Bulletin astronomique, t. 28, p. 251-266 (juillet 1911)

1. Известно, что в космогонической гипотезе Лапласа предполагается, что первичная туманность, стягиваясь, образует ряд колец, из которых затем происходят различные планеты. Можно спросить себя, каковы условия устойчивости этих колец и какова причина их разрушения. Роша определил условия их образования следующим путем. Необходимо предположить, что туманность очень сильно уплотнена к центру и состоит из отчетливо выраженного сферического ядра и очень разреженной атмосферы; сравнение моментов вращения безусловно заставляет нас делать такие предположения. Итак, пусть $M$ – масса ядра, $\omega$ – скорость вращения, предполагаемого равномерным, $r$ – расстояние от точки $x, y, z$ до начала координат. За ось вращения примем ось $x$. Уравнение свободной поверхности атмосферы будет
\[
\frac{\omega^{2}}{2}\left(z^{2}+y^{2}\right)+\frac{M}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=C,
\]

поверхность вращения с меридианальным сечением
\[
\frac{\omega^{2} y^{2}}{2}+\frac{M}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=C .
\]

Для некоторых значений постоянной $C$ эта кривая имеет две двойных точки, и тогда происходит образование колец из атмосферы.

Если придать $C$ эти значения, у кривой будут бесконечные ветви, так что если уравнение (1) оставалось бы в силе, то отделившиеся части центральной массы не смогли бы образовать кольца и улетели бы на бесконечность. Однако ясно, что эти части не сумели бы сохранить неизменной угловую скорость $\omega$, которая до этого момента предполагалась постоянной. Став изолированными, они не примут больше участия
в общем вращении, и их угловая скорость будет уменьшаться согласно закону площадей по мере того, как они будут удаляться от оси.

Таким образом, по меньшей мере у двойных точек нельзя рассматривать $\omega$ как постоянную, и маловероятно, что эта равномерность вращения могла бы поддерживаться в очень разреженной атмосфере туманности. Поэтому отныне будем предполагать, что $\omega$ меняется согласно некоторому закону. Кроме того, для вывода уравнения (1) мы пренебрегали притяжением этой атмосферы из-за ее низкой плотности. Так больше делать нельзя: это и само по себе очевидно, и сверх того, в дальнейшем мы увидим, что полагая притяжение равным нулю, мы пришли бы к заключению о неустойчивости колец.
Уравнения гиростатики дают нам следующее:
\[
\frac{d P}{d x}+\frac{1}{\rho} \frac{d p}{d x}=0, \quad \frac{d P}{d y}+\frac{1}{\rho} \frac{d p}{d y}=\omega^{2} y, \quad \frac{d P}{d z}+\frac{1}{\rho} \frac{d p}{d z}=\omega^{2} z,
\]

где $p$ – давление, $\rho$ – плотность газа или жидкости, $P$ – потенциал притяжения.
Эти уравнения можно записать как
\[
d P+\frac{d p}{\rho}=\omega^{2} R d R,
\]

полагая $R^{2}=y^{2}+z^{2}$. Предположим, что $p$ функция от $\rho$ (так будет происходить в большинстве случаев и, в частности, если туманность находится либо в изотермическом либо в адиабатическом равновесии). Тогда $\frac{d p}{\rho}$ является точным дифференциалом, а стало быть, $\omega^{2} R d R$ тоже должен быть точным, т.е. $\omega$ зависит только от $R$. Следовательно, полагаем
\[
\frac{d p}{\rho}=d \pi, \quad \omega^{2} R d R=d \varphi(R),
\]

тогда из уравнения (2) получим, что
\[
P+\pi=\varphi(R)+\text { const. }
\]

На свободной поверхности $\pi$ должно быть равным нулю, таким образом, уравнение этой свободной поверхности будет выглядеть как
\[
\varphi-P=C .
\]

Если предположить, что $\omega$ является постоянной, и пренебречь притяжением атмосферы, то получим
\[
\varphi=\frac{\omega^{2}}{2} R^{2}, \quad P=-\frac{M}{r}
\]

и мы вновь сталкиваемся с уравнением Роша
\[
\frac{\omega^{2}}{2} R+\frac{M}{r}=C
\]

В общем случае полагаем
\[
P=-\frac{M}{r}+\delta P
\]

где член $\delta P$ очень мал и возникает вследствие притяжения атмосферы. Обсудим форму поверхности (3). Сразу видно, что это поверхность вращения. По причине симметрии она допускает в общем случае плоскость экваториальной симметрии, которая будет плоскостью $x=0$. Предположим, что мы хотим изучить пересечение поверхности прямой, параллельной оси $x$. Видно, что вдоль этой прямой $\varphi$ постоянна, тогда как $\frac{M}{r}$ начинает расти, когда $|x|$ приближается к нулю. Если пренебречь $\delta P$, то это приведет к заключению, что первый член уравнения (3), когда изменяется только $x$, имеет единственный максимум при $x=0$ и, следовательно, любая прямая, параллельная оси $x$, пересекает поверхность не более, чем в двух точках. Это заключение не изменится, когда мы перейдем к следующим приближениям, поскольку выражение $-\delta P$, возникающее вследствие притяжения атмосферы, также достигает максимума при $x=0$, так как движущееся тело, обязанное двигаться по прямой, параллельной оси $x$, и находящееся под действием притяжения атмосферы, будет стремиться приблизиться к плоскости $x=0$. Это очевидно, если эта атмосфера ограничена поверхностью, которую каждая прямая, параллельная оси $x$, пересекает максимум в двух точках, симметричных относительно плоскости $x=0$. Итак, можно определить форму этой атмосферы последовательными приближениями. Сначала пренебрежем $\delta P$; во втором приближении примем за $\delta P$ потенциал, вызванный притяжением атмосферы, ограниченной поверхностью, которая была вычислена в первом приближении и т. д. Предельная поверхность удовлетворяет условию в первом приближении и, как только что было показано, если она удовлетворяет условию в $n$-м приближении, то она будет удовлетворять ему и в $(n+1)$-м приближении. Следовательно, она также будет удовлетворять этому условию и во всех последующих приближениях.

Можно возразить, что знания свободной поверхности будет недостаточно для определения $\delta P$, и так как плотность атмосферы является переменной, необходимо знать все поверхности одинаковой плотности, то есть все поверхности, где $\pi=$ const. Но все эти поверхности будут удовлетворять вышеизложенному условию в первом приближении, и так же проверяется, что если они удовлетворяют ему в $n$-м приближении, то они будут удовлетворять ему и в $(n+1)$-м приближении.

Таким образом заключаем, что поверхность (3) пересекается любой прямой, параллельной оси $x$, не более чем в двух точках, симметричных относительно экваториальной плоскости $x=0$.

Чтобы изучить эту поверхность, или скорее ее меридианальное сечение, достаточно изучить вариацию выражения
\[
\varphi(y)-P(y),
\]
т. е. первого члена уравнения (3), где $x=z=0$. Если
\[
\varphi\left(y_{0}\right)-P\left(y_{0}\right)>C,
\]

то поверхность (3) пересекает прямую $y=y_{0}, z=z_{0}$ в двух точках, и они не пересекаются, если
\[
\varphi\left(y_{0}\right)-P\left(y_{0}\right)<C .
\]

Если наша атмосфера не простирается бесконечно, то выражение (4) для очень большого $y$ должно быть меньше, чем $C$; оно бесконечно для $y=0$, потому что $\frac{M}{r}=\frac{M}{y}=+\infty$. Необходимо рассмотреть последовательные максимумы и минимумы выражения (4). Одним из самых простых является случай, где выражение (4) при уменьшении $y$ от $+\infty$ до 0 сначала растет, достигнув максимума при $y=y_{0}$, затем уменьшается, достигнув минимума для $y=y_{1}$, и затем снова растет до бесконечности.

Обозначим через $C_{0}$ максимум, а через $C_{1}$ минимум. Если возьмем $C=C_{1}$, то меридианальная кривая, симметричная относительно двух осей, имеет две двойных точки, как показано на рисунке. Двойные точки $A$ и $A^{\prime}$ имеют координаты
\[
x=z=0, \quad y= \pm y_{1},
\]

а точки $B$ и $B^{\prime}$ имеют координаты
\[
x=z=0, \quad y= \pm y_{0}
\]

и соответствуют максимуму выражения (4).
Если вращать меридианальную кривую вокруг оси $x$, то она заметет поверхность вращения с двойной кривой. Видно, что кольцо, заметенное $A M C$ и $A^{\prime} M^{\prime} C^{\prime}$ стремится к тому, чтобы отделиться от центральной массы, заметенной $A N A^{\prime} N^{\prime}$.

Если бы мы сначала пренебрегли $\delta P$, то мы имели бы
\[
-P(y)=\frac{M}{y} .
\]

Для того, чтобы выражение (4) имело минимум, необходимо для начала, чтобы
\[
\frac{d}{d y}(\varphi-P)=\omega^{2} y-\frac{M}{y^{2}}=0,
\]
т. е. чтобы $\omega^{2} y^{3}=M$. Тогда $\omega$ является угловой скоростью на круговой орбите радиуса $y$, заданной третьим законом Кеплера; далее, необходимо, чтобы
\[
\frac{d^{2}}{d y^{2}}(\varphi-P)>0
\]

или
\[
\omega^{2}+2 \omega \omega^{\prime} y+\frac{2 M}{y^{2}}=3 \omega^{2}+2 \omega \omega^{\prime} y<0 .
\]

Это означает, что $\omega^{3} y^{3}$ должно увеличиваться вместе с $y$. Следовательно, все законы зависимости $\omega$ от $y$ не допускают образования колец.

Если рассмотреть туманность с очень слабыми конвекционными токами, то взаимное трение различных частей будет сохранять равномерность вращения, $\omega$ будет постоянной, $\omega^{2} y^{3}$ будет возрастающей функцией, и образование колец станет возможным. Если перейти к крайней противоположности и предположить очень мощные конвекционные токи, то в силу принципа площадей, произведение $\omega y^{2}$ будет стремиться к сохранению для газообразной массы, переносимой этими токами; так как эти токи перемешивают всю массу, функция $\omega y^{2}$ станет постоянной. Это можно было бы назвать адиабатическим равновесием аналогично термическому равновесию атмосферы Земли. Если $\omega y^{2}$ постоянна, то функция $\omega^{2} y^{3}$ является убывающей, и образование колец невозможно. Следовательно, необходимо допустить, что в туманности Лапласа конвекционные токи слишком слабы для того, чтобы противодействовать влиянию трения и следовательно, процесс должен быть чрезвычайно медленным.
2. Рассмотрим сейчас устойчивость образованных колец. Для того, чтобы кольцо образовалось и осталось устойчивым, необходимо прежде всего, чтобы свободная поверхность имела форму, указанную на рисунке и, следовательно, чтобы соответствующий точке $B$ максимум существовал. В точке $B$ будем иметь
\[
\frac{d(\varphi-P)}{d y}=0, \quad \frac{d^{2}(\varphi-P)}{d y^{2}}<0 .
\]

Первое условие приблизительно дает $\omega^{2} y^{3}=M$. Тогда найдем, каковы в точке $B$ вторые производные трех частей $\varphi-p$ :
\[
\begin{array}{cccc}
\text { производная от } \ldots . & \varphi & \frac{M}{r} & -\delta P \\
\frac{d^{2}}{d x^{2}} \ldots & 0 & -\frac{M}{y^{2}}=-\omega^{2}-\varepsilon^{\prime} & -\varepsilon \\
\frac{d^{2}}{d y^{2}} \cdots & \omega^{2}+2 \omega \omega^{\prime} y & 2 \omega^{2}+2 \varepsilon^{\prime} & -4 \pi \rho+\varepsilon+\varepsilon^{\prime} \\
\frac{d^{2}}{d z^{2}} \cdots & \omega^{2} & -\omega^{2}-\varepsilon^{\prime} & -\varepsilon^{\prime} .
\end{array}
\]

Действительно, $\varphi$ не зависит от $x$. Ее вторые производные по $y$ и $z$ выводятся непосредственно из ее определения. С другой стороны, имеется
\[
\frac{d^{2}}{d y^{2}} \frac{M}{r}=\frac{2 M}{y^{2}}, \quad \frac{d^{2}}{d x^{2}} \frac{M}{r}=\frac{d^{2}}{d z^{2}} \frac{M}{r}=-\frac{M}{y^{3}},
\]

и приблизительно получаем
\[
\frac{M}{y^{3}}=\omega^{2}
\]

Для строгости необходимо записать
\[
\frac{M}{y^{3}}=\omega^{2}+\frac{1}{y} \frac{d \delta P}{d y} .
\]

Что касается $\frac{d^{2}(-\delta P)}{d x^{2}}$, сошлемся на замечание, сделанное выше, что $-\delta P$ на прямой, параллельной оси $x$, имеет единственный максимум при $x=0$ и что, следовательно, эта производная отрицательна.
С другой стороны, полагая
\[
\delta P=f(R), \quad \frac{d \delta P}{d R}=f^{\prime}(R), \quad \ldots,
\]

находим (поскольку в точке $B z=0$ )
\[
\frac{1}{y} \frac{d \delta P}{d y}=+\frac{f^{\prime}}{R}, \quad \frac{d^{2} \delta P}{d z^{2}}=\frac{f^{\prime}}{R}
\]

отсюда
\[
\frac{1}{y} \frac{d \delta P}{d y}=\varepsilon^{\prime}, \quad-\frac{d^{2} \delta P}{d z^{2}}=-\varepsilon^{\prime} .
\]

Кроме того, из уравнения Пуассона $\Delta \delta P=+4 \pi \rho$ (где $\rho-$ плотность жидкости) выводим
\[
-\frac{d^{2} \delta P}{d y^{2}}=-4 \pi \rho+\varepsilon+\varepsilon^{\prime} .
\]

Таким образом, нам необходимо рассмотреть $\varepsilon$ как положительное, однако знак $\varepsilon^{\prime}$ неизвестен, хотя эта производная, вероятнее всего, положительна.
Итак, получаем
\[
\frac{d^{2}(\varphi-\rho)}{d y^{2}}=3 \omega^{2}+2 \omega \omega^{\prime} y-4 \pi \rho+\varepsilon+3 \varepsilon^{\prime}<0 .
\]

Если $\rho$ очень мало, то с необходимостью $\varepsilon$ и $3 \varepsilon^{\prime}$ также малы, что влечет за собой
\[
3 \omega^{2}+2 \omega \omega^{\prime} y<0 .
\]

Это означает, что $\omega^{2} y^{3}$ убывает, когда растет $y$. Следовательно, если в окрестности точки $B$ функция $\omega^{2} y^{3}$ убывает, то устойчивость может иметь место при сколь угодно низкой плотности $\rho$, но если функция $\omega^{2} y^{3}$ возрастает, то кольцо может быть устойчивым, только если плотность остается выше определенного предела.

Чтобы уточнить результат, предположим, что масса кольца очень мала не только по отношению к массе центрального ядра, но и относительно массы атмосферы, которая остается вокруг этого ядра.
Тогда положим
\[
\varepsilon=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \quad \varepsilon^{\prime}=\varepsilon_{1}^{\prime}+\varepsilon_{2}^{\prime},
\]

где $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{1}^{\prime}$ относятся к притяжению атмосферы, находящейся вокруг ядра, а $\varepsilon_{2}$ и $\varepsilon_{2}^{\prime}$ – к притяжению кольца. При данных условиях $\varepsilon_{1}^{\prime}$ положительно, если предположить, что свободная поверхность атмосферы ядра является выпуклой; с другой стороны, $\varepsilon_{2}^{\prime}$ очень мало по сравнению с $\varepsilon_{1}^{\prime}$; отношение между этими двумя величинами такого же порядка по величине, как отношение линейных размеров меридианального сечения кольца к меридианальному сечению атмосферы ядра. В конечном итоге, заключаем $\varepsilon^{\prime}>0$ и, следовательно,
\[
4 \pi \rho>3 \omega^{2}+2 \omega \omega^{\prime} y .
\]

Если бы вращение было равномерным, это дало бы
\[
4 \pi \rho>3 \omega^{2} .
\]

Заметим, что для образования кольца необходимо, чтобы функция $\omega^{2} y^{3}$ была возрастающей в точке $A$, а для того, чтобы кольцо было устойчивым, если при этом плотность очень низкая, необходимо, чтобы эта функция была убывающей в точке $B$. Исходя из того, что эти две точки находятся вблизи друг от друга, заключаем, что в кольце, в момент его образования, функция $\omega^{2} y^{3}$ является практически постоянной.

Теперь найдем нижний предел плотности. Этот результат должен быть близок к тому результату, который был дан ранее для кольца Сатурна $^{1}$, но предел этот более точен. Вернемся сейчас к тому вычис-

${ }^{1} 0$ кольце Сатурна см. Пуанкаре «Фигуры равновесия», РХД, 2000. – Прим. перев.

лению, которое было сделано для кольца Сатурна. Необходимо, чтобы во всех точках поверхности кольца
\[
\frac{d}{d n}(\varphi-P)<0
\]

где $\frac{d}{d n}$ обозначает производную по нормали, направленной наружу. Следовательно, имеем, на основании теоремы Грина,
\[
\int \frac{d}{d n}(\varphi-P) d \sigma=\int \Delta(\varphi-P) d \tau<0,
\]

где $d \sigma$ – элемент поверхности кольца, а $d \tau$ – элемент его объема. Итак,
\[
\begin{array}{l}
\Delta \varphi=2 \omega^{2}+2 \omega \omega^{\prime} y, \\
\Delta P=4 \pi \rho
\end{array}
\]

отсюда
\[
4 \pi \rho>2 \omega^{2}+2 \omega \omega^{\prime} y .
\]
3. Плотность также имеет верхний предел. Для того, чтобы его вычислить, достаточно обратиться к расчетам Максвелла кольца Caтурна, принцип которых мы вкратце напомним. Пусть кольцо, образованное спутниками, равномерно распределено по окружности радиуса $a$ и движется по этой окружности равномерно. Пусть $a$ и $
u_{0}+\omega t-$ полярные координаты одного из спутников. Допустим, что он сместился и его координаты стали
\[
\alpha(1+\varepsilon), \quad
u_{0}+\omega y+\sigma,
\]

где $\varepsilon$ и $\sigma$ очень малы. Пусть $V$ – потенциал, вызванный взаимным притяжением этих спутников.

Уравнения в вариациях, которые определяют $\varepsilon$ и $\sigma$, суть следующие: $\left(\sigma^{\prime}, \ldots\right.$ обозначают производные от $\sigma, \ldots$ по времени)
\[
3 \omega^{2} \varepsilon+2 \omega \sigma^{\prime}-\varepsilon^{\prime}=-\frac{1}{a^{2}} \frac{d V}{d \varepsilon} ; \quad \sigma^{\prime}+2 \omega \varepsilon^{\prime}=\frac{1}{a^{2}} \frac{d V}{d \sigma} .
\]

Постараемся удовлетворить уравнениям (6), приняв
\[
\varepsilon=A \cos \left(m
u_{0}+n t\right), \quad \sigma=B \sin \left(m
u_{0}^{\prime}+n t\right) .
\]

Поясним: у нас столько же пар уравнений, сколько и спутников; $\varepsilon$ и $\sigma$ не одинаковы для всех спутников и, следовательно, это не только функции от $t$, но и от $
u_{0}$ – исходной долготы спутника, которая является величиной, отличающей одни спутники от других. Коэффициент $m$ должен быть целым числом. Действительно, когда $
u_{0}$ увеличивается на $2 \pi$, мы вновь оказываемся на том же самом спутнике. Следовательно, необходимо, чтобы $\varepsilon$ и $\sigma$ принимали те же значения. Что касается $n$, то оно является неизвестным. При таких условиях будем иметь
\[
\frac{d V}{d \varepsilon}=a^{2} A \alpha \cos \left(m
u_{0}+n t\right), \quad \frac{d V}{d \sigma}=a^{2} B \beta \sin \left(m
u_{0}+n t\right),
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – постоянные коэффициенты, которые мы постараемся определить немного позже. Итак, подставляя в уравнение (6),
\[
\left(3 \omega^{2}+n^{2}+\alpha\right) A+2 \omega n B=0, \quad 2 \omega n A+\left(n^{2}+\beta\right) B=0,
\]

или, исключая $A$ и $B$,
\[
\left(3 \omega^{2}+n^{2}+\alpha\right)\left(n^{2}+\beta\right)-4 \omega^{2} n^{2}=0 .
\]

Для устойчивости это уравнение должно иметь вещественные корни. Если предположить массу кольца равной нулю, то мы имели бы
\[
\alpha=\beta=0, \quad n^{2}\left(n^{2}-\omega^{2}\right)=0,
\]

и устойчивость была бы обеспечена; если предположить, что $\omega=0$, получили бы
\[
\left(n^{2}+\alpha\right)\left(n^{2}+\beta\right)=0,
\]

а т.к. $\alpha$ и $\beta$ в общем случае положительны, то имеем неустойчивость. Это уже означает, что для устойчивости необходимо, чтобы масса кольца была достаточной и тем большей, чем больше $\omega$.

Для того, чтобы распространить эти результаты на непрерывное кольцо, сначала понадобится немного доброй воли, так как в непрерывном кольце $\omega$ не является вообще говоря постоянной, и $a$ во всяком случае переменная. Но если меридианальное сечение кольца мало́ относительно своего радиуса, то не безрассудно предполагать, что уравнение (7) остается приблизительно применимым. Остается определить $\alpha$ и $\beta$.

Пусть $V_{0}$ – потенциал невозмущенного кольца, $V_{0}+P$ – потенциал возмущенного кольца, $\rho$ – плотность невозмущенного кольца, $\rho+\delta$ плотность возмущенного кольца. Таким образом $\frac{P}{V}$ и $\frac{\delta}{\rho}$ очень малы.

Число $m$ не фигурирует явно в уравнении (7), но $\alpha$ и $\beta$ зависят от $m$. Мы должны выбрать число $m$ самым неблагоприятным для устойчивости, поскольку достаточно, чтобы какое-либо из уравнений (7) имело бы мнимые корни, и тогда кольцо будет неустойчивым. Итак, именно большие значения $m$ и являются самыми неблагоприятными. Таким образом, предположим, $m$ настолько велико, что если перемещаться вдоль окружности, то функции $V, \varepsilon, \sigma$ будут изменяться намного быстрее, чем если перемещаться по радиус-вектору. Следовательно, $\frac{d V}{d \varepsilon}, \frac{d^{2} V}{d \varepsilon^{2}}$ будут значительно меньше, чем $\frac{d V}{d \sigma}, \frac{d^{2} V}{d \sigma^{2}}$, а $\alpha$ значительно меньше $\beta$.

Выберем прямоугольные оси, считая началом координат рассматриваемую точку. Ось $y$ направлена по радиус-вектору в центр туманности, ось $z$ параллельна оси вращения, ось $x$ – касательная к окружности, описанной двигающейся точкой.
В этих условиях
\[
\Delta P=-4 \pi \delta .
\]

Но, согласно сделанному выше предположению ( $m$ – очень большое), производные по $y$ и $z$ очень малы по сравнению с производными по $x$. При таких условиях $\Delta P$ сводится практически к $\frac{d^{2} P}{d x^{2}}$ и тогда можно записать, что
\[
\frac{d^{2} P}{d x^{2}}=-4 \pi \delta .
\]

С другой стороны, имеем (согласно связи между прямоугольными координатами и полярными координатами $\sigma$ и $\varepsilon$ )
\[
d \sigma=a d x,
\]

и, следовательно,
\[
\frac{d V}{d \sigma}=\frac{d P}{d \sigma}=a \frac{d P}{d x} .
\]

Уравнение непрерывности нам дает
\[
-\frac{\delta}{\rho}=\frac{\partial \delta x}{\partial x}+\frac{\partial \delta y}{\partial y}+\frac{\partial \delta z}{\partial z},
\]

где $\delta x, \delta y, \delta z$ – проекции на три оси вектора, который соединяет положения возмущенного и невозмущенного спутника. Пренебрегая производными по $y$ и $z$, мы можем записать
\[
\frac{\partial \delta y}{\partial y}=\frac{\partial \delta z}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial \delta x}{\partial x}=a \frac{\partial \sigma}{\partial x},
\]

где частная производная
\[
\frac{\partial \sigma}{\partial x}=\frac{1}{a} \frac{\partial \sigma}{\partial
u_{0}}=\frac{m B}{a} \cos \left(m
u_{0}+n t\right)
\]

не имеет ничего общего с отношением $\frac{d \sigma}{d n}$ дифференциалов, которые фигурируют в уравнении (8). Следовательно, уравнение непрерывности станет
\[
a \frac{\partial \sigma}{\partial x}=-\frac{\delta}{\rho},
\]

отсюда
\[
\frac{d^{2} P}{d x^{2}}=4 \pi a \rho \frac{\partial \sigma}{\partial x} .
\]

Проинтегрировав, находим
\[
\frac{d P}{d x}=4 \pi a \rho \sigma,
\]

отсюда
\[
\frac{1}{a^{2}} \frac{d V}{d \sigma}=4 \pi \rho \sigma, \quad \beta=4 \pi \rho .
\]

Таким образом, если подставим в уравнение (7)
\[
\alpha=0, \quad \beta=4 \pi \rho,
\]

то получим
\[
\left(3 \omega^{2}+n^{2}\right)\left(n^{2}+4 \pi \rho\right)-4 \omega^{2} n^{2}=0
\]

или
\[
n^{4}+n^{2}\left(4 \pi \rho-\omega^{2}\right)+12 \pi \rho \omega^{2}=0 .
\]

Для того, чтобы корни были действительными, необходимо, чтобы
\[
\left(4 \pi \rho-\omega^{2}\right)^{2}>12 \omega^{2} 4 \pi \rho, \quad(4 \pi \rho)^{2}-14 \omega^{2}(4 \pi \rho)+\omega^{4}>0 .
\]

Значения $\frac{4 \pi \rho}{\omega^{2}}$, которые обнуляют первый член, близки к $\frac{1}{14}$ и 14 . Именно первое значение является подходящим. Отсюда выводим, что
\[
4 \pi \rho<\frac{\omega^{2}}{14} .
\]
4. Плотность $\rho$ находится между двумя пределами, заданными неравенствами (5) и (10). Нижний предел, заданный равенством (5), зависит от $\omega^{\prime}$, следовательно, он зависит не только от средней угловой скорости, но и от закона распределения угловых скоростей, что не свойственно для верхнего предела.

В момент образования кольца плотность $\rho$ очень мала, так что неравенство (10) выполняется. С другой стороны, вращение не равномерно и ничто не мешает предположить, что $\omega^{2} y^{3}$ убывает в окрестности точки $B$ и, следовательно, что кольцо является устойчивым.
Но эту устойчивость можно быстро разрушить тремя путями:
$1^{\circ}$. Трение стремится уравнять вращения. Следовательно, если $\omega^{\prime}=0$, то неравенство (5) становится
\[
4 \pi \rho>3 \omega^{2}
\]

и несовместимо с неравенством (10).
$2^{\circ}$. Вследствие сжатия кольцо концентрируется таким образом, что его меридианальное сечение стремится свестись к центру силы тяжести. Каков эффект этого сжатия? Пусть $y$ – радиус окружности, описанной частицей, и $\omega$ – ее угловая скорость. Пусть $y_{0}$ и $\omega_{0}$ – значения $y$ и $\omega$ в момент образования кольца. Можно предположить, что в этот момент
\[
\omega_{0}^{2} y_{0}^{3}=M .
\]

С другой стороны, на основании закона площадей, имеем
\[
\omega_{0} y_{0}^{2}=\omega y^{2} \text {. }
\]

Пусть $a$ – средний радиус окружности
\[
y_{0}=a\left(1+\varepsilon_{0}\right), \quad y=a(1+\varepsilon) .
\]

Можно предположить, что сжатие происходит равномерно, так что
\[
\varepsilon=\lambda \varepsilon_{0} \text {. }
\]

Тогда получаем, что
\[
\omega=\frac{\sqrt{y_{0} M}}{y^{2}},
\]

или если $\varepsilon$ и $\varepsilon_{0}$ малы,
\[
\omega=\sqrt{M} a^{-\frac{3}{2}}\left(1+\frac{\varepsilon_{0}}{2}-2 \varepsilon\right)=\sqrt{M} a^{-\frac{3}{2}}\left[1+\frac{\varepsilon_{0}}{2}(1-4 \lambda)\right] .
\]

Видно, что для $\lambda=\frac{1}{4}$ вращение становится равномерным. Кроме того, находим, что
\[
\omega=\sqrt{M} a^{-\frac{3}{2}}\left(\frac{y}{a}\right)^{\mu},
\]

где
\[
\mu=\frac{1-4 \lambda}{2 \lambda} .
\]

Это влечет
\[
\omega^{\prime} y=\mu \omega,
\]

и неравенство (5) становится
\[
4 \pi \rho>(3+2 \mu) \omega^{2} .
\]

Для того, чтобы оно было совместимо с неравенством (10), необходимо
\[
\frac{1}{14}>3+2 \mu=\frac{1-\lambda}{\lambda},
\]

откуда
\[
\lambda=\frac{14}{15} .
\]

Устойчивость пропадет, как только линейный размер меридианального сечения уменьшится до $\frac{1}{15}$.
$3^{\circ}$. Наконец, вследствие сжатия $\rho$ увеличится и, таким образом, неравенство (10) перестанет выполняться.

По всем этим причинам кольцо быстро разделится на независимые части, которые будут двигаться, каждая сама по себе, согласно закону Кеплера. Эти части, описывающие близкие орбиты, в конце концов столкнутся и объединятся в единое целое.

5. Теперь перейдем к вопросу о направлении вращения планет. Его пытались разрешить через условия вращения кольца: это вращение считалось равномерным, благодаря трению; тогда линейные скорости внешних частей должны быть больше, чем скорости внутренних. Но необходимо отказаться от этой точки зрения. Действительно, если бы линейные скорости возрастали вместе с $y$, т. е. если бы $\omega y$ возрастало, то
\[
\omega^{\prime} y+\omega>0
\]

и, следовательно,
\[
4 \pi \rho>\omega^{2}+2 \omega \omega^{\prime} y>\omega^{2},
\]

а это несовместимо с неравенством (10). Таким образом, кольцо разрушится, прежде чем его вращение станет равномерным.

Первоначальное направление вращения планеты будет определено условиями соударений различных частей кольца, когда после того, как они отделились друг от друга, они сталкиваются и сливаются в единый сфероид. В этот момент части будут по отдельности подчиняться законам Кеплера. При этом линейная скорость самых внешних частей будет меньше скорости самых внутренних, так что первоначальное направление вращенин всегда будет обратным.

Вращения могут стать прямыми только под действием приливов и механизма, выдуманного Роша.