Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Comptes rendus de l’Acadèmie des Sciences, t. 149, p. 1105-1108 Известно, что метод вариации постоянных позволяет решить задачу динамики, когда решена другая задача динамики — более простая ${ }^{1}$, но немного отличающаюся от первой. Однако эту более простую задачу удобней решать методом Якоби для того, чтобы уравнения сохраняли каноническую форму. Здесь, однако, можно столкнуться с некоторыми трудностями, которые я обнаружил, когда хотел применить этот метод в теории прецессии и врашения твердых тел. Таким образом, я постараюсь немного обобщить метод Якоби. Пусть имеется динамическая система с $n$ степенями свободы, положение которой определяется $n$ координатами $x_{i}$. Назовем $T$ кинетической энергией, $U$ — потенциальной энергией, а $T+U=F$ — полной энергией. Положим $y_{i}=\frac{d T}{d x_{i}^{\prime}}$ и запишем канонические уравнения Гамильтона Произведем замену переменных, выражая $x$ в функции $n+n^{\prime}$ новых переменных $q_{k}$, которых больше количества степеней свободы, и положим, что Будем считать, что выполняется тождество и что $p$ связаны между собой $n^{\prime}$ линейными отношениями так, что только между ними $n$ являются независимыми. Назовем их $p_{a}$. Оставшиеся переменные, которые назовем $p_{b}$, будут являться функциями от $p_{a}, q_{a}$ и $q_{b}$. Тогда можно задаться вопросом — может ли $T$ быть выражена в виде функции от $p$ и $q$. Равенство $d T=\sum q d p$, которое имеет место, когда $q$ рассматривается как постоянная, позволяет нам ответить на этот вопрос утвердительно. Следовательно, $T$ и $F$ могут быть выражены в функции $p_{a}, q_{a}$ и $q_{b}$, и уравнение живых сил может быть записано в виде Пусть теперь $S$ является функцией от $q_{a}$ и $q_{b}$, определенной уравнением в частных производных так, что и, кроме того, зависящая от $n$ произвольных постоянных $y_{i}^{\prime}$ (равному числу степеней свободы). Положим откуда Второй член этого равенства является точным дифференциалом, если $p_{b}$ рассматриваются как независимые переменные и тем более, если $p_{b}$ полагаются связанными с $p_{a}$ линейными соотношениями, о которых мы уже упоминали. Сопоставив формулы (7) и (2), можно сделать вывод, что величина является полным дифференциалом. Тождество (8) показывает, что $S_{1}$ является функцией лишь от $x$ и $x^{\prime}$ и, соответственно, имеем уравнения которые определяют $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ в зависимости от $x$ и $y$. Отношение (8) показывает, что замена переменных является канонической и не изменяет каноническую форму уравнений. Таким образом, для нашей первой простой задачи получим уравнения которые сразу интегрируются, поскольку $F$ зависит только от $y^{\prime}$. Для получения уравнений полной задачи заменим $F$ на $F^{*}$ : Применим этот метод в теории прецессии. Положим причем $U$ будем считать существенно меньшей, чем $T$. Хотя имеется три степени свободы, выберем $n+n^{\prime}=5$ координат, которые аналогичны нашим переменным $q$. Они имеют следующий смысл: Они представляют моменты вращения относительно оси $O z$, перпендикуляра к $P O z$, относительно $O P$, перпендикуляра к плоскости $P O Z$, и, наконец, относительно $O Z$. Теперь можно выразить $T$ как функцию от переменных $\varphi, \psi, \theta, \omega, \chi, \Phi, G, \Theta$. Вводя производящую функцию $S$, не изменяя при этом постоянных $y^{\prime}$, получим Необходимо определить $\Phi, G, \Theta, \Psi$ и $\omega$ так, чтобы правая часть (10) была точным дифференциалом и чтобы функция $T(\varphi, \psi, \theta, \omega, \chi, \Phi, G, \Theta)$ приводилась к постоянной. При этом решение должно зависеть от трех произвольных постоянных. Этого можно добиться, положив Теперь легко ввести три произвольных независимых постоянных $G, \Phi$ и $\Theta$ и получить Переменные $\Phi, G, \Theta$ выступают вместо переменной $y^{\prime}$, следовательно $\varphi=\frac{d S}{d \Phi}$, переменные $\chi$ и $\theta$ играют роль $x^{\prime}$. Таким образом шесть переменных удовлетворяют канонической системе, и для некоторой функции $F^{*}=T+U$ имеем Для первой простой задачи, для которой $F=T$, получим
|
1 |
Оглавление
|