Относнтельное чнсло молекул газа, пролетающих путь $s$ без столкно-
\[
N / N_{0}=\mathrm{e}^{-s / \lambda},
\]

где $\lambda$-средняя длнна свободного пробега.
– Средняя длнна свободного пробега молекулы газа:
\[
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2} \pi d^{2} n},
\]

где $d$-эффектнвный диаметр молекулы, $n$-кондентрация молекул.
Коэффицненты днффузин $D$, вязкостн $\eta$ и теплопроводностн $x$ газов:
\[
D=1 / 3\langle v\rangle \lambda, \quad \eta=1 / 3\langle v\rangle \lambda \rho, \quad x=1 / 3\langle v\rangle \lambda \rho c_{V},
\]

где $\rho$-плотность газа, $c_{V}$-его удельная теплоемкость прн постоянном объеме.
Снла трення, действующая на еднннцу поверхности пластнн при нх двнжении параллельно друг другу в ультраразреженном газе:
\[
F=1 / 6\langle v\rangle \rho\left|u_{1}-u_{2}\right|,
\]

где $u_{1}$ и $u_{2}$-скоростн пластин.

Плотность потока тепла, переносимого ультраразреженным газом между двумя стенками:
\[
q=1 / 6\langle v\rangle \rho c_{V}\left|T_{1}-T_{2}\right|,
\]

где $T_{1}$ и $T_{2}$-температуры стенок.
2.220. Вычислить, какая часть молекул газа:
a) пролетает без столкновений расстояния, превышающие среднюю длину свободного пробега $\lambda$;
б) имеет длины свободного пробега в интервале от $\lambda$ до $2 \lambda$.
2.221. Узкий пучок молекул входит в сосуд с газом, давление которого достаточно низкое. Найти среднюю длину свободного пробега молекул пучка, если поток молекул в пучке убывает в $\eta$ раз на расстоянии $\Delta l$ вдоль пучка.
2.222. Пусть $\alpha d t$ – вероятность того, что молекула газа испытывает столкновение в течение времени $d t, \alpha$ – постоянная. Найти:
a) вероятность того, что молекула не испытает столкновения в течение времени $t$;
б) среднее время между столкновениями;
2.223. Найти среднюю длину свободного пробега и среднее время между столкновениями молекул газообразного азота, находящегося:
a) при нормальных условиях;
б) при температуре $t=0^{\circ} \mathrm{C}$ и давлении $p=1,0 \mathrm{нПа} \mathrm{(такое}$ давление позволяют получать современные вакуумные насосы).
2.224. Во сколько раз средняя длина свободного пробега молекул азота, находящегося при нормальных условиях, больше среднего расстояния между его молекулами?
2.225. Найти при нормальных условиях среднюю длину свободного пробега молекулы газа, для которого постоянная Ван-дерВаальса $b=40$ мл/моль.
2.226. Азот находится при нормальных условиях. При какой частоте колебанний длина звуковой волны в нем будет равна средней длине свободного пробега молекул данного газа?
2.227. Кислород находится при температуре $0^{\circ} \mathrm{C}$ в сосуде с характерным размером $l=10 \mathrm{mм}$ (это линейный размер, определяющий характер интересующего нас физического процесса). Найти:
a) давление газа, ниже которого средняя длина свободного пробега молекул $\lambda>l$;
б) соответствующую концентрацию молекул и среднее расстояние между ними.
2.228. Азот находится при нормальных условиях. Найти:
a) число столкновений, испытываемых в среднем каждой молекулой за одну секунду;
б) число всех столкновений, происходящих между молекулами в 1 см $^{3}$ азота ежесекундно.
2.229. Как зависят $\lambda$ и $v$ (средняя длина свободного пробега и число столкновений каждой молекулы в единицу времени) от абсолютной температуры идеального газа, если последний совершает нроцесс:
a) изохорический; б) изобарический?
2.230. Идеальный газ совершил процесс, в результате которого его давление возросло в $n$ раз. Қак и во сколько раз изменились $\lambda$ и $v$ (средняя длина свободного пробега и число столкновений каждой молекулы в единицу времени), если процесс:
a) изохорический; б) изотермический?
2.231. Идеальный газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, совершает адиабатический процесс. Как зависят $\lambda$ и $v$ (средняя длина свободного пробега и число столкновений каждой молекулы ежесекундно) в этом процессе от:
а) объема $V$; б) давления $p$; в) температуры $T$.
2.232. Идеальный газ совершает политропический процесс с показателем политропы $n$. Найти $\lambda$ и $v$ (среднюю длину свободного пробега и число столкновений каждой молекулы ежесекундно) как функцию:
а) объема $V$; б) давления $p$;
в) температуры $T$.
2.233. Определить молярную теплоемкость политропического процесса, совершаемого идеальным газом из жестких двухатомных молекул, при котором число столкновений между молекулами остается неизменным:
a) в единице объема; б) во всем объеме газа.
2.234. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в тонкостенном сосуде объемом $V$, стенки которого поддерживаются при постоянной температуре $T$. В момент $t=0$ в стенке сосуда открыли малое отверстие площадью $S$, и газ начал вытекать в вакуум. Найти концентрацию $n$ газа как функцию времени $t$, если в начальный момент $n(0)=n_{0}$.
2.235. Сосуд с газом разделен на две одинаковые половины 1 и 2 тонкой теплоизолирующей перегородкой с двумя отверстиями. Диаметр одного из них мал, а другого очень велик (оба по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул). В половине 2 газ поддерживается при температуре в $\eta$ раз большей, чем в половине 1 . Қак и во сколько раз изменится концентрация молекул в половине 2 , если закрыть только большое отверстие?
2.236. В результате некоторого процесса коэффициент вязкости идеального газа увеличился в $\alpha=2,0$ раза, а коэффициент диффузии – в $\beta=4,0$ раза. Как и во сколько раз изменилось давление газа?
2.237. Қак изменятся коэффициенты диффузии $D$ и вязкости $\eta$ идеального газа, если объем газа увеличить в $n$ раз:
a) изотермически; б) изобарически?
2.238. Идеальный газ состоит из жестких двухатомных молекул. Как и во сколько раз изменятся коэффициенты диффузии $D$ и вязкости $\eta$, если объем газа адиабатически уменьшить в $n=10$ раз?
2.239. Найти показатель политропы $n$ процесса, совершаемого идеальным газом, при котором остается неизменным коэффициент:
a) диффузии;
б) вязкости;
в) теплопроводности.
2.240. Зная коэффициент вязкости гелия при нормальных условиях, вычислить эффективный диаметр его атома.
2.241. Коэффициент теплопроводности гелия в 8,7 раза больше, чем у аргона (при нормальных условиях). Найти отношение эффективных диаметров атомов аргона и гелия.
2.242. Гелий при нормальных условиях заполняет пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами. Средний радиус цилиндров $R$, зазор между ними $\Delta R$, причем $\Delta R \ll R$. Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращают с достаточно небольшой угловой скоростью $\omega$. Найти момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра. До какого значения надо уменьшить давление гелия (не меняя температуры), чтобы искомый момент сил трения уменьшился в $n=10$ раз, если $\Delta R=6$ мм?
2.243. Газ заполняет пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, радиусы которых. $R_{1}$ и $R_{2}$, причем $R_{1}<R_{2}$. Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращают с достаточно малой угловой скоростью $\omega$. Момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра, равен $N_{1}$. Найти коэффициент вязкогти $\eta$ газа, имея в виду, что сила трения, действующая на единицу площади цилиндрической поверхности радиуса $r$, определяется формулой $\sigma=\eta r(\partial \omega / \partial r)$.
2.244. Два одинаковых параллельных диска, оси которых совпадают, расположены на расстоянии $h$ друг от друга. Радиус каждого диска $a$, причем $a \geqslant h$. Один диск вращают с небольшой угловой скоростью $\omega$, другой диск неподвижен. Найти момент сил трения, действующий на неподвижный диск, если коэффициент вязкости газа между дисками равен $\eta$.
2.245. Решить предыдущую задачу, считая, что между дисками находится ультраразреженный газ с молярной массой $M$, температурой $T$ и под давлением $p$.
2.246. Воспользовавшись формулой Пуазейля (1.7г), определить массу $\mu$ газа, протекающего в единицу времени через поперечное сечение трубы длины $l$ и радиуса $a$, на концах которой поддерживаются постоянные давления $p_{1}$ и $p_{2}$.
2.247. Один конец стержня, заключенного в теплоизолирующую оболочку, поддерживается при температуре $T_{1}$, а другой конец при температуре $T_{2}$. Сам стержень состоит из двух частей, длины которых $l_{1}$ и $l_{2}$ и коэффициенты теплопроводности $x_{1}$ и $x_{2}$. Найти температуру поверхности соприкосновения этих частей стержня.
2.248. Сложены торцами два стержня, длина которых $l_{1}$ и $l_{2}$ и коэффициент теплопроводности $x_{1}$ и $x_{2}$. Найти коэффициент теплопроводности однородного стержня длины $l_{1}+l_{2}$, проводящего теплоту так же, как и система из этих двух стержней. Предполагается, что боковые поверхности стержней теплоизолированы.
2.249. Стержень длины $l$ с теплоизолированной боковой поверхностью состоит из материала, коэффициент теплопроводности которого изменяется с температурой по закону $x=\alpha / T$, где $\alpha-$ постоянная. Торцы стержня поддерживают при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$. Найти зависимость $T(x)$, где $x$ – расстояние от торца с температурой $T_{1}$, а также плотность потока тепла.
2.250. Два куска металла, теплоемкости которых $C_{1}$ и $C_{2}$, соединены между собой стержнем длины $l$ с площадью поперечного сечения $S$ и достаточно малой теплопроводностью $x$. Вся система теплоизолирована от окружающего пространства. В момент $t=0$ разность температур между двумя кусками металла равна $(\Delta T)_{0}$. Пренебрегая теплоемкостью стержня, найти разность температур между металлами как функцию времени.
2.251. Найти распределение температур в веществе, находящемся между двумя параллельными пластинами, если последние поддерживаются при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$, расстояние между ними $l$ и коэффициент теплопроводности вещества $x \sim \sqrt{T}$.
2.252. Пространство между двумя большими горизонтальными пластинами заполнено гелием. Расстояние между пластинами $l=$ $=50$ мм. Нижняя пластина поддерживается при температуре $T_{1}=290 \mathrm{~K}$, верхняя – при $T_{2}=330 \mathrm{~K}$. Давление газа близко к нормальному. Найти плотность потока тепла.
2.253. Гелий под давлением $p=1,0$ Па находится между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на $l=5,0$ мм. Одна пластина поддерживается при температуре $t_{1}=17^{\circ} \mathrm{C}$, другая – при $t_{2}=37^{\circ} \mathrm{C}$. Найти среднюю длину свободного пробега атомов гелия и плотность потока тепла.
2.254. Найти распределение температуры в пространстве между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами $R_{\mathbf{1}}$ и $R_{2}$, заполненном однородным теплопроводящим веществом, если температуры цилиндров постоянны и равны соответственно $T_{1}$ и $T_{2}$.
2.255. Тот же вопрос, что и в предыдущен̆ задаче, но для двух концентрических сфер с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ и температурами $T_{1}$ и $T_{2}$.
2.256. Постоянный электрический ток течет по однородному проводу, радиус сечения которого $R$ и коэффициент теплопроводности $\varkappa$. В единице объема провода выделяется тепловая мощность $w$. Найти распределение температуры в проводе, если установившаяся температура на его поверхности равна $T_{0}$.
2.257. В однородном шаре, радиус которого $R$ и коэффициент теплопроводности $x$, выделяется равномерно по объему тепловая мощность с объемной плотностью $w$. Найти распределение температуры в шаре, если установившаяся температура на его поверхности равна $T_{0}$.