Господа! Сегодня я хочу поделиться с вами некоторыми соображениями о приведении абелевых интегралов в связи с теорией автоморфных, в особенности фуксовых, функций.

Система абелевых функций от $p$ переменных с $2 p$ периодами называется приводимой, если ее можно свести к системе функций от $q$ переменных с $2 q$ периодами ( $q>p$ ). Важно с самого начала различать два случая.

В первом случае систему $S$ абелевых функций от $p$ переменных можно образовать с помощью алгебраической кривой $C$ рода $p$. Точно так же возникает система $S^{\prime}$ от $q$ переменных из теории алгебраического образования рода $q$.

Однако известно, что первый случай не является общим, так как кривая $C$ зависит только от $3 p-3$ постоянных, в то время как общие абелевы функции от $p$ переменных содержат $\frac{p(p+1)}{2}$ параметров. Во втором из двух случаев, которые мы различаем, по крайней мере одна из двух систем $S$ и $S^{\prime}$ не получается из теории алгебраических кривых.

Сегодня я ограничусь в своем докладе исключительно первым из названных случаев. Но в его пределах необходимо различать два подслучая, а именно свои соображения мы будем связывать с двумя алгебраическими кривыми $C$ и $C^{\prime}$. В случае приводимости между двумя кривыми возникает алгебраическое соответствие. Свойство этого соответствия лежит в основе установленного различия между случаями.

Первый случай состоит в следующем. В силу соответствия каждой точке $M$ кривой $C$ сопоставляется одна и только одна точка $M^{\prime}$ кривой $C^{\prime}$. Наоборот, каждой точке кривой $C^{\prime}$ соответствуют $n$ точек кривой $C$. Я называю $n$ характеристическим числом соответствия, а $C-$ многократной кривой для кривой $C^{\prime}$.

Названный выше первый случай не является общим. Напротив, второй случай обладает необходимой общностью. Соответствие устанавливается не между отдельными точками $M$ и $M^{\prime}$, а между системой точек $M_{1}, \ldots, M_{
u}$ кривой $C$ с координатами $\left(x_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(x_{
u}, y_{
u}\right)$ и системой точек $M_{1}^{\prime}, \ldots, M_{
u}^{\prime}$ кривой $C^{\prime}$ с координатами $\left(x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime}\right), \ldots$, $\left(x_{
u}^{\prime}, y_{
u}^{\prime}\right)$. При этом каждой системе точек на $C$ соответствует одна и только одна система точек на $C^{\prime}$. Наоборот, каждой системе точек на $C^{\prime}$ соответствует, вообще говоря, несколько систем точек на $C$. Кривую $C$ я называю псевдомногократной кривой для $C^{\prime}$.

В первом случае $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ – рациональные функции от $x$ и $y$, в то время как во втором случае мы можем лишь заключить, что любая рациональная и симметричная функция от $\left(x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime}, \ldots, x_{
u}^{\prime}, y_{
u}^{\prime}\right)$ есть в то же время рациональная функция от $\left(x_{1}, y_{1}, \ldots, x_{
u}, y_{
u}\right)$. Нетрудно видеть, что любая кривая $C$, многократная для $C^{\prime}$, является в то же время псевдомногократной для $C^{\prime}$. Наоборот, я располагаю многими примерами, которые показывают, что не каждая псевдомногократная кривая для $C^{\prime}$ является в то же время многократной кривой для $C^{\prime}$. Я не буду останавливаться на этом подробно, так как все мои последующие рассуждения относятся исключительно к первому случаю.

В случае приводимости наших интегралов их таблицу периодов можно представить в особой нормальной форме. Свойства этой таблицы наглядно видны из следующих двух примеров.
1) $q=1 ; p=3$. Таблица периодов может быть приведена к виду
\[
\left(\begin{array}{cccccc}
2 i \pi & 0 & 0 & h & \frac{2 i \pi}{\alpha} & 0 \\
0 & 2 i \pi & 0 & \frac{2 i \pi}{\alpha} & a & b \\
0 & 0 & 2 i \pi & 0 & b & c
\end{array}\right) .
\]
2) $q=2 ; p=2$. В этом случае нормированные периоды имеют следующие значения:
\[
\left(\begin{array}{cccccccc}
2 i \pi & 0 & 0 & 0 & a & b & 0 & \frac{2 i \pi}{\alpha} \\
0 & 2 i \pi & 0 & 0 & b & c & \frac{2 \pi i}{\alpha \beta} & 0 \\
0 & 0 & 2 i \pi & 0 & 0 & \frac{2 \pi i}{\alpha \beta} & a^{\prime} & b^{\prime} \\
0 & 0 & 0 & 2 i \pi & \frac{2 i \pi}{\alpha} & 0 & b^{\prime} & c^{\prime}
\end{array}\right) .
\]

Числа $\alpha$ и $\beta$ в обеих таблицах – целье рациональные числа.

Теперь я определю второе характеристическое число $\%$. Оно указывает порядок тета-функции от $q$ переменных, в которую можно преобразовать в случае приводимости тета-функцию первого порядка от $p$ переменных. В первом примере $\varkappa=\alpha$, во втором – $\varkappa=\alpha \beta$. Оба характеристических числа $n$ и ж всегда равны. Я нашел два доказательства этого утверждения, основные положения которых я сейчас изложу.

Первое доказательство. Пусть $M$ и $M^{\prime}$ – два абелевых интеграла первого, второго или третьего рода кривой $C$. Мысленно представим себе соответствующую риманову поверхность, на которой в каком-то месте из одной точки проведены $2 p$ замкнутых разреза, не разделяющие поверхности на отдельные куски. Тогда $M$ и $M^{\prime}$ могут обладать следующими периодами:
\[
\begin{array}{c}
M: x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 p}, \\
M^{\prime}: y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2 p} .
\end{array}
\]

Теперь мне необходимо определить характеристическую фундаментальную билинейную форму, а именно, я полагаю
\[
F(x, y)=\int M d M^{\prime},
\]

где интеграл следует брать по всему контуру разреза. Если $x$ и $y$ нормальные периоды, то $F(x, y)$ принимает следующий вид:
\[
F(x, y)=\sum_{\varkappa=1}^{p}\left(x_{2 \varkappa-1} y_{2 \varkappa}-x_{2 \varkappa} y_{2 \varkappa-1}\right) .
\]

Если предположить, что $M$ – один из приводимых интегралов, то его $2 p$ периодов можно линейно и с целочисленными коэффициентами выразить всего лишь через $2 q$ периодов $\omega_{1}, \ldots, \omega_{2 q}$, и я получаю
\[
x_{\varkappa}=\sum_{j=1}^{2 q} x_{\varkappa j} \omega_{j} \quad(\varkappa=1,2, \ldots, 2 p) \text {, }
\]

где $m_{\varkappa}$ – целые рациональные числа. Если теперь $M$ и $M^{\prime}$ – интегралы первого рода, то, как известно,
\[
F(x, y)=0 .
\]

Если в это уравнение подставить выражение для $x$ через $\omega$, то получится билинейное уравнение между $y$ и $\omega$, которое можно записать в следующем виде:
\[
\sum_{j=1}^{2 q} H_{j} \omega_{j}=0 .
\]

Пусть теперь $u_{1}, \ldots, u_{p}-p$ линейно независимых интегралов первого рода кривой $C$. Тогда мы можем положить
\[
\begin{aligned}
U & =\mu_{1} u_{1}+\mu_{2} u_{2}+\ldots+\mu_{p} u_{p}, \\
U^{\prime} & =\mu_{1}^{\prime} u_{1}+\mu_{2}^{\prime} u_{2}+\ldots+\mu_{p}^{\prime} u_{p} .
\end{aligned}
\]

Остающиеся пока неопределенными коэффициенты $\mu^{\prime}$ следует найти таким образом, чтобы они удовлетворяли $2 q$ линейным уравнениям
\[
H_{j}=0 \quad(j=1,2, \ldots, 2 q) .
\]

Если еще заметить, что эти $2 q$ уравнений не являются линейно независимыми, и между ними имеются $q$ соотношений
\[
\sum H_{j} \omega_{j}=0,
\]

а поэтому легко понять, что $M_{1}$ также приводима и что, так как $M$ принадлежит семейству из $q$ приводимых интегралов, то $M^{\prime}$ является элементом $(p-q)$-кратного бесконечного линейного семейства приводимых интегралов. Это только предварительное соображение.

Я замечу, что $H_{j}$ является линейной функцией от $y_{\varkappa}$, поэтому можно записать
\[
H_{j}=\sum_{1}^{2 p} h_{i j} y_{i} \quad(j=1,2, \ldots, 2 q),
\]

где $h_{i j}$ – рациональные числа. Из элементов $m_{i \varkappa}$ и $h_{i \varkappa}$ я сформулирую две таблицы из $2 q$ столбцов и $2 p$ строк. Из обоих я сформирую определенные $n$-рядные детерминанты. Я также обозначу числа $m$ через $D$ и соответственно числа $h$ через $D^{\prime}$.
Тогда будем иметь
\[
J=\sum D D^{\prime} .
\]

Величина $J$ является инвариантным членом в следующем смысле: она остается без изменений, если какую-либо систему периодов $x$ или $\omega$ заменить на эквивалентную. При этом назовем две системы периодов эквивалентными, если они целочисленно и линейно выражаются друг через друга. Теперь можно с одной стороны доказать, что
\[
J=\varkappa^{2},
\]

а с другой
\[
J=n^{2} .
\]

Из этого следует, что $\varkappa=0$, что и заканчивает доказательство. Перейдем к другому доказательству.

Второе доказательство существенно короче. Оно основано на сравнении принадлежащих к $S$ и $S^{\prime}$ билинейных форм $F(x, y)$ и $\Phi\left(\omega, \omega^{\prime}\right)$. С одной стороны, имеем
\[
F(x, y)=n \Phi\left(\omega, \omega^{\prime}\right),
\]

с другой,
\[
F(x, y)=\varkappa \Phi\left(\omega, \omega^{\prime}\right) .
\]

Из этого вытекает, что $\varkappa=n$.
Я подхожу теперь к связи теории приведения с теорией фуксовых функций.

Как известно, каждая алгебраическая кривая $C$ определяется системой фуксовых функций. Теперь применим то обстоятельство, что кривая $C$ является многократной кривой для $C^{\prime}$ следующим образом. Всегда справедливо, что кривая $C^{\prime}$ определяет группу окружности $G^{\prime}$, и аналогично, кривая $C$ определяет группу $G$, при этом $G$ является подгруппой $G^{\prime}$. Из того, что кривая $C$ является $n$-кратной кривой $C$, следует, что $G$ является подгруппой $G^{\prime}$ индекса $n$. Можно получить при этом фундаментальные области $G$ и $G$, которые оказываются связанными друг с другом. Получен $P$, ограничивающий $G$, развивается на $n$ полиномов $P^{\prime}(\beta)$, которые эквивалентны друг другу в смысле псевдоевклидовой геометрии.

Я обозначу сторону полигона $P^{\prime}$ через $\gamma(\alpha)$ и аналогичную сторону в $P^{\prime}(\beta)$ через $\gamma(\alpha, \beta)$. Сторона $\gamma(\alpha, \beta)$ лежит или внутри или на границе $P$. Я буду предполагать, что сторона $\gamma(\alpha)$ переходит в $\gamma\left(\alpha^{\prime}\right)$ при групповой операции $G G^{\prime}$. Если теперь $\gamma(\alpha, \beta)$ лежит на границе $P$, то имеется еще одна сторона $\gamma\left(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}\right)$ на этой границе, которая конгруентна исходной при действии $G$. Если же $\gamma(\alpha, \beta)$ лежит во внутренности $P$,
то подобной отличной стороны не существует, но $\gamma(\alpha, \beta)$ и $\gamma\left(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}\right)$ связаны друг с другом и образуют общую сторону для $P^{\prime}(\beta)$ и $P^{\prime}\left(\beta^{\prime}\right)$. Но при этом всегда справедливо, что всякая сторона $\gamma(\alpha)$ полигона $P^{\prime}$ получается при перестановке $n$ цифр $1,2, \ldots, n$.

Проведенное выше рассмотрение аналогичным образом можно распространить на углы полигона $P^{\prime}$. Мы можем объединить стороны в пары и разбить углы на циклы таким образом, что угол одного цикла получается при помощи операции (действия) $G$ над другим циклом. При этом каждый цикл снова можно определить некоторой перестановкой цифр $1,2, \ldots, n$, которые становятся упорядоченными, подобно сторонам. Я предположу теперь, что полигон $P$ имеет $2 N$ сторон и $Q$ угловых циклов. Подобные обозначения введем и для $P^{\prime}: 2 N^{\prime}$ и $Q^{\prime}$. Один угловой цикл $P^{\prime}$, соответствующий перестановкам, разбивается в циклические перестановки. Для всех угловых циклов может быть целое число $\lambda_{i}$ циклических перестановок для некоторой цифры $i$. Далее можно установить следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
2 p=N-Q+1 \\
2 q=N^{\prime}-Q^{\prime}+1 \\
Q+2 p-2=n\left(Q^{\prime}+2 q-2\right) \\
n\left(Q^{\prime}-Q\right)=2(p-1)-2 n(q-1) \\
\sum \lambda_{i}=Q \\
\sum i \lambda_{i}=n Q^{\prime} .
\end{array}
\]

Изложенные выше общие соображения позволяют нам теперь вывести несколько красивых и важных теорем о неевклидовой геометрии многоугольников, образованных дугами окружностей, а также геометрии алгебраческих кривых. Я приведу далее несколько примеров таких теорем, не останавливаясь на доказательствах. Впрочем, основные идеи доказательств содержатся в заключительной части моего доклада.
1) $p=3, q=2, n=2, m=m^{\prime}=4$.
Через $m$ и $m^{\prime}$ обозначены порядки кривых $C$ и $C^{\prime}$. Кривая $C$ не имеет двойных точек, кривая $C^{\prime}$ имеет одну двойную точку. Из 28 двойных касательных к С 6 проходят через одну точку вне кривой.
2) $p=4, q=2, n=2, m=4, m^{\prime}=5$.
У кривой $C$ две двойные точки, у кривой $C^{\prime}$ – только одна. Если дифференциалы приводимых интегралов первого рода положить равными нулю, то мы получим пучок конических сечений, четырьмя базисными точками которого служат двойные точки кривой $C$ и две другие точки той же кривой. Шесть этих конических сечений дважды касаются кривой $C$. Те из них, которые касаются кривой $C$ в базисной точке, соприкасаются сами собой в этой точке.
3) $p=2, q=1, n=1$.
Кривая $C$ – кратное двух различных кривых $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime}$. Существует фуксова группа $G$, для которой можно построить как первый многоугольник $P_{1}$, состоящий из двух многоугольников группы $G^{\prime}$, соответствующей кривой $C^{\prime}$, так и второй многоугольник $P_{2}$, состоящий из двух многоугольников группы $G^{\prime \prime}$, соответствующей кривой $C^{\prime \prime}$. Таким образом, $G$ содержится и в $G^{\prime}$, и в $G^{\prime \prime}$ как подгруппа индекса 2 . Схематический чертеж на рис. 5 помогает составить наглядное представление об отношениях между многоугольниками. Две упомянутые выше фундаментальные области $P_{1}$ и $P_{2}$ группы $G$ представлены многоугольниками с вершинами $A$ и $C$. Каждый из этих многоугольников распадается на два шестиугольника – фундаментальные области группы $G^{\prime}$ или $G^{\prime \prime}$. Чтобы сделать более наглядной эквивалентность $P_{1}$ и $P_{2}$, центры симметрии упомянутых шестиугольников соединены с серединами сторон, чтобы все многоугольники можно было легче построить из получающихся четырехугольников.

Перехожу к теоремам из геометрии алгебраических кривых, которым нас учит этот пример. Если $M^{\prime}$ – точка на кривой $C^{\prime}$, то на кривой $C$ ей соответствуют две точки $M_{a}$ и $M_{b}$. Каждой из них на кривой $C^{\prime \prime}$ соответствует по одной точке: $M_{a}^{\prime \prime}$ и $M_{b}^{\prime \prime}$. Следовательно, в общем случае каждой точке кривой $C^{\prime}$ соответствуют две точки кривой $C^{\prime \prime}$. Точно так же мы заключаем, что в общем случае каждой точке кривой $C^{\prime \prime}$ соответствуют две точки кривой $C^{\prime}$. Соответствие $\left(C^{\prime}, C^{\prime \prime}\right.$ ) имеет две точки ветвления $M_{1}^{\prime}$ и $M_{2}^{\prime}$. Следовательно, каждой из них соответствует только одна точка кривой $C$, а также только одна точка кривой $C^{\prime \prime}: M_{1}^{\prime \prime}$ и $M_{2}^{\prime \prime}$. Соотношение $\left(C^{\prime \prime}, C\right.$ ) также имеет две точки ветвления $N_{1}^{\prime \prime}$ и $N_{2}^{\prime \prime}$. Каждой из них соответствует только одна точка кривой $C^{\prime}: N_{1}^{\prime}$ и $N_{2}^{\prime}$. Первую из теорем, которые мы хотели привести, можно сформулировать следующим образом.

Точки $N_{1}^{\prime}$ и $N_{2}^{\prime}$, с одной стороны, и точки $M_{1}^{\prime \prime}$ и $M_{2}^{\prime \prime}$, с другой, совпадают.

Перехожу ко второй теореме, которая имеет место, когда кривые $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime}$ третьего порядка.

Рис. 5
В точке $N_{1}^{\prime}=N_{2}^{\prime}$ я могу провести касательную к кривой $C^{\prime}$. Соединяю затем точки $M_{1}^{\prime}$ и $M_{2}^{\prime}$ секущей. Касательная и секущая пересекаются в точке, лежащей на кривой $C^{\prime}$. Точно так же я могу провести через точку $M_{1}^{\prime \prime}=M_{2}^{\prime \prime}$ касательную к кривой $C^{\prime \prime}$ и продолжить ее до пересечения с секущей $N_{1}^{\prime \prime} N_{2}^{\prime \prime}$. Точка пересечения лежит на кривой $C^{\prime \prime}$. Эти немногочисленные примеры позволяют понять, сколь многочисленны различные частные случаи.