1. Изложив предшествующие результаты, лорд Кельвин задается вопросом – какой была бы прецессия свободной жидкой массы и говорит, что она должна вести себя как твердое тело.
«Хотя, – говорит он, – общая задача не была еще решена совместным образом, я думаю, что скоро появится полное решение, которое покажет, что прецессия и нутация будут практически такими же, как в твердом шаре».
Сейчас мы увидим, что эти предположения вполне обоснованы. Для начала предположим, что жидкость однородна.
Пусть $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ – начальные координаты одной из ее частиц, $x$, $y, z$ – ее настоящие координаты. Если движение простое, то $x, y, z$ являются линейными функциями от $x_{0}, y_{0}, z_{0}$, и мы можем записать:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x=\alpha_{1} x_{0}+\beta_{1} y_{0}+\gamma_{1} z_{0}, \\
y=\alpha_{2} x_{0}+\beta_{2} y_{0}+\gamma_{2} z_{0}, \\
z=\alpha_{3} x_{0}+\beta_{3} y_{0}+\gamma_{3} z_{0},
\end{array}\right.
\]

где $\alpha, \beta, \gamma-$ функции времени. Жидкость является несжимаемой, поэтому детерминант $\Delta$ матрицы этих коэффициентов равен единице.

Предположим, что исходная свободная поверхность жидкости имеет форму эллипсоида. Поскольку движение простое, то эта свободная поверхность будет всегда сохранять форму эллипсоида. Ничто не заставляет нас рассматривать в качестве исходной ситуации ту, которая в некоторый момент времени была в действительности. Мы можем выбрать идеальную начальную ситуацию, от которой можем перейти к реальной ситуации через простое (а впрочем и любое) движение. Следовательно, мы сможем предположить, что свободная исходная поверхность задана следующим уравнением:
\[
x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}=1 \text {. }
\]

Но поскольку частицы, изначально находящиеся на поверхности, там же и остаются, то уравнением свободной поверхности всегда будет
\[
\sum x_{0}^{2}=1
\]

Уравнения гидродинамики приводят нас к
\[
\sum x^{\prime \prime} d x=\frac{d p}{\rho}-d V
\]

где $x^{\prime \prime}=\alpha_{1}^{\prime \prime} x_{0}+\beta_{1}^{\prime \prime} y_{0}+\gamma_{1}^{\prime \prime} z_{0}$ – вторая производная от $x$ по времени, $p$ – давление, $\rho$ – плотность жидкости, а $V$ – потенциал. Поскольку жидкость однородна, то мы можем принять $\rho=1$. Что касается потенциала, то он состоит из двух частей: внутренний потенциал $V_{i}$, возникающий вследствие притяжения частиц жидкости между собой; внешний потенциал $V_{e}$, вызванный действием внешних (небесных) тел. Следовательно, мы можем окончательно записать уравнение в виде
\[
\sum x^{\prime \prime} d x=d p-d V_{i}-d V_{e} .
\]
2. Для того, чтобы подтвердить наши гипотезы, мы должны показать, что два члена могут быть равны дифференциалу многочлена второй степени.

Первый член должен быть точным дифференциалом и это может быть только дифференциал многочлена второй степени, поскольку при простом движении $x^{\prime \prime}$ и $x$ являютсн многочленами первой степени. Перейдем ко второму члену:
$1^{\circ} V_{i}$ – многочлен второй степени, если свободная поверхность является эллипсоидом, поскольку потенциал, вызванный притяжением эллипсоида является многочленом второй степени внутри этого эллипсоида;
$2^{\circ} V_{e}$ будет многочленом второй степени. Действительно, $V_{e}$ может быть разложен по степенями $x, y, z$. Члены со степенями 0 и 1 можно опустить при изучении движения тела вокруг своего центра тяжести. Члены выше второй степени не должны учитываться вследствие малости. Следовательно, остаются члены второй степени.
$3^{\circ}$ Давление $p$ подчинено единственному условию – оно является постоянным на свободной поверхности. Так как свободная поверхность является эллипсоидом $\psi=1$, то достаточно положить $y$ пропорциональным $\psi$, чтобы удовлетворить этому условию и чтобы в то же время $p$ заведомо было многочленом второй степени. Таким образом, наши гипотезы подтверждены.
3. Пусть $\psi=1$ – уравнение свободной поверхности, которая предполагается мало отличающейся от сферы. Можем записать
\[
\psi=(1+a) x^{2}+(1+b) y^{2}+(1+c) z^{2},
\]

где $a, b$ и $c$ очень малы и подчиняются условию несжимаемости
\[
a+b+c=0 .
\]

Согласно теории притяжения эллипсоидов, мы можем записать
\[
V_{i}=\left(1+k^{\prime} a\right) x^{2}+\left(1+k^{\prime} b\right) y^{2}+\left(1+k^{\prime} c\right) z^{2},
\]

где $k^{\prime}=\frac{3}{5}$. Мы предполагаем единицы выбранными таким образом, что для сферы имеем $V_{i}=\sum x^{2}$.
С другой стороны, поскольку $\psi=\sum x_{0}^{2}$, получим
\[
V_{i}=k^{\prime} \sum x_{0}^{2}+\left(1-k^{\prime}\right) \sum x^{2},
\]

и эта формула не будет зависеть от выбора осей. С другой стороны, предположим, что
\[
p=\lambda^{\prime} \sum x_{0}^{2}+\text { const }
\]

и подставим эти значения $p$ и $V_{i}$ в уравнение (2), где для начала положим $V_{e}=0$. Отождествляя коэффициенты при $x_{0} d x_{0}, y_{0} d x_{0}, x_{0} d y_{0}$,

находим
\[
\begin{array}{l}
\sum \alpha \alpha^{\prime \prime}=k \sum \alpha^{2}+\lambda, \\
\sum \alpha^{\prime \prime} \beta=\sum \alpha \beta^{\prime \prime}=k \sum \alpha \beta,
\end{array}
\]

где для сокращения мы положили
\[
\lambda=2 \lambda^{\prime}-2 k^{\prime}, \quad k=2\left(k^{\prime}-1\right)=-\frac{4}{5} .
\]

Если принять во внимание $V_{e}$, то получим
\[
\begin{array}{l}
\sum \alpha^{\prime \prime} \alpha=k \sum \alpha^{2}+\lambda-\frac{d^{2} V_{e}}{d x_{0}^{2}}, \\
\sum \alpha^{\prime \prime} \beta=\sum \alpha \beta^{\prime \prime}=k \sum \alpha \beta-\frac{d^{2} V_{e}}{d x_{0} d y_{0}} .
\end{array}
\]

Разумеется, к этим уравнениям следует присоединить уравнения, которые можно получить с учетом симметрии, и заметить, что такие суммы, как $\sum \alpha^{\prime \prime} \beta$, разумеется, обозначают
\[
\sum \alpha^{\prime \prime} \beta=\alpha_{1}^{\prime \prime} \beta_{1}+\alpha_{2}^{\prime \prime} \beta_{2}+\alpha_{3}^{\prime \prime} \beta_{3} .
\]

Далее мы рассмотрим другие аналогичные суммы, где суммирование происходит другим способом. Так, например, сумму
\[
\alpha_{1}^{\prime \prime} \alpha_{2}+\beta_{1}^{\prime \prime} \beta_{2}+\gamma_{1}^{\prime \prime} \gamma_{2}
\]

мы запишем в виде $\sum \alpha_{1}^{\prime \prime} \alpha_{2}$, где индексы сохранены таким образом, чтобы не было никакой неясности.
4. Эти уравнения допускают частные интегралы. Если предположим, что $V_{e}=0$, то мы получим интеграл кинетической энергии (живых сил) и интеграл площадей. Последний запишется в виде
\[
\sum m\left(x^{\prime} y-x y^{\prime}\right)=\text { const, }
\]

где $m$ – масса одной частицы. Подставив $x, y, z$ из соотношений (1), его можно записать как
\[
\left(\alpha_{1}^{\prime} \alpha_{2}-\alpha_{2}^{\prime} \alpha_{1}\right) \sum m x_{0}^{2}+\left(\alpha_{1}^{\prime} \beta_{2}-\beta_{2}^{\prime} \alpha_{1}+\alpha_{2} \beta_{1}^{\prime}-\alpha_{2}^{\prime} \beta_{1}\right) \sum m x_{0} y_{0}+\ldots=\text { const. }
\]

Поскольку начальной фигурой является сфера $\sum x_{0}^{2}=1$, имеем
\[
\sum m x_{0}^{2}=\sum m y_{0}^{2}=\sum m z_{0}^{2}, \quad \sum m x_{0} y_{0}=\sum m x_{0} z_{0}=\sum m y_{0} z_{0}=0 .
\]

Таким образом интеграл площадей приводится к виду
\[
\sum\left(\alpha_{1}^{\prime} \alpha_{2}-a_{2}^{\prime} \alpha_{1}\right)=\mathrm{const},
\]

где порядок суммирования был объяснен в конце предыдущего пункта. Предположим теперь, что учитывается $V_{e}$. Первый член уравнения (8) представляет с точностью до числового коэффициента постоянную площадей. Следовательно, производная этого первого члена будет равна с точностью до числового коэффициента моменту внешней силы.
Теорема Гельмгольца далее показывает, что интеграл
\[
\int x^{\prime} d x+y^{\prime} d y+z^{\prime} d z
\]

взятый вдоль замкнутого контура, постоянен. Этот интеграл в данном случае равен
\[
\sum \alpha^{\prime} \alpha \int x_{0} d x_{0}+\sum \alpha^{\prime} \beta \int x_{0} d y_{0}+\sum \alpha^{\prime} \beta^{\prime} \int y_{0} d x_{0}+\ldots
\]

Если для замкнутой кривой выполнено соотношение
\[
\int x_{0} d x_{0}=\int\left(x_{0} d y_{0}+y_{0} d x_{0}\right)=0,
\]

то из теоремы Гельмгольца следует уравнение
\[
\sum\left(\alpha^{\prime} \beta-\alpha \beta^{\prime}\right)=\mathrm{const},
\]

а также уравнения, которые выводятся при помощи симметрии.
Уравнение (9) справедливо, когда $V_{e}$ не обязательно равно нулю.
Чтобы вывести (8) из (4) и (5), были необходимы сложные вычисления. Но эти вычисления необязательны для (9), которое непосредственно вытекает из интегрирования выражения
\[
\sum \alpha \beta^{\prime \prime}=\sum \alpha^{\prime \prime} \beta .
\]

5. Уравнения (4) и (5) допускают простое частное решение. Достаточно положить

откуда
\[
\rho^{2}\left(\omega^{2}+k\right)+\lambda=k c^{2}+\lambda=0 ; \quad k=\frac{\omega^{2} \rho^{2}}{c^{2}-\rho^{2}} .
\]

С другой стороны, из условия несжимаемости $\Delta=1$, находим
\[
\rho^{2} c=1 .
\]

Это решение применимо в случае, когда сплюснутая жидкая масса равномерно вращается. В наших рассуждениях фигурируют $\rho$ и $c$ две главные оси эллипсоида.
6. Решения, которые мы будем рассматривать, ненамного отличаются от решения (10), даже если возьмем $V_{e}
eq 0$ и рассмотрим уравнения (6) и (7), которые будут допускать решения, мало отличающиеся от (10), потому что мы полагаем $V_{e}$ малым. Применим метод уравнений в вариациях, т.е. заменим $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots$ на
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1}+\delta \alpha_{1}=\rho \cos \omega t+\delta \alpha_{1}, \quad \alpha_{2}+\delta \alpha_{2}=-\rho \sin \omega t+\delta \alpha_{2}, \\
\alpha_{3}+\delta \alpha_{3}=\delta \alpha_{3}, \ldots,
\end{array}
\]

и отбросим квадраты вариаций $\delta \alpha_{1}, \ldots$ Таким образом получим линейные дифференциальные уравнения для этих вариаций $\delta \alpha_{1}, \ldots$ Эти уравнения будут лишены второго члена, если $V_{e}=0$, как следует из уравнений (6) и (7). В противном случае этот член появляется.

Замечательно то, что эти линейные уравнения разделяются на две различные группы.

Уравнения, выведенные из соотношения $\Delta=1$ и уравнений (4) и (5) для $\alpha \alpha^{\prime \prime}, \alpha^{\prime \prime} \beta, \alpha \beta^{\prime \prime}, \beta \beta^{\prime \prime}$ и $\gamma \gamma^{\prime \prime}$, содержат только неизвестные
\[
\delta \alpha_{1}, \quad \delta \alpha_{2}, \quad \delta \beta_{1}, \quad \delta \beta_{2}, \quad \delta \gamma_{3}, \quad \delta \lambda .
\]

Напротив, уравнения, выведенные из уравнений (4) и (5) для $\alpha \gamma^{\prime \prime}$, $\alpha^{\prime \prime} \gamma, \beta \gamma^{\prime \prime}, \beta^{\prime \prime} \gamma$, не содержат других неизвестных, кроме $\delta \alpha_{3}, \delta \beta_{3}, \delta \gamma_{1}$, $\delta \gamma_{2}$.

В случае, когда $V_{e}=0$, неизвестные первой группы соответствуют решению, которое описывает равномерное вращение, со скоростью, мало отличающейся от $\omega$, и собственные колебания жидкости, в которых плоскость $x y$ остается плоскостью симметрии. В случае, когда $V_{e}
eq 0$, эти переменные описывают приливы и отливы жидкости под влиянием возмущенного тела.

Именно неизвестные второй группы связаны с явлением нутации, их нам и следует рассмотреть.
7. Наконец, запишем уравнение второй группы. Находим
\[
\delta \sum \alpha \gamma=\sum \alpha \delta \gamma+\sum \gamma \delta \alpha,
\]

и далее
\[
\sum \alpha \delta \gamma=\alpha_{1} \delta \gamma_{1}+\alpha_{2} \delta \gamma_{2}+\alpha_{3} \delta \gamma_{3}=\rho \cos \omega t \delta \gamma_{1}-\rho \sin \omega t \delta \gamma_{2},
\]

и, продолжая вычислять таким образом, получим
\[
\delta \sum \alpha \gamma+i \delta \sum \beta \gamma=\rho e^{i \omega t} \xi+c \eta,
\]

где
\[
\delta \gamma_{1}+i \delta \gamma_{2}=\xi, \quad \delta \alpha_{3}+i \delta \beta_{3}=\eta .
\]

Таким образом, вещественные и мнимые части двух неизвестных $\xi$ и $\eta$ являются нашими первоначальными неизвестными $\delta \gamma$ и $\delta \alpha$. Находим также
\[
\begin{array}{l}
\delta \sum \alpha^{\prime \prime} \gamma+i \delta \sum \beta^{\prime \prime} \gamma=-\omega^{2} \rho e^{i \omega t} \xi+c \eta^{\prime \prime}, \\
\delta \sum \alpha \gamma^{\prime \prime}+i \delta \sum \beta \gamma^{\prime \prime}=\rho e^{i \omega t} \xi^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Итак, уравнения (4) и (5) можно рассматривать как уравнение в вариациях
\[
\delta \sum \alpha \gamma^{\prime \prime}+i \delta \sum \beta \gamma^{\prime \prime}=\delta \sum \alpha^{\prime \prime} \gamma+i \delta \sum \beta^{\prime \prime} \gamma=k\left(\delta \sum \alpha \gamma+i \delta \sum \beta \gamma\right),
\]

или
\[
\rho e^{i \omega t} \xi^{\prime \prime}=-\omega^{2} \rho e^{i \omega t} \xi+c \eta^{\prime \prime}=k\left(\rho e^{i \omega t} \xi+c \eta^{\prime \prime}\right) .
\]

Уравнение Гельмгольца, которое можно вывести через вариацию уравнения (9) и через уравнения, которые получаются с помощью симметрии, дает нам
\[
\rho e^{i \omega t} \xi^{\prime}-i \omega \rho e^{i \omega t} \xi-c \eta^{\prime}=\text { const. }
\]

Интеграл площадей можно вывести через вариацию (9) (и через уравнения, полученные с помощью симметрии) и записать в виде
\[
\rho e^{-i \omega t}\left(\eta^{\prime}+i \omega \eta\right)-c \xi^{\prime}=\text { const. }
\]

Дифференцирование уравнения (13) дает
\[
\rho e^{-i \omega t}\left(\eta^{\prime}+\omega^{2} \eta\right)-c \xi^{\prime \prime}=0 .
\]

Если в (14) мы заменим $\varepsilon^{\prime \prime}$ и $\eta^{\prime \prime}$ на их значения, взятые из (11), и примем во внимание, что $k\left(c^{2}-\rho^{2}\right)=\omega^{2} \rho^{2}$, то это уравнение станет тождеством.

Если теперь принять во внимание $V_{e}$, то необходимо добавить к последнему члену уравнения (11) величину
\[
-\left(\frac{d^{2} V_{e}}{d x_{0} d z_{0}}+i \frac{d^{2} V_{e}}{d y_{0} d z_{0}}\right) .
\]

Но так как $V_{e}$ мало, мы можем в этих уточняющих членах положить
\[
\rho=c=1, \quad \delta \alpha=\delta \beta=\delta \gamma=0,
\]

откуда
\[
x=x_{0} \cos \omega t+y_{0} \sin \omega t, \quad y=-x_{0} \sin \omega t+y_{0} \cos \omega t, \quad z=z_{0},
\]

и, наконец,
\[
\frac{d F}{d x_{0}}+i \frac{d F}{d y_{0}}=\left(\frac{d F}{d x}+i \frac{d F}{d y}\right) e^{i \omega t},
\]

так что член, добавляемый к последнему члену уравнения (11) представляет собой
\[
-\left(\frac{d^{2} V_{e}}{d x d z}+i \frac{d^{2} V_{e}}{d y d z}\right) e^{i \omega t}
\]

Если жидкость перемещается как твердое тело, то $\sum x^{2}$ должно быть независимым от времени и, следовательно, равным своему значению для решения (10), т.е. мы получим $\sum x^{2}=\rho^{2}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right)+c^{2} z_{0}^{2}$. Отсюда выводим
\[
\sum \alpha \gamma=\sum \beta \gamma=0
\]

или
\[
\delta \sum \alpha \gamma+i \delta \sum \beta \gamma=0
\]

или
\[
\rho e^{i \omega t} \xi+c \eta=0
\]
8. Потенциал $V_{e}$ – известная функция координат притягиваемой точки $x, y, z$ и времени, потому что координаты небесного тела заданы известными функциями времени. Следовательно, выражение (15) известная функция времени. Она может быть разложена в ряд Фурье. Периоды различных членов в
\[
\frac{d^{2} V_{e}}{d x d z}+i \frac{d^{2} V_{e}}{d y d z}
\]

относительно длинные, поскольку это периоды разных нутаций. Значит, если обозначить через $A \varepsilon^{i \varepsilon t}$ один из членов разложения в (17) и, следовательно, через $-A \varepsilon^{i(\omega+\varepsilon) t}$ соответствующий член разложения в (15), то $\varepsilon$ будет мало́ по сравнению с $\omega$.

Можно выделить этот член, и тогда уравнения (11) будут выглядеть следующим образом
\[
\left\{\begin{array}{l}
k\left(\rho e^{i \omega t} \xi+c \eta\right)-\rho e^{i \omega t} \xi^{\prime \prime}=A e^{i(\omega+\varepsilon) t}, \\
\omega^{2} \rho e^{i \omega t} \xi-c \eta^{\prime \prime}+\rho e^{i \omega t} \xi^{\prime \prime}=0 .
\end{array}\right.
\]

Мы удовлетворим (18), если положим
\[
\rho \xi=a e^{i \omega t}, \quad c \eta=b e^{i(\omega+\varepsilon) t},
\]

что приводит к уравнениям
\[
\left\{\begin{array}{l}
a\left(k+\varepsilon^{2}\right)+b k=A, \\
a\left(\omega^{2}-\varepsilon^{2}\right)+b(\omega+\varepsilon)^{2}=0 .
\end{array}\right.
\]

Детерминант уравнений (19) равен
\[
\Delta=\left(2 k+\varepsilon \omega+\varepsilon^{2}\right) \varepsilon(\omega+\varepsilon) .
\]

Для того, чтобы получить собственное колебание системы, необходимо положить $\Delta=0$ и найти решение для $\varepsilon, \alpha$ и $\beta$. Таким образом, допустим, что $\Delta=0$, это равенство ведет к следующим решениям:
$1^{\circ} \varepsilon=0$ соответствует равномерному вращению с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, мало отличающейся от оси $z$;
$2^{\circ} \omega+\varepsilon=0$ соответствует следующей гипотезе: предположим, что перед тем как придать жидкости равномерное вращение вокруг оси $z$, мы переместили небольшое количество частиц внутрь жидкости, не изменяя ее внешнюю форму. Это решение будет мало отличаться от решения (10), соответствующее тому же вращению как по величине, так и по направлению, той же сплюснутости, той же ориентации осей эллипсоида. Одним словом, от решения (10) оно будет отличаться лишь тем, что некоторые (определенные) частицы поменялись местами с другими.
$3^{\circ} 2 k+\varepsilon \omega+\varepsilon^{2}=0$ соответствует собственным колебаниям очень короткого периода, немного больше одного часа.

Теперь, если мы хотим учесть действие небесного тела, мы более не будем полагать $A=0$, в результате получим
\[
\begin{array}{l}
a=\frac{A(\omega+\varepsilon)^{2}}{\Delta}=\frac{A(\omega+\varepsilon)}{\varepsilon\left(2 k+\varepsilon \omega+\varepsilon^{2}\right)}, \\
b=-\frac{A\left(\omega^{2}-\varepsilon^{2}\right)}{\Delta}=-\frac{A(\omega-\varepsilon)}{\varepsilon\left(2 k+\varepsilon \omega+\varepsilon^{2}\right)} .
\end{array}
\]

Согласно нашей гипотезе, $\varepsilon$ по отношению к $\omega$ очень мало́, а $\frac{\omega^{2}}{k}$ имеет порядок сплюснутости. Следовательно, можно пренебречь величиной $\varepsilon$, стоящей перед $\omega$ и $\varepsilon \omega+\varepsilon^{2}$ перед $2 k$, что дает
\[
a=\frac{A \omega}{2 k \varepsilon}, \quad b=-\frac{A \omega}{2 k \varepsilon},
\]

откуда
\[
a+b=0 .
\]

Однако соотношение $a+b=0$ эквивалентно соотношению (16). Оно означает, что жидкость ведет себя как твердое тело.

9. Этот результат может быть получен иначе. Запишем уравнение площадей, которое представляет собой не что иное как уравнение (13), в случае $V_{e}=0$. Если $V_{e}
eq 0$, то мы вынуждены написать, что производная постоянной площадей равна моменту внешних сил. Итак, первый член в уравнении (13) с точностью до числового коэффициента равен отношению постоянной площадей к площади в плоскости $x y$ плюс мнимая единица $\sqrt{-1}$, умноженная на отношение постоянной площадей к площади в плоскости $y z$. Следовательно, производная этого первого члена, т.е. первый член уравнения (14), должна быть равна $M+i L$, где $L$ и $M$ с точностью до числового коэффициента являются моментами внешних сил относительно осей $x$ и $y$. Таким образом, получим
\[
\rho e^{-i \omega t}\left(\eta^{\prime \prime}+\omega^{2} \eta\right)-c \xi^{\prime \prime}=M+i N .
\]

Второй член может быть разложен в ряд Фурье. Пусть $B e^{i \varepsilon t}-$ один из его членов. Отделим этот член и запишем уравнение
\[
\rho e^{-i \omega t}\left(\eta^{\prime \prime}+\omega^{2} \eta\right)-c \xi^{\prime \prime}=B e^{i \varepsilon t} .
\]

Это уравнение справедливо как для твердого тела, так и для жидкости. В случае жидкости, это уравнение должно быть дополнено уравнением Гельмгольца, т. е. вторым уравнением (18), а в случае твердого тела – уравнением (16). Таким образом, находим
\[
\begin{aligned}
\frac{\rho b}{c}\left[\omega^{2}-(\omega+\varepsilon)^{2}\right]+\frac{c a}{\rho} \varepsilon^{2}=B & \text { (жидкость или твердое тело) }, \\
a(\omega-\varepsilon)+b(\omega+\varepsilon)=0 & \text { (жидкость }), \\
a+b=0 & \text { (твердое тело) } .
\end{aligned}
\]

Таким образом, при условии что $\varepsilon$ мало по отношению к $\omega$, из двух последних уравнений следует, что твердое и жидкое тела будут вести себя практически одинаково. Этот анализ движений однородной жидкости близок к анализу, проделанному мной в VII томе «Acta mathematica», начиная с 347 страницы. Из этого анализа следует, что колебания эллипсоида могут быть разделены на части, отдельно поддающиеся изучению. В каждую из таких частей входят только функции Ламе определенного порядка. Движения, которые мы здесь рассмотрели, соответствуют функциям Ламе первого порядка.