Comptes rendus l’Académie des Sciences, t. 132, p. 369-371
(18 février 1901)

При исследовании вращательного движения твердых тел с полостью, заполненной жидкостью, общие уравнения механики могут быть представлены в форме, удобной для последующих обобщений.

Предположим, что имеется $n$ степеней свободы, обозначим через $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ – переменные, которые определяют положение системы. Пусть $T$ и $U$ – кинетическая и потенциальная энергии.

Рассмотрим непрерывную транзитивную группу ${ }^{1}$. Пусть $X_{i}(f)-$ любое бесконечно малое преобразование этой группы, такое, что
\[
X_{i}(f)=X_{i}^{1} \frac{d f}{d x_{1}}+X_{i}^{2} \frac{d f}{d x_{2}}+\ldots+X_{i}^{n} \frac{d f}{d x_{n}} .
\]

Эти преобразования, образующие группу ${ }^{2}$, удовлетворяют соотношениям
\[
X_{i} X_{k}-X_{k} X_{i}=\sum c_{i k, s} X_{s} .
\]

Можно полагать (поскольку эта группа транзитивная), что
\[
x_{\mu}^{\prime}=\frac{d x_{\mu}}{d t}=\eta_{1} X_{1}^{\mu}+\eta_{2} X_{2}^{\mu}+\ldots+\eta_{r} X_{r}^{\mu},
\]

то есть из положения $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right.$ ) системы можно перейти к бесконечно близкому положению ( $x_{1}+x_{1}^{\prime} d t, \ldots, x_{n}+x_{n}^{\prime} d t$ ) при помощи бесконечно малого преобразования группы вида $\sum \eta_{i} d t X_{i}(f)$.
${ }^{1} \mathrm{~B}$ современной терминологии – группа Ли. – Прим. перев.
${ }^{2} \mathrm{~B}$ современной терминологии – алгебру Ли. – Прим. перев.

Вместо того, чтобы выражать кинетическую энергию $T$ как функцию от $x^{\prime}$ и $x$, выразим ее через $\eta$ и $x$. Зададим для $\eta$ и $x$ виртуальные приращения $\delta \eta$ и $\delta x$, для приращений $T$ и $U$ находим
\[
\delta T=\sum \frac{d T}{d \eta} \delta \eta+\sum \frac{d T}{d x} \delta x ; \quad \delta U=\sum \frac{d U}{d x} \delta x .
\]

Учитывая, что группа является транзитивной, можно положить, что
\[
\delta x_{\mu}=\omega_{1} X_{1}^{\mu}+\omega_{2} X_{2}^{\mu}+\ldots+\omega_{r} X_{r}^{\mu},
\]

то есть из положения системы $x_{i}$ можно перейти в бесконечно близкое состояние $x_{i}+\delta x_{i}$ через бесконечно малое преобразование группы $\sum \omega_{i} X_{i}(f)$. Положим, что
\[
\sum\left(\frac{d T}{d x}-\frac{d U}{d x}\right) \delta x=\sum \Omega_{i} \omega_{i} .
\]

Тогда для интеграла Гамильтона
\[
J=\int(T-U) d t
\]

будем иметь
\[
\delta J=\int\left(\sum \frac{d T}{d \eta_{i}} \delta \eta_{i}+\sum \Omega_{i} \omega_{i}\right) d t .
\]

Несложно получить соотношения
\[
\delta \eta_{i}=\frac{d \omega_{i}}{d t}+\sum c_{s k i} \eta_{k} \omega_{s} .
\]

Из принципа наименьшего действия находим
\[
\frac{d}{d t} \frac{d T}{d \eta_{s}}=\sum c_{s k i} \frac{d T}{d \eta_{i}} \eta_{k}+\Omega_{s} .
\]

Частными случаями уравнений (1) являются
$1^{\circ}$ Уравнения Лагранжа, в этом случае группа сводится к трансляциям, которые увеличивают каждую из переменных $x_{i}$ на бесконечно малую постоянную.
$2^{\circ}$ Уравнения Эйлера для вращения твердых тел, где в качестве $\eta_{i}$ используются составляющие поворота $p, q, r$, а $\Omega_{s}$ соответствует парам внешних сил.

Они особенно интересны в случае, когда $U=0$, а $T$ зависит только от $\eta$.