Кроме трех случаев, рассмотренных в предыдущем параграфе и обладающих некоторой общностью, я изучил также большое число частных случаев, и мне всегда удавалось построить контуры $C, C^{\prime}, C^{\prime \prime}, C^{\prime \prime \prime}$. Не приходится и думать о том, чтобы привести здесь все эти случаи; некоторые примеры представлены на приложенных здесь рисунках, которые нуждаются в нескольких пояснениях.

Я использовал спрямленное изображение; мы знаем, что на этом изображении кривые воспроизводятся периодически, так как когда $y$ переходит в $y+2 \pi$, получаются те же фигуры; я давал только один период, и нетрудно добавить другие.

Контур, представленный на каждом рисунке, – контур $C^{\prime \prime}$, образованный дугами $X=x$ и дугами $x=c$, представленными горизонтальными отрезками. Граничные горизонты $x=a$ и $x=b$ даны сплошными линиями так же, как и контур $C^{\prime \prime}$; наоборот, часть кривых $X=x$, не входящих в состав $C^{\prime \prime}$, дана пунктиром. Цифра, находящаяся около каждой ветви $X=x$, является ее номером. Около каждой кривой $X=x$ стоит знак + или – , в зависимости от того, положительна ли она или отрицательна.

Нетрудно проверить на каждом рисунке, что шесть условий § 8 выполнены; для проверки первого условия можно сделать сечение произвольной горизонталью и получить таким образом последовательность номеров в определенном порядке, учитывая лишь ветви, пересеченные этой горизонталью; затем станет видно, что если начертить кривую, которая пересечет горизонталь в соответствии с порядком номеров точек пересечения, то эта кривая не будет самопересекаться.

Что касается второго условия, то можно установить, например на рис. 14, что в вершине 63 сходятся ветви 6 и 3 , но что поскольку вершина 45 находится ниже, то горизонталь вершины 63 не встретится с ветвями 4 и 5 , что на этом уровне номера 6 и 3 окажутся последовательными.

Относительно третьего условия: можно увидеть, например на рис. 8 , что основание 98 , являющееся обратным, нечетное, тогда как вершина 87 , также обратная, четная.

Я не буду останавливаться ни на четвертом, ни на пятом условии, проверить их соблюдение легко. Что касается шестого условия, то возьмем для примера рис. $21 ;$ здесь мы видим, что ветви 8 и 7 положительны, а ветви $3,6,5,4$ – отрицательны; ранг первых двух меньше, но поскольку это ветви самого большого номера (и самого маленького ранга) и они положительны, то условие выполнено.

Предположим, что наш контур пробегается слева направо. В этих условиях дуги $X=x$, составляющие часть $C^{\prime \prime}$, и дуги $x=c$ того же самого контура или, скорее, соответствующие дуги $X=c$, оказываются все определенными и одного знака, а именно:
они положительны на рис. $5-7,10,11,18,20,23$;
они отрицательны на рис. $8,9,12-17,19,21,22,24$.
Действительно, например, на рис. 5 можно видеть, что положительные ветви $X=x$ пробегаются с подъемом, а отрицательные – со спуском.

С другой стороны, дуги $x=c$ или, скорее, соответствующие дуги $X=c$, вполне определенны. Рассмотрим, например, рис. 5. Здесь мы видим три горизонтали; первую, я ее обозначу 12 , которая идет от ветви 1 к ветви 2 ; вторую, которая идет от 3 к 4 ; третью, которая выходит от ветви 5 , и, в случае продолжения, пошла бы к ветви под номером 6 (не представленной на рисунке), отличающейся на один период от ветви под номером 0 . Эта горизонталь заканчивается на рисунке в $A$, но ее следовало бы дополнить горизонтальным отрезком, который отличался бы на период от изображенного на рисунке, который идет от точки $B$ к ветви 0 . Все эти горизонтали соответствуют элементарным дугам, и, следовательно, являются определенными, так как номера их концов последовательны. То же самое будет и для рис. 8 , например, для горизонтали 25 , так как номера 2 и 5 являются последовательными на уровне этой горизонтали, которая не пересекает ветвей 3 и 4.

Рассмотрим теперь рис. 9. Если продлить горизонталь 69 , то она пересечет некоторые ветви $X=x$, но ни одной точки пересечения не окажется между 6 и 9 ; следовательно, ранги концов являются последовательными на рассматриваемом уровне. Итак, соответствующая дуга опять-таки оказывается определенной. На рис. 19 горизонталь 10.13, которан идет от ветви 10 к ветви 13 , отличансь от ветви 1 на один период, тоже соответствует определенной дуге; действительно, между концами 10 и 13 находятся точки пересечения 5 и 4 , но их номера не заключаются между 10 и 13. Отсюда следует, что соответствующая дуга $X=c$ не пересекает своей хорды (на спрямленном изображении).

Остается определить знак этих разных дуг. Я возьму в качестве примера рис. 8 ; дуга 25 отрицательна, так как она пробегается слева направо, а 2 – четно и $<5 ; 67$ отрицательна, так как она пробегается слева направо, а 6 четное и $<7 ; 78$ отрицательна, так как она пробегается влево, а 7 нечетно и $<8$; наконец, 10.11 отрицательна по тем же причинам, что и 25 и 67.

Рис. 5-7 соответствуют первому частному случаю $\S 12$ (нормальное распределение); рис. 8 и 9 соответствуют третьему случаю $\S 12$; здесь легко распознаются контуры тени, определенные в том параграфе; рис. 10,11 и 20 соответствуют второму случаю $§ 12$; рис. 10 и 11 выводятся из 8 и 9 переходом от $T$ к обратному преобразованию $T^{-1}$. Наконец, рис. 12 и 13 показывают, как контуры тени $§ 12$ должны видоизменяться при появлении островов, т. е. кривых $X=x$, замкнутых в узком смысле.