Представим себе сеть, построенную следующим образом: возьмем круговое изображение, начертим, кроме граничных окружностей, окружности $x=c$, которые касаются (либо в вершине, либо в основании) кривой $X=x$. Каждая из этих окружностей пересечет различные кривые $X=x$ и коснется одной из них. Каждой из точек пересечения или касания будет соответствовать узел сети. Соединим эти узлы путями, соответствующими определенным дугам, о которых шла речь в $\S 9$. Рассмотрим, например, одну из окружностей $x=c$, которые мы начертили; вычертим пути, соответствующие всем положительным и отрицательным дугам соответствующей кривой $X=c$. (Итак, мы получим пути, соответствующие всем элементарным дугам этой кривой, которые, как мы уже сказали, все являются определенными; среди них будут пути, соответствующие всем дугам этой кривой, концы которых имеют последовательные номера на рассматриваемом уровне; но будут еще и другие пути, так как вообще есть и другие определенные дуги.) Это будут горизонтальные пути сети. Мы соединим, сверх того, узлы $x=c$ с узлами на окружности непосредственно внешней или непосредственно внутренней с помощью наклонных путей. Эти последние будут соответствовать определенным дугам кривых $X=x$, один из концов которых будет находиться в одном из таких узлов.

Условимся, что ни один из этих путей нельзя пробегать в двух направлениях, иначе говоря: или все направления путей соответствуют положительной дуге, или же все они пробегаются в противоположном направлении. Вот как мы проведем выбор между этими двумя соглашениями: ветви $X=x$, которые примыкают к внешней граничной окружности $x=a$, имеют один и тот же знак (ср. §3), тогда как те, которые примыкают к $x=b$, имеют противоположный знак. Если все первые положительны, то мы условимся, что все пути должны пробегаться в направлении положительных дуг; в противоположном случае будет иметь место обратное.

Итак, всякий наклонный путь, примыкающий к $x=b$ (который соответствует при спрямленном изображении самому низкому уровню, а при круговом изображении – внутренней граничной окружности), должен пробегаться вверх; всякий наклонный путь, примыкающий к $x=a$, пробегается вниз.

Для того чтобы наша теорема оказалась справедливой, т. е. для того чтобы существовал контур $C$, достаточно, чтобы можно было вернуться к исходной точке, пройдя пути сети в предписанном направлении.

Отсюда вытекает следующее правило: назовем тупиком любой узел сети, к которому сходятся некоторые пути, но из которого не выходит ни один путь. Исключим из нашей сети все тупики, а также все пути, попадающие в них. Может случиться, что измененная таким образом сеть будет содержать тупики, которые не принадлежали к первоначальной сети. Мы будем оперировать с этими индуцированными тупиками так, как с первичными, и продолжим наше оперирование, пока не вынуждены будем остановиться, что может произойти в двух случаях.
1. Может оказаться, что мы вынуждены остановиться, ибо придем к модифицированной сети, которая более не будет содержать тупиков, ни индуцированных, ни первичных. В этом случае наша теорема будет доказана для рассмотренного преобразования $T$. Действительно, будем исходить из какого-либо узла: это возможно, так как это не тупик; мы прибудем ко второму узлу, откуда опять-таки сможем выйти. Будем продолжать таким образом до тех пор, пока не вернемся к узлу, через который мы уже проходили, что должно произойти, так как число узлов конечное. Таким образом, мы опишем замкнутый контур, пробегая все пути в соответствии с предписанным направлением, и этот контур будет контуром $C$.
2. Может случиться, что мы остановимся, так как исчерпаем все узлы. Тогда можно было бы доказать, что существуют такие преобразования $T$, для которых наша теорема не справедлива.

Итак, мы должны действовать следующим образом: необходимо построить всеми возможными способами кривые $X=x$, соблюдая при этом условия §8; затем мы построим сеть, определенную выше, и будем действовать с нею описанным порядком. Если в любом случае мы вынуждены будем остановиться в соответствии с первым случаем, то наша теорема справедлива; но даже одно-единственное исключение достаточно для доказательства ее неверности.