Напряженность и потенциал поля точечиого заряда $q$;
\[
\mathrm{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{\mathbf{3}}} \mathrm{r}, \quad \varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r} .
\]
– Связь между наяряженностью поля и потенциалом:
\[
\mathbf{E}=-
abla \varphi \varphi
\]
т. е. напряженность поля равна антнградиенту потенциала.
– Теорема Гаусса и цнркуляция вектора E:
\[
\oint \mathbf{E} d \mathbf{S}=q / \varepsilon_{0}, \quad \oint \mathbf{E} d \mathbf{r}=0 .
\]
– Потенциал и напряженность поля точечного диполя с электрическим моментом р:
\[
\varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathrm{pr}}{r^{3}}, \quad E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{p}{r^{3}} \sqrt{1+3 \cos ^{2} \widehat{\vartheta}},
\]

где $\theta$-угол между векторами $\mathbf{r}$ и p.
– Энергия $W$ диполя р во внешнем электрнческом поле и момент снл $\mathrm{N}$, – действующих на диполь:
\[
W=-\mathrm{pE}, \quad \mathrm{N}=[\mathrm{pE}] .
\]
– Сила $\mathbf{F}$, действующая на дншо.ть, и ее проекция $F_{x}$ :
\[
\mathbf{F}=p \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial l}, \quad F_{x}=\mathbf{p} \cdot
abla E_{x},
\]

где $\partial \mathbf{E} / \partial l$-производная вектора $\mathbf{E}$ по направлению дипо.тя, $
abla E_{x}$ – градиент функцин $E_{x}$.
3.1. Вычислить отношение электростатической и гравитационной сил взаимодействия между двумя электронами, между двумя протонами. При каком значении удельного заряда $q / m$ частицы эти силы оказались бы равными по модулю в случае взаимодействия одинаковых частиц?
3.2. С какой силой взаимодействовали бы два медных шарика, каждый массы 1 г, находясь на расстоянии 1 м друг от друга, если бы суммарный заряд всех электронов в них отличался на $1 \%$ от суммарного заряда всех ядер?
3.3. Два небольших одинаково заряженных шарика, каждый массы $m$, подвешены к одной точке на шелқовых нитях длины $l$.
Расстояние между шариками $x \ll l$. Найти скорость утечки зарядов $d q / d t$ с каждого шарика, если скорость их сближения меняется по закону $v=a / \sqrt{x}$, где $a$ – постоянная.
3.4. Два положительных заряда $q_{1}$ и $q_{2}$ находятся в точках с радиус-векторами $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$. Найти отрицательный заряд $q_{3}$ и радиусвектор $\mathbf{r}_{3}$ точки, в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю.
3.5. Тонкое проволочное кольцо радиуса $r$ имеет электрический заряд $q$. Каково будет приращение силы, растягивающей проволоку, если в центр кольца поместить точечный заряд $q_{0}$ ?
3.6. Положительный точечный заряд 50 мкКл находится на плоскости $x y$ в точке с радиус-вектором $\mathbf{r}_{0}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}$, где $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ – орты осей $x$ и $y$. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля $\mathbf{E}$ в точке с радиусвектором $\mathbf{r}=8 \mathbf{i}-5 \mathbf{j}$. Здесь $r_{0}$ и $r$ в метрах.
3.7. В вершинах квадрата с диагональю $2 l$. находятся точечные заряды $q$ и $-q$, как показано на рис. 3.1. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в точке, отстоящей на расстояние $x$ от центра квадрата и расположенной симметрично относительно вершин квадрата.
3.8. Тонкое полукольцо радиуса $R=$ Pис. 3.1. $\approx 20 \mathrm{cм}$ заряжено равномерно зарядом $q=$ $=0,70$ нКл. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.
3.9. Кольцо радиуса $r$ из тонкой проволоки имеет заряд $q$. Найти модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния $l$ до его центра. Исследовать полученную зависимость при $l \gg r$. Определить максимальное значение напряженности и соответствующее расстояние $l$. Изобразить примерный график функции $E(l)$.
3.10. Точечный заряд $q$ находится в центре тонкого кольца радиуса $R$, по которому равномерно распределен заряд – $q$. Найти модуль вектора напряженности электрического поля иа оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние $x$, если $x \gg R$.
3.11. Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса $R$ и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд $q$. На единицу длины нити приходится заряд $\lambda$. Найти силу взаимодействия кольца и нити.
3.12. Тонкое непроводящее кольцо радиуса $R$ заряжено с линейной плотностью $\lambda=\lambda_{0} \cos \varphi$, где $\lambda_{0}$ – постоянная, $\varphi$ – азимутальный угол. Найти модуль вектора напряженности электрического поля:
a) в центре кольца;
б) на оси кольца в зависимости от расстояния $x$ до его центра. Исследовать полученное выражение при $x \gg R$.
3.13. Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины $2 a$ заряжен равномерно зарядом $q$. Найти модуль вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния $r$ от центра стержня для точек прямой:
a) перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр;
б) на оси стержня вне его.
Исследовать полученные выражения при $r \gg a$.
3.14. Очень длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд $\lambda$ на единицу длины. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние $y$ и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов.
3.15. Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд $\lambda$, имеет конфигурации, показанные на рис. $3.2, a$ и 6 . Считая, что радиус закругления $R$ значительно меньше длины нити, найти модуль вектора напряженно-
Pnc. 3.2. сти электрического поля в точке $O$.
3.16. Сфера радиуса $r$ заряжена с поверхностной плотностью $\sigma=\mathbf{a r}$, где $\mathbf{a}$ – постоянный вектор, $\mathbf{r}$ – радиус-вектор точки сферы относительно ее центра. Найти вектор напряженности электрического поля в центре сферы.
3.17. Пусть поверхностная плотность заряда на сфере радиуса $R$ зависит от полярного угла $\vartheta$ как $\sigma=\sigma_{0} \cos \vartheta$, где $\sigma_{0}$ – положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиуса $R$, заряды которых одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри данной сферы.
3.18. Найти вектор напряженности электрического поля в центре шара радиуса $R$, объемная плотность заряда которого $\rho=\mathbf{a r}$, где а – постоянный вектор, $\mathbf{r}$ – радиус-вектор, проведенный из центра шара.
3.19. Равномерно заряженная очень длинная нить, расположенная по оси круга радиуса $R$, упирается одним своим концом в его центр. Заряд нити на единицу длины равен $\lambda$. Найти поток вектора $\mathbf{E}$ через площадь круга.
3.20. Два точечных заряда $q$ и -q располо-
Pис. 3.3 жены на расстоянии $2 l$ друг от друга (рис. 3.3). Найти поток вектора напряженности электрического поля через круг радиуса $R$.
3.21. IIар радиуса $R$ равномерно заряжен с объемной плотно-, стью $\rho$. Найти поток вектора напряженности электрического поля
через сечение шара, которое образовано плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние $r_{0}<R$.
3.22. Две длинные параллельные друг другу нити равномерно заряжены так, что на единицу длины каждой из них приходится заряд $\lambda$. Расстояние между нитями равно $l$. Найти максимальное значение напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы, расположенной между нитями.
3.23. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена равномерно по длине с поверхностной плотностью $\sigma=\sigma_{0} \cos \varphi$, где $\varphi$ – полярный угол цилиндрической системы координат с осью $z$, совпадающей с осью данной поверхности. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля на оси $z$.
3.24. Напряженность электрического поля зависит только от координат $x$ и $y$ по закону $\mathbf{E}=a(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}) /\left(x^{2}+y^{2}\right)$, где $a$ – постоянная, $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ – орты осей $x$ и $y$. Найти поток вектора $\mathbf{E}$ через сферу радиуса $R$ с центром в начале координат.
3.25. Шар радиуса $R$ имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния $r$ до его центра по закону $\rho=\rho_{0}(1-r / R)$, где $\rho_{0}$ – постоянная. Полагая диэлектрическую проницаемость шара и окружающего пространства равной единице, найти:
a) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния $r$;
б) максимальное значение напряженности $E_{\text {макс }}$ II соответствующее ему значение расстояния $r_{m}$.
3.26. Система состоит из шара радиуса $R$, заряженного сферически симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью $\rho=\alpha / r$, где $\alpha$ – постоянная, $r$ – расстояние от центра шара. Найти заряд шара, при котором модуль вектора напряженности электрического поля вне шара не будет зависеть от $r$. Чему равна эта напряженность? Диэлектрическая проницаемость шара и окружающей среды предполагается равной единице.
3.27. Пространство заполнено зарядом с объемной плотностью $\rho=\rho_{0} \mathrm{e}^{-\alpha r}$, где $\rho_{0}$ и $\alpha$ – положительные константы, $r$ – расстояние от центра данной системы. Найти модуль вектора напряженности электрического поля как функцию $r$. Исследовать полученное выражение при малых и больших $r$, т. е. при $\alpha r^{3} \ll 1$ и $\alpha r^{3} \geqslant 1$.
3.28. Внутри шара, заряженного равномерно с объемной плотностью $\rho$, имеется сферическая полость. Центр полости смещен относительно центра шара на величину а. Найти напряженность Е поля внутри полости, полагая диэлектрическую проницаемость равной единице.
3.29. Внутри бесконечно длинного круглого цилиндра, заряженного равномерно с объемной плотностью $\rho$, имеется круглая цилиндрическая полость. Расстояние между осями цилиндра и полост: равно $a$. Найти напряженность Е электрического поля в полости. Диэлектрическую проницаемость считать равной единице.
3.30. Имеются два тонких проволочных кольца радиуса $R$ каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны $q$ и -q. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние $a$.
3.31. Имеется бесконечно длинная прямая нить, заряженная равномерно с линейной плотностью $\lambda=0,40$ мкКл/м. Вычислить разность потенциалов точек 1 и 2 , если точка 2 находится в $\eta=2,0$ раза дальше от нити, чем точка 1 .
3.32. Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре полусферы радиуса $R$, заряженной равномерно с поверхностной плотностью $\sigma$.
3.33. Находящаяся в вакууме круглая очень тонкая пластинка радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния $l$ от ее центра. Исследовать полученное выражение при $l \rightarrow 0$ и $l \gg R$.
3.34. Найти потенциал $\varphi$ на краю тонкого диска радиуса $R$, по которому равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью $\sigma$.
3.35. Найти вектор напряженности электрического поля, потеидиал которого имеет вид $\varphi=\mathbf{a r}$, где $\mathbf{a}-$ постоянный вектор, $\mathbf{r}$ радиус-вектор точки поля.
3.36. Определить вектор напряженности электрического поля, потенциал которого зависит от координат $x, y$ по закону:
а) $\varphi=a\left(x^{2}-y^{2}\right)$; б) $\varphi=a x y$,

где $a$ – постоянная. Изобразить примерный вид этих полей с помощью силовых линий (в плоскости $x, y$ ).
3.37. Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид $\varphi=a\left(x^{2}+y^{2}\right)+b z^{2}$, где $a$ и $b$ – постоянные. Найти модуль и направление вектора напряженности поля. Какую форму имеют өквипотенциальные поверхности в случаях:
а) $a>0, b>0$; б) $a>0, b<0$ ?
3.38. Заряд $q$ распределен равномерно по объему шара радиуса $R$. Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал:
a) в центре шара;
б) внутри шара как функцию расстояния $r$ Pис. 3,4, от его центра.
3.39. Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом p (рис. 3.4) может быть представлен как $\varphi=p r / 4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}$, где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор. Найти с помощью этого выражения модуль вектора напряженности электрического поля диполя как функцию $r$ и $\vartheta$.
3.40. Точечный диполь с электрическим моментом $p$, ориентированный в положительном направлении оси $z$, находится в начале координат. Найти проекции вектора напряженности электрического поля $E_{z}$ и $E_{1}$ (на плоскость, перпендикулярную к оси $z$ в точке $S$ (см. рис. 3.4)). В каких точках $\mathrm{E} \perp \mathrm{p}$ ?
3.41. Точечный электрический диполь с моментом р находится во внешнем однородном электрическом поле, напряженность которого равна $\mathrm{E}_{0}$, причем $\mathbf{p} \uparrow \uparrow \mathbf{E}_{0}$. В этом случае одна из эквипотенциальных поверхностей, охватывающих диполь, является сферой. Найти еe радиус.
3.42. Две параллельные тонкие нити равномерно заряжены с линейной плотностью $\lambda$ и – $\lambda$. Расстояние между нитями равно $l$. Найти потенциал и модуль вектора напряженности электрического поля на расстоянии $r \gg l$ под углом $\vartheta$ к вектору 1 (рис. 3.5).
Рис. 3.5,
Рис. 3.6.
3.43. Два коаксиальных кольца, каждое радиуса $R$, из тонкой проволоки находятся на малом расстоянии $l$ друг от друга $(l \& R)$ и имеют заряды $q$ и $-q$. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси системы как функции координаты $x$ (рис. 3.6). Изобразить на одном рисунке примерные графики полученных зависимостей. Исследовать эти функции при $|x| \geqslant R$.
3.44. Две безграничные плоскости, отстоящие друг от друга на расстояние $l$, заряжены равномерно с поверхностной плотностью $\sigma$ и $-\sigma$ (рис. 3.7). Плоскости имеют коаксиальные отверстия радиуса $R$, причем $l \ll R$. Взяв координатную ось $x$ с началом отсчета $O$, как показано на риРис. 3.7. сунке, найти потенциал и проекцию вектора напряженности электрического поля $E_{x}$ на оси системы как функции координаты $x$. Изобразить примерный график $\varphi(x)$.
3.45. Имеется плоский конденсатор с круглыми тонкими пластинами радиуса $R$, отстоящими друг от друга на расстояние $l(l \ll R)$ и заряженными равномерно с поверхностной плотностью $\sigma$ и – $\sigma$. Найти потенциал и модуль вектора напряженности электрического поля на оси системы как функции расстояния $x$ до пластин, если $x \geqslant l$. Исследовать полученные выражения при $x \gg R$.
3.46. Диполь с электрическим моментом р находится на расстоянии $r$ от длинной нити, заряженной равномерно с линейной плотностью $\lambda$. Найти силу $\mathbf{F}$, действующую на диполь, если вектор $\mathbf{p}$ ориентирован:
a) вдоль нити;
б) по радиус-вектору $\mathbf{r}$;
в) перпендикулярно к нити и радиус-вектору $\mathbf{r}$.
3.47. Найти силу взаимодействия двух молекул воды, отстоящих друг от друга на расстояние $l=10 \mathrm{нм,} \mathrm{если} \mathrm{их} \mathrm{электрические}$ моменты ориентированы вдоль одной и той же прямой. Момент каждой молекулы $p=0,62 \cdot 10^{-29} \mathrm{Kл} \cdot \mathrm{M}$.
3.48. Найти потенциал $\varphi(x, y)$ электростатического поля $\mathbf{E}=$ $=a(y \mathbf{i}+x \mathbf{j})$, где $a$ – постоянная, $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ – орты осей $x$ и $y$.
3.49. Найти потенциал $\varphi(x, y)$ электростатического поля $\mathbf{E}=$ $=2 a x y \mathbf{i}+a\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathbf{j}$, где $a$ – постоянная, $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}-$ орты осей $x$ и $y$. 3.50. Определить потенциал $\varphi(x, y, z)$ электростатического поля $\mathbf{E}=a y \mathbf{i}+(a x+b z) \mathbf{j}+b y \mathbf{k}$, где $a$ и $b$ – постоянные, $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}-$ орты осей $x, y, z$.
3.51. Потенциал поля в некоторой области пространства зависит только от координаты $x$ как $\varphi=-a x^{3}+b$, где $a$ и $b-$ некоторые постоянные. Найти распределение объемного заряда $\rho(x)$ :
3.52. Между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстояние $d$, находится равномерно распределенный объемный заряд. Разность потенциалов пластин равна $\Delta \varphi$. При каком значении объемной плотности $\rho$ заряда напіряженность поля вблизи одной из пластин будет равна нулю? Какова будет при этом напряженность поля у другой пластины?
3.53. Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра по закону $\varphi=a r^{2}+b$, где $a$ и $b-$ постоянные. Найти распределение объемного заряда $\rho(r)$ внутри шара.