L’enseignement mathématique, t. 1, p. 157-162 (15 mai 1889)

Для разъяснения вопроса, который я собираюсь обсудить, и который, на мой взгляд, является чрезвычайно важным в преподавании математики, необходимо взглянуть назад на историю развития науки.

Если прочитать книгу, написанную 50 лет назад, то большинство рассуждений, которые мы там найдем, покажутся нам недостаточно строгими.

В то время принималось без доказательства, что непрерывная функция не может менять знака, не обращаясь в нуль. В настоящее время это доказывается. Также принималось без доказательства, что обычные правила вычисления применимы к несоизмеримым числам. Ныне и это доказывается. Делались и другие допущения, которые порой оказывались ложными.

Таким образом, видно, что наука продвинулась в направлении строгости. Я бы сказал, более того, что она уже достигла строгости, и наши рассуждения не покажутся смешными нашим потомкам. Разумеется, я говорю о тех рассуждениях, которые нас самих удовлетворяют.

Но каким образом мы добились строгости? Путем ограничения в науке роли интуиции и усиления роли формальной логики. Прежде употреблялось множество понятий, рассматриваемых как основные, априорные и интуитивные. Таковыми были понятия целого числа, дроби, непрерывного роста, пространства, точки, линии, поверхности и т.д. На сегодняшний день лишь одно понятие осталось основным понятие целого числа. Все другие понятия являются только комбинациями, и такой ценой достигается полная строгость.

Наши отцы вписывали в плоскую фигуру ряд прямоугольников и в качестве предела суммы площадей этих прямоугольников получали интеграл, равный ее площади. Действительно, говорили они, разность между искомой площадью и суммой стремится к нулю, т.к. можно сделать эту разность меньше, чем любое заданное число. Такие рассуждения проводились без особой тщательности, так как отцы наши полагали, что хорошо понимают, что такое площадь. Нас же, напротив, такое рассуждение не удовлетворяет, так как нам известно, что эти понятия нельзя впитать с молоком матери; и невозможно узнать, что такое площадь, не пользуясь интегральным исчислением. Мы больше не доказываем, что площадь равняется интегралу, а рассматриваем интеграл как определение площади. Понятие площади, основанное когда-то на интуиции, само по себе не кажется нам уже правомочным.

С другой стороны, математические понятия приобрели столь совершенную чистоту только за счет удаления от действительности. Можно пересечь всю страну математики и не встретить ни единого препятствия из рассекавших ее в былые времена. Но эти препятствия не исчезли, они лишь передвинулись к границам. И нам придется заново преодолевать их, если мы захотим пересечь границы, чтобы войти в практические области.

Понятие было раньше более или менее расплывчатым, образованным из несвязных элементов, одни из которых априорные, а другие получены обобщением опытных данных. Его основные свойства полагались интуитивно известными. В настоящее время все эмпирические элементы отвергаются, допускаются лишь априорные. Для определения берется одно из свойств, а все остальные выводятся из него строгими рассуждениями. Однако остается доказать, что свойство, служащее определением, действительно отвечает реальности, которая нам известна из опыта, откуда неосознанным обобщением раньше и выводилось интуитивное понятие. Это очень хорошо показал М. Мило в работе, которую он защитил на гуманитарном факультете в Париже.
Вот в каком направлении развивалась наука последние полвека.
Тогда и появилась целая куча вычурных функций, которые, казалось бы, старались как можно меньше походить на общеупотребительные функции, служащие определенным целям. Всюду разрывные, или же непрерывные, но нигде не дифференцируемые… Более того, с точки зрения логики, именно эти странные функции являются наиболее общими; напротив, те функции, которые встречаются сами по себе и следуют простым законам, оказываются лишь очень частным случаем, и для них отводится самый дальний уголок.

В былые дни, когда изобретали новую функцию, следовали какойнибудь практической цели. Сегодня их придумывают нарочно для того, чтобы найти пробелы в рассуждениях наших отцов, и ни для чего больше.

Итак, если логика должна быть нашим единственным путеводителем в вопросах образования, то, очевидно, нужно начинать преподавание с самых вычурных функций. Начинающего нужно в первую голову ознакомить с этой кунсткамерой. Иначе он никогда не достигнет желанной строгости, а если и достигнет, то лишь мало-помалу.

Вот на что осудила бы нас абсолютная логика. Должны ли мы принести ей такую жертву? Таков вопрос, на который я, со своей стороны, не колеблясь, отвечаю – нет.

Преподавателю, без сомнения, трудно обучать рассуждению, которое не полностью его удовлетворяет. И на его взгляд, сказать «мы принимаем», или «часто бывает, что», вместо «очевидно, что», будет не более чем малопригодным паллиативом.

Однако удовлетворение педагога не является единственной целью в процессе обученин, и необходимо, прежде всего, поставить перед собой вопрос о том, что представляет собой ум ученика и во что желательно его развить.

Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного за очень короткое время повторяет всю историю развития данного рода. По-видимому, умственное развитие также проходит подобные стадии. Задача учителя состоит в том, чтобы провести разум ребенка тем путем, которым проходил разум его отцов, ускоряя определенные этапы развития, но не пропуская ни одного из них. В этом отношении, история науки должна быть нашим проводником.

Когда ученик начинает серьезно изучать математику, он полагает известными понятия дроби, непрерывности, площади криволинейной поверхности. Он считает очевидным, например, что непрерывная функция не может поменять знак, не обращаясь в нуль. Если вы ему скажете без предварительной подготовки: «Нет, все это не очевидно. Необходимо, чтобы я вам это доказал», – и если в своем доказательстве вы опираетесь на посылки, которые не кажутся ему более очевидными, чем заключение, то что же тогда подумает этот бедняга? Он решит, что математическая наука является лишь произвольным скоплением бесполезных премудростей. Тогда либо ему это надоест, либо он будет забавляться этим как игрой, и придет к образу мыслей, характерному для греческих софистов.

Напротив, когда ученик станег более продвинутым, ознакомится с математическими рассуждениями, а разум его созреет благодаря этому знакомству, сомнения возникнут сами собой, и ваше доказательство придется кстати. Оно пробудит новые сомнения, и вопросы у ребенка будут возникать один за другим, как они возникали у наших отцов, до тех пор, пока его не станет удовлетворять лишь абсолютная строгость. Недостаточно сомневаться во всем, необходимо знать, почему сомневаешься.

Это еще не все. Я уже говорил, что с точки зрения чистой логики остается лишь одно основное понятие – целого числа, – а все другие понятия являются только комбинациями. Но можно придумать целое множество подобных комбинаций. Почему эти, а не другие? Выбор объясняется лишь памятью об интуитивном понятии, место которого занимает данная комбинация. Если эта память отсутствует, выбор покажется необоснованным. Так, чтобы понять теорию, недостаточно констатировать, что ведущий к ней путь не прегражден препятствием; необходимо отдавать себе отчет в причинах, которые заставлнют выбрать этот путь. И вообще, можно ли говорить о понимании теории, если желать сразу же придать ей окончательную форму, диктуемую безупречной логикой, так, чтобы и следа не осталось от блужданий, которые к ней привели? Нет, это не называется понять по-настоящему, такую даже и не запомнить, разве только наизусть.

Основная цель математического преподавания – развить некоторые умственные способности, и интуиция среди них занимает не последнее место. Именно посредством интуиции математический мир взаимодействует с миром реальным. И даже если чистая математика смогла бы без нее обойтись, то к ней все равно приходилось бы прибегать, чтобы заполнить пропасть между символами и действительностью. Таким образом, практики всегда будут нуждаться в интуиции, а на одного чистого геометра должно приходиться 100 практиков.

Однако и для чистого геометра самого по себе интуиция необходима: посредством логики доказывают, но придумывают посредством интуиции. И недостаточно критиковать чужие теоремы, нужно придумывать новые. Недостаточно уметь составлять правильные комбинации, необходимо обладать искусством выбирать между всеми возможными сочетаниями. Выше я уже говорил, почему именно интуиция учит нас этому искусству. Без нее геометр был бы подобен писателю, в совершенстве владеющему грамматикой, но лишенному идей.

Но как бы эта способность развивалась, если, стоит ей показаться на свет божий, ее настойчиво преследуют и изгоняют, если учат не доверять ей, даже не разобравшись еще, что хорошего можно из нее извлечь?

Разве искусство рассуждать правильно не является важнейшим качеством, которое учитель математики должен развить прежде всего? Я и не думаю забывать об этом, и этим следует заниматься с самого начала. Однако, хватает возможностей учить начинающих правильным рассуждениям в тех областях математики, где неудобства, о которых я говорил, отсутствуют. Существует целый ряд теорем, в которых абсолютная логика воцарилась с рождения, естественнейшим образом, если так можно выразиться; которые, тем самым, сохранили форму, приданную им первыми геометрами.

То, чего следует избегать, это придирок к мелочам в изложении основных принципов. Они не мешают научиться правильно рассуждать, если только позаботиться о том, чтобы не подать ученикам ложные идеи. Иногда для этого необходимо много такта со стороны учителя. А часто достаточно просто сказать (как я объяснял выше): «мы принимаем» вместо «очевидно, что».

Среди молодых людей, получающих полное математическое образование, одни, вероятно, станут инженерами. Они изучают геометрию для того, чтобы ею пользоваться. Прежде всего необходимо, чтобы они научились хорошо и быстро понимать. И именно в интуиции они нуждаются в первую очередь. Другие – их меньше – в свою очередь, возможно, станут учителями. Следовательно, им необходимо дойти до сущности. Углубленное и точное знание основных принципов необходимо для них прежде всего. Но это не причина не развивать у них интуицию, так как они создали бы себе ложное представление о науке, рассматривая ее только с одной стороны. И кроме того, им бы не удалось развить у своих учеников качество, которого они сами лишены.

Я написал довольно большую етатью о достаточно абстрактном и общем вопросе. Чтобы заслужить снисхождение читателя, сделаю несколько точных заключений.

В специальных школах, а также в первом классе политехнической школы не следует говорить о функциях без производных, а если и упоминать о них, то со словами: «Возможно, такие бывают, но мы ими не занимаемся».

Когда ученикам впервые говорят об интегралах, их следует определять через площади, а строгое определение можно дать только после того, как ученики вычислят множество этих интегралов.