Если окажется возможным установить теорему, то это повлечет за собой несколько немедленных обобщений.

Действительно, сперва предположим, что граничная внутренняя окружность $x=b$ сводится к точке, тогда наше кольцо станет кругом. Если тогда на внешней окружности $x=a$ постоянно имеем $Y>y$, а вблизи центра $Y<y$ или наоборот; если, кроме того, преобразование допускает интегральный инвариант, то внутри круга будет по крайней мере две точки, не изменившиеся при преобразовании. С другой стороны, мы можем применить те же принципы и к произвольной степени $T^{\prime \prime}$ преобразования $T$.

Посмотрим теперь, как все это можно применить к задачам динамики в случае двух степеней свободы. Для упрощения я рассмотрю, в частности, простейшую из этих задач – проблему геодезических линий на выпуклой поверхности (по этому вопросу я написал мемуар ${ }^{1}$ ). Нам нужно сперва найти подходящее для нашего объекта геометрическое представление; определим то, что будем называть элементом, и постараемся каждому из этих элементов поставить в соответствие точку пространства. Элементом будет совокупность одной геодезической линии и одной точки этой геодезической линии. Одну и ту же геодезическую кривую следует рассматривать как две различные геодезические линии, в зависимости от того, в каком направлении она пробегается. Каждому элементу соответствует триэдр, определенный следующим образом: сперва проведем к поверхности в рассматриваемой точке нормаль, причем извне; затем проведем касательную к геодезической линии, в том направлении, в котором последняя пробегается; наконец, проведем к этим двум прямым перпендикуляр, также имеющий определенное направление. Перенесем затем при помощи поступательного движения наш прямоугольный триэдр так, чтобы его вершина совпала с началом. Таким образом, каждому прямоугольному триэдру с вер${ }^{1} 0$ геодезических линиях на выпуклых поверхностях (см. Избранные труды. III. М.: Наука, 1974). – Прим. ред.

шиной в начале соответствует один и только один элемент; так как поверхность выпуклая, то имеются только две точки, в которых касательная плоскость перпендикулярна к первому ребру триэдра и только в одной из этих точек внешняя нормаль будет параллельна этому ребру и иметь то же направление.

Через эту точку проходит геодезическая линия, причем только одна, касательная к которой будет параллельна второму ребру триэдра; направление, по которому мы идем вдоль этой геодезической линии, также тем самым определено.
Установив это, определим каждый триэдр с помощью кватерниона
\[
\lambda, \mu,
u, \rho\left(\lambda^{2}+\mu^{2}+
u^{2}+\rho^{2}=1\right),
\]

который дает нам вращение, необходимое для того, чтобы привести триэдр из начального положения, определенного раз и навсегда, в действительное. Тогда косинус полуугла этого вращения будет равен $\lambda$, а его синус будет $\sqrt{\mu^{2}+
u^{2}+\rho^{2}}$; направляющие косинусы оси вращения пропорциональны $\mu,
u, \rho$.

Заметим при этом, что два кватерниона: $\lambda, \mu,
u, \rho$ и $-\lambda,-\mu,-
u,-\rho$ представляют одно и то же вращение и, следовательно, один и тот же триэдр и один и тот же элемент.
Положим затем
\[
\begin{array}{ll}
\lambda=\frac{1-\xi^{2}-\eta^{2}-\zeta^{2}}{1+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}, & \mu=\frac{2 \xi}{1-\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}, \\

u=\frac{2 \eta}{1+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}, & \rho=\frac{2 \zeta}{1+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}
\end{array}
\]

и представим наш элемент точкой пространства с прямоугольными координатами $\xi, \eta, \zeta$. Каждой точке пространства соответствуют две точки пространства, которые можно вывести одну из другой при помощи инверсии с полюсом в начале и со степенью, равной -1 .

Геодезическая линия, образованная бесконечным множеством подобных элементов, будет представлена в этом пространстве кривой. Через каждую точку этого пространства проходит одна и только одна из этих кривых, причем определенным является и направление прохождения этой кривой. Я обозначу эти кривые через $C$.

В случае сферы геодезические линии являются большими кругами, а кривые $C$ образуют семейство кругов, плоскости которых проходят через начало и степень которых относительно этого начала равна -1 . Два из этих кругов $C$ не могут встретиться и они всегда сцеплены друг с другом. В общем случае каждому периодическому решению проблемы, т.е. каждой замкнутой геодезической линии, соответствует замкнутая кривая $C$.

В качестве второго примера я возьму частный случай задачи трех тел, известный под названием ограниченной задачи. Отнесем систему трех тел, как это делается обычно, к вращающимся осям, и запишем интеграл Якоби (или интеграл живых сил в относительном движении) в форме
\[
J=c,
\]

где $c$ – постоянная, а $J$ – функция наших четырех переменных, которыми будут: $x$ и $y$, координаты возмущенного тела $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$, составляющие его скорости. Если рассматривать $c$ в качестве заданной постоянной, то независимыми будут лишь три из этих переменных.
Можно записать, что
\[
J=\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}+H,
\]

где $H$ зависит лишь от $x$ и $y$. При этих условиях будем иметь
\[
H<c .
\]

Это неравенство определяет какую-то область на плоскости и в некоторых случаях, которыми мы ограничимся, эта область $\beta$ ограничена замкнутой кривой $\alpha$; в каждой точке области $\beta$ скорость по величине определена уравнением Якоби, но направление ее остается произвольным; в каждой точке кривой $\alpha$ эта скорость равна нулю, так что направление не имеет значения. Итак, каждой точке $\beta$ соответствует бесконечное количество элементов, каждой точке $\alpha$ соответствует только один элемент; это и приводит нас к следующему геометрическому представлению.

Мы можем сопоставить взаимно однозначно области $\beta$ внутренность круга $\beta^{\prime}$, а кривой $\alpha$ – его окружность $\alpha^{\prime}$. Установив это, представим себе круг $\gamma$, плоскость которого перпендикулярна плоскости круга $\beta^{\prime}$, а степень его относительно центра $\beta^{\prime}$ равна квадрату радиуса $\beta^{\prime}$; он пересечет плоскость $\beta^{\prime}$ в двух точках, из которых одна будет внутренней, а вторая – внешней по отношению к окружности $\alpha^{\prime}$.

Пусть $M$ будет первой из этих точек, а $x, y$ – соответствующей точкой области $\beta$. Тогда мы представим различные элементы с помощью точки пространства следующим образом: когда представляющая точка будет описывать круг $\gamma$, то $x$ и $y$ будут сохранять постоянные значения, соответствующие точке $M$, а угол $\operatorname{arctg}\left(y^{\prime} / x^{\prime}\right)$, определяющий направление скорости, будет изменяться от 0 до $2 \pi$. Тогда каждой точке $\beta$ будет соответствовать бесконечное число элементов, представленных различными точками круга $\gamma$. Если точка $M$ находится на $\alpha^{\prime}$ и, следовательно, соответствующая ей точка на $\alpha$, то круг $\gamma$ сводится к точке, как и должно быть, поскольку каждой точке $\alpha$ соответствует только один элемент.

Итак, каждому элементу соответствует одна и только одна точка пространства ${ }^{1}$, и наоборот.

Траектория будет представлена кривой двоякой кривизны $C$; через каждую точку пространства проходит одна и только одна из этих кривых. Направление, в котором пробегается эта кривая, также является определенным. Замкнутые кривые $C$ представляют собой периодические решения.

Предположим теперь, что в любом из двух предыдущих примеров замкнутан криван $C_{0}$ представляет периодическое решение, а поверхность $A$ ограничена этой кривой.

Будем предполагать, что поверхность $A$ является односвязной и не пересекается сама с собой и, более того, что она без контакта, т.е. что ни в одной точке этой площади кривые $C$ не касаются искривленной поверхности, часть которой составляет наша область.

Пусть теперь $P$ – произвольная точка $A$; через эту точку проходит кривая $C$, причем только одна; проследим ход этой кривой до тех пор, пока она опять не встретит $A$ в $P^{\prime}$. Точку $P^{\prime}$ можно назвать последующей для $P$; преобразование $T$, с помощью которого осуществляется переход от некоторой точки к следующей, является точечным преобразованием поверхности $A$ самой в себя. Необходимо заметить, что точка $P^{\prime}$ изменяется непрерывным образом, если непрерывно изменяется $P$. Действительно, можно допустить, что изменение будет прерывным, при одном из следующих обстоятельств.
1. Если, рассматривая последовательные точки $P, P^{\prime}, P^{\prime \prime}, P^{\prime \prime \prime}, \ldots$ пересечения $C$ с $A$, мы увидим, чго в определенный момент $P^{\prime}$ и $P^{\prime \prime}$
${ }^{1}$ Пополненного одной бесконечно удаленной точкой. – Прим. ред.

совпадут, а затем станут мнимыми, так что с этого момента первой точкой пересечения $C$ с $A$ будет $P^{\prime \prime \prime}$ а не $P^{\prime}$.
2. Если, наоборот, в некоторый момент времени две новые точки пересечения $P_{1}$ и $P_{2}$ появятся таким образом, что первым пересечением $C$ и $A$ станет $P_{1}$, а не $P^{\prime}$.
3. Если в некоторый данный момент времени $P^{\prime}$ выйдет из области $A$ и первым пересечением с этого момента окажется $P^{\prime \prime}$, а не $P^{\prime}$; или же, наоборот, если в область $A$ войдет новая точка пересечения $P_{1}$, которая включится между $P$ и $P^{\prime}$.

Ни одно из этих обстоятельств не сможет представиться в рассматриваемом положении: первые два потому, что кривая $C$ не может стать касательной к $A$, которая лишена контакта; третье благодаря тому, что через некоторую точку кривой $C_{0}$, ограничивающей $A$, никогда не сможет пройти кривая $C$ иная, чем $C_{0}$.

Если точка $P$ сливается с первой следующей за ней точкой $P^{\prime}$ или с какой-либо из последующих, то кривая $C$ окажется замкнутой, а решение – периодическим. Отметим, кроме того, что преобразование $T$ допускает положительный интегральный инвариант в соответствии с принципами, изложенными мною в другом месте ${ }^{1}$.

Теперь мы должны ввести поннтие характеристических показателей, а также устойчивости периодических решений. Известно, что всякое периодическое решение допускает два равных характеристических показателя с противоположными знаками ${ }^{2}$. Если периодическое решение устойчиво, то эти два показателя сопряженные мнимые.

В этом случае мы можем ввести понятие приведенного аргумента («Новые методы небесной механики», т. III, п. 347) и понятие кинетических фокусов, что укажет нам, каким образом изменяется точка $P^{\prime}$, когда точка $P$ весьма близка к граничной кривой $C_{0}$. Что же такое кинетический фокус? Рассмотрим кривую $C_{1}$, очень мало отличающуюся от $C_{0}$ и представляющую траекторию или некоторую геодезическую линию, очень мало отличающуюся от той, которую представляет $C_{0}$. Пусть $G_{0}$ и $G_{1}$ будут две геодезические линии и две траектории, представленные соответственно кривыми $C_{0}$ и $C_{1}$.

Для того чтобы написать уравнение кривой $C_{1}$, мы возьмем специальную систему координат $u, v$ и $w$ следующим образом:
${ }^{1}$ См. «Новые методы небесной механики», т. I, II, III. – Прим. ред.
${ }^{2} \mathrm{Cm}$. «Новые методы небесной механики», т. I, гл. IV.

1) координаты некоторой точки рассматриваемой траектории или геодезической линии зависят только от $u$ и $v$, тогда как направление касательной зависит одновременно от $u, v$ и $w$;
2) уравнениями кривой $C$ будут $v=w=0$, а $u$ изменяется от 0 до $2 \pi$ при полном обходе замкнутой кривой $C_{0}$.

При этих условиях ${ }^{1}$ мы увидим, что если кривая $C_{0}$ соответствует устойчивой траектории, то уравнения кривой $C_{1}$, весьма мало отличающейся от $C_{0}$, могут быть записаны в виде
\[
\frac{v}{a}=\rho \sin (\theta+h), \quad \frac{w}{a}=\rho_{1} \sin (\theta+h)+\rho_{2} \cos (\theta+h),
\]

где $a$ и $h$ являются постоянными интегрирования, причем первая из них очень мала; $\rho, \rho_{1}, \rho_{2}$ – периодические функции от $u ; \theta$ – функция от $u$, всегда возрастающая, производная от которой является периодической. Можно будет записать, что
\[
\theta=\alpha u+\varphi(u),
\]

где $\varphi(u)$ – периодическая функция; тогда $i \alpha$ есть то, что называют характеристическим показателем.

Точки пересечения $G_{1}$ и $G_{0}$ можно получить, приравняв $v$ нулю, что даст уравнение
\[
\theta+h=K \pi,
\]

где $K$ – целое число. Если $M$ является точкой пересечения $G_{0}$ и $G_{1}$, а $M$ – следующей точкой пересечения, то $M^{\prime}$ называется первым кинетическим фокусом $M$, и тогда, если $\theta$ и $\theta^{\prime}$ – соответствующие значения $\theta$, получим
\[
\theta-\theta^{\prime}=\pi .
\]

Напишем теперь уравнение нашей поверхности $A$ в форме
\[
F(u, v, w)=0
\]

если мы разложим первый член по степеням $v$ и $w$, то член нулевой степени будет равен нулю, так как поверхность $A$ проходит через кривую $C_{0}$. Мы можем пренебречь членами порядка выше первого, так
${ }^{1} \mathrm{Cm}$. «Новые методы небесной механики» или мемуар «0 геодезических линиях на выпуклых поверхностях». А. Пуанкаре, Избранные труды.

как мы должны придать $v$ и $w$ лишь весьма малые значения, и тогда останется
\[
g v+g_{1} w=0
\]

где $g$ и $g_{1}$ – периодические функции $u$. Если мы заменим $v$ и их значениями, то получим
\[
\rho \sin (\theta+h)+\rho_{1} \cos (\theta+h)=0,
\]

где $\rho$ и $\rho_{1}$ – новые периодические функции от $u$. Если положим
\[
\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}=\operatorname{tg} \lambda
\]

то $\lambda$ будет функцией от $u$, производная которой является периодической и которая не может отличаться от периодической функции от и более, чем на число, кратное $u$, которое я обозначу $m u$, тогда наше уравнение примет вид
\[
\sin (\theta+\lambda+h)=0 .
\]

Итак, мы получим последовательные точки пересечения $C_{1}$ и $A$, написав, что этот синус равен нулю; аргумент синуса должен быть кратным $\pi$; но следует отметить, что поверхность $A$ ограничена $C_{0}$ и не простирается вне этой кривой; следовательно, подходят только четные кратные, и надо написать, что
\[
\theta+\lambda+b=2 v-\pi .
\]

Если теперь $P$ и $P^{\prime}$ будут двумя последовательными точками пересечения и $\theta, \lambda$ и $\theta^{\prime}, \lambda^{\prime}$ – соответствующими значениями $\theta$ и $\lambda$, то получим
\[
\left(\theta^{\prime}+\lambda^{\prime}\right)-(\theta+\lambda)=2 \pi
\]

Следует заметить, что $\theta+\lambda$ – постоянно возрастающая функция от $u$; действительно, для очень малых $v$ и $w$ можно написать, что
\[
F(u, v, w)=R \sin (\theta+\lambda+h),
\]

где $R=\sqrt{\rho^{2}+\rho_{1}^{2}}$ есть периодическая функция от $u$. Тогда пересечения $C_{1}$ с $A$ можно получить, приравняв $F$ нулю, а соприкосновения $C_{1}$ с $A$, записав, что
\[
F=F^{\prime}=0,
\]

где $F^{\prime}$ производная от $F$ по $u$; это дает соотношения
\[
\begin{aligned}
F & =R \sin (\theta+\lambda+h)=0, \\
F^{\prime} & =R^{\prime} \sin (\theta+\lambda+h)+R\left(\theta^{\prime}+\lambda^{\prime}\right) \cos (\theta+\lambda+h)=0 .
\end{aligned}
\]

Если бы имело место $\theta^{\prime}+\lambda^{\prime}=0$, то можно было взять $h=\theta-\lambda$, и условия оказались бы выполненными. Однако это невозможно, так как поверхность $A$, по предположению, без контакта. Производная от $\theta+\lambda$ не может, следовательно, стать нулем, и $\theta+\lambda$ постоянно изменяется в одном и том же направлении; при этом всегда можно сделать так, чтобы было возрастание.

Функция $\frac{\theta+\lambda}{a+m}$ может быть названа приведенным аргументом, если несколько обобщить это понятие. Величина $a+m$ отличается от $a$ лишь на целое число
\[
m=\frac{\lambda(u+2 \pi)-\lambda(u)}{2 \pi},
\]

которое для обоих выбранных примеров оказывается равным нулю. Приведенный аргумент после каждого полного оборота по $C_{0}$ возрастает на $2 \pi$, и так как это возрастающая функция от $u$, то ее можно использовать для определения положения точки на $C_{0}$; если $P$ очень близко к $C_{0}$, то приведенный аргумент $P$ отличается от приведенного аргумента своего преобразования $P^{\prime}$ на $\frac{2 \pi}{\alpha+m}$.

Установив это, мы можем уподобить поверхность поверхности круга с точки зрения Analysis situs. Мы можем, следовательно, определить положение точки этой поверхности с помощью системы координат $x$ и $y$, аналогичных полярным координатам, таким образом, чтобы уравнение кривой $C_{0}$ было
\[
x=a
\]

и чтобы на этой кривой $y$ было равно приведенному аргументу. Наше преобразование $T$ сохраняет, следовательно, кривую $x=a$ и оказывается таким, что
\[
Y-y=\frac{2 \pi}{\alpha+m}=\text { const. }
\]

Теорема Кронекера учит нас в этом случае, что внутри $A$ имеется нечетное число точек, не изменяемых преобразованием; каждой из этих точек соответствует периодическая траектория; по крайней мере, одна из этих траекторий устойчива.

Пусть $P_{0}$ будет соответствующей точкой; мы можем выбрать нашу координатную систему так, чтобы эта точка соответствовала полюсу
\[
x=0 .
\]

Преобразование $T$ сохраняет, таким образом, не только окружность $x=a$, но также и внутреннюю граничную окружность $x=0$, которая оказывается сведенной к точке.

Пусть $C_{0}^{\prime}$ – та замкнутая кривая $C$, которая проходит через $P_{0}$; введем систему координат $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$, которая будет для $C_{0}^{\prime}$ тем, чем для $C_{0}$ была система $u, v, w$. Предположим, кроме того, что в этой системе уравнением $A$ будет $u^{\prime}=0$. Это сделать мы можем, но лишь при условии, что откажемся от первого предположения, сделанного по поводу $u, v, w$ (а именно, что точка геодезической линии или траектории не меняется, меняется лишь направление касательной при условии изменения $w$, тогда как $u$ и $v$ остаются постоянными). Сказать по правде, это предположение не играет никакой существенной роли, и мы приняли его лишь с целью облегчить формулировку определения кинетических фокусов. При этих условиях уравнения некоторой кривой $C$, близкой к $C_{0}^{\prime}$, будут
\[
\frac{v^{\prime}}{a^{\prime}}=\rho^{\prime} \sin \left(\theta^{\prime}+h^{\prime}\right), \quad \frac{w^{\prime}}{a^{\prime}}=\rho_{1}^{\prime} \sin \left(\theta^{\prime}+h^{\prime}\right)+\rho_{2}^{\prime} \cos \left(\theta^{\prime}+h^{\prime}\right),
\]

и мы получим
\[
\theta^{\prime}=\beta u^{\prime}+\varphi^{\prime}(u),
\]

где $\varphi^{\prime}$ периодическая; $i \beta$ – характеристический показатель. Таким образом, при возрастании $u^{\prime}$ на $2 \pi \theta^{\prime}$ возрастает на $2 \pi \beta$. Мы можем выбрать координатную систему $x, y$ таким образом, чтобы в непосредственной близости от $P_{0}$, т. е. при очень малом $x$, с достаточной точностью соблюдались соотношения
\[
\frac{v^{\prime}}{x}=\rho^{\prime} \sin y, \quad \frac{w^{\prime}}{x}=\rho^{\prime} \sin y+\rho_{2}^{\prime} \cos y,
\]

причем для $\rho^{\prime}, \rho_{1}^{\prime}, \rho_{2}^{\prime}$ берутся значения, которые они принимают при $u^{\prime}=0$.

Итак, когда $u^{\prime}$ увеличится на $2 \pi$, т.е. когда мы перейдем от точки $P$ к точке $p^{\prime}, y=\theta^{\prime}+h^{\prime}$ возрастет на $2 \beta \pi$, или, точнее (так как $y$ определяется до кратного $2 \pi$ ), станет равным $2 \pi(\beta+n)$, где $n$ – целое число; тогда мы получим
\[
Y-y=2 \pi(\beta+n) .
\]

Сперва может показаться, что целое число $n$ является произвольным, в противоположность $m$, но если целиком обойти область $A$, то разность $Y-y$ должна меняться непрерывным образом, что и определяет $n$.

Установив это, рассмотрим преобразование $T^{p}$, т.е. $p$-ю степень преобразования $T$; такое преобразование сохраняет $x=a$ и $x=0$, и оно допускает, как и $T$, положительный интегральный инвариант, в соответствии с принципами, изложенными в моей книге «Новые методы небесной механики»; оно даст нам, с другой стороны, на линии $x=a$
\[
Y-y=2 \pi \frac{p}{\alpha+m}
\]

и при $x=0$
\[
Y-y=2 \pi p(\beta+n) .
\]

Оно существенно не будет отличаться от того, которое получается из него при замене $Y$ на $Y+2 q \pi$, где $q$ – целое число, так как $Y$ определяется лишь с точностью до кратного $2 \pi$. Для этого нового преобразования получим на $x=a$
\[
Y-y=2 \pi\left(\frac{\alpha}{\alpha+m}+q\right),
\]

а при $x=0$
\[
Y-y=2 \pi[p(\beta+n)+q] .
\]

За вычетом того случая, когда
\[
(\beta+n)(a+m)=1,
\]

можно найти бесконечное число пар целых чисел $p$ и $q$ таких, что
\[
\left(\frac{p}{\alpha+m}+q\right)[p(\beta+n)+q]<0,
\]

T. e.
\[
\frac{1}{\alpha+m}>-\frac{q}{p}>\beta+n
\]

или
\[
\frac{1}{\alpha+m}<-\frac{q}{p}<\beta+n .
\]

Итак, теорема будет применима, и окажутся по крайней мере две такие точки, которые не меняются при нашем преобразовании. Эти две точки дадут нам два периодических решения.

Так как $p$ и $q$ могут принимать бесконечно много значений, то мы получаем в результате бесконечное число периодических решений (что до сих пор было доказано лишь для малых значений масс).

Предположим, что для определенных значений данных задачи построены кривые $C_{0}$ и $C_{0}^{\prime}$, а также область $A$. Будем теперь менять данные задачи. $C_{0}$ будет меняться непрерывным образом; можно также менять непрерывным образом $A$, сохраняя притом ее существенные свойства, в частности, отсутствие контакта. Никаких препятствий мы при этом не встретим, пока будет существовать $C_{0}$. Итак, пока будут существовать $C_{0}$ и $C_{0}^{\prime}$, все то, что мы высказали, остается в силе. Периодические решения, соответствующие паре целых чисел $p, q$, смогут исчезнуть полностью лишь после слияния с $C_{0}$ или $C_{0}^{\prime}$, что происходит при
\[
-\frac{q}{p}=\frac{1}{\alpha+m} \quad \text { или } \quad=\beta+n .
\]

Это разъясняет взаимоотношения между периодическими решениями и может быть приложено также к исследованию периодических решений второго рода.

Я предвижу также, однако значительно менее ясным образом, что то же самое можно было бы использовать для того, чтобы показать, что периодические решения везде плотны.

Посмотрим теперь, что получается в тех двух частных примерах, рассмотренных нами выше, а сначала в том из них, в котором рассматриваются геодезические линии. Предположим, что поверхность очень мало отличается от сферы; мы видели в этом случае, что замкнутые минимумам и минимаксам некоторой величины, являющейся не чем иным, как длиной большого астрономического круга.
${ }^{1} \mathrm{C}$ м. мемуар «0 геодезических линиях на выпуклых поверхностях». А. Пуанкаре, Избранные труды.

Число этих максимумов равно $4 n+2$, где $n$ – целое число. Однако если не считать различными две геодезические линии, совершенно идентичные, но пробегаемые в прогивоположных направлениях, то мы получим для геодезических линий нечетное число, равное $2 n+1$; именно так я поступал в указанном мемуаре. Здесь же, наоборот, две геодезические линии, отличающиеся лишь направлением пробегания, считаются двумя различными кривыми $C$. Число замкнутых кривых $C$, относящихся к этой категории, следовательно, четно; все они пересекают $A$ в одной точке, за исключением $C_{0}$, ограничивающей $A$. Следовательно, число кривых $C$, пересекающих $A$, нечетно, как это и должно быть. При желании можно подобрать $C_{0}^{\prime}$ таким образом, чтобы $C_{0}$ и $C_{0}^{\prime}$ соответствовали двум геодезическим линиям, различающимся лишь по своему направлению.

Если поверхность $S$ сводится к сфере, то кривая $C_{0}$ станет окружностью и в качестве $A$ можно принять плоскую область, ограниченную этой окружностью.

В ограниченной проблеме будем исходить из случая, для которого возмущающая масса равна нулю: в таком случае для возмущенного тела будут иметь место две круговые орбиты, соответствующие уравнению Якоби (см. выше). Эти орбиты и соответствуют $C_{0}$ и $C_{0}^{\prime}$.