Работа и мощность силы $\mathbf{F}$ :
\[
A=\int \mathbf{F} d \mathbf{r}=\int F_{s} d s, \quad P=\mathbf{F v} .
\]
Приращение кинетической энергии частицы:
\[
T_{2}-T_{1}=A \text {, }
\]

тде $A$-работа результирующей өсех сил, действующих на частищу.
– Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле:
\[
A=U_{1}-U_{2} .
\]
– Связь между силой поля и потенциальной энергией частицы в поле:
\[
\mathbf{F}=-
abla U,
\]
т. е. сила равна антиградиенту потенциальной эиергии.
– Приращение полной механической энергии частнцы в данном потенциальном поле:
\[
E_{\mathbf{2}}-E_{1}=A_{\text {cтop }}
\]

где $A_{\text {стор }}$-алгебраическая сумма работ всех сторонних сил, т. е. сил, ие принадлежащих к силам данного поля.
– Приращение полной механической эиергии системы:
\[
E_{2}-E_{1}=A_{\text {внеш }}+A_{\text {внутр }}^{\text {неконс }},
\]

где $E=T+U$, причем $U$-собственная пөтенциальная энергия системы.
Закон изменения импульса системы:
\[
\frac{d \mathbf{p}}{d t}=\mathbf{F},
\]

где $\mathbf{F}$-результирующая всех внешних сил.
– Уравнение движения центра инерции системы:
\[
m \frac{d \mathbf{v}_{C}}{d t}=\mathbf{F},
\]

где $\mathbf{F}$ – результирующая всех внешних сия.
– Кинетическая эиергия системы:
\[
T=\tilde{T}+\frac{m v_{C}^{2}}{2},
\]

где $\tilde{T}$-ее кинетическая энергия в системе центра инерции.
Уравнение динамики тела с переменной массой:
\[
m \frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{F}+\frac{d m}{d t} \mathbf{u}
\]

где $\mathbf{u}$-скорость отделяемого (присоединяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.
– Закон изменения момента импульса М системы (уравнение моментов):
\[
\frac{d \mathbf{M}}{d t}=\mathbf{N},
\]

где $\mathbf{N}$-суммарный момент всех внешних сил.
Момент импульса системы:
\[
\mathbf{M}=\tilde{\mathbf{M}}+\left[\mathbf{r}_{C} \mathbf{p}\right]
\]

где $\tilde{\mathbf{M}}$-ее момент импульса в системе центра инерции, $\mathbf{r}_{C}$-радиус-вектор центра инерции, $\mathbf{p}$-импульс системы.
1.118. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости $x y$ из точки $\mathbf{I}$ с радиус-вектором $\mathbf{r}_{1}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j}$ : в точку 2 с радиус-вектором $\mathbf{r}_{2}=2 \mathbf{i}-3 \mathbf{j}$. При этом на нее дей ствовали некоторые силы, одна из которых $\mathbf{F}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}$. Найти работу, которую совершила сила F. Здесь $r_{1}, r_{2}$ и $F$ – в СИ.
1.119. Локомотив массы $m$ начинает двигаться со станции так,\” что его скорость меняется по закону $v=a \sqrt{s}$, где $a$ – постоянная, $s$ – пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые $t$ секунд после начала движения.
1.120. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса $R$, зависит от пройденного пути $s$ по закону $T=$ $=a s^{2}$, где $a$ – постоянная. Найти силу, действующую на частицу, в зависимости от $s$. 1.121. Тело массы $m$ медленно втащили Puc. 1.29. на горку, действуя силой $F$, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории (рис. 1.29). Найти работу этой силы, если высота горки $h$, длина ее основания $l$ и коэффициент трения $k_{n}$
1.122. Шайба массы $m=50$ г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha=30^{\circ}$ с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние $l=50 \mathrm{cм}$, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения $k=0,15$.
1.123. Два бруска с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенные недеформированной легкой пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Қоэффициент трения между брусками и плоскостью равен $k$. Какую минимальную постоянную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску с массой $m_{1}$, чтобы другой брусок сдвинулся с места?
1.124. Цепочка массы $m=0,80 \mathrm{кг}$, длины $l=1,5$ м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет $\eta=1 / 3$ длины цепочки. Қакую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?
1.125. Тело массы $m$ бросили под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.
1,126. Частица массы $m$ движется по окружности радиуса $R$ с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону $w_{n}=a t^{2}$, где $a$ – постоянная. Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также сред-. нее значение этой мощности за первые $t$ секунд после начала двнжения.
1.127. Небольшое тело массы $m$ находится на горизонтальной плоскости в точке $O$. Телу сообщили горизонтальную скорость $v_{0}$. Найти:
a) среднюю мощность, развиваемую силой трения за все время движения, если коэффициент трения $k=0,27, m=1,0 \mathrm{кг}$ и $v_{0}=$ $=1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$
б) максимальную мгновенную мощность силы трения, если коэффициент трения меняется по закону $k=\alpha x$, где $\alpha$ – постоянная, $x$ – расстояние от точки $O$.
1.128. В системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью $\omega=5,0$ рад/с, движется небольшое тело массы $m=0,10$ кг. Қакую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела по произвольному пути из точки 1 в точку 2 , которые расположены на расстояниях $r_{1}=30$ см и $r_{2}=50$ см от оси вращения?
1.129. Система состоит из двух последовательно соединенных пружинок с коэффициентами жесткости $k_{1}$ и $k_{2}$. Найти минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы растянуть эту систему на $\Delta l$.
1.130. Тело массы $m$ начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу $\mathbf{F}$, которую изменяют с высотой подъема $y$ по закону $\mathbf{F}=2(a y-1) \mathrm{mg}$, где $a$ – положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине пути подъема.
1.131. Потснциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид $U=a / r^{2}-b / r$, где $a$ и $b$ – положительные постоянные, $r$ – расстояние от центра поля. Найти:
a) значение $r_{0}$, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение;
б) максимальное значение силы притяжения; изобразить графики зависимостей $U(r)$ и $F_{r}(r)$ – проекции силы на радиусвектор $\mathbf{r}$.
1.132. Потенциальная энергия частицы в некотором двумерном силовом поле имеет вид $U=\alpha x^{2}+\beta y^{2}$, где $\alpha$ и $\beta$ – положительные постоянные, не равные друг другу. Выяснить:
a) является ли это поле центральным;
б) какую форму имеют эквипотенциальные поверхности, а также поверхности, для которых модуль вектора силы $F=$ $=$ const.
1.133. Имеются два стационарных силовых поля: $\mathbf{F}=a y i$ и $\mathbf{F}=a x \mathbf{i}+b y \mathbf{j}$, где $\mathbf{i}, \mathbf{j}$ – орты осей $x$ и $y, a$ и $b$ – постоянные. Выяснить, являются ли эти поля потенциальными.
1.134. Тело массы $m$ пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Начальная скорость тела равиа $v_{0}$, коэффициент трения – $k$. Какой путь пройдет тело до остановки и какова на этом пути работа силы трения?
1.135. Небольшая шайба $A$ соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высоты $H$, имеющей горизонтальный
трамплин (рис. 1.30). При какой высоте $h$ трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние $s$ ? Чему оно равно?
Рис. 1.30.
Prc. 1.31.
1.136. Небольшюе тело $A$ начинает скользить с высоты $h$ по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса $h / 2$ (рис. 1.31). Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).
1.137. На нити длины $l$ подвешен шарик массы $m$. С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокруг этой точки? Қаково при этом натяжение нити в момент, когда она будет проходить горизонтальное положение?
1.138. На горизонтальной плоскости находятся вертикально расположенный неподвижный цилиндр радиуса $R$ и шайба $A$, соединенная с цилиндром горизонтальной нитью $A B$ длины $l_{0}$ (рис. 1.32 , вид сверху). Шайбе сообщили начальную скорость $v_{0}$, как показано на рисунке. Сколько времени она будет двигаться по плоскости до удара о цилиндр? Трения нет.
Pис. 1.32.
Pис. 1.33.
1.139. Гладкий резиновый шнур, длина которого $l$ и коэффициент упругости $k$, подвешен одним концом к точке $O$ (рис. 1.33). $\mathrm{Ha}$ другом конце имеется упор $B$. Из точки $O$ начинает падать небольшая муфта $A$ массы $m$. Пренебрегая массами шнура и упора, найти максимальное растяжение шнура.
1.140. На гладкой горизонтальной плоскости лежит небольшой брусок $A$, соединенный нитями с точкой $P$ (рис. 1.34) и через невесомый блок – с грузом $B$ той же массы, что и у бруска. Кроме того, брусок соединен с точкой $O$ легкой недеформированной пружинкой длины $l_{0}=50 \mathrm{~cm}$ и жесткостью $x=5 \mathrm{mg} / l_{0}$, где $m$ – масса бруска. Нить $P A$ пережгли, и брусок начал двигаться. Найти его скорость в момент отрыва от плоскости.
Рис. 1.34.
Pис. 1.35.
1.141. На горизонтальной плоскости лежит доска и на ней брусок массы $m=1,0$ кг, соединенный с точкой $O$ (рис. 1.35) легкой упругой недеформированной иитью длины $l_{0}=40$ см. Коэффициент трения между бруском и доской $k=0,20$. Доску начали медленно перемецать вправо до положения, при котором брусок стал скользить по ней. Это произошло в момент, когда нить отклонилась от вертикали на угол $\vartheta=30^{\circ}$. Найти работу, которую совершила к этому моменту сила трения, действующая на брусок, в системе отсчета, связанной с плоскостью.
1.142. Гладкий легкий горизонтальный стержень $A B$ может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец $A$. На стержне находится небольшая муфточка массы $m$, соединенная невесомой пружинкой длины $l_{0}$ с концом $A$. Жесткость пружинки равна $x$. Қакую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости $\omega$ ?
1.143. Через блок, укрепленный к потолку комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение $\mathbf{w}_{C}$ центра инерции этой системы.
1.144. Две взаимодействующие между собой частицы образуют замкнутую систему, центр инерции
Puc. 1.36.
которой покоится. На рис. 1.36 показаны положения обеих частиц в некоторый момент и траектория частицы с массой $m_{1}$. Построить тракторию частицы с массой $m_{2}$, если $m_{2}=m_{1} / 2$.
1.145. Замкнутая цепочка $A$ массы $m=0,36$ кг соединена нитью с концом вертикальной оси центробежной машины (рис. 1.37) и вращается с постоянной угловой скоростью $\omega=35$ рад/с. При этом нить составляет угол $\vartheta=45^{\circ}$ с вертикалью. Найти расстояние от центра тяжести цепочки до оси вращения, а также натяжение нити.
1.146. Круглый конус $A$, масса которого $m=3,2$ кг и угол полураствора $\alpha=10^{\circ}$, катится равномерно без скольжения по круглой конической поверхности $B$ так, что его вершина $O$ остается неподвижной (рис. 1.38). Центр тяжести конуса $A$ находится на одном уровне с точкой $O$ и отстоит от нее на $l=17$ см. Оеь конуса движется с угловой скоростью $\omega$. Найти:
a) силу трения покоя, действующую на конус $A$, если $\omega=$ $=1,0$ рад $/ \mathrm{c}$;
б) при каких значениях $\omega$ движение конуса $A$ будет происходить без скольжения, если коэффициент трения между поверхностями $k=0,25$ ?
Рис. 1.37.
Рис. 1.38.
1.147. В $К$-системе отсчета вдоль оси $x$ движутся две частицы: одна массы $m_{1}$ – со скоростью $\mathbf{v}_{1}$, другая массы $m_{2}$ – со скоростью $\mathbf{v}_{2}$. Найти:
a) скорость $\mathbf{V} K^{\prime}$-системы отсчета, в которой суммарная кинетическая энергия этих частиц минимальна;
б) суммарную кинетическую энергию этих частиц в $K^{\prime}$-системе.
1.148. Система отсчета, в которой покоится центр инерции данной системы частиц, движется поступательно со скоростью $\mathbf{V}$ относительно инерциальной K-системы отсчета. Масса системы частиц равна $m$, ее полная энергия в системе центра инерции $\tilde{E}$. Найти полную энергию $E$ этой системы частиц в $K$-системе отсчета.
1.149. На гладкой горизонтальной плоскости находятся две небольшие шайбы с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шайбам сообщили начальные скорости $v_{1}$ и $v_{2}$, направления которых взаимно перпендикулярны и лежат в горизонтальной плоскости. Найти полную энергию этой системы $\tilde{E}$ в системе центра инерции.
1.150. Система состоит из двух шариков с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, которые соединены между собой невесомой пружинкой. В момент $t=0$ шарикам сообщили начальные скорости $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$, после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимости от времени полного импульса этой системы в процессе движения и радиусвектора ее центра инерции относительно его начального положения.
1.151. На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенные невесомой пружинкой жесткости $x$ (рис. 1.39). Брусок 2 переместили влево на небольшое расстояние $x$ и отпустили. Найти скорость центра инерции системы после отрыва бруска 1 от стенки.
Рис. 1.39.
Рис. 1.40.
1.152. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два бруска, соединенные невесомой пружинкой жесткости $x$ и длины в недеформированном состоянии $l_{0}$. На один из брусков начали действовать постоянной горизонтальной силой $F$, как показано на рис. 1.40. Найти максимальное и минимальное расстояния между брусками при дальнейшем движении системы, если массы брусков:
a) одинаковы;
б) равны $m_{1}$ и $m_{2}$, а сила $F$ приложена к бруску с массой $m_{2}$.
1.153. Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый массы $m$, между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости $x$ (рис. 1.41). Кубики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. Найти:
a) при каких значениях $\Delta l$ – начальном сжатии пружины – нижний кубик подскочит после пережигания нити;
б) на какую высоту $h$ поднимется центр тяжести этой системы, если сжатие пружины в начальном положении $\Delta l=7 \mathrm{mg} / \mathrm{x}$.
1.154. Две одинаковые тележки 1 и 2 , на каждой
Рис. 1.4 .
из которых находится по одному человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую перепрыгнул человек – в направлении, перпендикулярном к движению тележек. В результате тележка 1 остановилась, а тележка 2 продолжала двигаться в прежнем направлении так, что ее скорость стала v. Найти первоначальные скорости тележек $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$, если масса каждой тележки (без человека) $M$, а масса каждого человека $\mathrm{m}$.
1.155. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью $\mathbf{v}_{0}$. На задней тележке находится человек массы $m$. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью и относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна $M$, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.
1.156. На краю покоящейся тележки массы $M$ стоят два человека, масса каждого из которых равна $m$. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с. одной и той же горизонтальной скоростью и относительно тележки: 1) одновременно; 2) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?
1.157. Цепочка массы $m=1,00$ кг и длины $l=1,40$ м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.
1.158. Стальной шарик массы $m=50$ г падает с высоты $h=1,0$ м на горизонтальную поверхность массивной плиты. Найти суммарный импульс, который он передаст плите в результате многократных отскакиваний, если при каждом ударе скорость шарика изменяется в $\eta=0,80$ раз.
1.159. Плот массы $M$ с находящимся на нем человеком массы $m$ неподвижно стоит в пруду. Относительно плота человек совершает перемещение 1′ со скоростью $\mathbf{v}^{\prime}(t)$ и останавливается. Пренебрегая сопротивлением воды, найти:
a) перемещение плота 1 относительно берега;
б) горизонтальную составляющую силы, с которой человек действовал на плот в процессе движения.
1.160. Через неподвижный блок перекинута веревка, на одном конце которой висит лестница с человеком, а на другом – уравновешивающий груз массы $M$. Человек массы $m$ совершил перемещение 1′ относительно лестницы вверх и остановился. Пренебрегая массой веревки, а также трением в оси блока, найти перемещение 1 центра инерции этой системы.
1.161. Пушка массы $M$ начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Kогда пушка прошла путь $l$, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом р в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.
1.162. Летевшая горизонтально пуля массы $m$ попала, застряв, в тело массы $M$, которое подвешено на двух одинаковых иитях длины $l$ (рис. 1.42). В результате нити отклонились на угол $\vartheta$. Считая $m \ll M$, найти:
a) скорость пули перед попаданием в тело;
б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло.
Рис. 1.42,
Рис. 1.43,
1.163. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело кассы $M$ (рис. 1.43) и на нем небольшая шайба массы $m$. Последней сообщили в горизонтальном направлении скорость $v$. На какую высоту (по сравнению с первоначальным уровнем) поднимется шайба после отрыва от тела $M$ ? Трения нет.
1.164. Небольшая шайба массы $m$ без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой $h$ и попадает на доску массы $M$, лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1.44). Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое.
1) Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.
2) Можно ли утверждать, что полученный результат не зависит от Рис. 1.44. системы отсчета?
1.165. Қамень падает без начальной скорости с высоты $h$ на поверхность Земли. В отсутствие сопротивления воздуха к концу падения скорость камня относительно Земли $v_{0}=\sqrt{2 g h}$. Получить өту же формулу, проведя решение в системе отсчета, «падающей на Землю с постоянной скоростью $v_{0}$.
1.166. Частица массы 1,0 г, двигавшаяся со скоростью $\mathrm{v}_{1}=$ $=3,0 \mathrm{i}-2,0 \mathrm{j}$, испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой 2,0 г и скорость $\mathbf{v}_{2}=4,0 \mathrm{j}-6,0 \mathrm{k}$. Найти скорость образовавшейся частицы – вектор $\mathbf{v}$ и его модуль, – если проекции векторов $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ даны в системе СИ.
1.167. Найти приращение кинетической өнергии замкнутой системы из двух шариков с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ при их абсолютно неупругом столкновении, если до столкновения скорости шариков были $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$.
1.168. Частица массы $m_{1}$ испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей массы $m_{2}$. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если:
a) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения;
б) столкновеиие лобовое?
1.169. Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей 2. Найти отношение их масс, если:
a) столкновение лобовое и частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями;
б) частицы разлетелись симметрично по отношению к первоначальному направлению движения частицы 1 и угол мекду их направлениями разлета $\theta=60^{\circ}$.
1.170. Шар, двигавшийся поступательно, испытал упругое соударение с другим, покоившимся, шаром той же массы. При соударении угол между прямой, проходящей через центры шаров, и направлением первоначального движения налетающего шара оказался равным $\alpha=45^{9}$. Считая шары гладкими, найти долю $\eta$ кинетической энергии налетающего шара, которая перешла в потенциальную энергию в момент наибольшей деформации.
1.171. Снаряд, летящий со скоростью $v=500 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, разрывается на три одинаковые осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в $\eta=1,5$ раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?
1.172. Частица 1 , имевшая скорость $v=10 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, испытала лобовое столкновение с покоившейся частицей 2 той же массы. В результате столкновения кинетическая энергия системы уменьшилась на $\eta=1,0 \%$. Найти модуль и направление скорости частицы 1 после столкновения.
1.173. Частица массы $m$ испытала столкновение с покоившейся частицей массы $M$, в результате которого частица $m$ отклонилась на угол $\pi / 2$, а частица $M$ отскочила под углом $\vartheta=30^{\circ}$ к первоначальному направлению движения частицы $m$. На сколько процентов. и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если $M / m=5,0$ ?
1.174. Замкнутая система состоит из двух частиц с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, которые движутся под прямым углом друг к другу со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$. Найти в системе отсчета, связанной с их центроме инерции:
a) импульс каждой частицы;
б) суммарную кинетическую энергию обеих частиц.
1.175. Частица массы $m_{1}$ испытала абсолютно упругое соударение с покоившейся частицей массы $m_{2}$, причем $m_{1}>m_{2}$. Найти максимальный угол, на который может отклониться налетающая частица в результате соударения.
1.176. На гладкой горизонтальной плоскости лежат три одинаковые шайбы $A, B$ и $C$ (рис. 1.45). Шайбе $A$ сообщили скорость v, после чего она испытала абсолютно упругое
Рис. 1.45. соударение одновременно с шайбами $B$ и $C$. Расстояние между центрами последних до соударения было в $\eta$ раз больше диаметра

каждой шайбы. Найти скорость шайбы $A$ после соударения. При каком значении $\eta$ шайба $A$ после соударения отскочит назад; остановится; будет двигаться вперед?
1.177. Молекула испытала соударение с другой, покоившейся, молекулой той же массы. Показать, что угол между направлениями разлета молекул:
a) равен $90^{\circ}$, если соударение абсолютно упругое;
б) отличен от $90^{\circ}$, если соударение неупругое.
1.178. Ракета выпускает непрерывную струю газа, имеющую скөрость и относительно ракеты. Расход газа равен $\mu$ кг/с. Показать, что уравнение движения ракеты:
\[
m \mathbf{w}=\mathbf{F}-\mu \mathbf{u},
\]

где $m$ – масса ракеты в данный момент, w – ее ускорение, $\mathbf{F}$ внешняя сила.
1.179. Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью u, постоянной относительно ракеты. Найти скорость ракеты $\mathbf{v}$ в момент, когда ее масса равна $m$, если в начальный момент она имела массу $m_{0}$ и ее скорость была равна нулю. Воспользоваться формулой, приведенной в предыдущей задаче.
1.180. Найти закон изменения массы ракеты со временем, если ракета движется в отсутствие внешних сил с постоянным ускорением $w$, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна $u$, а ее масса в начальный момент равна $m_{0}$.
1.181. Космический корабль массы $m_{0}$ движется в отсутствие внешних сил с постоянной скоростью $\mathbf{v}_{0}$. Для изменения направления движения включили реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью $u$, все время перпендикулярной к направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной $m$. На какой угол $\alpha$ изменилось направление движения корабля за время работы двигателя?
1.182. Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы $F$, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью $\mu$ кг/с. Найти ускорение и скорость тележки в момент $t$, если в момент $t=0$ тележка с песком имела массу $m_{0}$ и ее скорость была равна нулю. Трением пренебречь.
1.183. Платформа массы $m_{0}$ начинает двигаться вправо под действием постоянной горизонтальной силы $\mathbf{F}$ (рис. 1.46). Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна $\mu$ кг/с. Найти зависимость от времени скорости и ускорения платформы в процессе погрузки. Трение пренебрежимо мало.
Рис. 1.46.
Рис. 1.47.
1.184. Цепччка $A B$ длины $l$ находится в гладкой горизонтальной трубке так, что часть ее длины $h$ свободно свешивается, касаясь своим концом $B$ поверхности стола (рис. 1.47). В некоторый момент конец $A$ цепочки отпустили. С какой скоростью выскочит из трубки этот конец цепочки?
1.185. Момент импульса частипы относительно некоторой точки $O$ меняется со временем по закону $\mathbf{M}=\mathbf{a}+\mathbf{b} t^{2}$, где $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}-$ постоянные векторы; причем $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$. Найти относительно точки $O$ момент силы $\mathbf{N}$, действующей на частицу, когда угол между векторами $\mathbf{N}$ и $\mathbf{M}$ окажется равным $45^{\circ}$.
1.186. Шарик массы $m$ бросили под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$. Найти модуль вектора момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения. Вычислить $M$ в вершине траектории, если $m=130 \mathrm{r}$, $\alpha=45^{\circ}$ и $v_{0}=25$ м $/$. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.187. Шайба $A$ массы $m$, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью $v$, испытала в точке $O$ (рис. 1.48) абсолютно упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен $\alpha$. Найти:
a) точки, относительно которых момент импульса $\boldsymbol{M}$ шайбы остается постоянным в өтом процессе;
б) модуль’ приращения вектора момента импульса шайбы относительно точки $O^{\prime}$, которая находится в плоскости движения шайбы на расстоянии $l$ от точки $O$.
1.188. Небольшой шарик массы $m$, привяРис. 1.48, занный на нити длины $l$ к потолку в точке $O$, движется по горизонтальной окружности с постоянной угловой скоростью ю. Относительно каких точек момент импульса М шарика остается постоянным? Найти модуль приращеиия вектора момента импульса шарика относительно точки $O$ за половину оборота.
1.189. Шарик массы $m$ падает без начальной скорости с высоты $h$ над поверхностью Земли. Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика за время/ падеиия – относительно точки $O$ системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью $V$ в горизонтадьном направлении. В момент начала падения точка $O$ совпадала с ұариком. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.190. Горизөнтальный гладкий диск вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр – точку $O$. Из этой точки в момент $t=0$ пустили шайбу со скоростью $v_{0}$. Найти момент импульса шайбы $M(t)$ относительно точк: $O$ в системе отсчета, связанной с диском. Убедиться, что әтот момент импульса обусловлен действием силы Кориолиса.
1.191. Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия $U=k r^{2}, k-$ положительная постоянная, $r$ – расстояние частицы до центра поля $O$. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки $O$ равно $r_{1}$, а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки $-v_{2}$.
1.192. Небольшой шарик подвесили к точке $O$ на легкой нити длиной $l$. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол $\vartheta$ от вертикали, и сообщили ему скорость в горизонтальном направлении перпендикулярно к вертикальной плоскости, в которой расположена нить. Какую начальную скорость надо сообщить шарику, чтобы в процессе движения максимальный угол отклонения нити от вертикали оказался равным $\pi / 2$ ?
1.193. На гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массы $m$, привязанное к нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие $O$ (рис. 1.49) с постоянной скоростью. Найти натяжение иити в зависимости от расстояния $r$ тела до отверстия, если при $r=r_{0}$ угловая скорость нити была равна $\omega_{0}$.
1.194. На массивный неподвижный блок радиуса $R$ намотана легкая нерастяжимая нить, к Рис. 1.49. свободному концу которой подвешено небольшое тело массы $m$. В момент $t=0$ систему предоставили самой себе, и она пришла в движение. Найти ее момент импульса относительно оси блока в зависимости от $t$.
1.195. Однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Найти зависимость от времени момента импульса шара относительно точки касания в начальный момент. Қак изменится результат в случае абсолютно гладкой наклонной плоскости?
1.196. Некоторая система частиц имеет суммарный импульс $\mathbf{p}$ и момент импульса $\boldsymbol{M}$ относительно точки $O$. Найти ее момент импульса $M^{\prime}$ относительно точки $O^{\prime}$, положение которой по отношению к точке $O$ определяется радиус-вектором $\mathbf{r}_{0}$. Выяснить, в каком случае момент импульса системы частиц не будет зависеть Oт выбора точки $O$.
1.197. Доказать, что момент импульса $\mathbf{M}$ системы частиц относительно точки $O K$-системы отсчета может быть представлен как
\[
\mathbf{M}=\tilde{\mathbf{M}}+\left[\mathbf{r}_{c} \mathbf{p}\right]
\]

где $\tilde{\boldsymbol{M}}$ – ее собственный момент импульса (в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром инерции), $\mathbf{r}_{c}$ – радиус-вектор центра инерции относительно точки $O, \mathbf{p}$ – суммарный импульс системы частиц в $K$-системе отсчета.
1.198. Шарик массы $m$, двигавшийся со скоростью $v_{0}$, испытал упругое лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели, как показано на рис. 1.50. Масса каждого шарика гантели равна $m / 2$, расстояние между ними – $l$. Пренебрегая размерами шариков, найти собственный момент импульса $\tilde{M}$ гантелн после соударения, т. е. момент импульса в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром инерции гантели.
1.199. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы, каждая массы $m$. Шайбы соединены друг с другом легкой недеформированной пружинРис. 1.50 . кой, длина которой $l_{0}$ и жесткость $\varkappa$. В некоторый момент одной из шайб сообщили скорость $v_{0}$ – в горизонтальном направлении перпендикулярно к пружинке. Найти максимальное относительное удлинение пружинки в процессе движения, если известно, что оно значительно меньше единицы.