Сегодня я хочу поговорить о некоторых приложениях теории интегральных уравнений к морским приливам. В прошлом семестре я прочитал об этом явлении лекцию.
Дифференциальные уравнения задачи имеют следующий вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\text { a) } k^{2} \sum \frac{\partial}{\partial x}\left(h_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+k^{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\partial h_{2}}{\partial y}-\frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial h_{2}}{\partial x}\right)=\zeta, \\
\text { b) } g \cdot \zeta=-\lambda^{2} \varphi+\Pi+W .
\end{array}\right.
\]

При этом мы предполагаем, что сферическая поверхность Земли с помощью стереографической поверхности конформно отображена на $(x, y)$ — плоскость; $k(x, y)$ — коэффициент подобия между плоскостью и сферой. Решение задачи о приливах мы намереваемся представить в виде периодических функций времени $t$ и специально предполагаем, что наши уравнения (1) соответствуют единственному периодическому слагаемому вида $A \cos (\lambda t+\alpha)$, так что $\lambda$ в наших уравнениях определяет период колебаний; удобно ввести вместо косинуса комплексные экспоненциальные величины и тем самым предположить, что все наши функции имеют вид
\[
e^{i \lambda t} \cdot f(x, y)
\]

действительная и мнимая части такого комплексного решения дают нам решения, имеющие физический смысл.
Функция $\varphi(x, y)$ определяется из соотношения
\[
-\lambda^{2} \varphi=V-p,
\]

где $V$ — гидростатический потенциал, $p$ — давление.

Если $h$ — глубина моря, то пусть по определению
\[
\begin{array}{l}
h_{1}=-\frac{h \lambda^{2}}{-\lambda^{2}+4 \omega^{2} \cos ^{2} \vartheta}, \\
h_{2}=-\frac{2 \omega i \cos \vartheta}{\lambda} \cdot h_{1},
\end{array}
\]

где $i$ — мнимая единица, $\vartheta$ — широта точки на поверхности Земли, соответствующей точке $(x, y), \omega-$ угловая скорость Земли, $\zeta(x, y)$ — разность между толщиной среднего и возмущенного слоя воды, т.е. $\zeta>0$ соответствует отливу, $\zeta<0$ соответствует приливу.

Пусть $g$ — ускорение силы тнжести, $W$ — потенциал возмущающих сил, $H$ — потенциал, обусловленный притяжением массы воды толщиной $\zeta$. Например, если
\[
\zeta=\sum A_{n} X_{n},
\]

To
\[
\Pi=\sum \frac{4 \pi A_{n}}{2 n+1} X_{n},
\]

где $X_{n}$ — шаровые функции.
Единицы измерения выбраны так, что плотность воды равна единице и радиус Земли равен единице.

Величиной П в большинстве случаев можно пренебречь; если это сделать, то для $\varphi$ сразу же получается дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Чтобы оно определяло $\varphi$, необходимо знать некоторые краевые условия. Мы различаем два случая:
1. Море обнесено вдоль береговой линии вертикальной стеной.
В этом случае
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial n}+\frac{2 \omega i}{\lambda} \cos \vartheta \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial s}=0,
\]

где $\frac{\partial \varphi}{\partial n}$ — нормальная, а $\frac{\partial \varphi}{\partial s}$ — тангенциальная производные от $\varphi$.
2. Граница моря не вертикальна. Тогда на ней
\[
h=0 \text { и, следовательно, } h_{1}=h_{2}=0 .
\]

В этом случае краевое условие означает, что функция $\varphi$ на границе должна оставаться регулярной и конечной.

Чтобы применить к этим задачам методы интегральных уравнений, прежде всего вспомним некоторые общие положения, установленные Гильбертом и Пикаром для дифференциальных уравнений. Пусть
\[
D(u)=f(x, y)
\]
— дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для $и$ эллиптического типа. Тогда существует удовлетворяющее определенным краевым условиям решение $u$, представимое в виде
\[
u=\int f^{\prime} G d \sigma^{\prime},
\]

где $G\left(x, y ; x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ — функция Грина дифференциального выражения $D(u)$, соответствующая этим краевым условиям; $f^{\prime}$ — функция $f\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right), d \sigma^{\prime}=d x^{\prime} \cdot d y^{\prime}$, и интеграл берется по той области плоскости $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$, для которой поставлены краевые условия. Чтобы вычислить функцию Грина и тем самым решить краевую задачу, положим
\[
D(u)=D_{0}(u)+D_{1}(u),
\]

где
\[
D_{1}(u)=a \frac{\partial u}{\partial x}+b \frac{\partial u}{\partial y}+c u
\]
— линейное дифференциальное выражение. Предположим, что функция Грина $G_{0}$ дифференциального выражения $D_{0}(u)$ нам известна. Тогда мы имеем решение уравнения
\[
D(\varphi)=f
\]

вида
\[
\varphi=\int G_{0}\left(f^{\prime}-a^{\prime} \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x^{\prime}}-b^{\prime} \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y^{\prime}}-c^{\prime} \varphi^{\prime}\right) d \sigma^{\prime} .
\]

Выделив отсюда с помощью интегрирования по частям производные $\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x^{\prime}}, \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y^{\prime}}$, мы тотчас же приходим к интегральному уравнению второго рода для $\varphi$, которое может быть решено методом Фредгольма, если ядро не слишком сингулярно.

В интересующей нас проблеме приливных течений имеет место именно случай сильной сингулярности; ядро обращается в бесконечность столь высокого порядка, что метод Фредгольма становится неприменимым, однако я хочу вам показать, каким образом можно преодолеть эти трудности.
Рассмотрим сначала случай первого граничного условия
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial n}+C \frac{\partial \varphi}{\partial s}=0
\]

где $C$ — заданная функция от $x$ и $y$. Дифференциальное уравнение, которое возникает, когда мы пренебрегаем величиной П, имеет вид
\[
A \Delta \varphi+D_{1}=f,
\]

и мы оказываемся перед задачей интегрирования уравнения
\[
\Delta \varphi=F
\]

с нашим краевым условием.
Эта задача эвивалсптна задачс о пахондении внутри граничной кривой регулярной потенциальной функции $V$, которая удовлетворяет на границе условию $\frac{\partial V}{\partial n}+C \frac{\partial V}{\partial s}=0$, задающим простое распределение потенциала на границе. Если обозначить через $s$ длину дуги граничной кривой от некоторой заданной начальной точки до точки $P$, а через $s^{\prime}-$ длину дуги от той же начальной точки до точки $P^{\prime}$, то для $V$ получается интегральное уравнение; но его ядро $K\left(s, s^{\prime}\right)$ имеет при $s=s^{\prime}$ сингулярность первого порядка, и поэтому интеграл
\[
\int_{A}^{B} K(x, y) f(y) d y
\]

следует понимать в смысле главного значения Коши, которое по определению есть арифметическое среднее двух значений, которые принимает интеграл, если на комплексной $y$-плоскости при обходе точки $y=x$ один раз выберу путь $A M B$ над действительной осью, а другой раз путь $A M^{\prime} B$ под действительной осью.

Вместо того, чтобы использовать методы, которые Келлогг разработал для таких не непрерывных ядер, я хочу предложить вам другой подход. Рассмотрим наряду с операцией
\[
S(f(x))=\int K(x, y) f(y) d y
\]

итерированную операцию
Рис. 1
\[
S^{2}(f(x))=\iint K(x, z) K(z, y) f(y) d z d y,
\]

в которой интеграл также следует понимать в смысле главного значения Коши, т. е. следующим образом. Для переменной $z$ мы рассматриваем пути $A M B, A M^{\prime} B$, для переменной $y$ — пути $A P B, A P^{\prime} B$, которые могут располагаться рядом друг с другом, как на рис. 1. Затем мы образуем 4 интеграла, которые возникают, если путь для $z$ комбинировать с путем для $y$ :
\[
\begin{array}{l}
z: A M B, A M^{\prime} B, A M B, A M^{\prime} B ; \\
y: A P B, A P B, A P^{\prime} B, A P^{\prime} B .
\end{array}
\]

Из этих 4 интегралов мы образуем арифметическое среднее. Выбрав еще 2 пути $A Q B, A Q^{\prime} B$, как на рис. 1 , мы увидим, что в первой комбинации путей путь $A M B$ для $z$ заменяется путем $A Q B+A M B Q A$, во второй комбинации путь $A M^{\prime} B$ заменяется путем $A Q^{\prime} B$, в третьей — путь $A M B$ заменяется путем $A Q B$ и в четвертой комбинации путь $A M^{\prime} B$ заменяется путем $A Q^{\prime} B+A M^{\prime} B Q^{\prime} A$, поэтому в дальнейшем мы располагаем следующими комбинациями путей:
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline & $y$ \\
\hline$A Q B+A M B Q A$ & $A P B$ \\
\hline$A Q^{\prime} B$ & $A P B$ \\
\hline$A Q B$ & $A P^{\prime} B$ \\
\hline$A Q^{\prime} B+A M^{\prime} B Q^{\prime} A$ & $A P^{\prime} B$ \\
\hline
\end{tabular}

Выписав соответствующие интегралы и применив теорию вычетов к замкнутым путям, мы увидим, что наша операция $S^{2}(f(x))$, соответствующая интегральному уравнению первого рода, переходит в операцию,
задаваемую левой частью интегрального уравнения второго рода, ядро которого всюду остается конечным; если мы сначала возьмем четыре комбинации путей $A Q B$ и $A Q^{\prime} B$ с путями $A P B$ и $A P^{\prime} B$, то получим двойной интеграл, который не может обращаться в бесконечность, так как на этих путях $x
eq y$ и $y
eq z$. Если теперь мы рассмотрим две комбинации путей $A M B Q A, A P B$ и $A M^{\prime} B Q^{\prime} A, A P^{\prime} B$ или $A M B Q A, A P B$ и $A Q^{\prime} B M^{\prime} A, B P^{\prime} A$, то нетрудно видеть, что $z$ описывает вокруг $y$ замкнутую кривую $A M B Q A$ или $A Q^{\prime} B M^{\prime} A$, а $y$ одновременно описывает вокруг $x$ замкнутую кривую $A P B P^{\prime} A$. Следовательно, мы можем воспользоваться теорией вычетов и получим член, в который неизвестная функция входит не под знаком интеграла, как в левой части интегрального уравнения второго рода. Поскольку мы пришли к всюду регулярному интегральному уравнению второго рода, к которому применим метод Фредгольма, трудность в решении нашей задачи преодолена.

Лишь один пункт нуждается в пояснении: если $x$ и $y$ одновременно попадают в одну из конечных точек $A, B$ интервала, то приведенные выше рассуждения утрачивают силу и кажется, будто в этих точках конечность нашего ядра, полученного с помощью итерации, отнюдь не гарантирована. Но в интересующей нас задаче эти опасения устраняются тем, что береговая линия («край моря»), которая является интервалом интегрирования, замкнута, из чего следует, что точки $A$ и $B$ не могут быть исключением.

Этими замечаниями мы завершаем рассмотрение случая вертикальной кромки моря.

Рассмотрим второй, более трудный, случай, когда море не окружено вертикальной стеной. В этом случае на границе
\[
h=h_{1}=h_{2}=0 .
\]

Так как члены второго порядка нашего дифференциального уравнения для $\varphi$ представлены выражением
\[
h_{1} \Delta \varphi,
\]

граничная линия является сингулярной линией для этого дифференциального уравнения. Кроме того, величины $h_{1}, h_{2}$ для критической географической широты $\vartheta$, определяемой соотношением
\[
4 \omega^{2} \cos ^{2} \vartheta=\lambda^{2},
\]

обращаются в бесконечность. Чтобы решить задачу, несмотря на эти сингулярности, которые приводят к обращению ядра $K$ в бесконечность, я был вынужден заменить действительную область интегрирования комплексной, превратив $y$ в комплексную переменную $y+i z$; $x$ при этом остается действительным.
Рис. 2
Будем интерпретировать $x, y, z$ как обычные прямоугольные координаты в трехмерном пространстве и условимся считать отрезок $A B$ (рис. 2) диаметром сечения плоскости $x=$ const с бассейном моря, лежащим в $(x, y)$-плоскости. Если $C$ соответствует критической географической широте, то эту сингулярность нетрудно обойти, сойдя с действительной оси в комплексную плоскость. Если мы выберем далее любые две точки $D$ и $E$, лежащие между $A$ и $B$, и обойдем точку $A$, выйдя из $D$ и вернувшись в ту же точку, по малой замкнутой кривой и проделаем аналогичную операцию с точкой $B$, или, говоря на пространственном языке, заключим граничную кривую в кольцеобразный футляр, то тем самым мы поставим задачу проинтегрировать наше дифференциальное уравнение таким образом, чтобы решение $\varphi$, если бы мы проследили за изменением его значений вдоль кривой, окружающей точку $A$, возвращалось в точку $D$ с тем же значением, с которым оно вышло из $D$. «Измененное» таким образом краевое условие эквивалентно исходному, которое требовало, чтобы $\varphi$ на границе (в точке $A$ ) оставалось конечным и вело себя регулярным образом. Правда, функции Грина $G$ и $G_{1}$, соответствующие новым и старым краевым условиям, не тождественны, хотя и являются решениями уравнения
\[
D(u)=f,
\]

удовлетворяющими соответствующим краевым условиям. В этом проще всего убедиться в случае, когда имеется только одна переменная $y$;

применяя интегральную теорему Коши, получаем из соотношений
\[
u=\int G\left(y, y^{\prime}\right) f\left(y^{\prime}\right) d y^{\prime}, \quad u_{1}=\int G_{1}\left(y, y^{\prime}\right) f\left(y^{\prime}\right) d y^{\prime},
\]

что $u-u_{1}=0$.
Чтобы решить задачу (1), я воспользуюсь изложенным выше методом, который в данном случае подразделяется на две ступени, так как наше измененное краевое условие недопустимо для уравнения $\Delta u=f .{ }^{1}$ Мы можем положить
\[
D(u)=\Delta\left(h_{1} u\right)+D_{1}(u)+D_{2}(u) ;
\]

где $D_{1}(u)$ содержит только члены первого порядка по $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$, а $D_{2}(u)$ содержит и функцию $u$. Интегрируя уравнение
\[
\Delta(v)=f
\]

с краевым условием $v=0$, получаем для $u=\frac{v}{h_{1}}$ на краю конечную и регулярную функцию, для которой
\[
\Delta\left(h_{1} u\right) \equiv D_{0}(u)=f .
\]

Затем мы используем уже обычные методы и интегрируем уравнение
\[
D_{0}(u)+D_{2}(u)=f
\]

с первоначальным краевым условием. Ядро интегрального уравнения, которое надлежит использовать в этом случае, хотя и обращается в бесконечность, но имеет сингулярность такого порядка, что та устраняется при итерировании ядра: мы избегаем интегрирования по частям, так как оно привело бы к появлению членов с сингулярностью более высокого порядка.

Преодоленная проблема интегрирования эквивалентна интегрированию уравнения
\[
D_{0}(u)+D_{2}(u)=f
\]
${ }^{1}$ Это условие не того рода, чтобы оно выделяло определенное решение уравнения $\Delta(u)=f$.

с измененным краевым условием, и потому мы можем теперь подняться на вторую ступень и найти решение уравнения
\[
D(u) \equiv\left(D_{0}(u)+D_{2}(u)\right)+D_{1}(u)=f
\]

с измененным краевым условием.
До сих пор мы предполагали, что член П пренебрежимо мал. Если отказаться от этого предположения, то никаких новых трудностей при этом не возникнет. Величина П есть потенциал притяжения, порожденный $\zeta$; следовательно,
\[
\Pi=\int \frac{\zeta^{\prime} d \sigma^{\prime}}{r},
\]

где $d \sigma^{\prime}$ — элемент поверхности шара, $\zeta^{\prime}$ — значение функции $\zeta$ в центре тяжести $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right.$ ) этого элемента поверхности, а $r$ — расстояние, измеренное в трехмерном пространстве между двумя точками $(x, y)$ и $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ шара, а интегрирование проводится по всей поверхности шара. Величину П можно также представить в виде
\[
\Pi=\int \frac{\zeta^{\prime} d x^{\prime} d y^{\prime}}{k^{2} r} .
\]

Подставив это выражение в наши исходные уравнения, первое из которых с помощью соответствующей функции Грина и с учетом краевого условия из дифференциального уравнения превращается в интегральное, мы получаем систему двух интегральных уравнений для $\zeta$ и $\varphi$, решаемых с помощью рассмотренных выше методов.