Будем обозначать через $x$ и $y$ полярные координаты точки и рассмотрим круговое кольцо, заключенное между двумя окружностями, внешней окружностью $x=a$ и внутренней окружностью $x=b$. Pacсмотрим точечное обратимое преобразование этого кольца $T$ самого на себя. Обозначим через $x$ и $y$ координаты точки $M$, а через $X$ и $Y$ – координаты преобразованной точки, и наложим два следующих условия.

Первое условие. Так как $T$ преобразует круговое кольцо самое в себя, то оно преобразует самих в себя и две граничные окружности, $x=a$ и $x=b$, так что получим $X=x$, когда $x=a$ или $x=b$; однако при этом $Y<y$ при $x=a$ и $Y>y$ при $x=b$ или наоборот. Иначе говоря, описанное преобразование преобразует друг в друга каждую из граничных окружностей, причем все точки каждой окружности продвигаются в одном и том же направлении, хотя вообще и на неравные величины, но таким образом, что вращения обеих окружностей происходят в противоположные стороны. Может показаться, что подобная формулировка не имеет смысла, поскольку $y$ и $Y$ определены лишь с точностью до кратных $2 \pi$, но если мы зададим в соответствии с каким-либо соглашением точное значение $Y-y$ в какой-либо точке кольца, то значение $Y-y$ полностью определится вследствие непрерывности во всех точках кольца.

Второе условие. Преобразование сохраняет площади или, более общим образом, оно допускает положительный интегральный инвариант, иначе говоря, существует положительная функция $f(x, y)$, такая, что
\[
\iint f(x, y) d x d y \equiv \iint f(X, Y) d X d Y
\]

причем эти два интеграла распространены на некоторую область и на соответствующую преобразованную область.

Если выполнены эти два условия, то я утверждаю, что всегда внутри кольца будут существовать две точки, которых преобразование не изменяет.

Будем для упрощения предполагать, что преобразование является аналитическим, но в этом нет ничего существенного.

Можно было бы попытаться наметить следующее доказательство. Достаточно будет пояснить его для простейшего случая $f(x, y)=1$. Тогда $X$ и $Y$, рассматриваемые как функции от $x$ и $y$, должны будут удовлетворять уравнению в частных производных
\[
\frac{d X}{d x} \frac{d Y}{d y}-\frac{d X}{d y} \frac{d Y}{d x}=1
\]
т. е. условию, что
\[
d Z=(X-x) d y-d X(Y-y)
\]

есть точный дифференциал.
Нетрудно усмотреть, что $Z$ есть однозначная функция $x$ и $y$, периодическая по $y$; она должна иметь максимум и минимум, которые недостижимы на граничных окружностях. Итак, если бы $x$ и $y$ были однозначными функциями от $X$ и $y$, то максимум мог бы быть достигнут только при
\[
X=x, \quad Y=y
\]

и можно было бы прийти к заключению, что внутри кольца существуют две такие точки, для которых $X=x, Y=y$, т.е. две инвариантных точки. Однако это не всегда так, и максимум может иметь место и для таких точек, для которых
\[
\frac{d X}{d x}=\left[(X-x)-(Y-y) \frac{d X}{d y}\right]=0,
\]

что и показывает, что доказательство приложимо только к инфинитезимальным преобразованиям.

Эта теорема может быть представлена и в другом виде, совершенно эквивалентном, но в некотором роде противоположном изложенному выше. Представим себе, что преобразование $T$ продолжает удовлетворять первому из условий, но не второму; взамен этого оно удовлетворяет третьему условию.

Третье условие. Внутри всего кольца не существует инвариантных точек.

Я утверждаю, что если дело обстоит именно так, то преобразование $T$ не может удовлетворять второму условию, т.е. иметь инвариантный положительный интеграл.

Очевидно, что обе формулировки совершенно эквивалентны; если любое преобразование, удовлетворяющее первому и третьему условиям не удовлетворяет второму условию, то всякое преобразование, удовлетворяющее первому и второму условиям, не может удовлетворить третьему условию; оно, следовательно, будет иметь по крайней мере одну инвариантную точку, и, следовательно, не менее двух таких точек, ибо Analysis situs (и, в частности, теорема Кронекера) непосредственно показывает, что число последних четно.

Теперь, чтобы показать, что второе условие не может быть выполнено при выплнении первого и третьего условий, я постараюсь показать что можно построить замкнутый контур $C$, обладающий следующими свойствами:
1) он охватывает внутреннюю граничную окружность $x=b$ таким образом, что при полном его обходе $y$ меняется от 0 до $2 \pi$;
2) он не пересекает свое преобразование $C^{\prime}$, так что он или целиком вне него, или целиком внутри него.

Если это так, то кольцевая площадь, заключенная между $C$ и $x=b$, преобразуется в площадь, заключенную между $C^{\prime}$ и $x=b$.

Однако одна из этих площадей является частью другой. Если, например, $C^{\prime}$ полностью находится вне $C$, то площадь, заключенная между $C^{\prime}$ и $x=b$, состоит из площади, заключенной между $C^{\prime}$ и $C$, плюс площадь, заключенная между $C$ и $x=b$. Следовательно, невозможно, чтобы при преобразовании площади сохраняли свои величины. Итак, не может быть и речи о том, чтобы преобразование допускало положительный интегральный инвариант.

В тех попытках доказательства, которые я намерен предпринять, я буду в основном рассматривать вторую форму теоремы, иначе говоря, я исследую тот случай, когда преобразования удовлетворят первому и третьему условиям; я классифицирую их и для каждого класса попробую построить тот контур $C$, который был определен выше. Наоборот, в приложениях удобнее будет применять теорему в ее первой форме.