Comptes rendus de l’Acadèmie des Sciences, t. 149, p. 1105-1108
(13 dècembre 1909)

Известно, что метод вариации постоянных позволяет решить задачу динамики, когда решена другая задача динамики – более простая ${ }^{1}$, но немного отличающаюся от первой. Однако эту более простую задачу удобней решать методом Якоби для того, чтобы уравнения сохраняли каноническую форму. Здесь, однако, можно столкнуться с некоторыми трудностями, которые я обнаружил, когда хотел применить этот метод в теории прецессии и врашения твердых тел. Таким образом, я постараюсь немного обобщить метод Якоби.

Пусть имеется динамическая система с $n$ степенями свободы, положение которой определяется $n$ координатами $x_{i}$. Назовем $T$ кинетической энергией, $U$ – потенциальной энергией, а $T+U=F$ – полной энергией. Положим $y_{i}=\frac{d T}{d x_{i}^{\prime}}$ и запишем канонические уравнения Гамильтона
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{d F}{d y}, \quad \frac{d y}{d t}=-\frac{d F}{d x} .
\]

Произведем замену переменных, выражая $x$ в функции $n+n^{\prime}$ новых переменных $q_{k}$, которых больше количества степеней свободы, и положим, что
\[
p_{k}=\frac{d T}{d q_{k}^{\prime}} .
\]

Будем считать, что выполняется тождество
\[
\sum y d x=\sum p d q,
\]

и что $p$ связаны между собой $n^{\prime}$ линейными отношениями так, что только между ними $n$ являются независимыми. Назовем их $p_{a}$. Оставшиеся
${ }^{1}$ Имеются в виду возмущенная и невозмущенная системы. – Прим. перев.

переменные, которые назовем $p_{b}$, будут являться функциями от $p_{a}, q_{a}$ и $q_{b}$. Тогда можно задаться вопросом – может ли $T$ быть выражена в виде функции от $p$ и $q$. Равенство $d T=\sum q d p$, которое имеет место, когда $q$ рассматривается как постоянная, позволяет нам ответить на этот вопрос утвердительно. Следовательно, $T$ и $F$ могут быть выражены в функции $p_{a}, q_{a}$ и $q_{b}$, и уравнение живых сил может быть записано в виде
\[
F\left(p_{a}, q_{a}, q_{b}\right)=\text { const. }
\]

Пусть теперь $S$ является функцией от $q_{a}$ и $q_{b}$, определенной уравнением в частных производных
\[
F\left(\frac{d S}{d q_{a}}, q_{a},-\frac{d S}{d p_{b}}\right)=\text { const },
\]

так, что
\[
p_{a}=\frac{d S}{d q_{a}}, \quad q_{b}=-\frac{d S}{d p_{b}},
\]

и, кроме того, зависящая от $n$ произвольных постоянных $y_{i}^{\prime}$ (равному числу степеней свободы). Положим
\[
x_{i}^{\prime}=\frac{d S}{d y_{i}^{\prime}},
\]

откуда
\[
d S=\sum p_{a} d q_{a}-\sum q_{b} d p_{b}+\sum x^{\prime} d y^{\prime} .
\]

Второй член этого равенства является точным дифференциалом, если $p_{b}$ рассматриваются как независимые переменные и тем более, если $p_{b}$ полагаются связанными с $p_{a}$ линейными соотношениями, о которых мы уже упоминали. Сопоставив формулы (7) и (2), можно сделать вывод, что величина
\[
d S_{1}=\sum y d x-\sum y^{\prime} d x^{\prime}
\]

является полным дифференциалом. Тождество (8) показывает, что $S_{1}$ является функцией лишь от $x$ и $x^{\prime}$ и, соответственно, имеем уравнения
\[
y=\frac{d S_{1}}{d x}, \quad y^{\prime}=\frac{d S_{1}}{d x^{\prime}},
\]

которые определяют $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ в зависимости от $x$ и $y$. Отношение (8) показывает, что замена переменных является канонической и не изменяет каноническую форму уравнений. Таким образом, для нашей первой простой задачи получим уравнения
\[
\frac{d x^{\prime}}{d t}=\frac{d F}{d y^{\prime}}, \quad \frac{d y^{\prime}}{d t}=-\frac{d F}{d x^{\prime}},
\]

которые сразу интегрируются, поскольку $F$ зависит только от $y^{\prime}$. Для получения уравнений полной задачи заменим $F$ на $F^{*}$ :
\[
\frac{d x^{\prime}}{d t}=\frac{d F^{*}}{d y^{\prime}}, \quad \frac{d y^{\prime}}{d t}=-\frac{d F^{*}}{d x^{\prime}} .
\]

Применим этот метод в теории прецессии. Положим
\[
F^{*}=T+U, \quad F=T,
\]

причем $U$ будем считать существенно меньшей, чем $T$. Хотя имеется три степени свободы, выберем $n+n^{\prime}=5$ координат, которые аналогичны нашим переменным $q$. Они имеют следующий смысл:
$1^{\circ}$ Угол $\varphi$ между плоскостью $O P z$, проходящей через подвижную ось $O z$ и произвольную ось $O P$, и подвижной плоскостью $O y z$.
$2^{\circ}$ Угол $\psi$ между подвижной осью $O z$ и осью $O P$.
$3^{\circ}$ Угол $\chi$ между плоскостью $O P z$ и плоскостью $O P Z$, которая проходит через ось $O P$ и неподвижную ось $O Z$.
$4^{\circ}$ Угол $\omega$ между осями $O P$ и $O Z$.
$5^{\circ}$ Угол $\theta$ между плоскостью $O Y Z$ и неподвижной плоскостью $O Y Z$.
Переменные $p$ определим в форме
\[
\Phi=\frac{d T}{d \varphi}, \quad \Psi=\frac{d T}{d \psi^{\prime}}, \quad G=\frac{d T}{d \chi^{\prime}}, \quad \Omega=\frac{d T}{d \omega^{\prime}}, \quad \Theta=\frac{d T}{d \theta^{\prime}} .
\]

Они представляют моменты вращения относительно оси $O z$, перпендикуляра к $P O z$, относительно $O P$, перпендикуляра к плоскости $P O Z$, и, наконец, относительно $O Z$. Теперь можно выразить $T$ как функцию от переменных $\varphi, \psi, \theta, \omega, \chi, \Phi, G, \Theta$. Вводя производящую функцию $S$, не изменяя при этом постоянных $y^{\prime}$, получим
\[
d S=\Phi d \varphi+G d \chi+\Theta d \theta-\psi d \psi-\omega d \Omega .
\]

Необходимо определить $\Phi, G, \Theta, \Psi$ и $\omega$ так, чтобы правая часть (10) была точным дифференциалом и чтобы функция $T(\varphi, \psi, \theta, \omega, \chi, \Phi, G, \Theta)$ приводилась к постоянной. При этом решение должно зависеть от трех произвольных постоянных. Этого можно добиться, положив
\[
\begin{array}{c}
\psi=\text { const, } \quad \omega=\text { const, } \quad G=\text { const }, \\
\Phi=G \cos \psi=\text { const, } \quad \Theta=G \cos \omega=\text { const. }
\end{array}
\]

Теперь легко ввести три произвольных независимых постоянных $G, \Phi$ и $\Theta$ и получить
\[
S=\Phi \varphi+G \chi+\Theta \theta-\psi \Psi-\omega \Omega, \quad T=\frac{G^{2}}{2 A}+\frac{(A-C) \Phi^{2}}{2 A C}
\]
( $A$ и $C$ являются двумя моментами инерции Земли).
Условия (11) означают, что $P O$ является осью момента вращения. Из этого следует, что
\[
\Psi=\Omega=0, \quad S=\Phi \varphi+C \chi+\Theta \theta .
\]

Переменные $\Phi, G, \Theta$ выступают вместо переменной $y^{\prime}$, следовательно $\varphi=\frac{d S}{d \Phi}$, переменные $\chi$ и $\theta$ играют роль $x^{\prime}$. Таким образом шесть переменных удовлетворяют канонической системе, и для некоторой функции $F^{*}=T+U$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \chi}{d t}=\frac{d F^{*}}{d G}, \quad \frac{d \varphi}{d t}=\frac{d F^{*}}{d \Phi}, \quad \frac{d \theta}{d t}=\frac{d F^{*}}{d \Theta}, \\
\frac{d G}{d t}=-\frac{d F^{*}}{d \chi}, \quad \frac{d \Phi}{d t}=-\frac{d F^{*}}{d \varphi}, \quad \frac{d \Theta}{d t}=-\frac{d F^{*}}{d \theta} . \\
\end{array}
\]

Для первой простой задачи, для которой $F=T$, получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \chi}{d t}=\frac{d T}{d G}=\frac{G}{A}=\text { const }, \quad \frac{d \varphi}{d t}=\frac{d T}{d \varphi}=\frac{A-C}{2 A C} \Phi=\text { const }, \quad \frac{d \theta}{d t}=\frac{d T}{d \Theta}=0 ; \\
\frac{d G}{d t}=-\frac{d T}{d \chi}=0, \quad \frac{d \Phi}{d t}=-\frac{d T}{d \varphi}=0, \quad \frac{d \Theta}{d t}=-\frac{d T}{d \theta}=0 .
\end{array}
\]