mathrm{~cm}^{-1}$.
5.215. $x=\frac{1}{l N} \operatorname{In} \frac{(1-\rho)^{2 N}}{\tau}=0,034 \mathrm{~cm}^{-7}$.
5.216. $\tau=(1-\rho)^{2} \exp \left[-1 / 2\left(x_{1}+x_{2}\right) l\right]$.
5.217. $I=I_{0}(1-\rho)^{2} \frac{\mathrm{e}^{-x_{1} l}-\mathrm{e}^{-x_{2} l}}{\left(x_{2}-x_{1}\right) l}$.
5.218. $\Delta \lambda=2 \lambda_{0} \sqrt{(1 \Pi \eta) / \alpha d}$.
5.219. $I=\frac{\Phi}{4 \pi b^{2}}(1-\rho)^{2} \mathrm{e}^{-x(b-a)}$.
5.220. Уменьшится в $\exp (\mu d)=0,6 \cdot 10^{2}$ раз.
5.221. $d=0,3$ мм.
5.222. $d=(\ln 2) / \mu=8 \mathrm{mM}$.
5.223. $N=(1 п \eta) / 1 п 2=5,6$.
5.224. $c=2 l z\left(n_{2}-n_{1}\right)=3,0 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
5.225. Прежде всего отметим, что при $v \ll c$ время течет практически одинаково в системах отсчета, связанных как с источником, так и с приемииком. Представим себе, что источиик испускает короткие импульсы с интервалами $T_{0}$. Тогда в системе отсчета, связаиной с приемником, расстояиие между двумя последовательными импульсами вдоль линин иаблюдения $\lambda=c T_{0}-v_{r} T_{0}$, где $\partial_{r}$ – лучевая скорость источника ( $\left.\sigma_{r}=v \cos \vartheta\right)$. Частота принимаемых импульсов $v=c / \lambda=v_{0} /\left(1-v_{r} / c\right)$, где $v_{0}=1 / T_{0}$. Отсюда $\left(v-v_{0}\right) / v_{0}=(v / c) \cos \theta$. 5.226. $\Delta \lambda=-\lambda \sqrt{2 T / m c^{2}} \cos \theta=-26$ им.
5.227. $T=4 \pi R \lambda / c \delta \lambda=25$ сут, где $R$-радиус Солнца.
5.228. $d=(\Delta \lambda / \lambda)_{m} \tau \tau / \pi=3 \cdot 10^{7}$ км, $m=(\Delta \lambda / \lambda)_{m}^{3} c^{3} \tau / 2 \pi \gamma=2,9 \cdot 10^{2 \theta} \mathrm{кr}$, где $\gamma$-гравитационная постоянная.
5.229. $\omega=\omega_{0}(1+\beta) /(1-\beta)$, где $\beta=V / c ; \omega \approx \omega_{0}(1+2 V / c)$.
5.230. $v=1 / 2 \lambda \Delta v \approx 900 \mathrm{~km} / \mathrm{4}$.
5.231. После подстановки в равенство $\omega t-k x=\omega^{\prime} t^{\prime}-k^{\prime} x^{\prime}$ величин $\boldsymbol{t}^{\prime}$ и $\boldsymbol{x}^{\prime}$ : (из преобразований Лоренца) получим
\[
\omega=\omega^{\prime}(1+\beta) / \sqrt{1-\beta^{2}}, \quad k=k^{\prime}(1+\beta) / \sqrt{1-\beta^{2}},
\]

где $\beta=V / c$. Здесь учтено, что $\omega^{\prime}=c k^{\prime}$.
5.232. Из формулы $\omega^{\prime}=\omega \sqrt{(1-\beta) /(1+\beta)}$ получим $\beta=v / c=0,26$.
5.233. $\dot{v}=c \frac{\left(\lambda / \lambda^{\prime}\right)^{2}-1}{\left(\lambda / \lambda^{\prime}\right)^{2}+1}=7,1 \cdot 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
5.234. $\omega=\omega_{0} \sqrt{3 / 7}$.
5.235. $\Delta \lambda=\lambda T / m_{0} c^{2}=0,70 \mathrm{нм}$, где $m_{0}$ – масса атома.
5.236. а) $\omega=\omega_{0} / \sqrt{1-\beta^{2}}=5,0 \cdot 10^{10} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$; б) $\omega=\omega_{0} \sqrt{1-\beta^{2}}=1,8 \cdot 10^{10} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$. Здесь $\beta=v / c$. .
5.237. Заряд электрона вместе с положительным индуцированным в металле зарядом образует диполь. В системе отсчета, связанной с электроном, электрический момент диполя меняется с периодом $T^{\prime}=d^{\prime} / v$, где $d^{\prime}=d \sqrt{1-(v / c)^{2}}$. Соответствующая \”собственная\” частота $v^{\prime}=v / d^{\prime}$. Вследствие эффекта Доплера наблюдаемая частота
\[
v=v^{\prime} \frac{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}{1-(v / c) \cos \vartheta}=\frac{v / d}{1-(v / c) \cos \vartheta} .
\]

Ей отвечает длина волны $\lambda=c / v=d(c / v-\cos \vartheta)$. При $\vartheta=45^{\circ}$ и $v \approx c$ длина волны $\lambda \approx 0,6$ мкм.
5.238. а) Пусть $v_{x}$-проекция вектора скорости излучающего атома на направление линии наблюдения. Число атомов с проекциями $v_{x}, v_{x}+d v_{x}$
\[
n\left(v_{x}\right) d v_{x} \sim \exp \left(-m v_{x}^{2} / 2 k T\right) \cdot d v_{x} .
\]

Частота света, излучаемого атомами, скорость которых $v_{x}$, есть $\omega=\omega_{0}\left(1+v_{x} / c\right)$. С помощью этого выражения найдем распределение атомов по частотам: $n(\omega) d \omega=n\left(v_{x}\right) d v_{x}$. И наконец, надо учесть, что спектральная интенсивность излучения $I_{\omega} \sim n(\omega) . \quad$ б) $\Delta \omega / \omega_{0}=2 \sqrt{(2 \ln 2) k T / m c^{2}}$.
5.239. $u=\frac{c / n+V}{1+V / c n}$. Если $V \ll c$, то $u \approx \frac{c}{n}+V\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$.
Рис. 44.
5.240. $v=1 / 2 c \delta \vartheta=30 \mathrm{Km} / \mathrm{c}$.
5.242. $\vartheta^{\prime}=8^{\circ}$.
5.243. Движущаяся со скоростью $V$ заряженная частица своим полем возбуждает атомы среды, и они становятся источниками световых волн. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на пути движения частицы. Световые волны, испускаемые из этих точек при прохождении через них частицы, достигнут точки $P$ (рис. 44) за одинаковое время и усилят друг друга, если время распространения световой волны из точки $A$ в точку $C$ будет равно времени пролета частицей пути $A B$. Огсюда получим $\cos \vartheta=v / V$, где $v=c / n$-фазовая скорость света. Видно, что излучение возможно лишь при $V>v$, т. е. когда скорость частицы больше фазовон скорости света в среде.
5.244. $T_{\text {мин }}=\left(n / \sqrt{n^{2}-1}-1\right) m c^{2}$; соответственно $0,14 M_{
i}$ и $0,26 \Gamma_{
i}$. Для $\mu$-мезонов.
5.245. $T=\left(\frac{n \cos \vartheta}{\sqrt{n^{2} \cos ^{2} \vartheta-1}}-1\right) m c^{2}=0,23 M
i \mathrm{B}$.
5.247. $T_{2}=b T_{1} /\left(b+T_{1} \Delta \lambda\right)=1,75 \mathrm{kK}$.
5.248. $\lambda_{m}=3,4$ мкм.
5.249. $5 \cdot 10^{9} \mathrm{Kr} / \mathrm{c}$, около 1011 лет.
5.250. $T=\sqrt[3]{3 c R \rho / \sigma M}=2 \cdot 10^{7} \mathrm{~K}$, где $R$-универсальная газовая постоянная, $M$-молярная масса водорода.
5.251. $t=\left(\eta^{3}-1\right) c \rho d / 18 \sigma T_{0}^{3}=3$ ч, где $c$-удельная теплоемкость меди, $\boldsymbol{\rho}$ – ее плотность.
5.252. $T_{2}=T_{1} \sqrt{d / 2 l}=0,4$ кK.
5.253. а) $C_{V}=(\partial U / \partial T)_{V}=16 \sigma T^{3} V / c=3$ ндж/К, где $U=4 \sigma T^{4} V / c ; \quad$ б) $S=$
5.254. а) $\omega_{\text {вер }}=2 T / a=5,24 \cdot 10^{14} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$; б) $\lambda_{\text {вер }}=2 \pi c a / 5 T=1,44$ мкм,
5.255. а) $u_{\omega}=\left(k T / \pi^{2} c^{3}\right) \omega^{2}$; б) $u_{\omega}=\left(\hbar / \pi^{2} c^{3}\right) \omega^{3} \mathrm{e}^{-\hbar \omega / k T}$.
5.256. $u_{v}=\frac{16 \pi^{2} \hbar}{c^{3}} \frac{v^{3}}{e^{2 \pi \hbar v / k T}-1}, u_{\lambda}=\frac{16 \pi^{2} c \hbar \lambda-5}{e^{2 \pi \hbar c / k T \lambda}-1}$.
5.257. $\Delta P=4 \pi^{2} c^{2} \hbar T^{5} \Delta \lambda / b^{5}\left(e^{2 \pi \hbar c / k b}-1\right)=0,31 \mathrm{~B} / \mathrm{cm}^{2}$, где $b-$ постоянная в законе смещения Вина.
5.258. а) 1,1 мкм; б) 0,37 ; в) $P_{2} / P_{1}=\left(T_{2} / T_{1}\right)^{4}\left(1-y_{2}\right) /\left(1-y_{1}\right)=4,9$.
5.259. $n_{\omega} d \omega=\frac{1}{\pi^{2} c^{3}} \frac{\omega^{2} d \omega}{e^{\hbar \omega / k T}-1}, \quad n_{\lambda} d \lambda=\frac{8 \pi \lambda-4 d \lambda}{e^{2 \pi \hbar c / k T \lambda}-1}$.
5.260. a) $\langle j\rangle=P \lambda / 8 \pi^{2} c \hbar r^{2}=6 \cdot 10^{13} \mathrm{~cm}^{-2} \cdot \mathrm{c}^{-1}$; 6) $r=\sqrt{P \lambda / 2 \hbar n} / 2 \pi c=9 \mathrm{M}$.
5.261. $d p / d t=\Phi_{9} / c$.
5.262. $\langle p\rangle=4(1+\rho) E / \pi d^{2} c \tau \approx 50$ атм.
5.263. $p=(E / c) \sqrt{1+\rho^{2}+2 \rho \cos 2 \vartheta}=35 \mathrm{HH} \cdot \mathbf{c}$.
5.264. $p=(I / c)(1+\rho) \cos ^{2} \vartheta=0,6 \mathrm{HH} / \mathrm{cm}^{2}$.
5.265. $F=\pi R^{2} I / c=0,18$ мкн.
5.266. $F=P / 2 c\left(1+\eta^{2}\right)$.
5.267. а) $\Delta p=\frac{2 \hbar \omega}{c} \cdot \frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta}$; б) $\Delta p=\frac{2 \hbar \omega}{c} \frac{1}{1-\beta}$. Здесь $\beta=V / c$. Видно, что в системе отсчета, связанной с зеркалом, последнему передается меньший пмпульс.
5.268. $\sin (\vartheta / 2) \approx E / m c \sqrt{g l}, \vartheta \vartheta=0,5^{\circ}$.
5.269. $\Delta \omega / \omega_{0}=-\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma M / R c^{2}}\right)<0$, т. е. частота фотона уменьшаетси.
5.270. $U=2 \pi \hbar c(1-1 / \eta) / e \Delta \lambda=16 \mathrm{kB}$.
5.271. $U=\pi \hbar c / e d \sin \alpha=31$ кВ.
5.272. $\lambda_{\text {мин }}=2 \pi \hbar / m c(\gamma-1)=2,8$ пм, где $\gamma=1 / \sqrt{1-(v / c)^{2}}$.
5.273. $332 \mathrm{HM}, 6,6 \cdot 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
5.274. $A=2 \pi c \hbar \frac{\left(\eta^{2}-\lambda_{2} / \lambda_{1}\right)}{\lambda_{2}\left(\eta^{2}-1\right)}=1,9$ эВ.
5.275. $\varphi_{\text {макс }}=4,4$ B.
5.276. $T_{\text {макс }}=\hbar\left(\omega_{0}+\omega\right)-A_{\text {вых }}=0,38$ эВ.
5.277. $w=2 \pi c \hbar J / e \lambda=0,020$.
5.278. $v_{\text {макс }}=6,4 \cdot 10^{5} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
5.279. $0,5 \mathrm{~B}$; ее полярность противоположна полярности внешнего напряжеиия.
5.280. $\hbar / m c$ – комптоновская длина волны данной частицы.
5.281. Запишем законы сохранения эиергии и импульса в системе отсчета, связанной с электроном-до соударения с фотоном: $\hbar \omega+m_{0} c^{2}=m c^{2}, \hbar \omega / c a$ – $m v$, где $m=m_{0} \sqrt{1-(v / c)^{2}}$. Отсюда следует, что $v=0$ или $c$. Оба резуль* тата физического смысла не имеют.
5.282. а) Рассеяние происходит иа свободиых электронах; б) увеличи* вается число электронов, которые становятся свободными (под свободиыми поиимаотся электроны, энергия связи которых значительно меньше энергии, передаваемой им фотонами); в) наличне несмещеиной компоненты объясняется рассеянием на сильно связанных электронах и на ядрах.
5.283. $\lambda=4 \pi \lambda_{C}\left[\sin \left(\vartheta_{2} / 2\right)-\eta \sin \left(\vartheta_{1} / 2\right)\right] /(\eta-1)=1,2 \mathrm{~nm}$.
5.284. $T=\hbar \omega \eta /(1+\eta)=0,20$ МэВ.
5.285. a) $\omega^{\prime}=2 \pi c /(\lambda+2 \pi \hbar / m c)=2,2 \cdot 10^{20} \mathrm{paz} / \mathrm{c}$;
б) $T=\frac{2 \pi c \hbar / \lambda}{1+\lambda m c / 2 \pi \hbar}=$ $=60$ кэВ.
5.286. $\hbar \omega^{\prime}=\frac{\hbar \omega}{1+2\left(\hbar \omega / m c^{2}\right) \sin (\vartheta / 2)}=0,144$ MэB.
5.287. $\sin (\vartheta / 2)=\sqrt{m c\left(p-p^{\prime}\right) / 2 p p^{\prime}}$, отсюда $\vartheta=120^{\circ}$.
5.288. $\hbar \omega=\left[1+\sqrt{1+2 m c^{2} / T \sin ^{2}(\vartheta / 2)}\right] T / 2=0,68$ МэВ.
5.289. $\lambda=(2 \pi \hbar / m c)\left(\sqrt{1+2 m c^{2} / T_{\text {макс }}}-1\right)=3,7$ пм.
5.290. $\operatorname{tg} \varphi=\frac{\sqrt{4 \pi \hbar / m c \Delta \lambda-1}}{1+\hbar \omega / m c^{2}}, \varphi=31^{\circ}$.
5.291. $\rho=\frac{2 \eta(1+\eta) m c}{(1+2 \eta) e B}=3,4 \mathrm{~cm}$.
5.292. $\Delta \lambda=(4 \hbar / \mathrm{mc}) \sin ^{2}(\vartheta / 2)=1,2$ пм.
6.1. $r=3 e^{2} / 2 E=0,16 \mathrm{нM}, \lambda=(2 \pi c / e) \sqrt{m r^{3}}=0,24$ мкм.
6.2. $b=0,73$ пм.
6.3. а) $r_{\text {мин }}=0,59 \mathrm{nM}$; б) $r_{\text {мин }}=\left(2 Z e^{2} / T\right)\left(1+m_{\alpha} / m_{\mathrm{Li}}\right)=0,034 \mathrm{пM}$.
6.4. а) $\rho_{\text {мин }}=\left(Z e^{2} / T\right) \operatorname{ctg}^{2}(\vartheta / 2)=0,23 \pi м ;$ б) $r_{\text {мин }}=[1+\csc (\vartheta / 2)] Z e^{2} / T=$ $=0,56 \mathrm{пm}$.
6.5. $p \approx 2 \sqrt{2 m T /\left[1+\left(2 b T / Z e^{2}\right)^{2}\right]}$.
6.6. $T_{e}=m_{p} e^{4} / m_{e} b^{2} T=4$ эВ.
6.7. $b=\frac{R n \sin (\vartheta / 2)}{\sqrt{1+n^{2}-2 n \cos (\vartheta / 2)}}$, где $n=\sqrt{1+U_{0} / T}$.
6.8. а) $\cos (\vartheta / 2)=b /(R+r)$; б) $d P=1 / 2 \sin \vartheta d \vartheta$; в) $P=t / 2$.
6.9. $3,3 \cdot 10^{-5}$.
6.10. $d=\left(4 J r^{2} T^{2} / n I Z^{2} e^{4}\right) \sin ^{4}(\vartheta / 2)=1,5$ мкм, где $n-$ концентрация ядер.
6.11. $Z_{\mathrm{Pt}}=Z_{\mathrm{Ag}} \sqrt{\eta A_{\mathrm{Pt}} / A_{\mathrm{Ag}}}=78$.
6.12. а) $1,6 \cdot 10^{6}$; б) $N=\pi n d\left(Z e^{2} / T\right)^{2} \operatorname{ctg}^{2}\left(\vartheta_{0} / 2\right) I_{0} \tau=2,0 \cdot 10^{7}$, где $n$-ковцентрация ядер.
6.13. $P=\pi n d\left(Z e^{2} / m v^{2}\right)^{2}=0,006$, где $n$-концентрация ядер.
6.14. $\Delta N / N=1-\pi n Z^{2} e^{4} / T^{2} \operatorname{tg}^{2}(\vartheta / 2)=0,6$.
6.15. $\Delta N / N=\frac{\pi e^{4}}{4 T^{2}}\left(0,7 \frac{Z_{1}^{2}}{M_{1}}+0,3 \frac{Z_{2}^{2}}{M_{2}}\right) \rho d N_{A} \operatorname{ctg}^{2} \frac{\theta}{2}=1,4 \cdot 10^{-3}$, где $Z_{1} \quad$ и $\boldsymbol{Z}_{2}$-порядковые номера меди и цинка, $M_{1}$ и $M_{2}$-их молярные массы, $\boldsymbol{N}_{\boldsymbol{A}}$ – число Авогадро.
6.16. $\Delta \sigma=\pi\left(Z e^{2} / T\right)^{2} \operatorname{ctg}^{2}\left(\vartheta_{0} / 2\right)=0,73$ кб.
6.17. а) $0,9 \mathrm{M} \mathrm{B}$; б) $d \sigma / d \Omega=\Delta \sigma / 4 \pi \sin ^{4}(\vartheta / 2)=0,64 \mathrm{к} / \mathrm{cp}$.
6.18. $t=\left(3 m c^{3} / 2 e^{2} \omega^{2}\right) \ln \eta=15$ нс.
6.19. $t \approx m^{2} c^{3} r^{3} / 4 e^{4} \approx 13 \mathrm{nc}$.
6.21. $r_{n}=\sqrt{n \hbar / m \omega}, E_{n}=n \hbar \omega$, где $n=1,2, \ldots, \omega=\sqrt{k / m}$.
6.22.
6.23. $\omega=m e^{4} Z^{2} / \hbar^{3} n^{2}=2,07 \cdot 10^{16} \mathrm{paz} / \mathrm{c}$.
6.24. $\mu_{n}=n e \hbar / 2 m c, \mu_{n} / M_{n}=e / 2 m c, \mu_{1}=\mu_{B}$.
6.25. $B=m^{2} e^{7} / c \hbar^{5}=125 \mathrm{\kappa \Gamma c}$.
6.27. Серия Брэкета, $\lambda_{6 \rightarrow 4}=2,63$ мкм.
6.28. а) 657,487 и $434 \mathrm{HM}$; б) $\lambda / \delta \lambda \approx 1,5 \cdot 10^{3}$.
6.29. При $n \gg 1$ значение $\sin \vartheta \approx n^{3} \pi c / l R$, откуда $\theta \approx 60^{\circ}$.
6.30. $\mathrm{He}^{+}$.
6.31. $N=1 / 2 n(n-1)$.
6.32. $97,3,102,6$ и 121,6 нм,
6.33. $n=5$.
6.34. $R=\frac{176 \pi c}{157^{2} \Delta \lambda}=2,07 \cdot 10^{16} \mathrm{c}^{-1}$.
6.35. $Z=\sqrt{(176 / 15) \pi c / R \Delta \lambda}=3, \mathrm{Li}^{++}$.
6.36. $\lambda=(2 \pi c / \Delta \omega)(Z \sqrt{R / \Delta \omega}-1) /(2 Z \sqrt{R / \Delta \omega}-1)=0,47$ мкм,
6.37. $E_{\mathrm{cB}}=54,49 \mathrm{~B}\left(\mathrm{He}^{+}\right)$.
6.38. $E=E_{0}+4 \hbar R=79$ эВ.
6.39. $v=\sqrt{2(\hbar \omega-4 \hbar R) / m}=2 ; 3 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}$, где $\omega=2 \pi c / \lambda$.
6.40. $T_{\text {мнн }}=3 / 2 \hbar R=20,5$ эВ.
6.41. $v=3 \hbar R / 4 m c=3,25 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, где $m$-масса атома.
6.42. $\left(\varepsilon-\varepsilon^{\prime}\right) / \varepsilon \approx 3 \hbar R / 8 m c^{2}=0,55 \cdot 10^{-6} \%$, где $m$-масса атома.
6.43. $v=2 \sqrt{\hbar R / m}=3,1 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, где $m$-масса электрона.
6.44. $v=3 R \Delta \lambda / 8 \pi \cos \theta=0,7 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
6.45. a) $E_{n}=n^{2} \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m l^{2}$;
б) $E_{n}=n^{2} \hbar^{2} / 2 m r^{2}$;
в) $E_{n}=n \hbar \sqrt{\alpha / m} ;$ r) $E_{n}=$ $=-m \alpha^{2} / 2 \hbar^{2} n^{2}$.
6.46. $E_{\text {св }}=\mu e^{4} / 2 \hbar^{2}, R=\mu e^{4} / 2 \hbar^{3}$, где $\mu$-приведенная масса системы. Без चчета движения ядра эти величииы для атома водорода больше на $m / M \approx$ $\mathbf{0 , 0 5 5 \%}$, где $m$ и $M$ – массы электрона и протона.
6.47. $E_{D}-E_{H}=3,7$ мэВ, $\lambda_{H}-\lambda_{D}=33$ пм.
6.48. а) 0,285 пм, 2,53 кэВ, 0,65 нм; б) 106 пм, 6,8 эВ, 0,243 мкм.
6.49. $123,2,86$ и 0,186 пм.
6.50. 0,45 кэВ.
6.51. Для обеих частиц $\lambda=2 \pi \hbar\left(1+m_{n} / m_{d}\right) / \sqrt{2 m_{n} T}=8,6$ пм.
6.52. $\tilde{\lambda}=2 \lambda_{1} \lambda_{2} / \sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}$.
6.53. $\lambda=2 \pi \hbar / \sqrt{2 m k T}=128$ пм.
6.54. Найдем сначала функцию распределения молекул по дебройлевским длинам волн. Из соотношения $f(v) d v=-\varphi(\lambda) d \lambda$, где $f(v)$-максвелловская функция распределения по скоростям, получим
\[
\varphi(\lambda)=A \lambda^{-4} \mathrm{e}^{-a / \lambda z}, \quad a=2 \pi^{2} \hbar^{2} / m k T .
\]

Условие $d \varphi / d \lambda=0$ дает $\lambda_{\text {вер }}=\pi \hbar / \sqrt{m k T}=0,09$ нм.
6.55. $\lambda=2 \pi \hbar / \sqrt{2 m T\left(1+T / 2 m c^{2}\right)}, T \lesssim 4 m c^{2} \Delta \lambda / \lambda=20,4$ кэВ (для э.лектрона) и 37,5 МэВ (для протона).
6.56. $T=(\sqrt{2}-1) m c^{2}=0,21 M_{9} B$.
6.57. $\lambda=\lambda_{\mathrm{K}} / \sqrt{1+m c \lambda_{\mathrm{K}} / \pi \hbar}=3,3 \mathrm{mм}$.
6.58. $v=4 \pi \hbar l / m b \Delta x=2,0 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
6.59. $\Delta x=2 \pi \hbar l / d \sqrt{2 m e U}=4,9$ мкм.
6.60. $U_{0}=\pi^{2} \hbar^{2} / 2 m e(\sqrt{\eta}-1)^{2} d^{2} \sin ^{2} \vartheta=0,15$ кэВ.
6.61. $d=\pi \hbar k / \sqrt{2 m T} \cos (\vartheta / 2)=0,21$ нм, где $k=4$.
6.62. $d=\pi \hbar k / \sqrt{2 m T} \sin \vartheta=0,23 \pm 0,04$ нм, где $k=3$ и угол $\vartheta$ определяется формулой $\operatorname{tg} 2 \vartheta=D / 2 l$.
6.63. а) $n=\sqrt{1+U_{i} / U}=1,05 ;$ б) $U / U_{i} \geqslant 1 / \eta(2+\eta)=50$.
6.64. $E_{n}=n^{2} \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m l^{2}$, где $n=1,2, \ldots$
6.66. $1 \cdot 10^{4}, 1 \cdot 10$ и $1 \cdot 10^{-20} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
6.67. $\Delta v \approx \hbar / m l=1 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c} ; v_{1}=2,2 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
6.69. $\Delta t \approx \eta m l^{2} / \hbar \approx 10^{-16} \mathrm{c}$.
6.70. $T_{\text {мин }} \approx \hbar^{2} / 2 m l^{2}=1$ эВ. Здесь взято $p \approx \Delta p$ и $\Delta x=l$.
6.71. $\Delta v / v \sim \hbar / l \sqrt{2 m T}=1 \cdot 10^{-4}$.
6.72. $F \approx \hbar^{2} / m l^{3}$.
6.73. Имея в виду, что $p \sim \Delta p \sim \hbar / \Delta x \sim \hbar / x$, получим $E=T+U \approx$ $\approx \hbar^{2} / 2 m x^{2}+k x^{2} / 2$. Из условия $d E / d x=0$ находим $x_{0}$ и затем $E_{\text {мин }} \approx \hbar \sqrt{k / m} \Rightarrow$ $=\hbar \omega$, где $\omega$-круговая частота осциллятора. Точный расчет дает $\hbar \omega / 2$.
6.74. Имея в виду, что $p \sim \Delta p \sim \hbar / \Delta r$ и $\Delta r \sim r$, получим $E=p^{2} / 2 m-$ $-e^{2} / r \approx \hbar^{2} / 2 m r^{2}-e^{2} / r$. Из условия $d E / d r=0$ находим $r_{9 ф ф} \approx \hbar^{2} / m e^{2}=53$ пм, $E_{\text {мин }} \approx-m e^{4} / 2 \hbar^{2}=-13,6$ эВ.
6.75. Ширина изображения $\Delta \approx \delta+\Delta^{\prime} \approx \delta+\hbar l / p \delta$, где $\Delta^{\prime}$ – дополиительное уширение, связанное с неопределенностью импульса $\Delta p_{y}$ (при прохождении через щель), $p$-импульс падающих атомов водорода. Функция $\Delta(\delta)$ имеет минимум при $\delta \approx \sqrt{\hbar l / m v}=0,01$ мм.
6.76. Решение уравнения Шрёдингера ищем в виде $\Psi=\psi(x) \cdot f(t)$. Подстановка этой функции в исходное уравнение и разделение переменных $x$ и $t$ привсдит к двум уравнениям. Их решения: $\psi(x) \sim \mathrm{e}^{i k x}$, где $k=\sqrt{2 m E} / \hbar$, $E$-энергия частицы, и $f(t) \sim \mathrm{e}^{-i \omega t}$, где $\omega=E / \hbar$. В результате $\Psi=a \mathrm{e}^{t(k x-\omega t)}$ 。 где $a$-некоторая постоянная.
6.77. $P=1 / 3+\sqrt{3} / 2 \pi=0,61$.
6.78. $\psi=\left\{\begin{array}{l}A \cos (\pi n x / l), \text { если } n=1,3,5, \ldots, \\ A \sin (\pi n x / l), \text { если } n=2,4,6, \ldots\end{array}\right.$

Здесь $A=\sqrt{2 / t}$.
6.80. $d N / d E=(l / \pi \hbar) \sqrt{m / 2 E} ; \quad$ при $E=1 \quad$ эВ величина $d N / d E=0,8 \cdot 103$ уровней/эВ.
6.81. а) В этом случае уравнение Шрёдингера имеет вид
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{2}}+k^{2} \psi=0, \quad k^{2}=2 m E / \hbar^{2} .
\]

Возьмем начало координат в одном из углов ямы. На сторонах ямы функция $\psi(x, y)$ должна обращаться в нуль (по условию), поэтому внутри ямы еө удобно искать сразу в виде $\psi(x, y)=a \sin k_{1} x \cdot \sin k_{2} y$, так как на двух сторонах ( $x=0$ и $y=0$ ) автоматически $\psi=0$. Возможные значения $k_{1}$ и $k_{2}$ найдем нз условия обращения $\Psi$ в нуль на противоположных сторонах ямы:
\[
\begin{array}{lll}
\psi\left(l_{1}, y\right)=0, & k_{1}= \pm\left(\pi / l_{1}\right) n_{1}, & n_{1}=1,2,3, \ldots, \\
\Psi\left(x, l_{2}\right)=0, & k_{2}= \pm\left(\pi / l_{2}\right) n_{2}, & n_{2}=1,2,3, \ldots
\end{array}
\]

Подстановка волновой функции в уравнение Шрёдингера приводит к соотношению $k_{1}^{2}+k_{3}^{2}=k^{2}$, откуда
\[
E_{n_{1} n_{3}}=\left(n_{1}^{2} / l_{1}^{9}+n_{3}^{3} / l_{2}^{2}\right) \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m .
\]
б) $9,87,24,7,39,5$ и 49,4 единиц $\hbar^{2} / m t^{2}$.
6.82. $P=1 / 3-\sqrt{3} / 4 \pi=19,5 \%$.
6.83. а) $E=\left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right) \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m a^{2}$, где $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ – целые числа, не равные нулю; б) $\Delta E=\pi^{2} \hbar^{2} / m a^{2}$; в) для 6-го уровня $n_{1}^{9}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=14$ и $E=$ $=7 \pi^{2} \hbar^{2} /$ ma $^{2}$; число состояний равно шести (оно равно числу перестановок тройкн чисел 1,2 и 3 ).
6.84. Проинтегрируем уравнение Шрёдингера по малому ннтервалу координаты $x$, внутри которого имеется скачок $U(x)$, например в точке $x=0$ :
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x}(+\varepsilon)-\frac{\partial \Psi}{\partial x}(-\delta)=\int_{-\delta}^{+} \frac{2 m}{\hbar^{2}}(E-U) \psi d x .
\]

Ввиду конечности скачка $U$ при $\delta \rightarrow 0$ интеграл тоже стремнтся к нулю. Дальнейшее очевидно.
6.85. а) Запншем уравнение Шрёдингера для двух областей:
\[
\begin{array}{rll}
0<x<l, & \psi_{1}^{\prime \prime}+k^{2} \psi_{1}=0, & k^{2}=2 m E / \hbar^{2}, \\
x>l, & \psi_{2}^{\prime \prime}-x^{2} \psi_{2}=0, & x^{2}=2 m\left(U_{0}-E\right) / \hbar^{2} .
\end{array}
\]

Их общие решения
\[
\psi_{1}(x)=a \sin (k x+\alpha), \quad \psi_{2}(x)=b \mathrm{e}^{-* x}+c \mathrm{e}^{\lambda x} .
\]

голжны удовлетворять стандартным и граничным условиям. Из условия $\psi_{1}(0)=0$ н требованяя конечности волновой функции следует, чго $\alpha=0$ и $c=0$. И наконец, из непрерывности $\psi(x)$ н ее пронзводной в точке $x=l$ пелучим $\operatorname{tg} k l=-k / x$, откуда
\[
\sin k l= \pm k l \sqrt{\hbar^{2} / 2 m l^{2} U_{0}} .
\]

Изобразив графически левую и правую части последнего уравнения (рис, 45), найдем точки пересечения прямой с синусоидой. При этом корни данного уравнения, отвечающие собственным знағениям энергии $E$, будут соответствовать тем точкам пересечения $(k l)_{i}$, для которых $\operatorname{tg}(k l)_{i}<0$, т. е. корни этого уравнения будут находиться в четных четвертях окружности (эти
Рис. 45.

участки оси абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками). Из графика видно, что корни уравнения, т. е. связанные состояния частицы, существуют не всегда. Пунктиром показано предельное положение прямой, б) $\left(l^{2} U_{0}\right)_{\text {мин }}=$ $=\pi^{2} \hbar^{2} / 8 m,\left(l^{2} U_{0}\right)_{n \text { мин }}=(2 n-1) \pi^{2} \hbar^{2} / 8 m$.
6.86. Пусть $P_{a}$ и $P_{i}$-вероятности нахождения частицы вне и внутри ямы. Тогда
\[
\frac{P_{a}}{P_{i}}=\frac{\int_{l}^{\infty} b^{2} \mathrm{e}^{-2 \kappa x} d x}{\int_{0}^{2} a^{2} \sin ^{2} k x d x}=\frac{2}{2+3 \pi},
\]

где отношение $b / a$ можно определить из условия $\boldsymbol{\psi}_{1}(l)=\psi_{2}(l)$. Остается учесть, что $P_{a}+P_{t}=1$; тогда $P_{a}=2 /(4+3 \pi)=14,9 \%$.

Возможность нахождения частицы в области, где ее энергия $E<U$, представляет собой чисто квантовый эффект. Он является следствием волновых свойств частицы, исключающих одновременно точные значения координаты и импульса, а следовательно, и точное разделение полной энергии частицы на потенциальную и кинетическую. Последнее можно сделать только в пределах точности, даваемой соотношением неопределенностей.
6.87. В результате указанной подстановки получим
\[
\chi^{\prime \prime}+k^{2} \chi=0 \text {, где } k^{2}=2 m E / \hbar^{2} .
\]

Решение этого уравнения ищем в виде $\chi=a \sin (k r+\alpha)$. Из требования конечности волновой функции $\psi$ в точке $r=0$ следует, что $\alpha=0$. Таким образом, $\psi=(a / r) \sin k r$. Из граничного условия $\phi\left(r_{0}\right)=0$ получим $k r_{0}=n \pi$, где $n=$ $=1,2, \ldots$ Отсюда $E_{n}=n^{2} \pi^{2} \hbar^{2} / 2 \pi r_{0}^{2}$.
6.88. а) $\Psi(r)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi r_{0}}} \frac{\sin \left(n \pi r / r_{0}\right)}{r}, n=1 ; 2, \ldots ;$;) $t_{\mathrm{Bep}}=t_{0} / 2: 50 \%$.

6.89. а) Решения уравнения Шрёдингера для функции $\chi(r)$ :
\[
\begin{array}{llll}
r<r_{0}, & \chi_{i}=A \sin (k r+\infty), & \text { где } & k=\sqrt{2 m E / \hbar}, \\
r>r_{0}, & \chi_{2}=B e^{*}+C \mathrm{e}^{-x r}, & \text { где } & x=\sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)} / \hbar .
\end{array}
\]

Из требования ограниченности функции $\psi(r)$ во всем пространстве следует, что $\alpha=0$ и $B=0$. Таким образом:
\[
\psi_{1}=A \frac{\sin k r}{r}, \quad \psi_{2}=C \frac{\mathrm{e}^{-r r}}{r} .
\]

Из условия непрерывности $\psi$ и ее производной в точке $r=r_{0}$ получим $\operatorname{tg} k r_{0}=-k / \chi$, или
\[
\sin k r_{0}= \pm \sqrt{\hbar^{2} / 2 m r_{0}^{2} U_{0}} k r_{0} .
\]

Это уравнение, как показано в решении задачи 6.85 , определяет дискретный спектр собственных значений энергии. б) $r_{0}^{2} U_{0}=\pi^{2} \hbar^{2} / 8 \mathrm{~m}$.
6.90. $\alpha=m \omega / 2 \hbar, E=\hbar \omega / 2$, где $\omega=\sqrt{k / m}$.
6.91. $E=-m e^{4} / 8 \hbar^{2}$, т. е. уровень с главным квантовым числом $n=2$.
6.92. а) Вероятность нахождения электрона на расстоянии $r, r+d r$ от 1 ядра $d P=\psi^{2}(r) 4 \pi r^{2} d r$. Из условия максммума функции $d P / d r$ получим $r_{\text {вер }}=r_{1} ;$ б) $\langle F\rangle=2 e^{2} / r_{1}^{2} ;$ в) $\langle U\rangle=-e^{2} / r_{1}$.
6.93. $\varphi_{0}=\int(\rho / r) 4 \pi r^{2} d r=e / r_{i}$, где $\rho=e \psi^{2}$-объемная плотность заряда, $\psi$ – нормированная волновая функция.
6.94. а) Запишем решения уравнения Шрёдингера слева и справа от границы барьера в следующем виде:
\[
\begin{array}{llll}
x<0, & \psi_{1}(x)=a_{1} \mathrm{e}^{i k_{1} x}+b_{1} \mathrm{e}^{-i k_{1} x}, & \text { где } & k_{1}=\sqrt{2 m E / \hbar}, \\
x>0, & \psi_{2}(x)=a_{2} \mathrm{e}^{i k_{2} x}+b_{2} \mathrm{e}^{-i k_{2} x}, & \text { где } & k_{2}=\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)} / \hbar .
\end{array}
\]

Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой $a_{i}$, а отраженная – амплитудой $b_{2}$. Так как в области $x>0$ ижеется только проходящая волна, то $b_{2}=0$. Коэффициент отражения $R$ представляет собой отношение отраженного потока частиц к падающему потоку, или, другими словами, отношение квадратов амплитуд соответствующих волн. Из условия непрерывности $\psi$ и ее производной в точке $x=0$ имеем $a_{1}+b_{1}=a_{2}$ и $a_{1}-b_{1}=\left(k_{2} / k_{1}\right) a_{2}$, откуда
\[
R=\left(b_{1} / a_{1}\right)^{2}=\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2} /\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2} .
\]
б) В случае $E<U_{0}$ решение уравнения Шрёдингера справа от барьера имеет вид
\[
\psi_{2}(x)=a_{2} \mathrm{e}^{x x}+b_{2} \mathrm{e}^{-x x}, \text { где } x=\sqrt{2 m\left(U_{\theta}-E\right)} / \hbar .
\]

Из требования конечности $\psi(x)$ следует, что $a_{2}=0$. Плотюсть вероятности нахождения частицы под барьером $P_{2}(x)=\psi_{2}^{\frac{2}{2}}(x) \sim \mathrm{e}^{-3 x x}$. Отсюда $x_{\text {эфф }}=1 / 2 x$.
6.95. a) $D \approx \exp \left[-\frac{2 l}{\hbar} \sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)}\right]$
б) $D \approx \exp \left[-\frac{8 l \sqrt{2 m}}{3 \hbar U_{0}}\left(U_{0}-E\right)^{3 / 2}\right]$.
6.96. $D \approx \exp \left[-\frac{\pi l}{\hbar} \sqrt{\frac{2 m}{U_{0}}}\left(U_{0}-E\right)\right]$.
6.97. $-0,41$ для $S$-терма и $-0,04$ для $P$-терма.
6.98. $\alpha=\sqrt{\hbar R /\left(E_{0}-e \varphi_{1}\right)}-3=-0,88$.
6.99. $E_{\mathrm{cB}}=\hbar R /\left(\sqrt{R \lambda_{1} \lambda_{2} / 2 \pi c \Delta \lambda}-1\right)^{2}=5,3 \mathrm{9B}$.
6.100. 0,82 мкм $(3 S \rightarrow 2 P$ ) и 0,68 мКм $(2 P \rightarrow 2 S)$.
6.101. $\Delta E=2 \pi \hbar c \Delta \lambda / \lambda^{2}=2,0$ мэВ.
6.102. $\Delta \omega=1,05 \cdot 10^{14} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$.
6.103. $3 S_{1 / 2}, 3 P_{1 / 2}, 3 P_{s_{/ 2}}, 3 D_{3 / 2}, 3 D_{5 / 2}$.
6.104. а) $1,2,3,4,5$; б) $0,1,2,3,4,5,6$; в) $\frac{1}{2}, 3 / 2,5 / 2,7 / 2, \% / 2$.
6.105. Для состояния $4 P: \hbar \sqrt{3 / 2}, \hbar \sqrt{15} / 2$ и $\hbar \sqrt{35} / 2$; для состояния $5 D$ : $0, \hbar \sqrt{2}, \hbar \sqrt{6}, \hbar \sqrt{12}, \hbar \sqrt{20}$.
6.106. а) $2 F_{7 / 2}, M_{\text {макс }}=\hbar \sqrt{63 / 2}$; б) ${ }^{3} F_{4}, M_{\text {макс }}=2 \hbar \sqrt{5}$.
6.107. В $F$-состоянии $M_{s}=\hbar \sqrt{6}$; для $D$-состояния можно лишь устаиовить, что $M_{s} \geqslant \hbar \sqrt{6}$.
6.108. $3,4,5$.
6.109. а) $1,3,5,7,9$; б) $2,4,6$; в) $5,7,9$.
6.110. $31^{\circ}$.
6.111. ${ }^{3} D_{2}$.
6.112. ${ }^{1} P_{1},{ }^{1} D_{2},{ }^{1} F_{\tilde{3}},{ }^{3} P_{0,1,2},{ }^{3} D_{1,2,3},{ }^{3} F_{2,3,4}$.
6.113. Те же, что в предыдущей задаче.
6.114. Второй и третий.
6.115. $g=4+6=10$.
6.116. 4,7 и 10.
6.117. ${ }^{3} F_{3}$.
6.118. As.
6.119. a) ${ }^{4} S_{2 / 8}$; б) ${ }^{3} P_{2}$.
6.120. а) ${ }^{4} F_{3 / 2}$, $\hbar \sqrt{15} / 2 ;$ б) ${ }^{4} F_{9 / 2}$, $\hbar 3 \sqrt{11 / 2}$.
6.121. а) Два $d$-электрона; б) пять $p$-злектронов; в) пять $d$-электронов.
6.122. а) ${ }^{3} P_{0}$; б) ${ }^{4} F_{\mathrm{s} / 2}$.
6.123. ${ }^{4} F_{\mathrm{o} / 2}$.
6.124. $\mu=\mu_{B} \sqrt{35}\left({ }^{6} S_{b^{2} / 2}\right)$.
6.125. $\eta=n^{2} \mathrm{e}^{-\hbar \omega / k T}=3 \cdot 10^{-17}$, где $\omega=R\left(1-1 / n^{2}\right)$.
6.126. $N / N_{0}=\left(g / g_{0}\right) \mathrm{e}^{-\hbar \omega / k T}=1,14 \cdot 10^{-4}$, где $g$ и $g_{0}$-статистические веса (кратности вырождения) уровней $3 P$ и $3 S$ соответственно ( $g=6, g_{0}=2$ ).
6.127. $\tau=l / v \ln \eta=1,3$ мкс.
6.128. $N=\lambda \tau P / 2 \pi c \hbar=7 \cdot 10^{\circ}$.
6.129. $\tau=(n \hbar \omega / P)\left(g / g_{\theta}\right) \mathrm{e}^{-\hbar \omega / k T}=65$ нс, где $g$ и $g_{0}$-кратности вырождения резонансного и основного уровней.
6.130. а) $P_{\text {иид }} / P_{\text {сп }}=1 /\left(\mathrm{e}^{\hbar \omega / k T}-1\right) \approx 10^{-34}$, где $\omega=3 / 4 R$; б) $T=1,7 \cdot 105 \mathrm{~K}$.
6.131. Пусть $I$-интенсивность проходящего света. Убыль этой величины при прохождении слоя вещества толщины $d x$ равна
\[
-d I=x I d x=\left(N_{1} B_{12}-N_{2} B_{21}\right)(I / c) \hbar \omega d x,
\]

где $N_{1}$ и $N_{2}$ – концентрации атомов на нижнем и верхнем уровнях, $B_{12}$ и $B_{21}$ – коэффициенты Эйнштейна. Отсюда
\[
x=(\hbar \omega / c) N_{1} B_{12}\left(1-g_{1} N_{2} / g_{2} N_{1}\right) .
\]
Далее следует учесть распределение Больцмана и тот факт, что $\hbar \omega \gg k T$ (пра этом $N_{i} \approx N_{0}$ – полной концентрации атомов).
6.132. $\Delta \lambda_{\text {доп }} / \Delta \lambda_{\text {ест }} \approx 4 \pi \tau v_{\text {вер }} / \lambda \approx 10^{3}$, где $v_{\text {вер }}=\sqrt{2 R T / M}$.
6.133. $\lambda=154$ пм.
6.134. а) 843 пм для $\mathrm{Al}, 180$ пм для $\mathrm{Co}$; б) $\approx 5$ кэВ.
6.135. Три.
6.136. $U=15 \mathrm{kB}$.
6.137: Да.
6.138. $Z=1+2 \sqrt{(n-1) e U_{1} / 3 \hbar R\left(n-U_{1} / U_{2}\right)}=29$.
6.139. $Z=1+\sqrt{4 \Delta \omega / 3 R}=22$, титан.
6.140. $E_{\mathrm{cB}}=3 / 4 \hbar R(Z-1)^{2}+2 \pi c \hbar / \lambda_{L}=5,5$ кэВ.
6.141. $E_{L}=\hbar \omega /(2 \pi c / \omega \Delta \lambda-1) \approx 0,5$ кэВ, где $\omega=3 / 4 R(Z-1)^{2}$.
6.142. $T=3 / 4 \hbar R(Z-1)^{2}-2 \pi c \hbar / \lambda_{K}=1,45 \mathrm{\kappa Э} B, v=2,26 \cdot 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
6.143. а) $g=2$, за исключением синглетного состояния, где $g=0,0$; б) $g=1$.
6.144. а) $-2 / 3$; б) 0 ; в) 1 ; г) $5 / 2$; д) $0 / 0$.
6.145. а) $\sqrt{12} \mu_{B}$; б) $2 \sqrt{3 / 5} \mu_{B}$; в) $(8 / \sqrt{3}) \mu_{B}$.
6.146. $M_{s}=2 \sqrt{3} \hbar$.
6.147. $\mu=(8 / \sqrt{3}) \mu_{B}$.
6.148. $\mu=3 \sqrt{7 / 5} \mu_{B}$.
6.149. $\mu=(5 \sqrt{5 / 2}) \mu_{B}$.
6.150. $M=\hbar \sqrt{3 / 2}$.
6.151. ${ }^{5} F_{\mathrm{i}}$.
6.152. $\omega=\mu_{B} g B / \hbar=1,2 \cdot 10^{10}$ рад/c, где $g$-фактор Ланде.
6.153. $F_{\text {макс }}=\mu_{B \text { макс }} \cdot|\partial B / \partial z|=(3 / \sqrt{8}) \pi / g J \mu_{B} / c r^{2}=4 \cdot 10^{-27} \mathrm{H}$.
6.154. $F=2 I \mu_{B} / c r^{2}=3 \cdot 10^{-26} \mathrm{H}$.
6.155. $\partial B / \partial z=2 T \delta / g J \mu_{B} l_{1}\left(l_{1}+2 l_{2}\right)=15 \mathrm{\kappa} \Gamma / с м$.
6.156. а) Не расщепится; б) на шесть; в) не расщепнтся ( $g=0$ ).
6.157. а) 58 мкэВ; б) $\Delta E=2 g J \mu_{B} B=145$ мкэВ.
6.158. а) Простой; б) сложный; в) простой; г) простой (здесь для обоих термов факторы Ланде одннаковы).
6.159. $L=\Delta E / 2 \mu_{B} B=3 ;{ }^{1} F_{3}$.
6.160. $\Delta \lambda=\lambda^{2} e B / 2 \pi m c^{2}=35 n \mathrm{~m}$.
6.161. $B_{\text {мин }}=4,0 \kappa \Gamma с$.
6.162. $B=\hbar \Delta \omega / g \mu_{B}=3 \mathrm{\kappa} \Gamma \mathrm{c}$.
6.163. а) $2: 1$ (отношенне соответствующих факторов Ланде); б) $B=$ $=2 \pi c \hbar \Delta \lambda / g \mu_{B} \eta \lambda^{2}=5,5 \kappa \Gamma с$.
6.164. $\Delta \omega=( \pm 1,3, \pm 4,0, \pm 6,6) \cdot 10^{10}$ рад/с, шесть компонент.
6.165. а) Шесть ( $l$ ) н четыре (2); б) девять ( 1 ) н шесть (2).
6.166. $\Delta \omega=\left(m_{1} g_{1}-m_{2} g_{2}\right)_{\text {махc}} e B / m c=1,0 \cdot 10^{11}$ рад $/ \mathrm{c}$.
6.167. $\omega=4 \sqrt{2} \hbar / m d^{2}=1,57 \cdot 10^{11}$ рад/с, где $m$-масса молекулы.
6.168. 2 и 3 .
6.169. $M=\sqrt{m d^{2} E / 2}=3,5 \hbar$, где $m$-масса молекулы.
6.170. $I=\hbar / \Delta \omega=1,93 \cdot 10^{-40} \mathrm{r} \cdot \mathrm{cm}^{2}, d=112$ пм,
6.171. 13 уровней.
6.172. $N \approx \sqrt{21 \omega / \hbar} \approx 60$ линий.
6.173. $d N / d E \approx \sqrt{I / 2 \hbar^{2} E}$, где $I$-момент инерцни молекулы. Для $J=10$ величина $d N / d E=1,0 \cdot 10^{4}$ уровней $/$ ВВ.
6.174. $E_{\text {кол }} / E_{\text {вр }}=\omega \mu d^{2} / \hbar$, где $\mu$-прнведенная масса молекулы; а) 36 ; б) $1,7 \cdot 10^{2} ;$ в) $2,9 \cdot 10^{3}$.
6.175. $N_{\text {кол }} / N_{\text {вр }}=1 / 3 \mathrm{e}^{-\hbar(\omega-2 B) / k T}=3,1 \cdot 10^{-4}$, где $B=\hbar / 2 I, \quad I$-момент инерции молекулы.
6.176. По определению
\[
\langle E\rangle=\frac{\sum E_{v} \exp \left(-E_{v} / k T\right)}{\sum \exp \left(-E_{v} / k T\right)}=\frac{\sum E_{v} \exp \left(-\alpha E_{\mathcal{v}}\right)}{\sum \exp \left(-\alpha E_{v}\right)},
\]

где $E_{v}=\hbar \omega(v+1 / 2), \quad \alpha=1 / k T$. Здесь суммирование проводнтся по $v$ от 0 до $\infty$, и делается это следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\langle E\rangle=-\frac{\partial}{\partial \alpha} \ln \sum \exp \left(-\alpha E_{v}\right)=-\frac{\partial}{\partial \alpha} \ln \frac{\exp (-\alpha \hbar \omega / 2)}{1-\exp (-\alpha \hbar \omega)}= \\
=\frac{\hbar \omega}{2}+\frac{\hbar \omega}{\exp (\hbar \omega / k T)-1} ; \\
C_{V \text { кол }}=N \frac{\partial\langle E\rangle}{\partial T}=\frac{R(\hbar \omega / k T)^{2} \mathrm{e}^{\hbar \omega / k T}}{\left(\mathrm{e}^{\hbar \omega / k T}-1\right)^{2}}=1,2 \cdot 10^{-4} R,
\end{array}
\]

где $R$ – универсальная газовая постоянная.
6.177. $d=\sqrt{2 \hbar / \mu \Delta \omega}=0,13$ нм, где $\mu-$ прнведенная масса молекулы,
6.178. $\lambda=\lambda_{0} /\left(1 \mp \omega \lambda_{0} / 2 \pi c\right)=423$ и 387 нм.
6.179. $\omega=\pi c\left(\lambda_{\mathrm{K}}-\lambda_{\Phi}\right) / \lambda_{\mathrm{K}} \lambda_{\Phi}=1,37 \cdot 10^{14} \mathrm{paд} / \mathrm{c}, x=4,96 \mathrm{H} / \mathrm{cm}$.
6.180. $I_{\Phi} / I_{\mathrm{x}}=\exp (-\hbar \omega / k T)=0,067$. Увеличитоя в 3,9 раза.
6.181. а) См. рис. $46, a$, на котором стрелками показаны направления двнження ядер молекулы в один и тот же момент. Частоты колебаний $\omega_{1}$, $\omega_{2}, \omega_{3}$, причем частоте $\omega_{3}$ отвечают два независнмых колебания во взаимно
Рис. 46.

перпендикулярных плоскостях. Всего, таким образом, четыре разных колебання. б) См. рис. 46,6 ; всего разтых колебаний семь: три продольных ( $\omega_{1}$, $\left.\omega_{2}, \omega_{3}\right)$ и четыре поперечных $\left(\omega_{4}, \omega_{5}\right)$ – по два на каждую частоту. 6.182. $d N_{\omega}=(l / \pi v) d \omega$.
6.183. $d N_{\omega}=\left(S / 2 \pi v^{2}\right) \omega d \omega$.
6.184. $d N_{\omega}=\left(V / \pi^{2} v^{3}\right) \omega^{2} d \omega$.
6.185. а) $\Theta=(\hbar / k) \pi v n_{0}$; б) $\Theta=(\hbar / k) v \sqrt{4 \pi n_{0}}$; в) $\Theta=(\hbar / k) v \sqrt[3]{6 \pi^{2} n_{0}}$.
6.186. $\Theta=(\hbar / k) \sqrt[3]{18 \pi^{2} n_{0} /\left(v_{\|}^{-3}+2 v_{\perp}^{-3}\right)}=470 \mathrm{~K}$, где $n_{0}$-концентрация атомов.
6.187. $v \approx k \Theta / \hbar \sqrt[3]{6 \pi^{2} n_{0}}=3,4 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$, где $n_{0}$-концентрация атомов. Таблич* ные значения: $v_{\|}=6,3 \mathrm{~km} / \mathrm{c}, v_{\perp}=3,1 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
6.188. Колебательная энергия моля «кристаллав
\[
U=R \Theta\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{T}{\theta}\right)^{2} \int_{0}^{\theta / T} \frac{x d x}{\mathrm{e}^{x}-1}\right],
\]

где $x=\hbar \omega / k T$. Отсюда молярная теплоемкость
\[
C=R\left(\frac{2 T}{\Theta} \int_{0}^{\Theta / T} \frac{x d x}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{\Theta / T}{\mathrm{e}^{\Theta / T}-1}\right) .
\]

При $T \gg \theta$ теплоемкость $C \approx R$.
6.189. а) $d N / d \omega=2 l / \pi a \sqrt{\omega_{\text {макс }}^{2}-\omega^{2}}$; б) $N=l / a$, т. е. равно числу атомов в цепочке.
6.190. $U_{0}=9 R \theta / 8 \mu=48,6$ Дк $\pi / r$, где $\mu$-моляриая масса меди.
6.191. а) $\theta \approx 220 \mathrm{~K}$; б) $C \approx 10$ Дж/(моль $\cdot$ К); в) $\omega_{\text {макс }}=4,1 \cdot 10^{13} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$.
6.193. Да, так как при этих температурах теплоемкость пропорциональна $T^{3}$.
6.194. $\langle E\rangle=3 / 8 k \Theta$.
6.195. См. рис. 47 .
6.196. $\hbar \omega_{\text {макс }}=28 \mathrm{~m}, \hbar k_{\text {макс }} \sim 10^{-19} \mathrm{~F} \cdot \mathrm{cm} / \mathrm{c}$,
6.197. а) $T_{\text {махс }}=\left(3 \pi t^{2} n\right)^{2 / 3} \hbar 2 / 2 m$;
б) $\langle T\rangle=3 / 5 T_{\text {sax }}$.
6.198. $\boldsymbol{\eta}=1-2^{-3 / 2} \approx 65 \%$.
6.199. 0,93 .
6.200. $\approx 3 \cdot 10^{4} \mathrm{~K}$.
6.201. $\Delta E=2 \pi^{2} \hbar^{2} / m V\left(3 \pi^{2} n\right)^{1 / 3}=2 \cdot 10^{-22}$ Э .
6.202. a) $d n_{v}=\left(m^{3} / \pi^{2} \hbar^{3}\right\rangle v^{2} d v$; б) $\langle v\rangle / v_{\operatorname{maxc}}=$ $=3 / 4$.
6.203. $d n_{\lambda}=8 \pi \lambda^{-4} d \lambda$.
Рис. 47.
6.204. $p=2 / 3 n\langle T\rangle=\left(\pi \sqrt[3]{9 \pi} \hbar^{2} / 5 m\right) n^{5 / 3} \approx 5 \cdot 10^{4}$ атм. $]$
6.205. $A=k T(\eta T / \Delta T-2)=4,5$ эВ.
6.206. $n=\sqrt{1+U_{0} / T}=1,02 ;$ где $U_{0}=T_{\text {махс }}+A, \quad T_{\text {мах }}=\left(3 \pi^{2} n\right)^{2 / 3} \hbar^{2} / 2 m$, $A$-работа выхода.
6.207. $E_{\text {мив }}=\frac{2 k T_{1} T_{2}}{T_{2}-T_{1}} \ln \eta=0,33$ эВ.
6.208. $\alpha=\frac{1}{\rho} \frac{\partial \rho}{\partial T}=-\frac{\pi c h}{k T^{2} \lambda_{\mathrm{K}}}=-0 ; 05 \mathrm{~K}^{-1}$, где. $\rho \sim e^{\Delta E_{0} / 2 k T}, \Delta E_{0}-$ шин $^{*}$ рииа запрещениой зоны.
6.209. $\Delta E=-2 k \frac{\Delta \ln \sigma}{\Delta\left(T^{-1}\right)}=1,2$ и 0,06 эВ.
6.210. $\tau=t / \ln \frac{\left(\rho-\rho_{1}\right) \rho_{2}}{\left(\rho-\rho_{2}\right) \rho_{1}}=0,01 \mathrm{c}$.
6.211. $n=h B U / e l \rho U_{H}=5 \cdot 1015 \mathrm{cM}^{-3}, u_{0}=l U_{H} / h B U=0,05 \mathrm{~m}^{2} /(\mathrm{B} \cdot \mathrm{c})$.
6.212. $\left|u_{0}^{-}-u_{0}^{+}\right|=1 / \eta B=0,20 \mathrm{~m}^{2} /(\mathrm{B} \cdot \mathrm{c})$.
6.213. $n^{+} / n^{-}=\eta^{2}=4,0$.
6.214. а) $P=1-\exp (-\lambda t)$; б) $\tau=1 / \lambda$.
6.215. Около $1 / 4$.
6.216. $1,2 \cdot 10^{15}$.
6.217. $\tau \approx 16 \mathrm{c}$.
6.218. $T=5,3$ сут.
6.219. $4,6 \cdot 10^{2}$ част./мнн.
6.220. $\lambda=-(1 / t) \ln (1-\eta) \approx \eta / t=1,1 \cdot 10^{-5} \mathrm{c}^{-1}, \tau=1 / \lambda=1,0$ гөда,
6.221. $T=4,5 \cdot 10^{9}$ лет, $A=1,2 \cdot 10^{4}$ расп./c.
6.222. $4,1 \cdot 10^{3}$ лет.
6.223. Около $2,0 \cdot 10^{9}$ лет.
6.224. Соответственно $3,2 \cdot 10^{17}$ н $0,8 \cdot 10^{5}$ расп./(с $\cdot$ ).
6.225. $V=\left(A / A^{\prime}\right) \exp (-t \ln 2 / T)=6$ л.
6.226. $0,19 \%$.
6.227. $T_{1}=1,6$ ч, $T_{2}=9,8$ ч; $N_{2} / N_{1}=\left(T_{2} / T_{1}\right) \exp \left(\ln A_{2}-\ln A_{1}\right)=10$.
6.228. $t=-(T / \ln 2) \ln (1-A / q)=9,5$ сут.
6.229. a) $N_{2}(t)=N_{10} \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(\mathrm{e}^{-\lambda_{1} t}-\mathrm{e}^{-\lambda_{2} t}\right)$;
6.230. а) $N_{2}(t)=\lambda N_{10} t \exp (-\lambda t)$; б) $t_{m}=1 / \lambda$.
б) $t_{m}=\frac{\ln \left(\lambda_{1} / \lambda_{2}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}$.
6.231. $N_{3}(t)=N_{10}\left(1+\frac{\lambda_{1} \mathrm{e}^{-\lambda_{2} t}-\lambda_{2} \mathrm{e}^{-\lambda_{1} t}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\right)$.
6.232. $\dot{N}_{\beta}=N_{0} \lambda_{1} \exp \left(-\lambda_{1} t\right)=0,72 \cdot 10^{11}$ част./с, $\dot{N}_{\alpha}=N_{0}\left(\mathrm{e}^{-\lambda_{1} t}-\mathrm{e}^{-\lambda_{2} t}\right) \times$ $\times \lambda_{1} \lambda_{2} /\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)=1,46 \cdot 10^{11}$ част./с. Здесь $N_{0}$-первоначальное число ядер Ві $\mathrm{Bin}^{210}$.
6.233. а) $\mathrm{Pb}^{206}$; б) восемь $\alpha$-распадов и шесть $\beta$-распадов.
6.234. $v=\sqrt{2 m_{\alpha} T_{\alpha}} / m=3,4 \cdot 105 \mathrm{M} / \mathrm{c} ; 0,020$.
6.235. 1,6 МДж.
6.236. $0,82 \mathrm{M}$ В.
6.237. а) $6,1 \mathrm{cм} ;$ б) соответственно $2,1 \cdot 10^{5} \mathrm{н} 0,77 \cdot 10^{5}$.
6.238. $Q=\left\{\begin{array}{l}\left(M_{\mathbf{M}}-M_{д}\right) c^{2} \text { прн } \beta^{- \text {-распаде н }} K \text {-захвате, } \\ \left(M_{\mathbf{M}}-M_{Д}-2 m\right) c^{2} \text { прн } \beta^{-} \text {-раснаде. }\end{array}\right.$
6.239. 0,56 МэВ н 47,5 эВ.
6.240. 5 МДж.
6.241. 0,32 и 0,65 МэВ.
6.242. $T \approx 1 / 2 Q\left(Q+2 m c^{2}\right) / M_{\mathrm{N}} c^{2}=0,11$ кэВ, где $Q=\left(M_{\mathrm{N}}-M_{\mathrm{C}}-2 m\right) c^{2}$, $m$ – масса электрона.
6.243. $40 \mathrm{kM} / \mathrm{c}$.
6.244. $0,45 c$, где $c$-скорость света.
6.245. $\Delta \varepsilon / \varepsilon=E / 2 m c^{2}=3,6 \cdot 10^{-7}$, где $m$-масса ядра.
6.246. $v \approx \varepsilon / m c=0,22 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$, где $m$-масса ядра.
6.247. $v=g h / c=65 \mathrm{M} \mathrm{KM} / \mathrm{c}$.
6.248. $h_{\text {мин }}=\hbar c^{2} / g \varepsilon \tau=4,6 \mathrm{M}$.
6.249. $T=T_{\alpha} /\left[1+(M-m)^{2} / 4 m M \cos ^{2} \theta\right]=6,0 \quad$ Мв, $^{2}$, где $m$ и $M$-массы $\boldsymbol{\alpha}$-ұастнцы н ядра лития.
6.250. а) $\eta=4 m M /(m+M)^{2}=0,89$; б) $\eta=2 m /(m+M)=2 /$. Здесь $m$ и M-массы нейтрона и дейтона.
6.251. $\vartheta_{\text {макс }}=\arcsin \left(m_{1} / m_{2}\right)=30^{\circ}$, где $m_{1}$ и $m_{2}$ – массы протона и дейтона,
6.252. $2 \cdot 10^{211} \mathrm{\kappa г} / \mathrm{cm}^{3}, 1 \cdot 10^{38}$ нуклон $/ \mathrm{cm}^{3}$.
6.253. а) $d$; б) $\mathrm{F}^{77}$; в) $\alpha$; г) $\mathrm{Cl}^{37}$.
6.255. $\mathrm{Be}^{8}, E_{\mathrm{cB}}=56,5 \mathrm{M}$ В .
6.256. а) 8,0 МэВ; б) 11,5 и 8,7 МэВ; в) $14,5 \mathrm{M} \mathrm{B}$.
6.257. $E_{n}-E_{p}=0,22 \mathrm{M}$ В.
6.258. $E=20 \varepsilon_{\mathrm{Ne}}-2 \cdot 4 \varepsilon_{\alpha}-12 \varepsilon_{\mathrm{C}}=11,9$ МэВ, где $\varepsilon$-энергия связи на один нуклон в соответствующем ядре.
6.259. а) 8,0225 a. е. м.; б) 10,0135 a. е. м.
6.260. $Q=\left(E_{3}+E_{4}\right)-\left(E_{1}+E_{2}\right)$.
6.261. а) $8,2 \cdot 10^{10} \mathrm{\kappa Дж,} 2,7 \cdot 10^{6} \mathrm{\kappa г}$; б) $1,5 \mathrm{\kappa г}$.
6.262. $5,74 \cdot 10^{7}$ кДж; $2 \cdot 10^{4} \mathrm{кг}$.
6.263. 2,79 MэB; 0,85 МэB.
6.264. $Q=8 \varepsilon_{\alpha}-7 \varepsilon_{\mathrm{Li}}=17,3 \mathrm{M}$ ЭB.
6.265. $Q=\left(1+\eta_{p}\right) T_{p}-\left(1-\eta_{\alpha}\right) T_{\alpha}-2 \sqrt{\eta_{p} \eta_{\alpha} T_{p} T_{\alpha}} \cos \vartheta=-1,2 M_{
i}$, , где $\mathbf{v}_{p}=m_{p} / m_{\mathrm{O}}, \eta_{\alpha}=m_{\alpha} / m_{\mathrm{O}}$.
6.267. $v_{\alpha}=0,92 \cdot 10 ? \mathrm{~m} / \mathrm{c}, v_{\mathrm{Li}}=0,53 \cdot 10 ? \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
6.268. $1,9 \mathrm{M}$ эB.
6.269. $T_{n}=\frac{Q+\left(1-m_{\alpha} / m_{\mathrm{C}}\right)^{T}}{1+m_{n} / m_{\mathrm{C}}}=8,5 \mathrm{M}$. .
6.270. 9,1 МэВ, $170,5^{\circ}$.
6.272. $T \geqslant E_{\mathrm{CB}}\left(m_{p}+m_{d}\right) / m_{d}=3,3$ МэВ.
6.273. В пределах от 1,89 до 2,06 МэВ.
6.274. $Q=-11 / 12 T_{\text {пор }}=-3,7$ МэВ.
6.275. Соответственно 1,88 и 5,75 МэВ.
6.276. $4,4 \mathrm{M}$ ВВ; $5,3 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
6.277. $T_{\alpha}=\frac{1}{m_{3}+m_{4}}\left[\left(m_{4}-m_{1}\right) T-\frac{m_{2} m_{4}}{m_{1}+m_{2}} T_{\text {пор }}\right]=2,2 M_{\ominus}$, где $m_{1}, m_{2}$, $m_{3}, m_{4}$-массы нейтрона, ядра $\mathrm{C}^{12}, \alpha$-частицы и ядра $\mathrm{Be}^{9}$.
6.278. На $E_{\text {св }} / 2 m c^{2}=0,06 \%$, где $m$-масса дейтона.
6.279. $E=Q+2 / 3 T=6,5$ МэВ.
6.280. $E_{i}=E_{\mathrm{CB}}+\frac{m_{\mathrm{C}}}{m_{d}+m_{\mathrm{C}}} T_{i}=16,7,16,9,17,5$ и $17,7 \quad$ МэВ, где $E_{\mathrm{CB}}-$ өиергия связи дейтона в промежуточном ядре.
6.281. $\sigma=(M / N \rho d) \ln \eta=2,5$ кб, где $M$-молярная масса кадмия $N$ – число Авогадро, $\rho$-плотность кадмня.
6.282. $I_{0} / I=\exp \left[\left(2 \sigma_{1}+\sigma_{2}\right) n d\right]=20$, где $n$-концентрацня молекул тяжелюй воды.
6.283. $\omega=\left\{1-\exp \left[-\left(\sigma_{s}+\sigma_{a}\right) n d\right]\right\} \sigma_{s} /\left(\sigma_{s}+\sigma_{a}\right)=0,35$, где $n-$ концентрация ядер железа.
6.284. а) $T=(w / k) \ln 2$; б) $w=A T e / I t \ln 2=2 \cdot 10^{-3}$.
6.285. а) $t=\eta / \sigma J=3 \cdot 10^{6}$ лет; б) $N_{\text {макс }}=J \sigma V_{0} T / \ln 2=1,0 \cdot 10^{13}$, где $N_{0}-ч и с л о ~ я д е р ~ A u^{192}$ в фольге.
6.286. $N=\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda t}\right) J n \sigma / \lambda$.
6.287. $J=A \mathrm{e}^{\lambda \tau} / \sigma N_{0}\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda t}\right)=6 \cdot 10^{9}$ част./(см ${ }^{2} \cdot$ с), где $\lambda$ – постоянная рас* пада, $N_{0}$ – число ядер Аи в фольге.
6.288. $N=N_{0} k^{i-1}=1,3 \cdot 10^{5}$, где $i$ – число поколений.
6.289. $N=v P / E=0,8 \cdot 10^{19} \mathrm{c}^{-1}$.
6.290. а) $N / N_{0}=4 \cdot 10^{2}$; б) $T=\tau /(k-1)=10 \mathrm{c}$.
6.291. Соответствеино $0,05,0,4$ и 9 ГэВ.
6.292. $\langle l\rangle=c \tau_{0} \sqrt{\eta(\eta+2)}=15 \mathrm{M}$.
6.293. $\tau_{0}=l m c / \sqrt{T\left(T+2 m c^{2}\right)}=26$ нс, где $m$-масса покоя $\pi$-мезона.
6.294. $J / J_{0}=\exp \left[-l m c / \tau_{0} \sqrt{T\left(T+2 m c^{2}\right)}\right]=0,22$, где $m$-масса покоя $\pi^{-}$-мезона.
$6.295 *) . T_{\mu}=\left(m_{\pi}-m_{\mu}\right)^{2} / 2 m_{\pi}=4,1 M_{
i} \mathrm{B}, E_{v}=29,8$ MэB,
6.296* $T=\left[\left(m_{\Sigma}-m_{n}\right)^{2}-m_{\pi}^{2}\right] / 2 m_{\Sigma}=19,5$ МэВ.
6.297 *. $T_{\text {махc }}=\left(m_{\mu}-m_{e}\right)^{2} / 2 m_{\mu}=52,5$ MэB.
6.298*. $m=m_{p}+T+\sqrt{m_{\pi}^{2}+T\left(T+2 m_{p}\right)}=1115$ МэВ, $\Lambda$ – частица.
$6.299 * . E_{v}=1 / 2\left(m_{\pi}^{2}-m_{\mu}^{2}\right) /\left(m_{\pi}+T\right)=22$ МэВ.
6.300*. $m=\sqrt{m_{\Sigma}^{2}+m_{\pi}^{2}-2\left(m_{\Sigma}+T_{\Sigma}\right)\left(m_{\pi}+T_{\pi}\right)}=0,94$ ГэВ $^{2}$, нейтрон.
$6.301 * . T_{\pi}=m_{\pi}[\csc (\theta / 2)-1], \quad E_{\gamma}=m_{\pi} / 2 \sin (\theta / 2) . \quad П$ ри $\quad \theta=60^{\circ} \quad$ энергия $T_{\pi}=E_{\gamma}=m_{\pi}$.
$6.303^{*} \cdot \cos (\theta / 2)=1 / \sqrt{1+2 m / T}$, отсюда $\theta=99^{\circ}$.
$6.304^{*}$. а) $\varepsilon_{\text {пор }}=4 m_{e}=2,04 \mathrm{MэB}$; б) $\varepsilon_{\text {пор }}=2 m_{\pi}\left(1+m_{\pi} / m_{p}\right)=320$ МэВ.
$6.305^{*}$. а) $T_{\text {пор }}=6 m_{p}=5,6$ ГэВ; б) $T_{\text {пор }}=m_{\pi}\left(4 m_{p}+m_{\pi}\right) / 2 m_{p}=0,28 \Gamma_{э}$.
6.306. а) 0,90 ГэВ; б) 0,77 ГэВ.
6.307. $S=-2, Y=-1,8^{0}$-частица.
6.308. Запрещены 1,2 и 3.
6.309. Запрещены 2,4 и 5 .
6.310. Энергетически (1); в остальных процессах не сохраняются: бариона ный заряд (2), электрический заряд (3), странность (4), лептонный заряд (5) и (6) -электронный и мюонный.
*) В ответах задач 6.295-6.305, отмеченных звездочкой, использовано сокращенное обозначение: $m$ вместо $m c^{2}$,