Уравнение состояния идеального газа:
$$\rho V=\frac{m}{M}RT$$

где $M$-молярная масса (масса моля).
Барометрическая формула:
$$p=p_0{\mathrm{e}}^{-Mgh/RT},$$

где ${\rho }_0$ — давление на высоте $h=0$.
Уравненне состояния ван-дер-ваальсовского газа (для моля)!
$$(p+\frac{a}{V_M^2})(V_M-b)=RT,$$

где $V_M$ — молярный объем, занимаемый при данных $p$ и $T$.
2.1. В сосуде объемом $V=30$ л содержится идеальный газ при температуре $0^{\circ }\mathrm{C}$. После того, как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на $\mathrm{\Delta }p=0,78$ атм (без изменения температуры). Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях $\rho =1,3\mathrm{r}/$ л.
2.2. Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений $\mathrm{\Delta }p⩾1,10$ атм. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом — идеальный газ при температуре $t_1={27}^{\circ }\mathrm{C}$ и давлении $p_1=1,00$ атм. Затем оба баллона нагрели до температуры $t_2=$ $={107}^{\circ }\mathrm{C}$. Каким стало давление газа в баллоне, где был вакуум?
2.3. Сосуд объемом $V=20$ л содержит смесь водорода и гелия при температуре $t={20}^{\circ }\mathrm{C}$ и давлении $p=2,0$ атм. Масса смеси $m=5,0$ r. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.
2.4. В сосуде находится смесь $m_1=7,0$ г азота и $m_2=11$ г углекислого газа при температуре $T=290\mathrm{K}$ и давлении $p_0=$ $=1,0$ атм. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.
2.5. В баллоне объемом $V=7,5$ л при температуре $T=300\mathrm{K}$ находится смесь идеальных газов: $v_1=0,10$ моля кислорода,
${\mathit{v}}_{\mathbf{2}}=0,20$ моля азота и ${\mathit{v}}_{\mathbf{3}}=0,30$ моля углекислого газа. Считая газы идеальными, найти:
a) давление смеси;
б) среднюю молярную массу $M$ данной смеси, которая входит в уравнение ее состояния $pV=(m/M)RT$, где $m$ — масса смеси. 2.6. В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится легкоподвижный поршень, по обе стороны которого — по одному молю воздуха. В равновесном состоянии при температуре $T_0=300\mathrm{K}$ объем верхней части цилиндра в $\eta =4,0$ раза больше объема нижней части. При какой температуре отношение этих объемов станет ${\eta }^{\prime }=3,0$ ?
2.7. Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом $V$. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем $\mathrm{\Delta }V$. Сколько следует сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в $\eta$ раз? Процесс считать изотермическим, газ — идеальным.
2.8. Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $p_0$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $C$.
Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.
2.9. Камеру объемом $V=87$ л откачивают насосом, скорость откачки которого (см. примечание к предыдущей задаче) $C=10\pi /$. Через сколько времени давление в камере уменьшится в $\eta =$ $=1000$ раз?
2.10. В гладкой открытой с обоих концов вер-
Рис. 2.1. тикальной трубе; имеющей два разных сечения (рис. 2.1), находятся два по́ршня, соединенные нерастяжимой нитью, а между поршнями — один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на $\mathrm{\Delta }S=10{\mathrm{cm}}^2$ больше, чем нижнего. Общая масса поршней $m=5,0$ кг. Давление наружного воздуха $p_0=1,0$ атм. На сколько кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на $l⩾5,0$ см?
2.11. Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:
а) $p=p_0-\alpha V^2$; б) $p=p_0{\mathrm{e}}^{-\beta V}$,

где $p_0,\propto$ и $\beta$ — положительные постоянные, $V$ — объем одного моля газа.
2.12. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону $T=T_0+\alpha V^2$, где $T_0$ и $\alpha$ — положительные постоянные, $V$ — объем одного моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах $p,V$.
2.13. Высокий цилиндрический сосуд с газообразным азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры $dT/dh$.
2.14. Допустим, давление $p$ и плотность $\rho$ воздуха связаны соотношением $p/{\rho }^n=$ const независимо от высоты (здесь $n$ — постоянная). Найти соответствующий градиент температуры.
2.15. Пусть на поверхности Земли воздух находится при нормальных условиях. Считая, что температура и молярная масса воздуха не зависят от высоты, найти его давление на высоте 5,0 км над поверхностью Земли и в шахте на глубине 5,0 км.
2.16. Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ отличаются:
а) в е раз; б) на $\eta =1,0\mathrm{\%}$.
2.17. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого $S$ и высота $h$. Температура газа $T$, его давление на нижнее основание $p_0$. Считая, что температура и ускорение свободного падения $g$ не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде.
2.18. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в однородном поле тяжести, для которого ускорение свободного падения равно $g$. Считая температуру газа всюду одинаковой и равной $T$, найти высоту, на которой находится центр тяжести газа.
2.19. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Найти давление газа как функцию высоты $h$, если при $h=0$ давление $p=p_0$, а температура изменяется с высотой как
а) $T=T_0(1-ah)$; б) $T=T_0(1+ah)$, где $a$ — положительная постоянная.
2.20. Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Давление воздуха снаружи $p_0$, температура $T$, молярная масса воздуха $M$. Найти давление вөздуха как функцию расстояния $r$ от оси вращения. Молярную массу считать не зависящей от $r$.
2.21. Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре $T=300\mathrm{K}$, чтобы его плотность оказалась равной $\rho =500$ г/л? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского.
2.22. Один моль азота находится в сосуде объемом $V=1,00$ л. Найти:
a) температуру азота, при которой ошибка в давлении, определяемом уравнением состояния идеального газа, составляет $\eta =$ $=10\mathrm{\%}$ (по сравнению с давлением согласно уравнению Ван-дерВаальса);
б) давление газа при этой температуре.
2.23. Один моль некоторого газа находится в сосуде объемом $\mathit{V}=0,250$ л. При температуре $T_1=300\mathrm{K}$ давление газа $p_{\mathrm{x}}=\mathbf{9}$ $=90$ атм, а при $T_2=350\mathrm{K}$ давление $p_2=110$ атм. Найти постоянные Ван-дер-Ваальса для этого газа.
2.24. Найти коэффициент изотермической сжимаемости $\mathit{x}$ вандер-ваальсовского газа как функцию объема $V$ при температуре $T$.
П римечан и е. По определению, $x=-\frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial p}$.
2.25. Воспользовавшись результатом решения предыдущей задачи, найти, при какой температуре коэффициент изотермической сжимаемости $x$ ван-дер-ваальсовского газа больше, чем у идеального. Рассмотреть случай, когда молярный объем значительно больше поправки $b$.