Представим себе некоторый контур $C$, замкнутый в широком смысле и образованный исключительно дугами $X=x$ и дугами $X=c$, причем дуги или все положительны, или все отрицательны; направление, в котором пробегается контур $C$, задано. Пусть $C^{\prime}$ – контур, преобразованный из $C$; он составлен из дуг $(X)=x$ и дуг $x=c$.

Я утверждаю, что для того, чтобы установить теорему, являющуюся предметом настоящего мемуара, достаточно установить существование этого контура $C$.

Для этого я постараюсь определить индексы контура $C-C^{\prime}$ относительно некоторой точки плоскости, но воспользуюсь круговым изображением, чтобы контуры $C$ и $C^{\prime}$ были замкнутыми.
Итак, пусть
\[
A_{1} B_{1} M A_{2} B_{2} M_{2} \ldots A_{n} B_{n} M_{n} A_{1}
\]
– контур $C$, и
\[
A_{1}^{\prime} B_{1}^{\prime} M_{1}^{\prime} \ldots M_{n}^{\prime} A_{1}^{\prime}
\]
– преобразованный из него контур $C^{\prime}$; дуги $A_{i} B_{i}$ будут дугами $X=x$, и для определенности рассуждения пусть все они положительны; дуги $B_{i} M_{i} A_{i+1}$ будут дугами $X=\mathrm{const}$, и все они также положительны; дуги $A_{i}^{\prime} B_{i}^{\prime}$ будут дугами $(X)=x$, а дуги $B_{i}^{\prime} M_{i}^{\prime} A_{i+1}^{\prime}$ дугами $x=c$. Точки $A_{i}$, и $A_{i}^{\prime}$ (или же $B_{i}$, и $B_{i}^{\prime}$ ) находятся на одной и той же высоте на спрямленном изображении, так что мы можем начертить дуги $A_{i} A_{i}^{\prime}$ и $B_{i} B_{i}^{\prime}$, которые будут дугами $x=c$, т. е. горизонталями при спрямленном изображении и окружностями при круговом изображении. Тогда получим
\[
\begin{aligned}
C-C^{\prime} & =A_{1} B_{1} B_{1}^{\prime} A_{1}^{\prime} A_{1}+B_{1} M_{1} A_{2} A_{2}^{\prime} M_{1}^{\prime} B_{1}^{\prime} B_{1}+A_{2} B_{2} B_{2}^{\prime} A_{2}^{\prime} A_{2}+ \\
& +B_{2} M_{2} A_{3} A_{3}^{\prime} M_{2}^{\prime} B_{2}^{\prime} B_{2}+\ldots+B_{n} M_{n} A_{1} A_{1}^{\prime} M_{n}^{\prime} B_{n}^{\prime} B_{n} .
\end{aligned}
\]

Действительно, если мы рассмотрим различные слагаемые в правой части, то увидим, что дуга $B_{1} B_{1}^{\prime}$ первого уничтожается дугой $B_{1}^{\prime} B_{1}$ второго, а дуга $A_{2} A_{1}^{\prime}$ второго уничтожается дугой $A_{2}^{\prime} A_{2}$ третьего и т. д. и, в конце концов, дуга $A_{1} A_{1}^{\prime}$ последнего уничтожается дугой $A_{i}^{\prime} A_{i}$ первого.

Контур $A_{1} B_{1} B_{1}^{\prime} A_{1}$ аналогичен (если возвратиться к спрямленному изображению) контуру фигуры; контур $B_{1} M_{1} A_{2} A_{2}^{\prime} M_{1}^{\prime} B_{1}^{\prime} B_{1}$ образован дугой $B_{1} M_{1} A_{2}$ и ее хордой (опять-таки на спрямленном изображении) и т.д. Все эти контуры положительны, так как дуги $A_{1} B_{1}$, $B_{1} M_{1} M_{2}, \ldots$ положительны.

Итак, контур $C-C^{\prime}$ положителен. Я утверждаю: это доказывает, что здесь не может быть положительного интегрального инварианта. Действительно, пусть $I$ – подобный инвариант. Пусть $I(R)$ будет тем, что дает этот инвариант, когда интегрирование распространено на область $R$.

Контуры $C$ и $C^{\prime}$ разделят плоскость (на круговом изображении) на некоторое число областей $R_{i}$; положим,
\[
I(C)=\sum N_{k} I\left(R_{k}\right), \quad I\left(C^{\prime}\right)=\sum N_{k}^{\prime} I\left(R_{k}\right),
\]

где $N_{k}$ – индекс контура $C$ и $N_{k}^{\prime}$ – индекс контура $C^{\prime}$ относительно произвольной точки области $R_{k}$ (ясно, что эти индексы будут одинаковыми для двух точек, принадлежащих одной и той же области $R_{k}$ ). Так как $I$ является инвариантом, то должно иметь место равенство
\[
I(C)=I\left(C^{\prime}\right) .
\]

С другой стороны, так как контур $C-C^{\prime}$ положителен, то
\[
N_{k} \geqslant N_{k}^{\prime},
\]

причем знак равенства не может иметь места для всех областей, ибо наши два контура не совпадают; с другой стороны, поскольку инвариант положителен, то отсюда
\[
I\left(R_{k}\right)>0
\]

и, следовательно,
\[
I(C)>I\left(C^{\prime}\right),
\]

что противоречиво.
Если, в частности, контур $C$ не имеет двойной точки (на круговом изображении), то он не сможет пересечь преобразованного контура $C^{\prime}$, так что один из этих контуров будет находиться целиком внутри другого; это справедливо для большинства примеров, которые мы рассмотрим ниже.

Кроме контуров $C$ и $C^{\prime}$, мы рассмотрим другие контуры $C^{\prime \prime}$ и $C^{\prime \prime \prime}$, определенные следующим образом. Контур $C^{\prime \prime}$ выводится из контура $C$ заменой в нем каждой из дуг $X=c$ ее хордой (на спрямленном изображении); контур же $C^{\prime \prime}$ будет преобразованным из него, так что
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline$C$ & образуется из дуг & $X=x$ & и из дуг & $X=c$ \\
\hline$C^{\prime}$ & $》$ & $(X)=x$ & $\gg$ & $x=c$, \\
\hline$C^{\prime \prime}$ & $»$ & $(X)=x$ & $»$ & $x=c$, \\
\hline$C^{\prime \prime \prime}$ & $»$ & $(X)=x$ & »» & $(X)=c$. \\
\hline
\end{tabular}

Итак, контуры $C^{\prime \prime \prime}$ и $C^{\prime \prime}$ являются относительно обратного преобразования $T^{-1}$ тем же, чем $C$ и $C^{\prime}$ относительно $T$. Действительно, от одного случая к другому можно перейти, заставив $(X)$ играть роль $X$, и наоборот.

Я утверждаю теперь, что если дуги, из которых образован $C$, имеют один и тот же знак, например, если все они положительны, то те, которые образуют $C^{\prime \prime \prime}$, будут также одного знака, я хочу сказать, что они все будут отрицательными.

Если $A$ является одной из дуг $C$, принадлежащей, например, кривой $X=x$, положительной и пробегаемой вверх, то преобразованная из нее дуга $A^{\prime}$ будет входить в состав $C^{\prime \prime \prime}$, причем пробегается также вверх. Однако, относительно $T^{-1}$ она будет принадлежать к отрицательной кривой $(X)=x$, действительно, если $A^{\prime}$, преобразованная из $A$ с помощью $T$, находится справа от $A$, то $A$, преобразованная из $A^{\prime}$ с помощью $T^{-1}$, будет находиться слева от $A^{\prime}$.

Пусть теперь $A M B$ – дуга $X=c$, составляющая часть $C$, а $A B-$ ее хорда, являющаяся частью $C^{\prime \prime}$. Пусть затем $A^{\prime} M^{\prime} B^{\prime}$ и $A^{\prime} B^{\prime}$ дуги, преобразованные из первых, и соответственно являющиеся частями $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime \prime}$. Тогда $A B$ и $A^{\prime} M^{\prime} B^{\prime}$ составят часть кривой $x=c$, а $A^{\prime} B^{\prime}-$ часть кривой $(X)=c$, так что на спрямленном изображении $A B$ окажется хордой $A M B$, тогда как $A^{\prime} M^{\prime} B^{\prime}$ станет хордой $A^{\prime} B^{\prime}$. Если затем контур $A M B A$, образованный $A M B$ и ее хордой, положителен, то положительным будет и преобразованный из него контур $A^{\prime} M^{\prime} B^{\prime} A^{\prime}$, а обратный контур $A^{\prime} B^{\prime} M^{\prime} A^{\prime}$, образованный дугой $A^{\prime} B^{\prime}$ и ее хордой, будет отрицательным. Это и следовало доказать.

Таким образом, очевидно, что если $C-C^{\prime}$ является положительным, то то же самое будет и с $C^{\prime}-C^{\prime \prime \prime}$; следовательно, безразлично, рассматривать ли $C, C^{\prime}$ и $T$ или же $C^{\prime \prime \prime}, C^{\prime \prime}$ и $T^{-1}$.