– Основной закон радиоактивного распада:
\[
N=N_{0} \mathrm{e}^{-\lambda . t} .
\]
Связь между постояниой распада $\lambda$, средним временем жизни $\tau$ и периодом полураспада $T$ :
\[
\lambda=\frac{1}{\tau}=\frac{\ln 2}{T} .
\]
Удельная активность-это активность единицы массы вещества.
6.214. Зная постоянную распада $\lambda$ ядра, определить:
a) вероятность того, что оно раснадется за промежуток времени от 0 до $t$;
б) его среднее время жизни $\tau$.
6.215. Қакая доля радиоактивных ядер кобальта, период полураспада которых 71,3 дня, распадется за месяц?
6.216. Сколько $\beta$-частиц испускает в течение одного часа 1,0 мкг изотопа $\mathrm{Na}^{24}$, период полураспада которого равен 15 ч?
6.217. При изучении $\beta$-распада радиоизотопа $\mathrm{Mg}^{23}$ в момент $t=0$ был включен счетчик. К моменту $t_{1}=2,0$ с он зарегистрировал $N_{1} \beta$-частиц, а к моменту $t_{2}=3 t_{1}-$ в 2,66 раза больше. Найти среднее время жизни данных ядер.
J 6.218: Активность некоторого препарата уменьшается в 2,5 раза за 7,0 суток. Найти его период полураспада.
6.219. В начальный момент активность некоторого радиоизотопа составляла 650 част./мин. Қакова будет активность этого препарата но истечении половины его периода полураспада?
6.220. Найти постоянную распада и среднее время жизни радиоактивного изотопа $\mathrm{Co}^{55}$, если известно, что его активность уменьшается на $4,0 \%$ за час? Продукт распада нерадиоактивен.
6.221. Препарат $U^{238}$ массы 1,0 г излучает $1,24 \cdot 10^{4} \alpha$-частиц в секунду. Найти пернод полураспада этого изотопа и активность препарата.
6.222. Определить возраст древних деревянных предметов, если известно, что удельная активность изотопа $\mathrm{C}^{14}$ у них составляет $3 / 5$ удельной активности этого изотопа в только что срубленных деревьях. Период полураспада ядер $\mathrm{C}^{14}$ равен 5570 лет.
6.223. В урановой руде отношение числа ядер $\mathrm{U}^{238}$ к числу ядер $\mathrm{Pb}^{206} \eta=2,8$. Оценить возраст руды, считая, что весь свинец $\mathrm{Pb}^{206}$ является конечным продуктом распада уранового ряда. Период полураспада ядер $\mathrm{U}^{238}$ равен $4,5 \cdot 10^{9}$ лет.
6.224. Вычислить удельные активности изотопов $\mathrm{Na}^{24}$ и $\mathrm{U}^{235}$, периоды полураспада которых равны соответственно 15 ч и $7,1 \cdot 10^{8}$ лет.
6.225. В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего радиоизотоп $\mathrm{Na}^{24}$ активностью $A=2,0 \cdot 10^{3}$ расп./с. Активность $1 \mathrm{~cm}^{3}$ крови, взятой через $t=5,0$ ч, оказалась $A^{\prime}=$ $=16$ расп./(мин $\left.\cdot \mathrm{cm}^{3}\right)$. Период полураспада данного радионзотопа $T=15$ ч. Найти объем крови человека.
6.226. Удельная активность препарата, состоящего из активного кобальта $\mathrm{Co}^{58}$ и неактивного $\mathrm{Co}^{59}$, составляет $2,2 \cdot 10^{12}$ расп./(с.г). Период полураспада $\mathrm{Co}^{58}$ равен 71,3 суток. Найти отношение массы активного кобальта в этом препарате к массе препарата (в \%).
6.227. Некоторый препарат содержит две $\beta$-активные компоненты с различными периодами полураспада. Измерения дали следующую зависимость натурального логарифма активности препарата от времени $t$ в часах:
Найти периоды полураспада обеих компонент и отношение чисел радиоактивных ядер этих компонент в момент $t=0$.
6.228. Раднопзотоп $\mathrm{P}^{32}$, период полураспада которого $T=$ $=14,3$ сут, образуется в ядерном реакторе с постоянной скоростыо $q=2,7 \cdot 10^{9}$ ядер/с. Через сколько времени после начала образования этого радиоизотопа его активность станет $A=1,0 \times$ $\times 10^{9}$ расп./с?
6.229. Радиоизотоп $A_{1}$ с постоянной распада $\lambda_{1}$ превращается в радиоизотоп $\mathrm{A}_{2}$ с постоянной распада $\lambda_{2}$. Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра изотопа $\mathrm{A}_{1}$, найти:
a) закон накопления радиоизотопа $\mathrm{A}_{2}$ со временем;
б) промежуток времени, через который активность радиоизотопа $\mathrm{A}_{2}$ достигнет максимума.
6.230. Решить предыдущую задачу, если $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda$.
6.231. Радиоизотоп $A_{1}$ нспытывает превращения по цепочке $\mathrm{A}_{1} \rightarrow \mathrm{A}_{2} \rightarrow \mathrm{A}_{3}$ (стабилен) с соответствующими постоянными распада $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра изотопа $\mathrm{A}_{1}$ в количестве $N_{10}$, найти закон накопления стабильного изотопа $\mathrm{A}_{3}$.
6.232. Радиоактивный изотоп $\mathrm{Bi}^{210}$ распадается по цепочке
\[
\mathrm{Bi}^{210} \underset{\lambda_{1}}{ } \mathrm{Po}^{210} \xrightarrow[\lambda_{2}]{ } \mathrm{Pb}^{206} \text { (стабилен), }
\]
где постоянные распада $\lambda_{1}=1,60 \cdot 10^{-6} \mathrm{c}^{-1}, \lambda_{2}=5,80 \cdot 10^{-8} \mathrm{c}^{-1}$. Вычислить $\alpha$ – и $\beta$-активности препарата $\mathrm{Bi}^{210}$ массы 1,00 мг через месяц после его изготовления.
6.233. а) Какой изотоп образуется из $\alpha$-активного $\mathrm{Ra}^{226}$ в результате пяти $\alpha$-распадов и четырех $\beta^{-}$-распадов?
б) Сколько $\alpha$ – и $\beta^{-}$-распадов испытывает $\mathrm{U}^{238}$, превращаясь в конечном счете в стабильный изотоп $\mathrm{Pb}^{206}$ ?
6.234. Покоившееся ядро Ро $\mathrm{Po}^{200}$ испустило $\alpha$-частицу с кинетической энергией $T_{\alpha}=5,77$ МэВ. Найти скорость отдачи дочернего ядра. Қакую долю полной энергии, освобождаемой в этом процессе, составляет энергия отдачи дочернего ядра?
6.235. Определить количество тепла, которое выделяет 1,00 мг препарата Ро ${ }^{210}$ за период, равный среднему времени жизни этих ядер, если известно, что испускаемые $\alpha$-частицы имеют кинетическую энергию 5,3 МэВ и практически все дочерние ядра образуются непосредственно в основном состоянии.
6.236. Альфа-распад ядер $\mathrm{P}^{210}$ (из основного состояния) сопровождается испусканием двух групп $\alpha$-частиц с кинетическими энергиями 5,30 и 4,50 МэВ. В результате испускания этих частиц дочерние ядра оказываются соответственно в основном и возбужденном состояниях. Найти энергию $\gamma$-квантов, испускаемых возбужденными ядрами.
6.237. Средний пробег $\alpha$-частицы в воздухе при нормальных условиях определяется следующей формулой $R=0,98 \cdot 10^{-27} v_{0}^{3} \mathrm{cм}$, где $v_{0}(\mathrm{cм} / \mathrm{c})$ – начальная скорость $\alpha$-частицы. Воспользовавшись этой формулой, найти для $\alpha$-частицы с начальной кинетической энергией 7,0 МэВ:
a) ее средний пробег;
б) среднее число пар ионов, которые образует данная $\alpha$-частица на всем пути $R$, а также на первой половине его, считая, что энергия образования одной пары ионов равна 34 эВ.
6.238. Найти энергию $Q$, выделяющуюся при $\beta^{-}$и $\beta^{+}$-распадах и при $K$-захвате, если известны массы материнского атома $M_{\text {м }}$, дочернего атома $M_{\text {д }}$ и электрона $m$.
6.239. Найти с помощью табличных значений масс атомов максимальную кинетическую энергию $\beta$-частиц, испускаемых ядрами $\mathrm{Be}^{10}$, и соответствующую кинетическую энергию отдачи дочерних ядер, которые образуются непосредственно в основном состоянии.
6.240. Оценить количество тепла, выделенного за сутки в калориметре $\beta^{-}$-активным препаратом $\mathrm{Na}^{24}$, масса которого $m b=1,0$ мг. Считать, что $\beta$-частицы в среднем имеют кинетическую энергию, равную $1 / 3$ максимально возможной при данном распаде. Период полураспада $\mathrm{Na}^{24} T=15$ ч
6.241. Вычислить с помощью табличных значений масс атомов кинетические энергии позитрона и нейтрино, испускаемых ядром $\mathrm{C}^{11}$ в случае, если дочернее ядро не испытывает отдачи.
6.242. Найти кинетическую энергию ядра отдачи при позитронном распаде ядра $\mathrm{N}^{13}$ в том случае, когда энергия позитрона максимальна.
6.243. Определить с помощью табличных значений масс атомов скорость ядра, возникающего в результате $K$-захвата в атоме $\mathrm{Be}^{7}$, если дочернее ядро оказывается непосредственно в основном состоянии.
6.244. Возбужденные ядра $\mathrm{Ag}^{109}$, переходя в основное состояние, испускают или $\gamma$-кванты с энергией 87 кэВ, или конверсионные $K$-электроны (их энергия связи 26 кэВ). Определить скорость этих электронов.
6.245. Свободное покоившееся ядро $\operatorname{Ir}^{191}$ с энергией возбуждения $E=129$ кэВ перешло в основное состояние, испустив $\gamma$-квант. Вычислить относительное изменение энергии $\gamma$-кванта, возникающее в результате отдачи ядра.
6.246. С какой относительной скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер Ir ${ }^{191}$, чтобы наблюдалось максимальное поглощение $\gamma$-квантов с энергией $\varepsilon=$ $=129$ кэВ?
6.247. Источник $\gamma$-квантов расположен на $h=20$ м выше поглотителя. С какой скоростью необходимо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения поглотителя полностью скомпенсировать гравитационное изменение энергии $\gamma$-квантов, обусловленное полем тяготения Земли?
6.248. На какую минимальную высоту необходимо поднять источник $\gamma$-квантов, содержащий возбужденные ядра $\mathrm{Zn}^{67}$, чтобы при регистрации на поверхности Земли гравитационное смещение линии Мёссбауэра превзошло ширину этой линии? Известно, что регистрируемые $\gamma$-кванты имеют энергию $\varepsilon=93$ кэВ и возникают при переходе ядер $\mathrm{Zn}^{67}$ в основное состояние, а среднее время жизни возбужденного состояния $\tau=14$ мкс.
