Первое начало термодинамики:
\[
Q=\Delta U+A,
\]

где $\Delta U$-приращение внутренней энергии системы.
Работа, совершаемая газом,
\[
A=\int p d V .
\]

Внутренняя энергия идеального газа:
\[
U=\frac{m}{M} C_{V} T=\frac{m}{M} \frac{R T}{\gamma-1}=\frac{p V}{\gamma-1} .
\]

Молярная теплоемкость газа при политропическом процессе $\left(p V^{n}=\right.$ = const):
\[
C=\frac{R}{\gamma-1}-\frac{R}{n-1}=\frac{(n-\gamma) R}{(n-1)(\gamma-1)} .
\]

Внутренняя энергия моля ван-дер-ваальсовского газа:
\[
U=C_{V} T-\frac{a}{V_{M}} .
\]
2.26. Показать, что внутренняя энергия $U$ воздуха в комнате не зависит от температуры, если наружное давление $p$ постоянно. Вычислить $U$, если $p$ равно нормальному атмосферному давлению и объем комнаты $V=40 \mathrm{~m}^{3}$.
2.27. Теплоизолированный сосуд с газом, молярная масса которого $M$ и $C_{p} / C_{V}=\gamma$, движется со скоростью $v$. Найти приращение температуры газа при внезапной остановке сосуда.
2.28. Два теплоизолированных баллона 1 и 2 наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с краном. Известны объемы баллонов, а также давление и температура воздуха в них ( $V_{1}, p_{1}$, $T_{1}$ и $V_{2}, p_{2}, T_{2}$ ). Найти температуру и давление воздуха, которые установятся после открытия крана.
2.29. Газообразный водород, находившийся при нормальных условиях в закрытом сосуде объемом $V=5,0$ л, охладили на $\Delta T=$
$=55 \mathrm{~K}$. Найти приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.
2.30. Қакое количество тепла необходимо сообщить азсту при его изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу $A=$ $=2,0$ Дж?
2.31. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на $\Delta T=72 \mathrm{~K}$, сообщив ему количество тепла $Q=1,60$ кДж. Найти совершенную газом работу, приращение его внутренней әнергии и величину $\gamma=C_{p} / C_{V}$.
2.32. Два моля идеального газа при температуре $T_{0}=300 \mathrm{~K}$ охладили изохорически, вследствие чего его давление уменьшилось в $n=2,0$ раза. Затем газ изобарически расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество тепла, поглощенного газом в данном процессе.
2.33. Вычислить величину $\gamma=C_{p} / C_{V}$ для газовой смеси, состоящей из $v_{1}=2,0$ моля кислорода и $v_{2}=3,0$ моля углекислого газа. Газы считать идеальными.
2.34. Вычислить удельные теплоемкости $c_{V}$ и $c_{p}$ для газовой смеси, состоящей из 7,0 г азота и 20 г аргона. Газы считать идеальными.
2.35. В вертикальном цилиндре под поршнем находится один моль некоторого идеального газа при температуре $T$. Пространство над поршнем сообщается с атмосферой. Қакую работу необходимо совершить, чтобы, медленно поднимая поршень, изотермически увеличить объем газа под ним в $n$ раз? Трение поршня о стенки цилиндра пренебрежимо мало.
2.36. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра находится легкоподвижный поршень. Первоначально поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом $V_{0}$, в которых находится идеальный газ одинаковой температуры и под одним и тем же давлением $p_{0}$. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно двигая поршень, изотермически увеличить объем одной части газа в $\eta$ раз по сравнению с объемом другой части?
2.37. Три моля идеального газа, находившегося при температуре $T_{0}=273 \mathrm{~K}$, изотермически расширили в $n=5,0$ раза и затем изохорически нагрели так, что в конечном состоянии его давление стало равным первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла $Q=80$ кДж. Найти величину $\gamma=C_{p} / C_{V}$ для этого газа.
2.38. Изобразить для идеального газа примерные графики изохорического, изобарического, изотермического и адиабатического процессов на диаграмме:
а) $p, T$; б) $V, T$.
2.39. Один моль кислорода, находившегося при температуре
$T_{0}=290 \mathrm{~K}$, адиабатически сжали так, что его давление возросло в $\eta=10,0$ раза. Найти:
a) температуру газа после сжатия;
б) работу, которая была совершена над газом.
2.40. Некоторую массу азота сжали в $\eta=5,0$ раза (по объему) один раз адиабатически, другой раз изотермически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково, Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие.
2.41. Внутри закрытого теплоизолированного цилиндра с идеальным газом находится легкоподвижный теплопроводящий поршень. При равновесии поршень делит цилиндр на две равные части и температура газа равна $T_{0}$. Поршень начали медленно перемещать. Найти температуру газа как функцию отношения п объема большей части к объему меньшей части. Показатель адиабаты газа $\gamma$.
2.42. Определить скорость $v$ истечения гелия из теплоизолированного сосуда в вакуум через малое отверстие. Считать, что пра этом условии скорость потока газа в сосуде пренебрежимо мала. Температура гелия в сосуде $T=1000 \mathrm{~K}$.
2.43. Объем идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ изменяют по закону $V=a / T$, где $a$ – постоянная. Найти количество тепла, полученное одним молем газа в этом процессе, если температура газа испытала приращение $\Delta T$.
2.44. Показать, что процесс, при котором работа идеального газа пропорциональна соответствующему приращению его внутренней энергии, описывается уравнением $p V^{n}=$ const, где $n$ – постоянная.
2.45. Найти молярную теплоемкость идеального газа при политропическом процессе $p V^{n}=$ const, если показатель адиабаты газа равен $\gamma$. При каких значениях показателя политропы $n$ теплоемкость газа будет отрицательной?
2.46. При некотором политропическом процессе объем аргона был увеличен в $\alpha=4,0$ раза. Давление при этом уменьшилось в $\beta=8,0$ раза. Найти молярную теплоемкость аргона в этом процессе, считая газ идеальным.
2.47. Один моль аргона расширили по политропе с показателем $n=1,50$. При этом температура газа испытала приращение $\Delta T=$ $=-26 \mathrm{~K}$. Найти:
a) количество полученного газом тепла;
б) работу, совершенную газом.
2.48. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ расширили по закону $p=\alpha V$, где $\alpha$ – постоянная. Первоначальный объем газа $V_{0}$. В результате расширения объем увеличился в $\eta$ раз. Найти:
a) приращение внутренней энергии газа;
б) работу, совершенную газом;
в) молярную теплоемкость газа в этом процессе.
2.49. Идеальный газ, показатель адиабаты которого $\gamma$, расширяют так, что сообщаемое газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти:
a) молярную теплоемкость газа в этом процессе;
б) уравнение процесса в параметрах $T, V$;
в) совершенную молем газа работу при увеличении его объема в $\eta$ раз.
2.50. Один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ совершает процесс, при котором его давление зависит от температуры по зякону $p=a T^{\alpha}$, где $a$ и $\alpha$ – постоянные. Найти:
a) работу, которую произведет газ, если его температура испытает приращение $\Delta T$;
б) молярную теплоемкость газа в этом процессе; при каком значении $\alpha$ теплоемкость будет отрицательной?
2.51. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ совершает процесс, при котором его внутренняя энергия зависит от объема по закону $U=a V^{\alpha}$, где $a$ и $\alpha$ – постоянные. Найти:
a) работу, которую произведет газ, и тепло, которое надо сообщить ему, чтобы внутренняя энергия испытала приращение $\Delta U$; б) молярную теплоемкость газа в этом процессе.
2.52. Имеется идеальный газ, молярная теплоемкость которого при постоянном объеме равна $C_{V}$. Найти молярную теплоемкость этого газа как функцию его объема $V$, если газ совершает процесс по закону:
а) $T=T_{0} \mathrm{e}^{\alpha v}$; б) $p=p_{0} \mathrm{e}^{\alpha V}$, где $T_{0}, p_{0}$ и $\alpha$ – постоянные.
2.53. Один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ совершает процесс по закону $p=p_{0}+\alpha / V$, где $p_{0}$ и $\alpha$ – положительные постоянные. Найти:
a) теплоемкость газа как функцию его объема;
б) приращение внутренней энергии газа, совершенную им работу и сообщенное газу тепло, если его объем увеличился от $V_{1}$ до $V_{2}$.
2.54. Один моль идеального газа, теплоемкость которого при постоянном давлении равна $C_{p}$, совершает процесс по закону $T=$ $=T_{0}+\alpha V$, где $T_{0}$ и $\alpha$ – постоянные. Найти:
a) теплоемкость газа как функцию его объема;
б) сообщенное газу тепло, если его объем увеличился от $V_{I}$ до $V_{2}$.
2.55. Найти для идеального газа уравнение процесса (в переменных $T, V$ ), при котором молярная теплоемкость газа изменяется по закону:
а) $C=C_{V}+\alpha T$; б) $C=C_{V}+\beta V$; в) $C=C_{V}+a p$. Здесь $\alpha, \beta$ и $a$ – постоянные.
2.56. Имеется идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$. Erо молярная теплоемкость при некотором процессе изменяется по закону $C=\alpha / T$, где $\alpha$ – постоянная. Найти:
a) работу, совершенную одним молем газа при его нагревании от температуры $T_{0}$ до температуры в $\eta$ раз большей;
б) уравнение процесса в параметрах $p, V$.
2.57. Найти работу, совершаемую одним молем ван-дер-ваальсовского газа при изотермическом расширении его от объема $V_{1}$ до $V_{2}$ при температуре $T$.
2.58. Один моль кислорода расширили от объема $V_{1}=1,00$ л до $V_{2}=5,0$ л при постоянной температуре $T=280$ К. Вычислить:
a) приращение внутренней энергии газа;
б) количество поглощенного тепла.

Газ считать ван-дер-ваальсовским.
2.59. Найти для ван-дер-ваальсовского газа:
a) уравнение адиабаты в параметрах $T, V$;
б) разность молярных теплоемкостей $C_{p}-C_{V}$ как функцию $T$ и $V$.
2.60. Два теплоизолированных баллона соединены между собой трубкой с краном. В одном баллоне объемом $V_{1}=10$ л находится $v=2,5$ моля углекислого газа. Второй баллон объемом $V_{2}=100$ л откачан до высокого вакуума. Кран открыли, и газ адиабатически расширился. Считая, что газ подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, найти приращение его температуры в результате расширения.
2.61. Какое количество тепла надо сообщить $\boldsymbol{v}=3,0$ молям углекислого газа, чтобы при расширении в вакуум от объема $V_{1}=$ $=5,0$ л до $V_{2}=10$ л температура его не изменилась?