После того как я объяснил ту роль, которую смогла бы сыграть исследуемая теорема, если бы она оказалась верной, я должен изложить соображения, которые побуждают меня верить в ее справедливость. Для этого я возьму теорему в ее второй форме; иными словами, буду предполагать, что преобразование $T$ не оставляет неизменной ни одной точки, и постараюсь установить, что оно не допускает интегрального инварианта.

Для удобства я буду пользоваться двумя способами представления: иногда буду применять само круговое кольцо, так что $x$ и $y$ станут полярными координатами; это то, что я назову круговым изображением. Иногда же буду рассматривать $x$ и $y$ в качестве ортогональных координат, и предположу, вопреки обычаю, что ось $x$ вертикальна, а ось $y$ горизонтальна; я буду называть это спрямленным изображением. Нетрудно перейти от одного изображения ко второму: кривые $x=$ const являются окружностями при первом способе и горизонталями при втором; кривые $x=$ const будут радиусами-векторами при первом и вертикалями при втором.

Необходимо все же заметить, что одной точке кругового изображения соответствует бесконечное число точек спрямленного изображения $(x, y ; x, y+2 \pi ; x, y+4 \pi ; \ldots)$.

Таким образом, мы будем различать кривые, замкнутые в широком и в узком смысле; первые являются замкнутыми на круговом изображении и не замкнуты на спрямленном; вторые являются замкнутыми на обоих изображениях.

Предполагается, что преобразование $T$ всегда однозначно: координатами точки $M$ будут $x$ и $y$, а координатами преобразованной точки $M^{\prime}$ будут $X$ и $Y$; координатами же преобразованной точки в случае обратного преобразования $T^{-1}$ будут $(X)$ и $(Y)$.

Наше круговое кольцо ограничено двумя граничными окружностями
\[
x=X=a, \quad x=X=b,
\]

из которых первая внешняя, а вторая внутренняя; обе сохраняются при преобразовании.

Замечательные кривые, которые нам придется исследовать, следующие.
1) окружности (или горизонтали) $x=c$;
2) кривые $X=c$, преобразованиями которых являются кривые $x=c$; последние, как и первые, должны быть замкнутыми в узком смысле;
3) кривые $X=x$, причем две из этих кривых рассматриваются как различные, хотя они и имеют одно и то же уравнение, если от одной из них нельзя перейти к другой по непрерывному пути, удовлетворяющем тому же уравнению;
4) линии, преобразованные из них, $(X)=x$.
Если мы будем рассматривать три кривые $X=x, X=c, x=c$, то всякая точка, принадлежащая двум из них, будет принадлежать и третьей, и если две из них касаются между собой, то в той же точке их касается и третья.

На кривой $X=x$ не может существовать такой точки, в которой было бы $Y=y$, так как эта точка, в которой мы имели бы $X=x$, $Y=y$, была бы точкой, не изменяемой с помощью $T$, а мы предположили, что этого случиться не может. Итак, $Y-y$ сохраняет свой знак вдоль той же кривой $X=x$, что понуждает меня различать два вида кривых $X=x$ : кривые положительные и отрицательные, в зависимости от того, положительна или отрицательна разность $Y-y$. По предположению разность $Y-y$ всегда положительна на одной из граничных окружностей и отрицательна на другой. Все кривые $X=x$, которые примыкают к одной из этих окружностей, следовательно, положительны; все же те, которые примыкают к другой, отрицательны, и ни одна кривая $X=x$ не может проходить от одной окружности к другой.
Итак, кривые $X=x$ делятся на три категории:
1. Открытые кривые, оба конца которых лежат на одной из граничных окружностей.
2. Замкнутые кривые в широком смысле.
3. Кривые, замкнутые в узком смысле.
Мы существенно не снизим общности, если предположим, что ни одна из этих кривых не имеет двойных точек.

Рассмотрим спрямленное изображение и на этом изображении те точки, в которых касательная к кривой $X=x$ горизонтальна; эти точки будем называть основаниями или вершинами, в зависимости от того, будет ли в них высота (измеряемая координатой $X$ ) максимумом или минимумом. Отрезок кривой $X=x$, заключенный между последовательно расположенными основанием и вершиной, на котором вследствие этого не находится ни другое основание, ни другая вершина, будет называться ветвью кривой $X=x$, и я всегда буду употреблять слово ветвь именно в этом смысле.

Если $M$ точка кривой $X=x$, то преобразованная из нее точка $M^{\prime}$ будет иметь ту же высоту (это в точности то, что выражает уравнение $X=x$ и окажется на преобразованной кривой $(X)=x$, откуда вытекают следствия: каждое основание или каждая вершина $X=x$ преобразовывается в основание или в вершину $(X)=x$, которые имеют ту же высоту; всякая ветвь $X=x$, пробегаемая, например, вверх, будет иметь в качестве преобразованной ветвь $(X)=x$, пробегаемую также вверх.

Если ветвь $X=x$ положительна, то преобразованная из нее $(X)=x$ не сможет пересечь ее и полностью находится справа (все время на спрямленном изображении); ее также можно назвать положительной. Наоборот, она целиком находится слева, если кривая $X=x$ отрицательна.