Для того чтобы продолжить рассуждения, я введу новое понятие. Рассмотрим замкнутый контур $C$, пробегаемый в определенном направлении движущейся точкой $P$, и точку $M$; коэффициентом контура $C$ будет число $m$, если угол вектора $M P$ с фиксированным направлением увеличивается на $2 m \pi$, когда точка $P$ описывает целиком контур $C$. Углы отсчитываются в направлении, противоположном принятому в тригонометрии. Контур будет положительным, если его коэффициент по отношению к произвольной точке плоскости всегда положителен или нуль; он будет называться отрицательным, если этот коэффициент всегда отрицателен или нуль; он будет определенным, если окажется или положительным, или отрицательным.

Пусть $A B C D A$ и $E C B F E$ — два замкнутых контура. Можно объединить их, исключая общие части $B C$ и $C B$, которые в обоих составляющих контурах пробегались в противоположных направлениях; в результате этого получится контур $A B F E C D A$. Можно записать
\[
A B C D A+E C B F E=A B F E C D A
\]

или
\[
A B C D A=A B F E C D A-E C B F E .
\]

Так мы определим сумму или разность двух контуров; подобно этому, можно было бы определить сумму и разность и нескольких контуров. Очевидно, что если один контур является суммой нескольких других, то его коэффициент по отношению к произвольной точке $M$ равен сумме коэффициентов составляющих контуров.

Определим теперь знак дуги $X=x$ или дуги $X=c$. Дуга $X=x$ положительна, если она принадлежит положительной ветви, пробегаемой с подъемом, или отрицательной ветви, пробегаемой со спуском; она отрицательна, если принадлежит отрицательной ветви, пробегаемой с подъемом, или положительной ветви, пробегаемой со спуском. Слово «положительная» не имеет, следовательно, одного и того же смысла в рассуждениях о ветви и о дуге, так как в случае ветви (ср. §4) знак не зависит от направления движения.

Пусть $A B$ — положительная дуга, принадлежащая положительной ветви $X=x$, пробегаемой с подъемом, как это показано стрелкой на рис. 3. Преобразованная из нее дуга $A^{\prime} B^{\prime}$, следовательно, находится справа от нее; замкнем контур $A B B^{\prime} A^{\prime} A$, проведя горизонтали $B B^{\prime}$ и $A^{\prime} A$ (это — горизонтали спрямленного изображения, уравнение которых есть $x=$ const). Очевидно, что определенный таким образом контур положителен, что и оправдывает название положительной дуги.

Можно обобщить это и ввести понятие дуг $X=x$, компенсированно положительных или отрицательных.

Рис. 3
Рис. 4

Пусть дана дуга $D C B A$, принадлежащая положительной кривой $X=x$, и пусть на этой дуге имеем обратную вершину $C$ и обратное основание $B$, причем так, что $A$ находится над $D$, тогда как $C$ и $B$ расположены на промежуточной высоте; дуга эта пробегается в направлении, показанном стрелкой. Тогда можно построить преобразованную дугу $D^{\prime} C^{\prime} B^{\prime} A^{\prime}$, которая расположена так, как показано на рис. 4 , и замкнуть обе дуги горизонталями $A A^{\prime}$ и $D^{\prime} D$. Ясно, что контур $D C B A A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} D$ положителен, и дугу $D C B A$ мы назовем компенсированно положительной. Ниже мы все же не будем пользоваться компенсированно положительными дугами.

Перейдем теперь к дугам $X=c$. Пусть $A M B$ — одна из этих дуг, пробегаемая в направлении $A M B$.

Рассмотрим на спрямленном изображении хорду $B A$ этой дуги, которая принадлежит горизонтали $x=c$, если, как мы это предполагаем, концы $A$ и $B$ будут точками пересечения $X=c$ и $x=c$. Рассмотрим контур $A M B A$, образованный этой дугой и ее хордой. Дугу мы назовем определенной, положительной или отрицательной, в зависимости от того, определенным, положительным или отрицательным является сам контур.

Элементарные дуги всегда являются определенными; знак дуги $A M B$ тот же, что и знак произведения $\alpha \beta \gamma$, где:
$\alpha=+1$, если номер и ранг $A$ нечетные, и $\alpha=-1$, если они четные;
$\beta=+1$, если ранг $A$ меньше ранга $B$, и $\beta=-1$ в противоположном случае;
$\gamma=+1$, если номер $A$ меньше номера $B$, и $\gamma=-1$ в противоположном случае; действительно, дуга $A M B$ пробегается слева направо, если $\beta=+1$; она находит над своей хордой тогда, когда $\alpha \gamma=+1$.

В качестве второго примера рассмотрим случай дуги $A M B$, причем ранги $A$ и $B$ будут последовательными на рассматриваемом уровне; подобная дуга всегда является определенной; знак ее опять-таки совпадает со знаком произведения $\alpha \beta \gamma$.