Из доклада на конгрессе ${ }^{1}$

Мы рассматриваем различные отдельные науки, которые вместе образуют математику. Мы видим, чего достигла каждая из них, к чему они стремятся и чего можно ожидать в будущем. Если эти рассмотрения справедливы, мы должны заметить, что великие достижения прошлого случались тогда, когда эти науки сближались, когда осознавалось подобие их форм, несмотря на различие в предмете, когда они становились моделями друг для друга, так, чтобы каждая из них могла воспользоваться достижениями другой. В то же время мы должны предвидеть будущий прогресс в сближениях подобного рода.
Арифметика
Прогресс в арифметике оказался более медленным, чем в алгебре и в анализе. Легко понять, почему. Чувство непрерывности — бесценный проводник, которого не хватает арифметике. Каждое целое число отделено от других и, если можно так выразиться, имеет свою индивидуальную особенность. Каждое из них является своего рода исключением, вот почему в теории чисел очень редко появляются общие теоремы, вот почему даже существующие теоремы более скрыты и дольше ускользают от исследователей.

Если арифметика отстала от алгебры и анализа, то лучше всего для нее будет искать модели в этих науках, чтобы воспользоваться

${ }^{1} \mathrm{Ha} 4$-м международном конгрессе математиков (Рим, апрель, 1908) А. Пуанкаре согласился подготовить доклад о будущем математики, который был зачитан г-ном Дарбу на общем собрании 10 апреля (ввиду недомогания Пуанкаре). В этом томе мы сочли необходимым воспроизвести часть, касающуюся арифметики и алгебры. С одной стороны она служит комментарием и пояснением к общим идеям, руководившим А. Пуанкаре в его исследованиях и работах, опубликованных ниже. С другой стороны, она оказывается на удивление пророческой и характеризует математическую мысль гения, который был более чувствителен к богатству и мощи методов, чем к деталям результатов.

их прогрессом. Арифметик должен основываться на аналогиях с алгеброй. Эти аналогии многочисленны, и если в большинстве случаев они еще не достаточно хорошо изучены, чтобы стать полезными, то их по крайней мере предчувствуют уже давно и даже язык этих двух наук показывает, что они уже замечены. Так, например, происходит, когда говорят о трансцендентных числах и когда отдают себе отчет, что будущая классификация этих чисел уже имеет своим прообразом классификацию трансцендентных функций. Однако еще не очень хорошо видно, каким способом можно будет перейти от одной классификации к другой. Но если бы этот способ был очевиден, то переход был бы уже сделан и не являлся бы вопросом будущего.

Первый пример, который приходит на ум, это теория сравнений, где мы находим точную параллель с теорией алгебраических уравнений. Конечно, эта параллель будет еще дополняться и уточняться, как например в теориях алгебраических кривых и сравнений от двух переменных. И когда задачи о сравнениях со многими переменными будут решены, это станет первым шагом к решению многих вопросов неопределенного анализа ${ }^{1}$.

Другой пример, где аналогию заметили не сразу, предоставляет нам теория полей и идеалов. Чтобы подойти к нему с другой стороны, рассмотрим кривые, высеченные на поверхности. Настоящим числам соответствуют полные пересечения, простым идеалам («идеальным числам») — неразложимые кривые. Другие классы идеалов тоже имеют свои аналоги.

Несомненно, эта аналогия не может не внести ясность в теорию идеалов или в теорию поверхностей, или же в обе сразу ${ }^{2}$.

Теория форм, а особенно квадратичных форм, тесно связана с теорией идеалов. Если среди арифметических теорий она оформилась одной из первых, то причина этого — в достижении единства этой теории через рассмотрение групп линейных преобразований.

Эти преобразования позволили провести классификацию, и, следовательно, наведение порядка. Не исключено, что все плоды введения групп преобразований, которых можно было ожидать, уже собраны. Но

${ }^{1}$ Рассуждения такого рода привели и множественным достижениям в теории диофантовых уравнений.
${ }^{2}$ Значимость теории идеалов в кольце многочленов и современной теории алгебраических функций хорошо известна. Здесь можно увидеть силу пророческого дара А. Пуанкаре.

раз уж линейные преобразования порождают такие перспективы в геометрии, а геометрия аналитическая доставляет нам много других преобразований (как, например, бирациональные преобразования алгебраической кривой), то нужно воспользоваться ими и искать арифметические аналоги. Без всякого сомнения, они образуют разрывные группы, для которых прежде всего необходимо изучать фундаментальную область, являющуюся ключом ко всему остальному. В этом исследовании, несомненно, не обойтись без Геометрии чисел Минковского.

Идея, которая еще не использована до конца — это идея Эрмита ввести непрерывные переменные в теорию чисел. Поясним, что она означает. Возьмем в качестве начальных данных определенную квадратичную форму $F^{\prime}$ и другую форму $F$, и применим к ним одно и то же преобразование. Если преобразованная форма $F^{\prime}$ становится приведенной, то говорят, что преобразование приведено, а также, что преобразованная форма $F$ приведена. Получается, что если форма $F^{\prime}$ сохраняется некоторыми преобразованиями, у $F$ может быть несколько приведенных форм. Но это неудобство существенно, и его никак нельзя избежать. Впрочем, существование приведенных форм и преобразований не мешает классификации форм. Ясно, что эта идея, которую до сих пор применнли только к очень специальным формам и преобразованиям, может быть распространена на группы нелинейных преобразований. Она несет в себе очень многое и отнюдь не исчерпа$\mathrm{Ha}^{1}$.

Областью арифметики, в которой единство кажется совершенно отсутствующим, является теория простых чисел. Здесь нет ничего, кроме асимптотических законов, и ничего бо́льшего ожидать не приходится. Но эти законы изолированы, и подойти к ним можно только непересекающимися дорогами, по-видимому, не сообщающимися между собой. Кажется, я предчувствую, откуда явится желанное единство, но вижу это очень смутно. Несомненно, все сведется к изучению семейства трансцендентных функций, которое позволит вычислить асимптотически некоторые функции больших чисел путем исследования их особых точек и применения метода Дарбу².
${ }^{1}$ Сам А. Пуанкаре привел примеры таких групп нелинейных преобразований, и они были впоследствии изучены. (Mémorie 348, p. 483 и примечания)
${ }^{2}$ Известно, что наиболее важный прогресс в теории простых чисел был достигнут при аналитическом изучении $\zeta$-функции Римана.

Алгебра
Теория алгебраических уравнений уже давно привлекает внимание геометров. К ней можно подойти многочисленными и разнообразными способами. Самой важной, конечно, является теория групп, к которой мы возвращаемся. Но имеется также вопрос о численном нахождении корней и вопрос о количестве вещественных корней. Лагерр показал, что способом Штурма исчерпывается не все. Остается место для изучения систем инвариантов, не меняющих знак, когда число вещественных корней остается тем же. Можно также составлять степенные ряды, представляющие функции, особые точки которых совпадают с корнями алгебраического уравнения (например, рациональные функции со знаменателем, равным ведущему члену этого уравнения). Коэффициенты при членах высшего порядка задают нам корни с большей или меньшей точностью. Здесь мы имеем в зародыше способ приближенных вычислений, которые можно изучать систематически.

Вот уже 40 лет, как появилось учение об инвариантах алгебраических форм, которое, казалось, поглотит всю алгебру. Сейчас оно разжаловано, и тем не менее оно еще не исчерпало себя. Надо только не ограничиватьсл, і примсру, инвариантами линсйных прсобразований, а изучать инварианты произвольных групп. Ранее известные теоремы позволят нам найти другие, более общие, которые начнут группироваться вокруг прежних, как кристалл подпитывается раствором. Что касается известной теоремы Гордана об ограниченности числа различных инвариантов, чье доказательство замечательно упростил Гильберт, мне кажется, что она приводит нас к гораздо более общему вопросу: если имеется бесконечно много многочленов, алгебраически зависящих от конечного числа среди них, можно ли всегда получить эти многочлены путем сложения и умножения из конечного набора ${ }^{1}$ ?

Не надо думать, что алгебра закончена, т. к. она обеспечивает нам правила для формирования всех возможных комбинаций. Остается найти интересующие нас комбинации: удовлетворяющие тому или иному условию. Так возникает что-то вроде неопределенного анализа, где неизвестными являются уже не целые числа, а многочлены. Тогда это будет алгебра, взявшая за образец арифметику, алгебра, которая руководствуется аналогиями между целыми числами и многочленами, будь

${ }^{1}$ Кажется, что эта программа предваряет множество теорий современной алгебры.

то многочлены с произвольными коэффициентами, либо многочлены с целыми коэффициентами ${ }^{1}$.
Геометрия $^{2}$
По-видимому, геометрия не может содержать ничего такого, чего не было бы уже в алгебре или в анализе: ведь геометрические факты это те же факты алгебры или анализа, но только выраженные на другом языке. Казалось бы, поэтому, что после того обзора, который мы сделали, не остается больше ничего сказать, специально относящегося к геометрии. Но думать так — значило бы проглядеть важность самого языка, когда он удачно создан, значило бы не понимать того, что прибавляет к вещам способ обозначения этих вещей и, следовательно, способ их группирования.

И прежде всего геометрические рассуждения приводят нас к постановке новых проблем; конечно, это, если угодно, аналитические проблемы, но анализ никогда не привел бы нас к их постановке. Однако анализ извлекает для себя из этого выгоду, как и из того, что он вынужден разрешать проблемы для удовлетворения потребностей физики.

Большое преимущество геометрии состоит именно в том, что в ней чувства могут прийти на помощь рассудку и помогают отгадать нужный путь, так что многие предпочитают приводить проблемы анализа к их геометрической форме. К несчастью, наши чувства не могут вести нас особенно далеко, они покидают нас, лишь только мы обнаруживаем желание унестись за три классические измерения. Значит ли это, что, выйдя из той области, в которой они нас, по-видимому, хотят удержать, мы не вправе более рассчитывать на что-либо, кроме чистого анализа, и что всякая геометрия более чем трех измерений тщетна и бесцельна? Величайшие умы предшествующего нам поколения ответили бы: «да»; мы же теперь так освоились с этим понятием, что можем говорить о нем даже в университетском курсе, не вызывая особенного удивления.

${ }^{1}$ Эта концепция кажется связанной с построением полей алгебраических чисел (и полей Галуа) с помощью полиномов, определенных с точностью до сравнения по некоторому модулю.
${ }^{2}$ Приведем три раздела, относящиеся к главе II «Будущее математики» в книге «Наука и метод». Эта книга была также выпущена в 1908 г., однако, последние разделы не были включены в доклад, в то же время разделы «Арифметика» и «Алгебра» в докладе приведены в более развернутом виде.

Но к чему оно нам? Ответ очевиден: оно дает нам прежде всего весьма удобный способ выражения, язык, который в очень немногих словах выражает то, что при обыкновенном аналитическом языке потребовало бы пространных фраз. Мало того: этот язык побуждает нас называть одним и тем же именем сходные между собой вещи и закрепляет аналогии, делая невозможным забвение их. Он дает нам возможность ориентироваться в этом пространстве, слишком громадном для нас, которого мы не можем обнять иначе, как вызывая перед собой постоянно образ видимого пространства, хотя последнее представляет собой лишь весьма несовершенное его изображение. И тут, как и в предыдущих примерах, аналогия с тем, что просто, помогает нам понять то, что сложно.

Эта геометрия пространств, имеющих более трех измерений, не является простой аналитической геометрией: она имеет характер не исключительно количественный, но также и качественный, и этим-то она особенно интересна. Есть дисциплина, которую называют «Analysis situs» и предметом изучения которой являются соотношения расположений различных элементов фигуры независимо от их величины. Эта геометрия — чисто качественная: ее теоремы остались бы справедливыми, если бы точные фигуры были заменены грубыми изображениями, созданными ребенком. Можно построить также Analysis situs более чем трех измерений. Важность Analysis situs огромна, и я не думаю, чтобы его значение могло быть преувеличено; это достаточно подтверждается той пользой, которую из него извлек Риман ${ }^{1}$, один из главных творцов этой дисциплины. Нужно дойти до ее полного построения в пространствах высшего порядка; тогда у нас будет в руках такое орудие, которое позволит действительно видеть в гиперпространстве и расширить область наших чувственных восприятии.

Быть может, проблемы Analysis situs не были бы даже поставлены, если бы пользовались только языком анализа; впрочем, нет, я ошибаюсь: они были бы, несомненно, поставлены, ибо их разрешение необходимо для множества вопросов анализа, но наверное изолированно, так что нельзя было бы вовсе усмотреть их общей связи. Особенно содействовало недавнему успеху геометрии введение понятия о преобразованиях и группах. Благодаря этому понятию геометрия перестала

${ }^{1}$ Б. Риман (1826-1866) — выдающийся немецкий математик, выдвинувший ряд основных идей топологии. Имеет многочисленные труды по разнообразным разделам математики. — Прим. ред.

быть агрегатом теорем, более или менее интересных, но следующих одна за другой без всякого сходства между ними, она приобрела единство. А с другой стороны, история не должна забывать того, что именно по поводу геометрии начали систематически исследовать непрерывные преобразования, так что чистые геометры со своей стороны также содействовали развитию идеи группы, идеи, столь полезной в других отраслях математики.
Канторизм
Выше я говорил о представляющейся нам необходимости постоянно восходить к основным принципам нашей науки и о той пользе, которую отсюда может извлечь наука о человеческом духе. Эта потребность породила два стремления, занявшие весьма обширное место на самых последних страницах истории математики. Первое из них — канторизм, заслуги которого перед наукой известны. Одна из характерных черт канторизма состоит в том, что вместо того, чтобы подниматься к общему, строя все более и более сложные конструкции, и вводить определения через построения, он исходит из genus supremum ${ }^{1}$ и дает определения только per genus proximum et differentiam specificam², как сказали бы схоластики. Этим объясняется тот ужас, который он некоторое время тому назад вызвал в иных умах, например у Эрмита, излюбленной идеей которого является сравнение математических наук с естественными. У большинства из нас эти предубеждения уже рассеялись, но случилось так, что натолкнулись на некоторые парадоксы, которые привели бы в восторг Зенона Элейского ${ }^{3}$ и мегарскую школу ${ }^{4}$. И тогда все пустились в поиски за противоядием. Я держусь того мнения — и не я один, — что важно вводить в рассмотрение исключительно такие вещи, которые можно вполне определить при помощи конечного количества слов. Но какое бы противоядие ни было признано действительным, мы можем предвкушать наслаждение врача, имеющего возможность наблюдать интересный патологический случай.
${ }^{1}$ Высший род (лат.). — Прим. ред.
${ }^{2}$ Через родовое сходство и видовое отличие (лат.). — Прим. ред.
${ }^{3}$ Зенон из Элеи (ок. 490-430 гг. до н. э.) — древнегреческий философ, известен своими знаменитыми парадоксами: «Ахиллес», «Стрела» и другие. — Прим. ред.
${ }^{4} 0$ дна из школ древнегреческой философии, представителям которой приписывают рождение многих известных софизмов. — Прим. ред.

Поиски постулатов
С другой стороны, мы видим попытки перечислить те более или менее скрытые аксиомы и постулаты, которые служат основанием для различных математических теорий. Самые блестящие результаты получил Гильберт. На первый взгляд эта область кажется довольно ограниченной; кажется, что когда перечень будет закончен — а это не замедлит произойти, — нечего будет больше делать. Но когда все будет перечислено, тогда найдется множество приемов для классификации всего материала; хороший библиотекарь всегда находит себе занятие, а каждая новая классификация будет поучительна для философа.

Этим я кончаю мой обзор, которого я не мог и рассчитывать сделать полным по множеству причин, и прежде всего потому, что я и без того уже слишком злоупотребил вашим вниманием. Думаю, что приведенных примеров будет достаточно, для того чтобы показать вам, в чем состоял механизм прогресса математических наук в прошлом и в каком направлении они должны будут двигаться в будущем.