Comptes rendus de l’Acadèmie des Sciences, t. 123, p. 915-918 (30 novembre 1896)

Теория периодических решений в некоторых случаях имеет отношение к принципу наименьшего действия.

Рассмотрим три тела, двигающиеся в плоскости и притягивающиеся друг к другу обратно пропорционально кубу расстояний или бо́льшей степени этих расстояний. Обозначим эти три тела буквами $a, b, c$.

Кинетическая энергия $T$ и силовая функция $U$ являются существенно положительными. Силовая функция $U$ равна сумме членов формы $\frac{k m m^{\prime}}{r^{n}}$, где $k$ – положительная постоянная, $m$ и $m^{\prime}$ – массы двух тел из данных трех, $r$ – расстояние между ними, а $n$ – показатель степени, по крайней мере, равный двум.
При этих условиях действие по Гамильтону
\[
J=\int_{t_{0}}^{t_{1}}(T+U) d t
\]

будет существенно положительным.
Рассмотрим класс траекторий наших трех тел $a, b, c$; это будут фиктивные траектории, не удовлетворяющие уравнениям движения ${ }^{1}$. Однако, они будут удовлетворять следующим условиям:
1) В момент времени $t_{1}$ расстонния трех тел будут такими же, как в момент $t_{0}$. Скорости будут одинаковыми по величине и будут образовывать одинаковые углы со сторонами треугольника, составленного из трех тел. Другими словами, фигура, образованная тремя телами и прямыми, которые представляют их скорости, приобретает в момент

${ }^{1}$ Здесь речь идет о возможных (или кинематически допустимых) движениях. Прим. перев.

времени $t_{1}$ ту же форму, которую она имела в момент времени $t_{0}$. Иначе говоря, расстояния между тремя телами будут периодическими функциями от времени периода $t_{1}-t_{0}$.
2) Прямая $b c$ через период $t_{0}, t_{1}$ будет иметь угол $\omega_{1}$ с абсолютной прямой.
3) Прямая $a c$ через тот же период будет иметь угол $\omega_{1}+2 K_{2} \pi$, где $K_{2}$ – заданное целое число.
4) Прямая $a b$ будет иметь угол $\omega_{1}+2 K_{3} \pi$, где $K_{3}$ – заданное целое число ${ }^{1}$.

Таким образом, класс фиктивных траекторий определяется тремя вещественными произвольными постоянными $t_{0}, t_{1}$ и $\omega_{1}$ и двумя целыми произвольными числами $K_{2}$ и $K_{3}$.

Действие по Гамильтону, которое не может стать отрицательным, будет допускать минимум и, на основании принципа наименьшего действия, траектория, которая будет соответствовать этому минимуму, должна являться действительной траекторией и удовлетворять уравнениям движения.

Эта действительная траектория, по определению, будет соответствовать периодическому решению задачи, с периодом $t_{1}-t_{0} .{ }^{2}$

Наша цель – доказать, что в каждом классе фиктивных траекторий есть одна, которая соответствует минимуму действия по Гамильтону и, следовательно, периодическому решению.

Для этого достаточно показать, что если наша фиктивная траектория будет непрерывным образом меняться, то она не сможет перейти из одного класса в другой без того, чтобы действие по Гамильтону стало бесконечным.

Действительно, переход из одного класса в другой произойдет тогда, когда два тела из этих трех столкнутся. Если, например, $a$ и $c$ сталкиваются, то к рассматриваемой траектории $T$ будут бесконечно близки две другие $T^{\prime}$ и $T^{\prime \prime}$. Для $T^{\prime}$ тело $a$ пройдет очень близко от $c$, но справа. Для $T^{\prime \prime}$ оно пройдет также близко от $c$, но слева. Ясно, что целые числа $K_{2}$, которые соответствуют $T^{\prime}$ и $T^{\prime \prime}$, будут отличаться на единицу.
${ }^{1}$ Во всех случаях имеется в виду угол с одной и той же неподвижной в пространстве прямой. – Прим. перев.
${ }^{2}$ Отметим, что более точно речь идет о периодических движениях в пространстве относительных положений тел. В абсолюгном пространстве тела могут не возвращаться к исходному положению. – Приж. перев.

Отметим теперь, что если $a$ и $c$ сталкиваются, то действие бесконечно.

Действительно, действие будет того же порядка величины, что и $\int 2 U d t$, или $\int 2 \sqrt{U} d r$, или $2 k m m^{\prime} \int \frac{d r}{r^{\frac{n}{2}}}$, т. е. действие будет бесконечным при $n \geqslant 2$. Если, как мы предполагаем, притяжение обратно пропорционально кубу расстояний, то $n=2$.

Итак, в каждом классе должен быть минимум действия. Следовательно, там должна быть и действительная траектория, соответствующая периодическому решению задачи.

Каждому набору величин двух произвольных постоянных $t_{1}-t_{0}$ и $\omega_{1}$, а также каждому набору величин двух целых чисел $K_{2}$ и $K_{3}$ соответствует периодическое решение.

Очевидно, что наше доказательство приемлемо только тогда, когда притяжение для очень малых расстояний такого же порядка, как и обратная величина куба расстояния, либо более высокого порядка.

Во всех этих случаях будем иметь бесконечное количество периодических решений.

Однако, в случае ньютоновского закона действие больше не обращается бесконечность, когда два тела сталкиваются. Здесь мы не можем более утверждать, что в каждом классе существует периодическое решение.

Необходимо отметить, что каждой величине периода $t_{1}-t_{0}$ и каждой величине угла $\omega_{1}$ (при этом два значения, кратные $2 \pi$, не считаются различными) соответствует периодическое решение. Для следующей задачи можно было бы получить аналогичные результаты: предположим, что закон тяготения совпадает с законом Ньютона, когда расстояние больше малой величины $\varepsilon$, и с законом обратного куба расстояний, когда расстояние меньше, чем $\varepsilon$. Тогда, кроме случая, когда два тела из трех приближаются друг к другу (в этом случае движение возмущено на малом отрезке времени), траектории будут такими же, что и закона Ньютона. Таким образом предыдущее рассмотрение применимо к модифицированной задаче. Однако результаты для обычной задачи трех тел не могут быть столь просто получены аналогичным образом.