1. Различные возражения. Энергетическая система возникла в результате открытия закона сохранения энергии. Именно фон Гельмгольц придал этой системе определенную форму.

Начнем с определения двух величин, которые играют основную роль в этой теории. Этими двумя величинами являются: с одной стороны кинетическая энергия или живая сила, с другой стороны, потенциальная энергия.

Все изменения, которые могут претерпевать природные тела, определяются двумя экспериментальными законами.
$1^{\circ}$. Сумма кинетической и потенциальной энергии является постоянной величиной. В этом заключается закон сохранения энергии.
$2^{\circ}$. Если система тел находится в положении $A$ в момент времени $t_{0}$ и в положении $B$ в момент времени $t_{1}$, то она всегда переходит из первого положения ко второму таким путем, что среднее значение разности между двумя видами энергии в интервале времени, который разделяет моменты $t_{0}$ и $t_{1}$, будет наименьшим возможным.

Это и есть принцип Гамильтона, который является одной из форм принципа наименьшего действия.

Энергетическая теория имеет еледующие преимущества над классической теорией:
$1^{\circ}$ она является более полной, т.е. закон сохранения энергии и принцип Гамильтона дают нам больше, чем основные принципы классической теории, и исключают некоторые движения, которые не осуществляются природой и которые были бы совместимы с классической теорией; $2^{\circ}$ она освобождает нас от гипотезы атомов, чего было почти невозможно избежать в классической теории.

Но она, в свою очередь, вызывает новые трудности. Прежде, чем сказать о возражениях Герца, отмечу два, которые приходят мне в голову: определения двух видов энергии вызвали бы почти такие же большие трудности, как определение силы и массы в первой системе. Однако, от этих трудностей легче избавиться, по крайней мере, в самых простых случаях.

Рассмотрим изолированную систему, образованную некоторым количеством материальных точек. Предположим, что эти точки подчиняются силам, которые зависят только от их относительного положения и от их взаимных расстояний и не зависят от их скоростей. Можно подобрать такие силы в соответствии с законом сохранения энергии.

В этом простом случае утверждение закона сохранения энергии является предельно простым. Некоторая величина, доступная опыту, должна оставаться постоянной. Эта величина представляет собой сумму двух членов: первый член зависит только от положения материальных точек и не зависит от их скоростей; второй член пропорционален квадратам этих скоростей. Данное разложение можно образовать только одним единственным способом.

Первый из этих членов, который мы обозначим $U$, будет потенциальной энергией; второй член – кинетической энергией, будем обозначать его $T$.

Верно, что если $T+U$ является постоянной величиной, то постоянной величиной будет также любая функция $\varphi(T+U)$ от $T+U$.

Но эта функция $\varphi(T+U)$ не будет вообще говоря являться суммой двух членов, один из которых не зависит от скоростей, а второй пропорционален квадратам скоростей. Среди функций, которые остаются постоянными, есть только одна, которая обладает этим свойством, а именно функция $T+U$ (или линейная функция от $T+U$, что не дает ничего нового, поскольку эту линейную функцию всегда можно свести к $T+U$ заменой единицы длины и начала координат). Эту функцию мы и назовем энергией; первый член – потенциальной, а второй кинетической. Таким образом, определение двух видов энергии может быть доведено до конца без какой-либо двусмысленности.
То же относится и к определению массы. Кинетическая энергия или живая сила очень просто выражается с помощью масс и относительных скоростей всех материальных точек по отношению к одной из них. Эти относительные скорости доступны наблюдению, и когда мы получим выражение кинетической энергии как функции этих относительных скоростей, коэффициенты этого выражения дадут нам массы.

Таким образом, в этом простом случае можно без труда определить основные понятия. Однако трудности возникают вновь в более сложных случаях, например, если силы зависят также от скоростей, вместо того, чтобы зависеть только от расстояний. Например, Вебер предполагает, что взаимодействие двух электрических частиц зависит не только от расстояния между ними, но и от их скорости и ускорения. Если бы материальные точки притягивались по аналогичному закону, то $U$ зависела бы от скорости и могла бы содержать член, пропорциональный квадрату скорости.

Как среди членов, пропорциональных квадратам скоростей, различить те члены, которые происходят от $T$ или от $U$ ? Как, стало быть, различить две части энергии? Более того, как определить саму энергию? Нет больше никакой причины брать за определение $T+U$, вместо какой-нибудь функции от $T+U$, если пропало свойство, которое характеризовало $T+U$ – свойство быть суммой двух членов специального вида.

Но это не все. Необходимо учитывать не только механическую энергию в собственном смысле этого слова, но и другие формы энергии: теплоту, химическую энергию, электрическую энергию и т. д. Закон сохранения энергии должен быть записан следующим образом:
\[
T+U+Q=\text { const, }
\]

где $T$ представляло бы кинетическую энергию, $U$ – потенциальную энергию положения (зависящую только от положения тела), а $Q$ внутреннюю молекулярную энергию в термической, химической или электрической форме.

Если бы эти три члена были абсолютно различными, если бы $T$ была пропорциональна квадратам скоростей, $U$ – независима от этих скоростей и от состояния тел, $Q$ – независима от скоростей и от положения тел, а зависела бы только от их внутреннего состояния, то все было бы не так плохо.

Выражение для энергии можно было бы разложить только одним единственным способом на три члена этого вида.

Тем не менее дело обстоит совсем по-другому. При рассмотрении электризованных тел, электрическая энергия, вызванная их взаимодействием, очевидно, будет зависеть от их зарядов, т. е. от их внутреннего состояния. Но она в равной степени будет зависеть и от их положения. Если эти тела находятся в движении, то они будут воздействовать друг на друга электродинамически, а электродинамическая энергия будет зависеть не только от их состояния и положения, но и от их скоростей.

Таким образом, у нас больше нет никакой возможности выделить члены, которые должны быть составными частями $T, U$ и $Q$, и отделить три части энергии.

Если $(T+U+Q)$ постоянна, то постоянной будет и любая функция $\varphi(T+U+Q)$.

Если бы $T+U+Q$ имела тот специальный вид, который мы рассматривали выше, то двусмысленности не возникло бы. Среди функций $\varphi(T+U+Q)$, которые остаются постоянными, только одна имела бы этот специальный вид, и именно эту функцию мы условились бы называть энергией.

Но, как мы уже сказали, дело обстоит не вполне так. Среди функций, которые остаютсн постоннными, нет таких, которые имели бы в точности этот специальный вид. Как выбрать среди них ту, которая должна называться энергией? В нашем выборе мы не можем больше ничем руководствоваться.

Остается только сформулировать закон сохранения энергии так: Есть что-то, что остается постоянным. В этом виде закон оказывается, в свою очередь, вне досягаемости опыта и сводится к некой тавтологии. Ясно, что если мир управляется законами, то будут существовать величины, которые остаются постоянными. Как и законы Ньютона, по аналогичной причине, закон сохранения энергии, основанный на опыте, не мог бы больше опровергаться опытом.

Это обсуждение показывает, что при переходе от классической системы к энергетической произошел прогресс. Но одновременно, это обсуждение доказывает недостаточность данного прогресса.

Другое возражение кажется мне еще более серьезным. Принцип наименьшего действия применим к обратимым явлениям, но совершенно неудовлетворителен по отношению к необратимым явлениям. Попытка фон Гельмгольца применить этот принцип к такого рода явлениям не удалась и не могла удасться. Тут остается начать и кончить.

Но Герц дальше всего развивал другие возражения, почти метафизического порядка.

Если энергия является, так сказать, материализованной, то она всегда должна быть положительной. Однако, имеются случаи, в которых трудно уклониться от рассмотрения отрицательной энергии. Рассмотрим, например, Юпитер, вращающийся вокруг Солнца. Полная энергия выражается как $a v^{2}-\frac{b}{r}+c$, где $a, b, c-$ три положительные постоянные, $v$ – скорость Юпитера, $r$ – расстояние от него до Солнца.

Поскольку мы располагаем константой $c$, мы можем предположить ее достаточно большой для того, чтобы энергия была положительной. Здесь уже есть нечто необоснованное, что шокирует наше сознание.

Более того, представим теперь, что какое-то небесное тело, имеющее огромную массу и огромную скорость, пересекает Солнечную систему. Когда оно пролетит и вновь удалится на огромное расстояние, орбиты планет претерпят значительные изменения. Можно представить, например, что большая ось орбиты Юпитера станет намного меньше, но эта орбита останется близкой к круговой. Какой бы большой ни была $c$, если новая большая ось достаточно мала, выражение $a v^{2}-\frac{b}{r}+c$ станет отрицательным, и мы вновь столкнемся с трудностью, которой надеялись избежать, выбирая $c$ достаточно большой.

В итоге, нельзя утверждать, что энергия всегда остается положительной.

С другой стороны, для того, чтобы материализовать энергию, необходимо ее локализовать. Это легко для кинетической энергии, но не для потенциальной. Где локализовать потенциальную энергию, вызванную притяжением двух светил? В одном из двух светил? В обоих? В промежуточной среде?

В самом утверждении принципа наименьшего действия есть что-то шокирующее для нашего сознания. Для того, чтобы отправиться из одной точки в другую, материальная частица, изолированная от действия внешних сил, но обязанная двигаться по данной поверхности, выберет геодезическую линию, т. е. наиболее короткий путь.

Как будто бы эта частица знает точку, куда ее хотят привести, предвидит время, за которое она туда доберется, следуя тем или иным путем, и выбирает самый удобный путь. Судя по такому изложению, эта частица является, если можно так выразиться, живым и свободным существом. Ясно, что было бы лучше заменить это менее шокирующим утверждением, где, как сказали бы философы, конечные цели не подменяли бы действительные причины.
2. Пример с шаром. Последнее возражение, которое, кажется, более всего возмущало Герца, носит несколько другой характер.

Известно, что такое система со связями. Представим сначала две точки, соединенные жестким стержнем так, что расстояние между ними сохраняется неизменным; или, более общо, предположим, что некоторый механизм поддерживает соотношение между координатами двух или нескольких точек системы. Это первый вид связи, который называется «жесткой связью».

Предположим теперь, что сфера катится по плоскости. Скорость точки касания должна равняться нулю. Таким образом, мы получаем второй вид связи, который выражается соотношением не только между координатами нескольких точек системы, но и между их координатами и их скоростями.

Системы, в которых существуют связи второго вида, имеют любопытное свойство, которое мы попытаемся сейчас объяснить на только что приведенном простом примере. Это пример шара, катящегося по горизонтальной плоскости.
Пусть $O$ – точка горизонтальной плоскости, а $C$ – центр сферы.
Для полного определения положения подвижной сферы возьмем три неподвижные оси координат $O x, O y, O z$, где первые две находятся в горизонтальной плоскости, соприкасающейся со сферой. И возьмем три оси координат, жестко связанные со сферой $C \xi, C \eta$ и $C \zeta$.

Положение сферы будет полностью определено, если задать две координаты точки касания и девять косинусов направлений подвижных осей по отношению к неподвижным осям. Пусть $A$ – положение сферы, когда точка касания находится в начальной точке $O$ и подвижные оси параллельны неподвижным осям.

Координаты точки касания равны $x=0, y=0$, и девять косинусов таковы:
\[
\begin{array}{lll}
1, & 0, & 0 ; \\
0, & 1, & 0 ; \\
0, & 0, & 1 .
\end{array}
\]

Придадим сфере бесконечно малое вращение $\varepsilon$ вокруг оси $C \xi$. Сфера придет в положение $B$, где координатами точки касания станут $x=0, y=0$, а девять косинусов будут равны:
\[
\begin{array}{ccc}
1, & 0, & 0 ; \\
0, & \cos \varepsilon, & \sin \varepsilon ; \\
0, & -\sin \varepsilon, & \cos \varepsilon .
\end{array}
\]

Но это вращение невозможно, т.к. оно заставило бы сферу проскальзывать, а не катиться по плоскости. Следовательно, невозможно перейти от положения $A$ к бесконечно близкому положению $B$ непосредственно, т.е. путем бесконечно малого движения.

Однако сейчас мы увидим, что этот переход может произойти косвенно, т.е. путем конечного движения.

Начнем с положения $A$. Заставим сферу катиться по плоскости таким образом, чтобы мгновенная ось вращения находилась в горизонтальной плоскости и была всегда параллельна оси $O y$, и остановимся, когда ось $C \xi$ станет вертикальной и параллельной оси $O z$. Мы придем в положение $D$, где координатами точки касания станут $x=\frac{\pi}{2} R, y=0$, где $R$ – радиус сферы, а девять косинусов будут равны:
\[
\begin{array}{rrr}
0, & 0, & -1 ; \\
0, & 1, & 0 ; \\
1, & 0, & 0 .
\end{array}
\]

В положении $D$ точка касания находится на конце вертикальной оси $C \xi$.

Применим к сфере вращение $\varepsilon$ вокруг оси $C \xi$. Это вращение представляет собой проворачивание вокруг вертикальной оси, проходящей через точку касания; оно не допускает никакого скольжения и, следовательно, совместно со связями.

В таком случае сфера приходит в положение $E$, где координатами касания являются $x=\frac{\pi}{2} R, y=0$, а косинусы таковы:
\[
\begin{array}{ccc}
0, & 0, & 1 ; \\
\sin \varepsilon, & \cos \varepsilon, & 0 ; \\
\cos \varepsilon, & -\sin \varepsilon, & 0 .
\end{array}
\]

Теперь пусть сфера катится так, чтобы мгновенная ось вращения оставалась постоянно параллельной оси $O y$ и, следовательно, чтобы точка касания всегда находилась на оси $O x$. Остановимся, когда точка касания вернется в начальную точку $O$. Легко видеть, что мы пришли в положение $B$.

Следовательно, можно перейти от положения $A$ к положению $B$ посредством перехода через положения $D$ и $E$.

Герц называет системы голономными, если связи не позволяют непосредственно переходить из одного положения в другое бесконечно близкое положение, то они не позволяют также переходить от первого положения ко второму косвенно. В таких системах существуют только жесткие связи.
Видно, что наша сфера не является голономной системой.
Итак, бывает, что принцип наименьшего действия не применим к неголономным системам. Действительно, можно перейти от положения $A$ к положению $B$ таким путем, который мы только что рассмотрели, и, несомненно, множеством других путей. Среди всех этих путей есть, очевидно, один, который соответствует наименьшему действию. Следовательно, сфера должна была бы быть в состоянии проследовать по этому пути из $A$ в $B$. Но это не так: каковы бы ни были начальные условия движения, сфера никогда не перейдет из $A$ в $B$.

Более того, если сфера действительно переходит из положения $A$ в положение $A^{\prime}$, она не всегда движется тем путем, который соответствует минимальному действию.
Принцип наименьшего действия больше не нвляется верным.
«В этом случае, – говорит Герц, – сфера, которая подчинялась бы этому принципу, казалась бы живым существом, которое сознательно преследовало бы определенную цель, тогда как сфера, которая следовала бы закону природы, имела бы вид неодушевленной однообразно катящейся массы… Но подобных связей в природе не существует. Так называемое качение без проскальзывания является на самом деле качением с небольшим проскальзыванием. Это явление входит в ряд необратимых явлений, таких как трение, еще плохо изученных, к которым мы еще не умеем применять истинные принципы Механики.»
«Качение без проскальзывания, – ответим мы, – не противоречит ни закону сохранения энергии, ни какому-либо из известных законов физики. Это явление может быть осуществлено в наблюдаемом мире с такой точностью, которая позволяет использовать его для конструирования самых точных машин интегрирования (планиметры, гармонические анализаторы и т. д.) Мы не имеем никакого права исключать его как невозможное. Проблемы же наши остаются независимо от того, реализуется ли такое качение в точности или же лишь приблизительно. Для того, чтобы принять принцип, необходимо потребовать, чтобы его применение к задаче, данные которой близки к точным, давало бы и близкие к точным результаты. К тому же, другие, жесткие связи также лишь приблизительно осуществимы в природе. Однако их ведь не исключают из рассмотрения…»