Степень поляризации света:
\[
P=\frac{I_{\text {макс }}-I_{\text {мин }}}{I_{\text {макс }}+I_{\text {мин }}} .
\]
Закон Малюса:
\[
I=I_{0} \cos ^{2} \varphi \text {. }
\]
Закон Брюстера:
\[
\operatorname{tg} \vartheta_{B}=n_{2} / n_{1} .
\]
Формулы Френеля для интенсивности света, отраженного от границы раздела двух диэлектриков:
\[
I_{\perp}^{\prime}=I_{\perp} \frac{\sin ^{2}\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)}{\sin ^{2}\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)}, \quad I_{\|}^{\prime}=I_{\|} \frac{\operatorname{tg}^{2}\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)}{\operatorname{tg}^{2}\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)},
\]
где $I_{\perp}$ и $I_{1}$ – интенсивности падающего света, у которого колебания светового вектора соответственно перпендикулярны и параллельны плоскости падения.
Кристаллическая пластинка между двумя поляризаторами $P$ и $P^{\prime}$. Если угол между плоскостью поляризатора $P$ и оптической осью $O O^{\prime}$ пластинки равен $45^{\circ}$, то интенсивность $I^{\prime}$ света, прошедшего через поляризатор $P^{\prime}$, оказывается максимальной или мииимальной при следующих условиях:
Здесь $\delta=2 \pi\left(n_{0}-n_{e}\right) d / \lambda$ – разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами, $k=0,1,2, \ldots$
– Естественное и магнитное вращение плоскости поляризации:
\[
\varphi_{\text {ест }}=\alpha l, \quad \varphi_{\text {магн }}=V l H,
\]
где $\alpha$-постояиная вращения, $V$ – постоянная Верде .
5.157. Плоская монохроматическая волна естественного света с интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на экран из двух соприкасающихся поляроидных полуплоскостей. Главное направление одного поляроида параллельно, а другого перпендикулярно к границе раздела поляроидов. Какой характер имеет дифракционная картина за экраном? Какова интенсивность света за экраном в точках плоскости, перпендикулярной к экрану и проходящей через границу раздела поля роидов?
5.158. Плоская монохроматическая волна естественного. света с интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием, которое представляет собой первую зону Френеля для точки наблюдения $P$. Найти интенсивность света в точке $P$ после того, как отверстие перекрыли двумя одинаковыми поляроидами, главные направления которых перпендикулярны друг к другу, а граница их раздела проходит:
a) по диаметру отверстия;
б) по окружности, ограничивающей первую половину зоны Френеля.
5.159. Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор, вращающийся вокруг оси пучка с угловой скоростью $\omega=21$ рад/с. Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке $\Phi_{0}=$ $=4,0$ мВт.
5.160. Пучок естественного света падает на систему из $N=6$ николей, плоскость пропускания каждого из которых повернута на угол $\varphi=30^{\circ}$ относительно плоскости пропускания предыдущего николя. Қакая часть светового потока проходит через эту систему?
5.161. Естественный свет падает на систему из трех последовательно расположенных одинаковых поляроидов, причем главное направление среднего поляроида составляет угол $\varphi=60^{\circ}$ с главными направлениями двух других поляроидов. Қаждый поляроид обладает поглощением таким, что при падении на него линейно поляризованного света максимальный коэффициент пропускания составляет $\tau=0,81$. Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы?
5.162. Степень поляризации частично поляризованного света $P=0,25$. Найти отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к интенсивности естественной составляющей.
5.163. На пути частично поляризованного пучка поместили николь. При повороте николя на угол $\varphi=60^{\circ}$ из положения, соответствующего максимуму пропускания света, интенсивность прошедшего света уменьшилась в $\eta=3,0$ раза. Найти степень поляризации падающего света.
5.164. На пути естественного пучка света поместили два несовершенных одинаковых поляризатора. Оказалось, что при параллельных плоскостях поляризаторов эта система пропускает в $\eta=$ $=10,0$ раза болыше света, чем при скрещенных плоскостях. Найти степень поляризации света, которую создает:
a) каждый поляризатор в отдельности;
б) вся система при параллельных плоскостях поляризаторов.
5.165. Два параллельных одинаковых по интенсивности линейно поляризованных пучка, плоскости колебаний которых $N_{1}$ и $N_{2}$ повернуты относительно друг друга на некоторый малый угол $\varphi$ (рис. 5.30), падают на николь. Для
Рис. 5.30,
уравнивания интенсивностей обоих пучков за николем его главное направление $N$ должно быть установлено по биссектрисе $A$ или $B$. Определить значение угла $\varphi$, при котором поворот николя из положения $A$ на малый угол $\delta \varphi \ll \varphi$ приводит к относительному изменению интенсивностей обоих пучков $\Delta I / I$ на величину в $\eta=100$ раз бо́льшую чем при повороте на тот же угол из положения $B$.
5.166. Показать с помощью формул Френеля, что отраженный от поверхности диэлектрика свет будет полностью поляризован, если угол падения $\vartheta_{1}$ удовлетворяет условию $\operatorname{tg} \vartheta_{1}=n$, где $n$ показатель преломления диэлектрика. Каков при этом угол между отраженным и преломленным лучами?
5.167. Естественный свет падает под углом Брюстера на поверхность стекла. Определить с помощью формул Френеля:
a) коэффициент отражения;
б) степень поляризации преломленного света.
5.168. Плоский пучок естественного света с интенсивностью $I_{0}$ падает под углом Брюстера на поверхность воды. При этом $\rho=$ $=0,039$ светового потока отражается. Найти интенсивность преломленного пучка.
5.169. На поверхность воды под углом Брюстера падает пучок плоскополяризованного света. Плоскость колебаний светового вектора составляет угол $\varphi=45^{\circ}$ с плоскостью падения. Найти коэффициент отражения.
5.170. Узкий пучок естественного света падает под углом Брюстера на поверхность толстой плоскопараллельной прозрачной пластины. При этом от верхней поверхности отражается $\rho=0,080$ светового потока. Найти степень поляризации пучков $1-4$ (рис. 5.31).
5.171. На плоскопараллельную стеклянную пластинку (см. рис. 5.31) падает под углом Брюстера узкий пучок света интенсивности $I_{0}$. Определить с помощью формул Френеля:
a) интенсивность прошедшего пучPис. 5.31. ка $I_{4}$, если падающий свет линейно поляризован, причем плоскость колебаний его перпендикулярна к плоскости падения;
б) степень поляризации прошедшего через пластинку пучка, если падающий свет – естественный.
5.172. Узкий пучок естественного света падает под углом Брюстера на стопу Столетова, состоящую из $N$ толстых плоскопараллельных стеклянных пластин. Найти:
a) степень поляризации $P$ прошедшего пучка;
б) чему равно $P$ при $N=1,2,5$ и 10 .
5.173. Определить с помощью формул Френеля:
a) коэффициент отражения естественного света при нормальном падении на поверхность стекла;
б) относительную потерю светового потока за счет отражений при прохождении параксиального пучка естественного света через центрированную оптическую систему из пяти стеклянных линз (вторичными отражениями света пренебречь).
5.174. Световая волна падает нормально на поверхность стекла, покрытого слоем прозрачного вещества. Пренебрегая вторичными отражениями, показать, что амплитуды световых волн, отраженных от обеих поверхностей такого слоя, будут одинаковы при условии $n^{\prime}=\sqrt{n}$, где $n^{\prime}$ и $n-$ показатели преломления слоя и стекла соответственно.
5.175. На поверхность стекла падает пучок естественного света. Угол падения равен $45^{\circ}$. Найти с помощью формул Френел я степень поляризации:
a) отраженного света; б) преломленного света.
5.176. Построить по Гюйгенсу волновые фронты и направления распространения обыкновенного и необыкновенного лучей в положительном одноосном кристалле, оптическая ось которого:
a) перпендикулярна к плоскости падения и параллельна поверхности кристалла;
б) лежит в плоскости падения и параллельна поверхности кристалла;
в) лежит в плоскости падения под углом $45^{\circ}$ к поверхности кристалла, и свет падает перпендикулярно к оптической оси.
5.177. Узкий пучок естественного света с длиной волны $\lambda=$ $=589$ нм падает нормально на поверхность призмы Волластона, сделанной из исландского шпата, как показано на рис. 5.32. Оптические оси обеих частей призмы взаимно перпендикулярны. Найти угол $\delta$ между направлениями пучков за призмой, если угол $\theta=30^{\circ}$.
5.178. Какой характер поляризации имеет плоская электромагнитная волна, проекции вектора $\mathbf{E}$ Рис. 5.32. которой на оси $x$ и $y$, перпендикулярные к направлению ее распространения, определяются следующими уравнениями:
a) $E_{x}=E \cos (\omega t-k z), E_{y}=E \sin (\omega t-k z)$;
б) $E_{x}=E \cos (\omega t-k z), E_{y}=E \cos (\omega t-k z+\pi / 4)$;
в) $E_{x}=E \cos (\omega t-k z), E_{y}=E \cos (\omega t-k z+\pi)$ ?
5.179. Требуется изготовить параллельную оптической оси кварцевую пластинку, толщина которой не превышала бы 0,50 мм. Найти максимальную толщину этой пластинки, при которой линейно поляризованный свет с длиной волны $\lambda=589$ нм после прохождения ее:
a) испытывает лишь поворот плоскости поляризации;
б) станет поляризованным по кругу.
5.180. Кварцевую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, поместили между двумя скрещенными николями. Угол между главными направлениями николей и пластинки равен $45^{\circ}$. Толщина пластинки $d=0,50$ мм. При каких длинах волн в интервале $0,50-0,60$ мкм интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет зависеть от поворота заднего николя? Разность показателей преломления обыкновенных и необыкновенных лучей в этом интервале длин волн считать $\Delta n=0,0090$.
5.181. Белый естественный свет падает на систему из двух скрещенных николей, между которыми находится кварцевая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, толщиной 1,50 мм. Ось пластинки составляет угол $45^{\circ}$ с главными направлениями николей. Прошедший через эту систему свет разложили в спектр. Сколько темных полос будет наблюдаться в интервале длин волн $0,55-0,66$ мкм? Разность показателей преломления обыкновенных и необыкновенных лучей в этом интервале длин волн считать равной 0,0090 .
5.182. Кристаллическая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, имеет толщину 0,25 мм и служит пластинкой в четверть волны для $\lambda=530$ нм. Для каких длин волн в области видимого спектра она будет также пластинкой в четверть волны? Считать, что для всех длин волн видимого спектра разность показателей преломления обыкновенных и необыкновенных лучей одинакова и равна $n_{e}-n_{o}=0,0090$.
5.183. Кварцевая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, помещена между двумя скрещенными николями так, что ее оптическая ось составляет угол $45^{\circ}$ с главными направлениями николей. При какой минимальной толщине пластинки свет с $\lambda_{1}=$ $=643$ нм будет проходить через эту систему с максимальной интенсивностью, а свет с $\lambda_{2}=564$ нм будет сильно ослаблен? Разность показателей преломления обыкновенных и необыкновенных лучей для обеих длин волн считать равной $n_{e}-n_{o}=0,0090$.
5.184. Между двумя скрещенными поляроидами поместили кварцевый клин с преломляющим углом $\theta=3,5^{\circ}$. Оптическая ось клина параллельна его ребру и составляет угол $45^{\circ}$ с главными направлениями поляроидов. При прохождении через эту систему света с $\lambda=550$ нм наблюдается система интерференционных полос. Ширина каждой полосы $\Delta x=1,0$ мм. Определить разность показателей преломления кварца для необыкновенного и обыкновенного лучей указанной длины волны.
5.185. Естественный монохроматический свет интенсивности $I_{0}$ падает на систему из двух поляроидов, между которыми находится кристаллическая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси. Пластинка вносит разность фаз $\delta$ между обыкновенным и необыкновенным лучами. Показать, что интенсивность света, прошедшего через эту систему,
\[
I=1 / 2 I_{0}\left[\cos ^{2}\left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)-\sin 2 \varphi \cdot \sin 2 \varphi^{\prime} \cdot \sin ^{2}(\delta / 2)\right],
\]
где $\varphi$ и $\varphi^{\prime}$ – углы между оптической осью кристалла и главными направлениями поляроидов. Рассмотреть, в частности, случаи скрещенных и параллельных поляроидов.
5.186. Монохроматический поляризованный по кругу свет падает нормально на кристаллическую пластннку, вырезанную параллельно оптической оси. За пластинкой находится николь, главное направление которого составляет угол $\varphi$ с оптической осью пластинки. Показать, что интенсивность света, прошедшего через эту систему,
\[
I=I_{0}(1+\sin 2 \varphi \cdot \sin \delta),
\]
где $\delta$ – разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами, которую вносит пластинка.
5.187. Как с помощью поляроида и пластинки в четверть волны, изготовленной из положительного одноосного кристалла ( $n_{e}>n_{o}$ ), отличить:
a) свет левополяризованный по кругу от правополяризованного;
б) естественный свет от поляризованного по кругу и от смеси естественного света с поляризованным по кругу?
5.188. Свет с длиной волны $\lambda$ падает на систему из скрещенных поляризатора $\Pi$ и анализатора $A$, между которыми находится компенсатор Бабине $K$ (рис. 5.33). Компенсатор состоит из двух кварцевых клиньев, оптическая ось одного из которых параллельна ребру клина, другого – перпендикулярна к нему. Главные направления поляризатора и анализатора составляют угол $45^{\circ}$ с оптическими осями компенсатора. Известны также преломляющий угол $\theta$ клиньев $(\theta \ll 1)$ и разность показателей преломления кварца $n_{e}-n_{o}$. При введении исследуемого двупреломляющего образца $O$ (его оптиче-
Рис. 5.33.
ская ось ориентирована так, как показано на рисунке) наблюдаемые интерференционные полосы сдвинулись вверх на $\delta x$ мм. Найти:
а) ширину интерференционной полосы $\Delta x$;
б) величину и знак оптической разности хода обыкновенного и необыкновенного лучей, которую вносит образец $O$.
5.189. Вычислить с помощью таблиц приложения разность показателей преломления кварца для право- и левополяризованного по кругу света с длиной волны $\lambda=589,5$ нм.
5.190. Линейно поляризованный свет с длиной волны 0,59 мкм падает на трехгранную кварцевую призму $\Pi$ (рис. 5.34) с преломляющим углом $\theta=30^{\circ}$. В призме свет распространяется вдоль оптической оси, направление которой показано штриховкой. За поляроидом $P$ наблюдают систему светлых и темных полос, ширина которых $\Delta x=15,0$ мм. Найти постоянную вращения кварца, а также характер распределеPnc. 5.34. ния интенсивности света за поляроидом.
5.191. Естественный монохроматический свет падает на систему из двух скрещеңных николей, между которыми находится кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно к оптической оси. Найти минимальную толщину пластинки, при которой эта система будет пропускать $\eta=0,30$ светового потока, если постоянная вращения кварца $\alpha=17$ угл.град/мм.
5.192. Свет проходит через систему из двух скрещенных николей, между которыми расположена кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно к оптической оси. Определить минимальную толщину пластинки, при которой свет с длиной волны 436 нм будет полностью задерживаться этой системой, а свет с длиной волны 497 нм – пропускаться наполовину. Постоянная вращения кварца для этих длин волн равна соответственно 41,5 и 31,1 угл.град/мм.
5.193. Линейно поляризованный свет с длиной волны 589 нм проходит вдоль оси цилиндрического стеклянного сосуда, заполненного слегка замутненным раствором сахара с концентрацией 500 г/л. При наблюдении сбоку видна система винтообразных полос, причем расстояние между соседними темными полосами вдоль оси равно $50 \mathrm{~cm}$. Объяснить возникновение полос и определить удельную постоянную вращения раствора.
5.194. Ячейку Керра поместили между двумя скрещенными николями так, что направление электрического поля Е в конденсаторе образует угол $45^{\circ}$ с главными направлениями николей. Конденсатор имеет длину $l=10$ см и заполнен нитробензолом. Через систему проходит свет с $\lambda=0,50$ мкм. Имея в виду, что в данном случае постоянная Керра $B=2,2 \cdot 10^{-10} \mathrm{~cm} / \mathrm{B}^{2}$, определить:
a) минимальную напряженность электрического поля $E$ в конденсаторе, при которой интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет зависеть от поворота заднего николя;
б) число прерываний света в одну секунду, если на конденсатор подать синусоидальное напряжение с частотой $v=10$ МГц и амплитудным значением напряженности $E_{m}=50 \mathrm{kB} / \mathrm{cm}$. в формуле $n_{e}-n_{0}=B \lambda E^{2}$.
5.195. Монохроматический плоскополяризованный свет с круговой частотой $\omega$ проходит через вещество вдоль однородного магнитного поля с напряженностью $H$. Найти разность показателей преломления для право- и левополяризованных по кругу компонент светового пучка, если постоянная Верде равна $V$.
5.196. Некоторое вещество поместили в продольное магнитное поле соленоида, расположенного между двумя поляроидами. Длина трубки с веществом $l=30 \mathrm{cм}$. Найти постоянную Верде, єсли при напряженности поля $H=56,5 \mathrm{kA} /$ м угол поворота плоскости поляризации $\varphi_{1}=+5^{\circ} 10^{\prime}$ для одного направления поля и $\varphi_{2}=-3^{\circ} 20^{\prime}$ для противоположного направления поля.
5.197. Узкий пучок плоскополяризованного света проРис. 5.35. ходит через правовращающее положительное вещество, находящееся в продольном магнитном поле, как показано на рис. 5.35. Найти угол, на который повернется плоскость поляризации вышедшего пучка, если длина трубки с веществом равна $l$, его постоянная вращения $\alpha$, постоянная Верде $V$ и напряженность магнитного поля $H$.
5.198. Трубка с бензолом длины $l=26$ см находится в продольном магнитном поле соленоида, расположенного между двумя поляроидами. Угол между главными направлениями поляроидов равен $45^{\circ}$. Найти минимальную напряженность магнитного поля, при которой свет с длиной волны 589 нм будет проходить через эту систему только в одном направлении (оптический вентиль). Как будет вести себя этот оптический вентиль, если изменить направление данного магнитного поля на противоположное?
5.199. Опыт показывает, что телу, облучаемому поляризованным по кругу светом, сообщается вращательный момент (эффект Садовского). Это связано с тем, что данный свет обладает моментом импульса, плотность потока которого в вакууме $M=I / \omega$, где $I$ интенсивность света, $\omega$ – его круговая частота колебаний. Пусть поляризованный по кругу свет с длиной волны $\lambda=0,70$ мкм падает нормально на однородный черный диск массы $m=10$ мг, который может свободно вращаться вокруг своей оси. Через сколько времени его угловая скорость станет $\omega_{0}=1,0$ рад $/$ с, если $I=10 \mathrm{Bт} / \mathrm{cm}^{2}$ ?
