Закон электромагнитной индукции Фарадея:
\[
\mathscr{E}_{t}=-\frac{d \Phi}{d t} .
\]

В случае соленоида и тороида:
\[
\Phi=N \Phi_{i},
\]

где $N$ — число внтков, $\Phi_{1}$ — магнитный поток через каждый виток.
Индуктивность соленоида:
\[
L=\mu \mu_{0} n^{2} V .
\]

Собственная энергия тока и взаимная энергия двух токов:
\[
W=\frac{L I^{2}}{2}, \quad W_{12}=L_{12} I_{1} I_{2} .
\]

Объемная плотность энергии магнитного поля:
\[
w=\frac{B^{2}}{2 \mu \mu_{0}}=\frac{\mathbf{B H}}{2} \text {. }
\]
Плотность тока смещения:
\[
\mathbf{j}_{\mathrm{CM}}=\frac{\partial \mathrm{D}}{\partial \dot{t}} .
\]

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
\[
\begin{array}{ll}
\boldsymbol{
abla} \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, & \boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{0}, \\
\mathbf{
abla} \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}, & \boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{D}=\boldsymbol{\rho},
\end{array}
\]

где $
abla \times \equiv \operatorname{rot}$ (ротор) и $
abla \cdot \equiv \operatorname{div}$ (дивергенцня).
— Формулы преобразования полей при переходе от $K$-системы отсчета к движущейся по отношению к ней со скоростью $\mathbf{v}_{0} K^{\prime}$-системе.
При $v_{0} \ll c$
\[
\mathbf{E}^{\prime}=\mathbf{E}+\left[\mathbf{v}_{0} \mathrm{~B}\right], \quad \mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{B}-\left[\mathrm{v}_{0} \mathrm{E}\right] / c^{2} .
\]

В общем случае
\[
\begin{array}{ll}
\mathbf{E}_{\|}^{\prime}=\mathbf{E}_{\|}, & \mathbf{B}_{i}^{\prime}=\mathbf{B}_{i}, \\
\mathbf{E}_{\perp}^{\prime}=\frac{\mathbf{E}_{\perp}+\left[v_{0} \mathbf{B}\right]}{\sqrt{1-\left(v_{0} \prime c\right)^{2}}}, & \mathbf{B}_{\perp}^{\prime}=\frac{\mathbf{B}_{\perp}-\left[v_{0} \mathbf{E}\right] / c^{2}}{\sqrt{1-\left(v_{0} / c\right)^{2}}},
\end{array}
\]

где символами \|| и $\perp$ отмечены составляющие полей, парал.лельные и перпендикулярные к вектору $\mathbf{v}_{\mathbf{0}}$.
3.288. Провод, имеющий форму параболы $y=a x^{2}$, находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, причем вектор В перпендикулярен к плоскости $x, y$. Из вершины параболы в момент $t=0$ начинают перемещать поступательно перемычку с постоянным ускорением $w$ (рис. 3.78). Найти э. д. с. индукции в образовавшемся контуре как функцию $y$.
Рис. 3.78.
Рис. 3.79.
3.289. Прямоугольный контур со скользящей перемычкой длины $l$ находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости контура (рис. 3.79). Индукция поля равна В. Перемычка имеет сопротивление $R$, стороны $A B$ и $C D$ — сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$. Пренебрегая самоиндукцией контура, найти ток в перемычке при ее поступательном перемещении с постоянной скоростью $v$.
3.290. Металлический диск радиуса $a=25 \mathrm{cм}$ вращают с постоянной угловой скоростью $\omega=130$ рад/с вокруг его оси. Найти разность потенциалов между центром и ободом диска, если:
a) внешнего магнитного поля нет;
б) имеется перпеидикулярное к диску внешнее однородное магнитное поле с индукцией $B=5,0$ мT.
3.291. Тонкий проводник $A C$, изогнутый в форме полуокружности диаметра $d=20 \mathrm{~cm}$, вращают с постоянной угловой скоростью $\omega=100 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$ в однородном магнитном поле с индукцией $B=5,0$ мТ так, что $\boldsymbol{\omega} \uparrow \uparrow$ В. Ось вращения проходит через конец $A$ проводника и перпендикулярна к прямой $A C$ (диаметру). Найти значение линейного интеграла $\int \mathbf{E} d \mathbf{r}$ вдоль проводника от точки $A$ до точки $C$. Полученный результат обобщить.
3.292. Проволочный контур, ограничивающий полукруг радиуса $a$, находится на границе однородного магнитного поля с индукцией $B$ (рис. 3.80). В момент $t=0$ контур начинают вращать с постоянным угловым ускорением $\beta$ вокруг оси $O$, совпадающей с линией вектора В на границе поля. Найти э. д. с. индукции в контуре как функцию времени $t$. Изобразить примерный график этой зависимости. Положительным направлением для э. д. с. считать то, которое показано стрелкой на рисунке.
Рис. 3.80.
Рис. 3.8i.
3.293. Длинный прямой проводник с током $I$ и П-образный проводник с подвижной перемычкой расположены в одной плоскости, как показано на рис. 3.81. Перемычку, длина которой $l$ и сопротивление $R$, перемещают вправо с постоянной ток, индуцируемый в контуре, как функцию расстояния $r$ между перемычкой и прямым проводником. Сопротивление П-образного проводника и самоиндукция контура пренебрежимо малы.
3.294. Квадратная рамка со стороной $a$ и длинный прямой провод с током $I$ находятся в одной плоскости, как показано на рис. 3.82. Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью $v$. Найти э. д. с. индукРис. 3.82. ции в рамке как функцию расстояния $x$. скоростью v. Найти
Рис. 3.80 скоростью $v$. Найти поле с индукцией $B$, направленном перпендикулярно к плоскости кольца. Ось и кольцо подключены к источнику э. д. с., образуя цепь с сопротивлением $R$. Пренебрегая трением, индуктивностью, цепи и сопротивлением кольца, найти, по какому закону должна
Рис. 3.83. изменяться э. д. с. источника, чтобы стержень вращался с постоянной утловой скорсстью $\omega$.
Рис. 3.84.
3.296. По двум гладким медным шинам, установленным под углом $\alpha$ к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массы $m$ (рис. 3.84). Вверху шины замкнуты на сопротивление $R$. Расстояние между шинами $l$. Система находится в однородном магнятном поле с индукцией $B$, перпендикулярном к плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивления шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти установившуюся скорость перемычки.
3.297. Система отличается от рассмотренной в предыдущей задаче (см. рис. 3.84) лишь тем, что вместо сопротивления $R$ к концам шин подключен конденсатор емкости $C$. Найти ускорение перемычки.
3.298. Провод, согнутый в форме полуокружности радиуса $a$, вращают вокруг оси $O O^{\prime}$ с угловой скоростью $\omega$ в однородиом магнитном поле с индукцией $B$ (рис. 3.85). Ось вращения перпендикулярна к направлению Рис. 3.85. поля. Сопротивление всей цепи равно $R$. Пренебретая магнитным полем индуцируемого тока, найти среднее за период вращения значение тепловой мощности, выделяемой в контуре.
3.299. Между полюсами электромагнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки $S=3,0 \mathrm{mм}^{2}$, число витков $N=60$. При повороте катушки на $180^{\circ}$ вокруг ее диаметра через подключенный к ней баллистический гальванометр протекает заряд $q=4,5$ мкКл. Найти модуль вектора индукции магнитного поля между полюсами, если полное сопротивление электрической цегти $R=40$ Ом.
3.300. Квадратная проволочная рамка со стороной $a$ и прямой проводник с постоянным током $I$ лежат в одной плоскости (рис. 3.86). Индуктивность и сопротивление рамки равны $L$ и $R$. Рамку повернули на $180^{\circ}$ вокруг оси $O O^{\prime}$, отстоящей от проводника с током на расстояние $b$. Найти количество электричества, протекшее в рамке.
Рис. 3.86.
Pис. 3.87.
3.301. Имеется длинный прямой проводник с током $I_{0}$. На расстояниях $a$ и $b$ от него расположены два параллельных ему провода, замкнутьх на одном конце сопротивлением $R$ (рис. 3.87). По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью $v$ стерженьперемычк. Пренебрегая сопротивлением проводов, стержня и скользящих контактов, найти:
a) значение и направление индукционного тока в стержне;
б) силу, необходимую для поддержания постоянства скорости стержня.
3.302. Проводник $A B$ массы $m$ скользит без трения по двум длинным проводящим рельсам, расположенным на расстоянии $l$ друг от друга (рис. 3.88). На левом конце рельсы замкнуты сопротивлением $R$. Система находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости контура. В момент $t=0$ стержню $A B$ сообщили вправо начальную скорость $v_{0}$. Пренебрегая сопротивлением рельсов и стержня $A B$, а также самоиндукцией, найти:
a) расстояние, пройденюе стержнем до остановки;
б) количество тепла, выделенное при этом на сопротивлеиии $R$.
Pис. 3.88.
Рис. 3.89.
3.303. По П-образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемынка $A B$ (рис. 3.89). Последняя имеет длину $l$, массу $m$ и сопротивление $R$. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, направлениом вертикально. В момент $t=0$ на перемычку начали действовать постоянной горизонтальной силой $F$, и перемычка начала перемещаться поступательно вправо. Найти зависимость от времени $t$ скорости перемычки. Индуктивность контура и сопротивление П-образного проводника пренебрежимо малы.
3.304. На рис. 3.90 показаны плоские контуры из тонких проводов, находящиеся в однородном магнитном поле, которое направлено
Рис. 3.90 .

за плоскость рисунка. Индукцию поля начали уменьшать. Найти направление индукцнонных токов в этих контурах.
3.305. Плоский контур (рис. 3.91), имеющий вид двух квадратов со сторонами $a=20 \mathrm{~cm}$ и $b=10 \mathrm{~cm}$, находится в однорөдном магнитном поле, перпендикулярном к его плоскости. Индукция поля меняется во времени по закону $B=B_{0} \sin \omega t$, где $B_{0}=10 \mathrm{mT}$ и $\omega=100 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$. Найти амплитуду индукционного тока в контуре, если сопротивление единицы длины его $\rho=50$ мОм/м. Индуктивностью контура пренебречь.
Pис. 3.91.
3.306. Плоская спираль с очень большим числом витков $N$, плотно прилегающих друг к другу, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости спирали. Наружный радиус витков спирали равен $a$. Индукция поля изменяется во времени по закону $B=$ $=B_{0} \sin \omega t$, где $B_{0}$ и $\omega$ — постоянные. Найти амплитудное значение э. д. с. индукции, наводимой в спирали.
3.307. П-образный проводник находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости проводника и изменяющемся во времени со скоростью $\dot{B}=0,10 \mathrm{~T} / \mathrm{c}$. Вдоль параллельных сторон этого проводника перемещают без начальной скорости проводник-перемычку с ускорением $w=10 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$. Длина перемычки $l=20$ см. Найти э. д. с. индукции в контуре через $t=2,0$ с после начала перемещения, если в момент $t=0$ площадь контура и индукция магнитного поля равны нулю. Иидуктивностью контура пренебречь.
3.308. В длинном прямом соленоиде с радиусом сечения $a$ и числом витков на единицу длины $n$ изменяют ток с постоянной скоростью $I \mathrm{~A} /$. Найти модуль вектора напряженности вихревого электрического поля как функцию расстояния $r$ от оси соленоида. Изобразить примерный график этой зависимости.
3.309. На длинный прямой соленоид, имеющий диаметр сечения $d=5$ см и содержащий $n=20$ витков на один сантиметр длины, плотно надет круговой виток из медного провода сечением $S=$ $=1,0$ мм $^{2}$. Найти ток в витке, если ток в обмотке соленоида увеличивают с постоянной скоростью $\dot{I}=100 \mathrm{~A} / \mathrm{c}$. Индуктивностью витка пренебречь.
3.310. На длинный соленоид с радиусом сечения $a$ плотно надето тонкое проволочное кольцо в изоляции, причем одна половина кольца имеет сопротивление в $\eta$ раз больше, чем другая. Индукция магнитного поля соленоида меняется во времени по закону $B=b t$, где $b$ — постоянная. Найти модуль вектора напряженности электростатического поля в кольце.
3.311. Непроводящее тонкое кольцо массы $m$, имеющее заряд $q$, может свободно вращаться вокруг своей оси. В начальный момент кольцо покоилось и магнитное поле отсутствовало. Затем включили практически однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости кольца, которое начало нарастать во времени по некоторому закону В $(t)$. Найти угловую скорссть ю кольца в зависимости от индукции В $(t)$.
3.312. Тонкое проволочное кольцо, имеющее радиус $a$ и сопротивление $r$, расположено внутри длинного соленоида так, что их оси совпадают. Длнна соленөнда $l$, раднус сечения $b$. ‘В некоторый момент соленоид подключили к источнику постоянного напряжения $U$. Полное сопротивление цепи равно $R$. Пренебрегая индуктивностью кольца, найти максимальное значение радиальной силы, действующей на единицу длины кольца.
3.313. Магнитный поток через неподвижный контур с сопротивлением $R$ изменяется в течение времени $\tau$ по закону $\Phi=a t(\tau-t)$. Найти количество тепла, выделенное в контуре за это время. Индуктивностью контура пренебречь.
3.314. В середине длинного соленоида находится коаксиальное кольцо прямаугольного сечения из проводящего материала с удельным сопротивлением $\rho$. Толщина кольца $h$, его внутренний и внешний радиусы $a$ и $b$. Найти индукционный ток в кольце, если индукция магнитного поля соленоида изменяется во времени по закону $B=\beta t$, где $\beta$ — постоянная. Индуктивностью кольца пренебречь.
3.315. Сколько метров тонкого провода надо взять для изготовления соленоида длины $l_{0}=100$ см с индуктивностью $L=1,0$ мГ, если диаметр сечения соленоида значительно меньше его длины?
3.316. Найти индуктивность соленоида длины $l$, обмоткой которого является медная проволока массы $m$. Сопротивление обмотки $R$. Диаметр соленоида значительно меньше его длины.
3.317. Катушку индуктивности $L=300 \mathrm{m \Gamma}$ и сопротивления $R=140$ мОм подключили к источнику постоянного напряжения. Через сколько времени ток через катушку достигнет $\eta=50 \%$ установившегося значения?
3.318. Вычислить постоянную времени $\tau$ прямого соленоида длины $l=1,0 \mathrm{м}$, имеющего однослойную обмотку из медного провода массы $m=1,0 \mathrm{kr}$. Предполагается, что диаметр сечения соленоида значительно меньше его длины.
Примечание. Постоянной времени $\tau$ называют отношение $L / R$, где $L$ — индуктивность, $R$ — активное сопротивление.
3.319. Найти индуктивность единицы длины кабеля, представляющего собой два тонкостенных коаксиальных металличєских цилиндра, если радиус внешнего цилиндра в $\eta=3,6$ раза больше, чем радиус внутреннего. Магнитную проннцаемость среды между цилиндрами считать равной единице.
3.320. Определить индуктивность тороидального соленоида из $N$ витков, внутренний радиус которого равен $b$, а поперечне сечение имеет форму квадрата со стороной $a$. Пространство внутри соленоида заполнено однородным парамагнетиком с магнитной проницаемостью $\mu$.
3.321. Вычислить индуктивность единицы длины двухпроводной ленточной линии (рис. 3.92), если расстояние между лентами $h$ значительно меньше их ширины $b$, а именно, $b / h=50$.
Pис. 3.92.
3.322. Найти индуктивность единицы длины двухпроводной линии, если радиус каждого провода в $\eta$ раз меньше расстояния между их осями. Полем внутри проводов пренебречь, магнитную проницаемость всюду считать равной единице и $\eta \geqslant 1$.
3.323. Сверхпроводящее круглое кольцо радиуса $a$, имеющее индуктивность $L$, находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$. Плоскость кольца параллельна вектору В, и ток в кольце равен нулю. Затем плоскость кольца повернули на $90^{\circ}$ в положение, перпендикулярное к полю. Найти:
a) ток в кольце после поворота; б) работу, совершенную при этом.
3.324. Ток $I_{0}=1,9$ А течет по длинному замкнутому соленонду, проволока которого находится в сверхпроводящем состоянин. Найти ток в соленоиде после того, как его растянули, увеличив длину на $\eta=5 \%$.
3.325. Кольцо радиуса $a=50$ мм из тонкой проволоки радиуса $b=1,0$ мм поместили в однородное магнитное поле с индукцией $B=0,50$ мТ так, что плоскость кольца оказалась перпендикулярной к вектору В. Затем кольцо охладили до сверхпроводящего состояния и выключили магнитное поле. Найти ток в кольце после этого. Иметь в виду, что индуктивность тонкого кольца, вдоль котоporo течет поверхностный ток, $L=\mu_{0} a\left(\ln \frac{2 a}{b}-2\right)$.
3.326. Замкнутая цепь состоит из последовательно включенных источника постоянной э. д. с. E и дросселя индуктивности $L$. Активное сопротивление всей цени равно $R$. В момент $t=0$ индуктивность дросселя скачком уменьшили в $\eta$ раз. Найти төк в цепи как функцию времени $t$.
Указания и е. При скачкообразном изменении индуктивности полный магнитный поток (потокосцепление) остается неизменным.
3.327. Найти закон изменения во времени тока, текущего через индуктивность $L$ в схеме (рис. 3.93) после замыкания ключа $K$ в момент $t=0$.
Рис. 3.93.
Рис. 3.94.
3.328. В схеме (рис. 3.94) известны э. д. с. Еீ источника, сопротивление $R$ и индуктивности катушек $L_{1}$ и $L_{2}$. Внутреннее сопротивление источника и сопротивления катушек пренебрежимо малы. Найти установившиеся токи в катушках после замыкания ключа $K$.
3.329. Вычислить взаимную индуктивность длинного прямого провода и прямоугольной рамки со сторонами $a$ и $b$. Рамка и прямой провод лежат в одной плоскости, причем ближайшая к проводу сторона рамки длиной $b$ параллельна проводу и отстоит от него на расстояние $l$.
3.330. Определить взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение, ее внутренний радиус $a$, внешний $b$. Длина стороны поперечного сечения тора, параллельная проводу, равна $h$. Число витков катушки $N$. Система находится в однородном магнетике с проницаемостью $\mu$.
3.331. Два концентрических тонких проводника в форме окружностей с радиусами $a$ и $b$ лежат в одной плоскости. Имея в виду, что $a \ll b$, найти:
a) их взанмную индуктивность;
б) магнитный поток, который пронизывает поверхность, натяиутую на внешний проводник, когда по внутреннему проводнику течет Tок $I$.
3.332. Небольшой цилиндрический магнит $M$ (рис. 3.95) находится в центре тонкой катушки радиуса $a$, состоящей из $N$ витков. Катушка подключена к баллистиРис. 3.95. ческому гальванометру. Активное сопротивлеине всей цепи равно $R$. Найти магнитный момент магнита, если при его удалении из катушки через гальванометр прошло количество электричества $q$.
3.333. Найти приближенную формулу для взаимной индуктивности двух тонких витков одинакового радиуса $a$, если оси витков совпадают, а их центры находятся друг от друга на расстояние $l$, причем $l \gg a$.
3.334. Имеются два неподвижных контура с взаимной индуктивностью $L_{12}$. В одном из контуров начали изменять ток по закону $I_{1} \doteq \alpha t$, где $\alpha$ — постоянная, $t$ — время. Найти закон изменения тока $I_{2}(t)$ в другом контуре, индуктивность которого $L_{2}$ и сопротивление $R$.
3.335. Қатушка индуктивности $L=2,0$ мкГ и сопротивления $R=1,0$ Ом подключена к источнику постоянной э. д. с. $\mathscr{E}=3,0$ В (рис. 3.96). Параллельно катушке включено сопротивление $R_{0}=2,0$ Ом. Найти количество тепла, которое выделится в катушке после размыкания ключа $K$. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.
3.336. На железный тор намотано $N=$ $=500$ витков. Найти энергию магнитного поля, если при токе $I=2,0$ А магнитный поток через поперечное сечение тора $\Phi=1,0$ мВб.
Рис. 3.96.
3.337. Железный сердечник, имеющий форму тора с круглым сечением радиуса $a=3,0 \mathrm{~cm}$, несет на себе обмотку из $N=1000$ витков, по которой течет ток $I=1,0$ А. Средний радиус тора $b=32 \mathrm{~cm}$. Найти с помощью рис. 3.76 магнитную энергию, запасенную в сердечнике, полагая напряженность поля $H$ одинаковой по всему сечению и равной его значеиию в центре сечения.
3.338. Тонкое кольцо из магнетика имеет средний диаметр $d=$ $=30$ см и несет на себе обмотку из $N=800$ витков. Площадь поперечного сечения кольца $S=5,0 \mathrm{~cm}^{2}$. В кольце сделана поперечная прорезь ширины $b=2,0$ мм. Когда по обмотке течет некоторый ток, магнитная проницаемость магнетика $\mu=1400$. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти:
a) отношение магнитной энергии в зазоре к магнитной энергии в магнетике;
б) индуктивность системы, причем двумя способами — через поток и через энергию.
3.339. Длинный цилиндр радиуса $a$, заряженный равномерно по поверхности, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. Найти энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилиндра, если линейная плотность заряда цилиндра равна $\lambda$ и $\mu=1$.
3.340. При каком зиачении напряженности электрического поля в вакууме объемная плотность энергии этого поля будет такой же, как у магнитного поля с индукцйей $B=1,0$ Т (тоже в вакууме)?
3.341. Тонкое равномерно заряженное кольцо радиуса $a=$ $=10 \mathrm{cм}$ вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega=$ $=100$ рад $/$. Найти отиошение объемных плотностей энергии магнитного и электрического полей на оси кольца в точке, отстоящен̆ от его центра на расстояние $l=a$.
3.342. Исходя из выражения для объемной плотности магнитной энергии, показать, что работа, затрачиваемая на намагничнвание единицы объема пара- или диамагнетика, $A=-\mathbf{J B} / 2$.
3.343. Две одинаковые катушки, каждая индуктивности $L$, coединяют а) последовательно, б) параллельно. Считая взаимную индуктивность катушек пренебрежимо малой, найти индуктивнссть системы в обоих случаях.
3.344. Два соленоида одинаковой длины и почти одинакового сечения вставлены полностью один в другой. Найти их взаимную индуктивность, если их индуктивности равны $L_{1}$ и $L_{2}$.
3.345. Показать, что магнитная энергия взаимодействия двух контуров с токами, находящихся в вакууме, может быть представлена как $W_{\text {вз }}=\left(1 / \mu_{0}\right)$ j $\mathbf{B}_{1} \mathbf{B}_{2} d V$, где $\mathbf{B}_{1}$ и $\mathbf{B}_{2}$ — индукции магнитного поля в элементе объема $d V$, создаваемые отдельно токами одного и другого контуров.
3.346. Найти энергню взаимодействия двух контуров с токами $I_{1}$ и $I_{2}$, если оба контура имеют вид окружностей с радиусами $a$ и $b$ $(a \ll b)$, центры этих контурсв находятся в одной точке и плоскости контуров составляют друг с другом угол $\vartheta$.
3.347. Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. В момент $t=0$ внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти:
a) связь между векторами плотностей тока смещения и тока проводимости в произвольной точке среды в один и тот же момент;
б) ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен $q$.
3.348. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.
3.349. Плоский воздушный конденсатор, площадь каждой пластины которого $S=100 \mathrm{~cm}^{2}$, включен последовательно в цепь переменного тока. Найти амплитуду напряженности электрического поля в конденсаторе, если амплитуда синусоидального тока в подводящих проводах $I_{m}=1,0 \mathrm{~mA}$ и частота тока $\omega=1,6 \cdot 10^{7} \mathrm{paд} / \mathrm{c}$.
3.350. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью о и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Расстояние между обкладками $d$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля между обкладками на расстоянии $r$ от их оси, если на конденсатор подано переменное напряжение $U=U_{m} \cos \omega t$.
3.351. Длинный прямой соленоид имеет $n$ витков на единицу длины. По нему течет переменный ток $I=I_{m} \sin \omega t$. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния $r$ от оси солеиоида. Радиус сечения соленоида $R$.
3.352. Точечный заряд $q$ движется с нерелятивистской скоростью $\mathbf{v}=$ const. Найти плотность тока смещения $\mathbf{j}_{\text {см }}$ в точке, находящейся на расстоянии $r$ от заряда на прямой:
a) совпадающей с траекторией заряда;
б) перпендикулярной к траектории и проходящей через заряд.
3.353. Кольцо радиуса $a$ из тонкого провода, несущее заряд $q$, приближается к точке наблюдения $P$ так, что его центр движется прямолинейно с постоянной скоростью $v$. При этом плоскость кольца все время перпендикулярна к направлению его движения. На каком расстоянии $x_{m}$ от точки $P$ будет находиться кольцо в момент, когда плотность тока смещения в точке $P$ окажется максимальной? Чему равно значение этого тока?
3.354. Точечный заряд $q$ движется с нерелятивистской скоростью $\mathbf{v}=$ const. Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора Н по пунктирной окружности (рис. 3.97), найти Н в точке $A$ как функцию радиус-вектора $\mathbf{r}$ и скорости $\mathbf{v}$ заряда.
3.355. Доказать с помощью уравнений Максвелла, что:
a) переменное во времени магнитное поле не может существовать без электрического поля;
б) однородное электрическое поле не Рис. 3.97. может существовать при наличии переменного во времени магнитного поля;
в) внутри полой области однородное электрическое (или магнитное) поле может быть переменным во времени.
3.356. Показать, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения электрического заряда, т. е. $
abla \cdot \mathbf{j}=-\partial \rho / \partial t$.
3.357. Показать, что уравнения Максвелла $
abla \times \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t$ и $\boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{B}=0$ являются совместимыми, т. е. первое из них не противоречит второму.
3.358. В некоторой области инерциальной системы отсчета имеется вращающееся с угловой скоростью $\omega$ магнитное поле, индукция которого равна $B$. Найти $
abla \times \mathbf{E}$ в этой области как функцию векторов $\omega$ и В.
3.359. В инерциальной $K$-системе отсчета имеется однородное чисто магнитное поле с индукцией В. Найти напряженность электрического поля в $K^{\prime}$-системе, которая движется с нерелятивистской скоростью $\mathbf{v}$ относительно $K$-системы, причем $\mathbf{v} \perp$ В. Для решения этого вопроса рассмотреть силы, действующие на воображаемый заряд в обеих системах отсчета в момент, когда скорость заряда в $K^{\prime}$-системе равна нулю.
3.360. Большая пластина из неферромагнитного металла движется с постоянной скоростью $v=90$ см/с в однородном магнитном поле с индукцией $B=50$ мТ, как показано на рис. 3.98. Найти поверхностную плотность электрических зарядов, возникающих на пластине вследствие ее движения.
3.361. Длинный сплошной алюминиевый цилиндр радиуса $a=5,0 \mathrm{~cm}$ вращают вокруг его оси в однородном магнитном поле с индукцией $B=10 \mathrm{MT}$. Угловая скорость вращения $\omega=45$ рад/с, причем $\omega \uparrow \uparrow$ В. Пренебрегая магнитным полем возникающих зарядов, найти их объемную и поверхностную Рис. 3.98. плотности.
3.362. Нерелятивистский точечный заряд $q$ движется с постоянной скоростью v. Найти с помощью формул преобразования полей индукцию В магнитного поля этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется радиусвектором $\mathbf{r}$.
3.363. Показать с помощью формул (3.63): если в инерциальной $К$-системе отсчета имеется только электрическое или только магнитное поле, то в любой другой инерциальной $K^{\prime}$-системе будут существовать как электрическое, так и магнитное поле одновременно, причем $\mathbf{E}^{\prime} \perp \mathbf{B}^{\prime}$.
3.364. В инерциальной $K$-системе имеется только магнитное поле с индукцией $\mathbf{B}=b(y \mathbf{i}-x \mathbf{j}) /\left(x^{2}+y^{2}\right)$, где $b$ — постоянная, $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ — орты осей $x$ и $y$. Найти напряженность $\mathbf{E}^{\prime}$ электрического поля в $K^{\prime}$-системе, движущейся относительно $K$-системы с нерелятивистской постоянной скоростью $\mathbf{v}=v \mathbf{k}, \mathbf{k}$ — орт оси $z$. Считать, что ось $z^{\prime}$ совпадает с осью $z$. Какой вид имеет поле $\mathrm{E}^{\prime}$ ?
3.365. В инерциальной $К$-системе имеется только электрическое поле с напряженностью $\mathrm{E}=a(x \mathrm{i}+y \mathrm{j}) /\left(x^{2}+y^{2}\right)$, где $a$ — постоянная, $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ — орты осей $x$ и $y$. Найти индукцию $\mathbf{B}^{\prime}$ магнитного поля в $K^{\prime}$-системе, которая движется относительно $K$-системы с нерелятивистской постоянной скоростью $\mathbf{v}=v \mathbf{k}, \mathbf{k}$ — орт оси $z$. Считать, что ось $z^{\prime}$ совпадает с осью $z$. Какой вид имеет поле $\mathbf{B}^{\prime}$ ?
3.366. Убедиться, что формулы преобразования (3.63) следуют из формул (3.6и) при $v_{0} \ll c$.
3.367. В инерциальной $K$-системе имеется только однородное электрическое поле с напряженностью $E=8 \mathrm{kB} / \mathrm{м}$. Найти модуль и направление
a) вектора $\mathbf{E}^{\prime}$, б) вектора $\mathbf{B}^{\prime}$

в инерциальной $K^{\prime}$-системе, движущейся по отношению к $K$-системе с постоянной скоростью $\mathbf{v}$ под углом $\alpha=45^{\circ}$ к вектору Е. Скорость $K^{\prime}$-системы составляет $\boldsymbol{\beta}=0,60$ скорости света.
3.368. Решить задачу, отличающуюся от предыдущей лишь тем, что в $K$-системе имеется не электрическое, а магнитное поле с индукцией $B=0,8 \mathrm{~T}$.
3.369. Электромагнитное поле имеет две инвариаптные величины. Показать с помощью формул преобразования (3.6и), что такими величинами являются:
a) $\mathrm{EB}$; б) $E^{2}-c^{2} B^{2}$.
3.370. В инерциальной $K$-системе отсчета имеются два однородных взаимно перпендикулярных поля: электрическое напряженности $E=40 \mathrm{kB} /$ м и магнитное с индукцией $B=0,20$ мТ. Найти напряженность $E^{\prime}$ (или индукцию $B^{\prime}$ ) поля в той $K^{\prime}$-системе отсчета, где наблюдается только одно поле (электрическое или магнитное). Указание и Воспользоваться инвариантами поля, приведенными в предыдущей задаче.
3.371. Точечный заряд $q$ движется равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростью, составляющей $\beta$-часть скорости света $(\beta=\sigma / c)$. Найти напряженность $\mathbf{E}$ электрического поля этого заряда в точке, радиус-вектор которой относительно заряда равен $\mathbf{r}$ и составляет угол $\vartheta$ с вектором его скорости.