(2) Дебройлевская длина волны частицы с импульсом $p$ :
\[
\lambda=\frac{2 \pi \hbar}{p} .
\]
(ㄷ) Соотиошение неопределенностей:
\[
\Delta x \cdot \Delta p_{x} \geqslant \hbar .
\]
(2) Временно̀е и стационарное уравнения Шрёдингера:
\[
\begin{array}{c}
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Gamma^{2} \Psi+U \Psi, \\
\Gamma^{2} \psi+\frac{2 m}{\hbar^{2}}(E-U) \psi=0,
\end{array}
\]

где $\Psi$-полная волновая функция, $\psi$-ее коодлинатная часть, $\Gamma^{2}$-оператор Лаплыса, $E$ и $U$-полная и потенциальная энергии частицы. В сферических координатах:
\[
r^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^{2} \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial}{\partial \vartheta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}} .
\]
Коэффициент прозрачности потенциального барьера $U(x)$ :
\[
D \approx \exp \left[-\frac{2}{\hbar} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{2 m(U-E)} d x\right],
\]

где $x_{1}$ и $x_{2}$ — координаты точек, между которыми $U>E$.
6.49. Вычислить дебройлевские длины волн электрона, протона и атома урана, имеющих одинаковую кинетическую энергию 100 эв.
6.50. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 пм?
6.51. Нейтрон с кинетической энергией $T=25$ эВ налетает на покоящийся дейтон (ядро тяжелого водорода). Найти дебройлевские длины волн обеих частиц в системе их центра инерции.
6.52. Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг к другу с дебройлевскими длинами волн $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Найти дебройлевскую длину волны каждой частицы в системе их центра инерции.
6.53. Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при комнатной температуре.
6.54. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длнну волны молекул водорода, находящихся в термодинамическом равновесии при комнатной температуре.
6.55. Получить выражение для дебройлевской длины волны $\lambda$ релятивистской частицы, движущейся с кинетической энергией $T$. При каких значениях $T$ ошибка в определении $\lambda$ по нерелятивистской формуле не превышает $1 \%$ для электрона и протона?
6.56. При каком значении кинетической знергии дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны?
6.57. Найти дебройлевскую длину волны релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра $\lambda_{\mathrm{\kappa}}=10,0$ пм?
6.58. Параллельный поток монознергетических злектронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины $b=1,0$ мкм. Определить скорость зтих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние $l=50$ см, ширина центрального дифракционного максимума $\Delta x=0,36$ мм.
6.59. Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов $U=25 \mathrm{~B}$, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми $d=50$ мкм. Определить расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на зкране, расположенном на расстоянии $l=100$ см от щелей.
6.60. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом скольжения $\vartheta=30^{\circ}$ на естественную грань монокристалла
алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла, $d=0,20$ нм. При некотором ускоряющем напряжении $U_{0}$ наблюдали максимум зеркального отражения. Найти $U_{0}$, если известно, что следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения в $\eta=2,25$ раза.
6.61. Узкий пучок монознергетических электронов падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол $\vartheta=55^{\circ}$ с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при энергии электронов $T=180$ эВ. Вычислить соответствующее значение межплоскостного расстояния.
6.62. Узкий пучок электронов с кинетической энергией $T=$ $=10$ кэВ проходит через поликристаллическую алюминиевую фольгу, образуя на зкране систему дифракционных колец. Вычислить межплоскостное расстояние, соответствующее отражению третьего порядка от некоторой системы кристаллических плоскостей, если ему отвечает дифракционное кольцо диаметра $D=3,20 \mathrm{~cm}$. Расстояние между экраном и фольгой $l=10,0$ см.
6.63. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов $U$, падает на поверхность металла, внутренний потенциал которого $U_{i}=15 \mathrm{~B}$. Найти:
a) показатель преломления металла для электронов с $U=150 \mathrm{~B}$;
б) отношение $U / U_{i}$, при котором показатель преломления отличается от единицы не более чем на $\eta=1,0 \%$.
6.64. Частица массы $m$ находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна $l$. Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду, что реализуются лишь такие состояния ее движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число дебройлевских полуволн.
6.65. Интерпретировать квантовые условия Бора на основе волновых представлений: показать, что электрон в атоме водорода может двигаться только по тем круговым орбитам, на которых укладывается целое число дебройлевских волн.
6.66. Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массы 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.
6.67. Оценить с помощью соотношения неопределенностей неопределенность скорости злектрона в атоме водорода, полагая размер атома $l=0,10 \mathrm{нm}$. Сравнить полученную величину со скоростью электрона на первой боровской орбите данного атома.
6.68. Показать, что для частицы, неопределенность местоположения которой $\Delta x=\lambda / 2 \pi$, где $\lambda$ — ее дебройлевская длина волны, неопределенность скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.
6.69. Свободный электрон первоначально был локализован в области размером $l=0,10$ нм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей время, за которое ширина соответствующего волнового пакета увеличится в $\eta=10^{2}$ раз.
6.70. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером $l=0,20 \mathrm{нм}$.
6.71. Электрон с кинетической энергией $T \approx 4$ эВ локалнзован в области размером $l=1$ мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.
6.72. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна l. Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления злектрона на стенки этой ямы при минимально возможной его знергии.
6.73. Частица массы $m$ движется в одномерном потенциальном поле $U=k x^{2} / 2$ (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.
6.74. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее зффективное расстояние его от ядра.
6.75. Параллельный пучок атомов водорода со скоростью $v=$ $=600 \mathrm{~m} /$ с падает нормально на диафрагму с узкой щелью, за которой на расстоянии $l=1,0$ м расположен экран. Оценить с помощью соотношения неопределенностей ширину $\delta$ щели, при которой ширина изображения ее на зкране будет минимальной.
6.76. Найти частное решение одномерного временно́го уравнения Шрёдингера для свободно движущейся частицы массы $m$.
6.77. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины $l$ с абсолютно непроницаемыми стенками ( $0<x<l$ ). Найти вероятность пребывания частицы в области $1 / 3 l \leqslant x \leqslant 2 / 3 l$.
6.78. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна $l$. Найти нормированные волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты $x$ в середине ямы.
6.79. Доказать, что волновые функции стационарных состояний частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками являются ортогональными, т. е. удовлетворяют условию i $\int_{0}^{l} \psi_{n} \psi_{n^{\prime}} d x=0$, если $n^{\prime}
eq n$. Здесь $l$ — ширина ямы, $n$-целые числа.
6.80. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы $l$ такова, что энергетические уровни расположены весьма густо.
Найти плотность уровней $d N / d E$, т. е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от $E$. Вычислить $d N / d E$ для $E=1,0$ эВ, если $l=1,0$ см.
6.81. Частица массы $m$ находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти:
a) возможные значения энергии частицы, если стороны ямы равны $l_{1}$ и $l_{2}$;
б) значения энергии частицы на первых четырех уровнях, если яма квадратная со стороной $l$.
6.82. Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками ( $0<x<$ $<a, 0<y<b$ ). Определить вєроятность нахождения частицы с нанменьшей энергией в области $0<x<a / 3$.
6.83. Частица массы $m$ находится в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непрсницаемыми стенками. Сторона куба равна $a$. Найти:
a) собственные значения энергии частицы;
б) разность энергий 3-го и 4-го уровней;
в) энергию 6-го уровня и состветствующее ему число состояний (кратность вырождения).
6.84. Показать с помощью уравнения Шрёдингера, что в точке, где потенциальная энергия частицы $U(x)$ имеет конечный разрыв, волновая функция остается гладкой, т. е. ее первая производная по координате непрерывна.
6.85. Частица массы $m$ находится в одномерном потенциальном поле $U(x)$, вид которого показан на рис. 6.2 , где $U(0)=\infty$. Найтн:
a) уравнение, определяющее возможные значения знергии частицы в области $E<U_{0}$; привести это уравнение к виду
\[
\sin k l= \pm k l \sqrt{\hbar^{2} / 2 m l^{2} U_{0}},
\]

где $k=\sqrt{2 m E} / \hbar$.
Показать с помощью графического решения данного уравнения, что возможные значения энергии частицы образуют дисРис. 6.2. кретный спектр;
б) минимальное значение величины $l^{2} U_{0}$, при котором появляется первый энергетический уровень в области $E<U_{0}$. При каком минимальном значении $l^{2} U_{0}$ появляется $n$-й уровень?
6.86. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, определить вероятность нахождения частицы с энергией $E=U_{0} / 2$ в области $x>l$, если $l^{2} U_{0}=\left(3 /{ }_{4} \pi\right)^{2} \hbar^{2} / \mathrm{m}$.
6.87. Найти возможные значения энергии частицы массы $m$, находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме $U(r)=$ $=0$ при $r<r_{0}$ и $U(r)=\infty$ при $r=r_{0}$, для случая, когда движение частицы описывается волновой функцией $\psi(r)$, зависящей только от $r$.
Ук а з а н е. При решении уравнения Шрёдингера воспользоваться подстановкой $\psi(r)=\chi(r) / r$.
6.88. Имея в виду условия предыдущей задачи, найти:
a) нормированные собственные функции частицы в состояниях, где $\psi(r)$ зависит только от $r$;
б) для основного состояния частицы наиболее вероятное значение $r_{\text {вер }}$, а также вероятность нахождения частицы в области $r<r_{\text {вер }}$.
6.89. Частица массы $m$ находится в сферически-симметричной потенциальной яме $U(r)=0$ при $r<r_{0}$ и $U(r)=U_{0}$ при $r>r_{0}$.
a) Найти с помощью подстановки $\psi(r)=\chi(r) / r$ уравнение, определяющее собственные значения энергии $E$ частицы при $E<U_{0}$, когда движение описывается волновой функцией $\psi(r)$, зависящей только от $r$. Привести это уравнение к виду
\[
\sin k r_{0}= \pm k r_{0} \sqrt{\hbar^{2} / 2 m r_{0}^{2} U_{0}}, \text { где } \quad k=\sqrt{2 m E} / \hbar .
\]
б) Определить значение величины $r_{0}^{2} U_{0}$, при котором появляется первый уровень.
6.90. Волновая функция частицы массы $m$ для основного состояния в одномерном потенциальном поле $U(x)=k x^{2} / 2$ имеет вид $\psi(x)=A \mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}$, где $A$ — нормировочный коэффициент, $\alpha-$ положительная постоянная. Найти с помощью уравнения Шрёдингера постоянную $\alpha$ и знергию $E$ частицы в этом состоянии.
6.91. Определить энергию злектрона атома водорода в стационарном состоянии, для которого волновая функция $\psi(r)=A(1+$ $+a r) \mathrm{e}^{-\alpha r}$, где $A$, $a$ и $\alpha$ — некоторые постоянные.
6.92. Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид $\psi(r)=A \mathrm{e}^{-r / r_{1}}$, где $A$ — некоторая постоянная, $r_{1}$ — первый боровский радиус. Найти:
a) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром;
б) среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на злектрон;
в) среднее значение потенциальной знергии электрона в поле ядра.
6.93. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый электроном в центре атома водорода, если электрон находится в основном состоянии, для которого волновая функция $\psi(r)=$ $=A \mathrm{e}^{-r / r_{1}}$, где $A$ — некоторая постоянная, $r_{1}$ — первый боровский радиус.
6.94. Частицы с массой $m$ и энергией $E$ движутся слева на потенциальный барьер (рис. 6.3). Найти:
Рис. 6.3.
a) коэффициент отражения $R$ этого барьера при $E>U_{0}$;
б) эффективную глубину проникновения частиц в область $x>0$ при $E<U_{0}$, т. е. расстояние от границы барьера до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в е раз.
6.95. Воспользовавшись формулой (6.2д), найти для электрона с энергией $E$ вероятность $D$ прохождения потенциального барьера, ширина которого $l$ и высота $U_{0}$, если барьер имеет форму, показанную:
a) на рис. 6.4 ;
б) на рис. 6.5.
Рис. 6.4.
Рис. 6.5.
Pис. 6.6.
6.96. Найти с помощью формулы (6.2д) вероятность $D$ прохождения частицы с массой $m$ и энергией $E$ сквозь потенциальный барьер (рис. 6.6), где $U(x)=U_{0}\left(1-x^{2} / l^{2}\right)$.