Уравнение состояния идеального газа:
\[
\rho V=\frac{m}{M} R T
\]

где $M$-молярная масса (масса моля).
Барометрическая формула:
\[
p=p_{0} \mathrm{e}^{-M g h / R T},
\]

где $\rho_{0}$ – давление на высоте $h=0$.
Уравненне состояния ван-дер-ваальсовского газа (для моля)!
\[
\left(p+\frac{a}{V_{M}^{2}}\right)\left(V_{M}-b\right)=R T,
\]

где $V_{M}$ – молярный объем, занимаемый при данных $p$ и $T$.
2.1. В сосуде объемом $V=30$ л содержится идеальный газ при температуре $0^{\circ} \mathrm{C}$. После того, как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на $\Delta p=0,78$ атм (без изменения температуры). Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях $\rho=1,3 \mathrm{r} /$ л.
2.2. Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений $\Delta p \geqslant 1,10$ атм. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом – идеальный газ при температуре $t_{1}=27^{\circ} \mathrm{C}$ и давлении $p_{1}=1,00$ атм. Затем оба баллона нагрели до температуры $t_{2}=$ $=107^{\circ} \mathrm{C}$. Каким стало давление газа в баллоне, где был вакуум?
2.3. Сосуд объемом $V=20$ л содержит смесь водорода и гелия при температуре $t=20^{\circ} \mathrm{C}$ и давлении $p=2,0$ атм. Масса смеси $m=5,0$ r. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.
2.4. В сосуде находится смесь $m_{1}=7,0$ г азота и $m_{2}=11$ г углекислого газа при температуре $T=290 \mathrm{~K}$ и давлении $p_{0}=$ $=1,0$ атм. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.
2.5. В баллоне объемом $V=7,5$ л при температуре $T=300 \mathrm{~K}$ находится смесь идеальных газов: $v_{1}=0,10$ моля кислорода,
$\boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}=0,20$ моля азота и $\boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}=0,30$ моля углекислого газа. Считая газы идеальными, найти:
a) давление смеси;
б) среднюю молярную массу $M$ данной смеси, которая входит в уравнение ее состояния $p V=(m / M) R T$, где $m$ – масса смеси. 2.6. В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится легкоподвижный поршень, по обе стороны которого – по одному молю воздуха. В равновесном состоянии при температуре $T_{0}=300 \mathrm{~K}$ объем верхней части цилиндра в $\eta=4,0$ раза больше объема нижней части. При какой температуре отношение этих объемов станет $\eta^{\prime}=3,0$ ?
2.7. Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом $V$. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем $\Delta V$. Сколько следует сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в $\eta$ раз? Процесс считать изотермическим, газ – идеальным.
2.8. Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $p_{0}$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $C$.
Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.
2.9. Камеру объемом $V=87$ л откачивают насосом, скорость откачки которого (см. примечание к предыдущей задаче) $C=10 \mathrm{\pi} /$. Через сколько времени давление в камере уменьшится в $\eta=$ $=1000$ раз?
2.10. В гладкой открытой с обоих концов вер-
Рис. 2.1. тикальной трубе; имеющей два разных сечения (рис. 2.1), находятся два по́ршня, соединенные нерастяжимой нитью, а между поршнями – один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на $\Delta S=10 \mathrm{~cm}^{2}$ больше, чем нижнего. Общая масса поршней $m=5,0$ кг. Давление наружного воздуха $p_{0}=1,0$ атм. На сколько кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на $l \geqslant 5,0$ см?
2.11. Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:
а) $p=p_{0}-\alpha V^{2}$; б) $p=p_{0} \mathrm{e}^{-\beta V}$,

где $p_{0}, \propto$ и $\beta$ – положительные постоянные, $V$ – объем одного моля газа.
2.12. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону $T=T_{0}+\alpha V^{2}$, где $T_{0}$ и $\alpha$ – положительные постоянные, $V$ – объем одного моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах $p, V$.
2.13. Высокий цилиндрический сосуд с газообразным азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры $d T / d h$.
2.14. Допустим, давление $p$ и плотность $\rho$ воздуха связаны соотношением $p / \rho^{n}=$ const независимо от высоты (здесь $n$ – постоянная). Найти соответствующий градиент температуры.
2.15. Пусть на поверхности Земли воздух находится при нормальных условиях. Считая, что температура и молярная масса воздуха не зависят от высоты, найти его давление на высоте 5,0 км над поверхностью Земли и в шахте на глубине 5,0 км.
2.16. Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$ отличаются:
а) в е раз; б) на $\eta=1,0 \%$.
2.17. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого $S$ и высота $h$. Температура газа $T$, его давление на нижнее основание $p_{0}$. Считая, что температура и ускорение свободного падения $g$ не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде.
2.18. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в однородном поле тяжести, для которого ускорение свободного падения равно $g$. Считая температуру газа всюду одинаковой и равной $T$, найти высоту, на которой находится центр тяжести газа.
2.19. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Найти давление газа как функцию высоты $h$, если при $h=0$ давление $p=p_{0}$, а температура изменяется с высотой как
а) $T=T_{0}(1-a h)$; б) $T=T_{0}(1+a h)$, где $a$ – положительная постоянная.
2.20. Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Давление воздуха снаружи $p_{0}$, температура $T$, молярная масса воздуха $M$. Найти давление вөздуха как функцию расстояния $r$ от оси вращения. Молярную массу считать не зависящей от $r$.
2.21. Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре $T=300 \mathrm{~K}$, чтобы его плотность оказалась равной $\rho=500$ г/л? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского.
2.22. Один моль азота находится в сосуде объемом $V=1,00$ л. Найти:
a) температуру азота, при которой ошибка в давлении, определяемом уравнением состояния идеального газа, составляет $\eta=$ $=10 \%$ (по сравнению с давлением согласно уравнению Ван-дерВаальса);
б) давление газа при этой температуре.
2.23. Один моль некоторого газа находится в сосуде объемом $\boldsymbol{V}=0,250$ л. При температуре $T_{1}=300 \mathrm{~K}$ давление газа $p_{\mathrm{x}}=\mathbf{9}$ $=90$ атм, а при $T_{2}=350 \mathrm{~K}$ давление $p_{2}=110$ атм. Найти постоянные Ван-дер-Ваальса для этого газа.
2.24. Найти коэффициент изотермической сжимаемости $\boldsymbol{x}$ вандер-ваальсовского газа как функцию объема $V$ при температуре $T$.
П римечан и е. По определению, $x=-\frac{1}{V} \frac{\partial V}{\partial p}$.
2.25. Воспользовавшись результатом решения предыдущей задачи, найти, при какой температуре коэффициент изотермической сжимаемости $x$ ван-дер-ваальсовского газа больше, чем у идеального. Рассмотреть случай, когда молярный объем значительно больше поправки $b$.