Лоренцево сокращение длииы и замедлеиие хода движущихся часов
\[
l=l_{0} \sqrt{1-(v / c)^{2}}, \quad \Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}},
\]

где $l_{0}$ – собственная длииа, $\Delta t_{0}$-собственное \”время движущихся часов.
Преобразоваиия Лоренца *):
\[
x^{\prime}=\frac{x-V t}{\sqrt{1-(V / c)^{2}}}, \quad y^{\prime}=g, \quad t^{\prime}=\frac{t-x V / c^{2}}{\sqrt{1-(V / c)^{2}}} .
\]

Интервал $\mathrm{s}_{12}$ – инвариантная величина:
\[
s_{12}^{2}=c^{2} t_{12}^{2}-l_{12}^{2}=\mathrm{inv},
\]

где $t_{\text {i2 }}$-промежуток времени между событиями- 1 и $2, l_{\text {i2 }}$ – расстояние между точками, где произошли эти события.
– Преобразование скорости ${ }^{*}$ ):
\[
v_{x}^{\prime}=\frac{v_{x}-V}{1-v_{x} V / c^{2}}, \quad v_{y}^{\prime}=\frac{v_{y} \sqrt{1-(V / c)^{2}}}{1-v_{x} V / c^{2}} .
\]

Релятивистская масса и релятивистский импульс:
\[
m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}, \quad \mathrm{p}=m \mathrm{v}=\frac{m_{0} \mathrm{v}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}},
\]

где $m_{0}$-масса покоя, или просто масса.
Релятивистское уравнение динамики частицы
\[
\frac{d \mathbf{p}}{d t}=\mathbf{F} \text {. }
\]

где $\mathrm{p}$-релятивистский импульс частицы.
Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы:
\[
E=m c^{2}=m_{0} c^{2}+T, \quad T=\left(m-m_{0}\right) c^{2} .
\]
*) Предполагается, что $K^{\prime}$-система отсчета движется со скоростью $V$ в положительиом иаправлении оси $\boldsymbol{x}$ К-системы, причем оси $\boldsymbol{x}^{\prime}$ и $\boldsymbol{x}$ совпадают, а оси $y^{\prime}$ и $y$ параллельны.

Связь между эиергией и импульсом релятивистской частицы:
\[
E^{2}-p^{2} c^{2}=m_{0}^{2} c^{4}, \quad p c=\sqrt{T\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)} .
\]

При рассмотрении столкновения частиц полезно использовать инвариантвую величину:
\[
E^{2}-p^{2} c^{2}=m_{0}^{2} c^{4},
\]

где $E$ и $p$-полные энергия и импульс системы до столкновения, $m_{0}$-масса покоя образованшейся частицы (или системы).
1.340. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью $v$ относительно инердиальной $K$-системы отсчета. При каком значении $v$ длина стержня в этой системе отсчета будет на $\eta=0,5 \%$ меньше его собственной длины?
1.341. Имеется треугольник, собственная длина каждой стороны которого равна $a$. Найти периметр этого треугольника в системе отсчета, движущейся относительно него с постоянной скоростью $V$ вдоль одной из его
a) биссектрис; б) сторон.

Исследовать полученные результаты при $V \ll c$ и $V \rightarrow c$, где $c$ скорость света.
1.342. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость $v=c / 2$, длина $l=1,00$ м и угол между ним и направлением движения $\vartheta=45^{\circ}$.
1.343. Покоящийся прямой конус имеет угол полураствора $\vartheta=$ $=45^{\circ}$ и площадь боковой поверхности $S_{0}=4,0 \mathrm{~m}^{2}$. Найти в системе отсчета, движущейся со скоростью $v=4 / 5$ вдоль оси конуса:
a) его угол полураствора; б) площадь боковой поверхности.
1.344. С какой скоростью двигались в $К$-системе отсчета часы, если за время $t=5,0$ с (в $K$-системе) они отстали от часов этой системы на $\Delta t=0,10$ с?
1.345. Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки, неподвижной в $K$-системе отсчета. Время пролета $\Delta t=20$ нс в $K$-системе. В системе же отсчета, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение $\Delta t^{\prime}=25$ нс. Найти собственную длину стержня.
1.346. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы $\Delta t_{0}=10$ нс. Найти путь, который пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни $\Delta t=$ $=20 \mathrm{Hc}$.
1.347. В К-системе отсчета мю-мезон, движущийся со скоростью v $=0,990 c$, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние $l=3,0$ км. Определить:
a) собственное время жизни этого мезона;
б) расстояние, которое пролетел мезон в $K$-системе с «его точки зрения».
1.348. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой о одинаковой скоростью $v=3 / 4 c$, попали
в неподвижную мишень с интервалом времени $\Delta t=50$ нс. Найти собственное расстояние между частицами до попадания в мишень.
1.349. Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов данного стержня одновременно в системе отсчета, связанной с линейкой, то разность отсчетов по линейке $\Delta x_{1}=4,0$ м. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со стержнем, то разность отсчетов по этой же линейке $\Delta x_{\mathrm{a}}=9,0$ м. Найти собственную длину стержня и его скорость относительно линейки.
1.350. Два стержня одинаковой собственной длины $l_{0}$ движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным $\Delta t$. Какова скорость одного стержня относительно другого?
1.351. Две нестабильные частицы движутся в $K$-системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении со скоростью $v=0,990 c$. Расстояние между ними в этой системе отсчета $l=120$ м. В некоторый момент обе частицы распались одновременно в системе отсчета, связанной с ними. Какой промежуток времени между моментами распада обеих частиц наблюдали в $К$-системе? Какая частица распалась позже в $К$-системе?
1.352. Стержень $A B$, ориентированный вдоль оси $x K$-системы отсчета, движется с постоянной скоростью $у$ в положительном направлении оси $x$. Передним (по ходу движения) концом стержня является точка $A$, задним – точка $B$. Найти:
a) собственную длину стержня, если в момент $t_{A}$ координата точки $A$ равна $x_{A}$, а в момент $t_{B}$ координата точки $B$ равна $x_{B}$;
б) через какой промежуток времени надо зафиксировать координаты начала и конца стержня в $K$-системе, чтобы разность координат оказалась равной собственной длине стержня?
1.353. Стержень $A^{\prime} B^{\prime}$ движется с постоянной скоростью $v$ относительно стержня $A B$ (рис. 1.91). Оба стержня имеют одинаковую собственную длину $l_{0}$ и на концах каждого из них установлены синхронизированные между собой часы: $A$ с $B$ и $A^{\prime}$ с $B^{\prime}$. Пусть момент, когда часы $B^{\prime}$ поравнялись с часами $A$, взят за начало отсчета времени в системах отсчета, связанных с каждым из стержней. Определить:
a) показания часов $B$ и $B^{\prime}$ в момент, когда они окажутся напротив друг друга;
б) то же для часов $A$ и $A^{\prime}$.
1.354. Имеются две группы синхронизированных часов $K$ и $K^{\prime}$, движущихся одна относительно другой со скоростью $v$, как показано на рис. 1.92. Возьмем за начало отсчета времени момент, когда часы $A^{\prime}$ окажутся напротив часов $A$. Изобразить примерное расположение стрелок всех часов в этот момент с «точки зрения» $K$-часов; $K^{\prime}$-часов.
Рис. 1.92.
1.355. $K^{\prime}$-система отсчета движется в положительном направлении оси $x K$-системы со скоростью $V$ относительно последней. Пусть в момент совпадения начал координат $O$ и $O^{\prime}$ показания часов обеих систем в этих точках равны нулю. Найти в $К$-системе скорость $\dot{x}$ перемещения точки, в которой показания часов обеих систем отсчета будут все время одинаковы. Убедиться, что $\dot{x}<V$.
1.356. В двух точках $K$-системы отсчета произошли события, разделенные промежутком времени $\Delta t$. Показать, что если эти события причинно связаны в $K$-системе (например, выстрел и попадание пули в мишень), то они причинно связаны и в любой другой инерциальной $K^{\prime}$-системе отсчета.
1.357. На диаграмме пространства – времени (рис. 1.93) показаны три события $A, B$ и $C$, которые произошли на оси $x$ некоторой инерциальной системы отсчета. Найти:
a) промежуток времени между событиями $A$ и $B$ в той системе отсчета, где оба собыРис. 1.93. тия произошли в одной точке;
б) расстояние между точками, где произошли события $A$ и $C$, в той системе отсчета, где они одновременны.
1.358. В плоскости $x y$ К-системы отсчета движется частида, проекции скорости которой равны $v_{x}$ и $v_{y}$. Найти скорость $v^{\prime}$ этой частицы в $K^{\prime}$-системе, которая перемещается со скоростью $V$ относительно $K$-системы в положительном направлении ее оси $x$.
1.359. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями $v_{1}=0,50 c$ и $v_{2}=0,75 c$ по отношению к лабораторной системе отсчета. Найти:
a) скорость сближения частид в лабораторной системе отсчета;
б) их относительную скорость.
1.360. Два стержня одинаковой собственной длины $l_{0}$ движутся в продольном направлении навстречу друг другу параллельно общей оси с одной и той же скоростью $v$ относительно лабораторной системы отсчета. Чему равна длина каждого стержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем?
1.361. Две релятивистские частицы движутся под прямым углом друг к другу в лабораторной системе отсчета, причем одна со скоростью $v_{1}$, а другая со скоростью $v_{2}$. Найти:
a) скорость сближения частиц в лабораторной системе отсчета;
б) их относительную скорость.
1.362. Некоторая нестабильная частица движется со скоростью $v^{\prime \prime}$ в $K^{\prime}$-системе отсчета вдоль ее оси $y^{\prime} \cdot K^{\prime}$-система в свою очередь перемещается относительно $K$-системы со скоростью $V$ в положительном направлении ее оси $x$. Оси $x^{\prime}$ и $x$ обеих систем отсчета совпадают, оси $y^{\prime}$ и $y$ параллельны друг другу. Найти путь, который частица пролетит в $K$-системе, если ее собственное время жизни равно $\Delta t_{0}$.
1.363. Частица движется в $K$-системе со скоростью $v$ под углом $\vartheta$ к оси $x$. Найти соответствующий угол в $K^{\prime}$-системе, перемещающейся со скоростью $V$ относительно $K$-системы в положительном направлении ее оси $x$, если оси $x$ и $x^{\prime}$ обеих систем совпадают.
1.364. Стержень $A B$ ориентирован параллельно оси $x^{\prime} K^{\prime}$-системы отсчета и движется в этой системе со скоростью $v^{\prime}$ вдоль ее оси $y^{\prime}$. $K^{\prime}$-система Рис. 1.94. в свою очередь движется со скоростью $V$ относительно $K$-системы, как показано на рис. 1.94. Найти угол $\vartheta$ между стержнем и осью $x$ в $K$-системе. 1.365. $K^{\prime}$-система перемещается с постоянной скоростью $\mathbf{V}$ относительно $K$-системы. Найти ускорение $w^{\prime}$ частицы в $K^{\prime}$-системе, если в $K$-системе она движется со скоростью $v$ и ускорением $w$ по прямой:
a) в направлении вектора $\mathbf{V}$;
б) перпендикулярно к вектору $\mathbf{V}$.
1.366. Стартовавшая с Земли воображаемая космическая ракета движется с ускорением $w^{\prime}=10 \mathrm{~g}$, одинаковым в каждой инерциальной системе, мгновенно сопутствующей ракете. Разгон продолжался по земному времени $\tau=1,0$ год. Найти, на сколько продентов отличается скорость ракеты от скорости света в конце разгона. Каков путь, пройденный ракетой к этому моменту?
1.367. Используя данные предыдущей задачи, определить время разгона ракеты $\tau_{0}$ в системе отсчета, связанной с самой ракетой.
Иметь в виду, что это время определяется формулой
\[
\tau_{0}=\int_{0}^{\tau} \sqrt{1-(v / c)^{2}} d t
\]

где $d t$ – интервал времени в системе Земли.
1.368. Во сколько раз релятивистская масса частицы, скорость которой отличается от скорости света на $0,010 \%$, превышает ее массу покоя?
1.369. Плотность покоящегося тела равна $\rho_{0}$. Найти скорость системы отсчета относительно данного тела, в которой его плотность будет на $\eta=25 \%$ больше $\rho_{0}$.
1.370. Протон движется с импӱльсом $p=10,0$ ГэВ/c, где $c$ скорость света. На сколько процентов отличается скорость этого протона от скорости света?
1.371. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в $\eta=2$ раза превышает ее ньютоновский импульс.
1.372. Қакую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя $m_{0}$ от $0,60 c$ до $0,80 c$ ? Сравнить полученный результат со значением, вычисленным по классической формуле.
1.373. Найти скорость, при которой кинетическая энергия частицы равна ее эғергии покоя.
1.374. При каких значения отношения кинетической энергии частицы к ее энергии покоя относительная ошибка при расчете скорости частицы по классической формуле не превышает $\varepsilon=$ $=0,010$ ?
1.375. Найти зависимость импульса от кинетической энергии частицы с массой покоя $m_{0}$. Вычислить импульс протона с кинетической энергией 500 МэВ.
1.376. Пучок релятивистских частиц с кинетической энергией $T$ падает на поглощающую мишень. Сила тока в пучке $I$, заряд и масса покоя каждой частицы $е$ и $m_{0}$. Найти силу давления пучка на мишень и выделяющуюся в ней мощность.
1.377. Шар движется с релятивистской скоростью $v$ через газ, в единице объема которого содержится $n$ медленно движущихся частид, каждая массы $m$. Найти давление $p$, производимое газом на элемент поверхности шара, нормальный к его скорости, если частиды отражаются упруго. Убедиться, что это давление одинаково как в системе отсчета, связанной с шаром, так и в системе отсчета, связанной с газом.
1.378. Частица с массой покоя $m_{0}$ в момент $t=0$ начинает двигаться под действием постоянной силы F. Найти зависимость от времени $t$ скорости частицы и пройденного ею пути.
1.379. Частица с массой покоя $m_{0}$ движется вдоль оси $x K$-системы по закону $x=\sqrt{a^{2}+c^{2} t^{2}}$, где $a$ – некоторая постоянная, $c$ – скорость света, $t$ – время. Найти силу, действующую на частицу в этой системе отсчета.
1.380. Исходя из основного уравнения релятивистской динамики, найти:
a) в каких случаях ускорение частицы совпадает по направлению с действующей на нее силой $\mathbf{F}$;
б) коэффициенты пропорциональности между силой $\mathbf{F}$ и ускорением $\mathbf{w}$ в тех случаях, когда $\mathbf{F} \perp \mathbf{v}$ и $\mathbf{F} \| \mathbf{v}$, где $\mathbf{v}-$ скорость частицы.
1.381. Релятивистская частица с импульсом $p$ и полной энергией $E$ движется вдоль оси $x K$-системы. Показать, что в $K^{\prime}$-системе, движущейся с постоянной скоростью $V$ относительно $K$-системы в положительном направлении ее оси $x$, импульс и полная энергия данной частицы определяются формулами:
\[
p_{x}^{\prime}=\frac{p_{x}-E V / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad E^{\prime}=\frac{E-p_{x} V}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

где $\beta=V / c$.
1.382. Энергия фотона в $K$-системе равна $\varepsilon$. Воспользовавшись формулами преобразования, приведенными в предыдущей задаче, найти энергию $\varepsilon^{\prime}$ этого фотона в $K^{\prime}$-системе, перемещающейся со скоростью $V$ относительно $K$-системы в направлении движения фотона. При каком значении $V$ энергия фотона $\varepsilon^{\prime}=\varepsilon / 2$ ?
1.383. Показать, что для частицы величина $E^{2}-p^{2} c^{2}$ есть инвариант, т. е. имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета. Каково значение этого инварианта?
1.384. Нейтрон с кинетической энергией $T=2 m_{0} c^{2}$, где $m_{0}$ – его масса покоя, налетает на другой, покоящийся нейтрон. Определить:
a) суммарную кинетическую энергию $\tilde{T}$ обоих нейтронов в системе их центра инерции и импульс $\tilde{p}$ каждого нейтрона в этой системе; б) скорость центра инерции этой системы частиц.
Указание. Воспользоваться инвариантностью величины $E^{2}-p^{2} c^{2}$ при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (здесь $E$ – полная энергия системы, $p$ – ее суммарный импульс).
1.385. Частица с массой покоя $m_{0}$ и кинетической энергией $T$ налетает на покоящуюся частицу с той же массой покоя. Найти массу покоя и скорость составной частицы, образовавшейся в результате соударения.
1.386. Какова должна быть кинетическая энергия протона, налетающего на другой, покоящийся протон, чтобы их суммарная кинетическая энергия в системе центра инерции была такая же, как у двух протонов, движущихся навстречу друг другу с кинетическими энергиями $T=25,0$ ГэВ?
1.387. Неподвижная частида с массой покоя $m_{0}$ распадается на три частицы с массами покоя $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$. Найти наибольшую полную энергию, которую может иметь, например, частица $m_{1}$.
1.388. Релятивистская ракета выбрасывает струю газа с нерелятивистской скоростью u, постоянной относительно ракеты. Найти зависимость скорости $v$ ракеты от ее массы покоя $m$, если в начальный момент масса покоя ракеты равна $m_{0}$.